四年级数学上册数的整除性（二）
讲解
这一讲主要讲能被11整除的数的特征.
一个数从右边数起，第1，3，5，…位称为奇数位，第2，4，6，…位称为偶数位.也就是说，个位.百位.万位……是奇数位，十位.千位.十万位……是偶数位.例如9位数768325419中，奇数位与偶数位如下图所示：
能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）如果能被11整除，那么这个数就能被11整除.
例1 判断七位数1839673能否被11整除.
分析与解：奇数位上的数字之和为1＋3＋6＋3=13，偶数位上的数字之和为8＋9＋7=24，因为24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除.
根据能被11整除的数的特征，也能求出一个数除以11的余数.
一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以11的余数相同.如果奇数位上的数字之和小于偶
数位上的数字之和，那么应在奇数位上的数字之和上再增加11的整数倍，使其大于偶数位上的数字之和.
例2 求下列各数除以11的余数：
（1）41873；（2）296738185.
分析与解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11
=7÷11＝0……7，
所以41873除以11的余数是7.
（2）奇数位之和为2＋6＋3＋1＋5=17，偶数位之和为9＋7＋8＋8＝32.因为17＜32，所以应给17增加11的整数倍，使其大于32.
（17+11×2）-32＝7，
所以296738185除以11的余数是7.
需要说明的是，当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时，为了计算方便，也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得余数与11的差即为所求.如上题（2）中，（32-17）÷11＝1……4，所求余数是11-4=7.
例3 求除以11的余数.
分析与解：奇数位是101个1，偶数位是100个9.
（9×100-1×101）÷11
=799÷11=72……7，
11-7=4，所求余数是4.
例3还有其它简捷解法，例如每个“19”奇偶数位上的数字相差9-1＝8，奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相差8×99=8×9×11，能被11整除.所以例3相当于求最后三位数191除以11的余数.
例4 用3，3，7，7四个数码能排出哪些能被11整除的四位数？
解：只要奇数位和偶数位上各有一个3和一个7即可.有3377，3773，7337，7733.
例5 用1～9九个数码组成能被11整除的没有重复数字的最大九位数.
分析与解：最大的没有重复数字的九位数是987654321，由
（9＋7＋5＋3＋1）-（8＋6＋4＋2）＝5
知，987654321不能被11整除.为了保证这个数尽可能大，我们尽量调整低位数字，只要使奇数位的数字和增加3（偶数位的数字和自然就减少3），奇数位的数字之和与偶数位的数字之和的差就变为5＋3×2=11，这个数就能被11整除.调整“4321”，只要4调到奇数位，1调到偶数位，奇数位就比原来增大3，就可达到目的.此时，4，3在奇数位，2，1在偶数位，后四位最大是2413.所求数为987652413.
例6 六位数能被99整除，求A和B.
分析与解：由99=9×11，且9与11互质，所以六位数既能被9整除又能被11整除.因为六位数能被9整除，所以
A+2+8+7+5+B
＝22+A+B
应能被9整除，由此推知A＋B＝5或14.又因为六位数能被11整除，所以
（A＋8＋5）－（2＋7＋B）
＝A-B＋4
应能被11整除，即
A-B+4=0或A-B+4=11.
化简得B-A＝4或A-B＝7.
因为A+B与A-B同奇同偶，所以有
在（1）中，A≤5与A≥7不能同时满足，所以无解. 在（2）中，上.下两式相加，得
（B＋A）＋（B-A）＝14＋4，
2B＝18，
B=9.
将B=9代入A＋B=14，得A＝5.
所以，A=5，B＝9.