平面向量习题及答案
【篇一：平面向量练习题集答案】
>典例精析
题型一向量的有关概念
【例1】下列命题：①向量ab的长度与ba的长度相等；
②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；④向量ab与向量cd是共线向量，则a、b、c、d必在同一直线上.
其中真命题的序号是.
【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；ab与cd是共线向量，则a、b、c、d可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①.
【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.
【变式训练1】下列各式：
①|a|＝a?a；
②(a?b) ?c＝a? (b?c)；③oa－ob＝ba；
④在任意四边形abcd中，m为ad的中点，n为bc的中点，则ab ＋＝2；
其中正确的个数为( )
a.1
b.2
c.3
d.4
【解析】选d.| a|＝a?a正确；(a?b) ?c≠a? (b?c)； oa－ob＝ba 正确；如下图所示，
mn=++且mn=++，
两式相加可得2mn＝ab＋dc，即命题④正确；
因为a，b不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b为菱形的两条对角线，
即得(a＋b)⊥(a－b).
所以命题①③④⑤正确.
题型二与向量线性运算有关的问题
【例2】如图，abcd是平行四边形，ac、bd交于点o，点m在线段
do
上，且=，点n在线段oc上,且=,设=a, =b,试用a、b表示，，1
313
.
【解析】在?abcd中，ac，bd交于点o，111所以＝＝(－)a－b)，222
＝2＝2(＋)＝2(a＋b).
11又＝，＝， 33
1所以＝ad＋＝b＋ 3
1115＝b(a－b)＝a， 3266111
＝＋＝＋3 4412＝＝(a＋b)a＋b). 3323
所以＝－ 21511＝(a＋b)－＋)＝a. 36626
【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向
量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，
在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形.
所以? (＋)＝?0＝0，故填0.
题型三向量共线问题
【例3】设两个非零向量a与b不共线.
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
求证：a，b，d三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线. 1
【解析】(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，所以bd
＝bc＋cd＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5ab，所以ab， bd共线.
又因为它们有公共点b，
所以a，b，d三点共线.
(2)因为ka＋b和a＋kb共线，
因为a与b是不共线的两个非零向量，
【点拨】(1)向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常
只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的
运用和方程思想.
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与
三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三
点共线.
【变式训练3】已知o是正三角形bac内部一点，+2+3=0，则△
oac的面积与△oab的面积之比是（
3a. 2
c.2 2b. 31
d. 3 ）
【解析】如图，在三角形abc中， oa＋2ob＋3oc＝0，整理可得oa＋oc＋2(ob＋oc)＝0.
1令三角形abc中ac边的中点为e，bc边的中点为f，则点o在点f与点e连线的处，即oe＝2of. 3
2由于ab＝2ef，oe＝，所以ab＝3oe， 3
1
s△oacoe?h2＝＝.故选b. 3s△oabab?h4
总结提高
1.向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)的情形，而向量平行则包括共线(即重合)的情形.
2.判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来.
3.当向量a与b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|；
当向量a与b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||；
当向量a与b不共线时，|a＋b|＜|a|＋|b|.
典例精析
题型一平面向量基本定理的应用
【例1】如图?abcd中,m,n分别是dc，bc中点.已知am=a,=b,试用a，b表示，ad与ac
【解析】易知am＝ad＋dm 1＝＋， 2
1an＝ab＋bn＝ab2ad， 1???a,??2即? ??1?b.?2?
22所以＝b－a)，＝2a－b). 33
2所以＝＋＝a＋b). 3
【点拨】运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得仔细领悟.
【变式训练1】已知d为△abc的边bc上的中点，△abc所在平面内有一点p，满足＋＋＝0等于( ) 1b. 2c.1 d.2 1a. 3
【解析】由于d为bc边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知pb＋pc＝2pd，因此结合pa＋bp＋cp＝0即得
pa＝2pd，因此易得p，a，d三点共线且d是pa＝1，即选c.
题型二向量的坐标运算
【例2】已知a＝(1，1)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b.
(1)若u＝3v，求x；(2)若u∥v，求x.
【解析】因为a＝(1，1)，b＝(x，1)，
所以u＝(1，1)＋2(x，1)＝(1，1)＋(2x，2)＝(2x＋1，3)，
v＝2(1，1)－(x，1)＝(2－x，1).
(1)u＝3v?(2x＋1，3)＝3(2－x，
1)
?(2x＋1，3)＝(6－3x，3)，
所以2x＋1＝6－3x，解得x＝1.
?2x?1??(2?x),?? 3???
?(2x＋1)－3(2－x)＝0?x＝1.
【点拨】对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点
在解题中很重要，应引起重视.
＋|a141＋b|2的最大值为.
值为284.
题型三平行(共线)向量的坐标运算
【例3】已知△abc的角a，b，c所对的边分别是a，b，c，设向
量m＝(a，b)，n＝(sin b，sin a)，p＝(b－2，a－2).
(1)若m∥n，求证：△abc为等腰三角形；
【解析】(1)证明：因为m∥n，所以asin a＝bsin b.
由正弦定理，得a2＝b2，即a＝b.所以△abc为等腰三角形.
a(b－2)＋b(a－2)＝0，所以a＋b＝ab.
由余弦定理，得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
所以(ab)2－3ab－4＝0.
所以ab＝4或ab＝－1(舍去).
113所以s△abc＝absin c3. 222
【点拨】设m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，则
①m∥n?x1y2＝x2y1；②m⊥n?x1x2＋y1y2＝0.
【变式训练3】已知a，b，c分别为△abc的三个内角a，b，c的
对边，向量m＝(2cosc－1，－2)，n＝(cos c，cos c＋1).若m⊥n，且a＋b＝10，则△abc周长的最小值为( )
a.10－3
c.10－23b.10＋53
d.10＋23
1【解析】由m⊥n得2cos2c－3cos c－2＝0，解得cos c＝－
cos c＝2(舍去)，所以c2＝a2＋b2－2abcos 2
【篇二：高中数学平面向量测试题及答案】
选择题：
1。已知abcd为矩形，e是dc的中点，且ab=a，ad＝b，则be＝（）（a） b+a（b） b－a （c） a＋b （d） a－b
2
2
2
2
?
???????????
???????
2．已知b是线段ac的中点，则下列各式正确的是（）
（a） ab＝－bc （b） ac＝bc（c） ba＝bc（d） bc＝ac
2
2
???
?????????????????????
3．已知abcdef是正六边形，且ab＝a，ae＝b，则bc＝（）（a） ?
???????????
2
(a?b)（b） (b?a)（c） a＋b （d） (a?b)
2
2
2
?
????????
4．设a，b为不共线向量，ab ＝a+2b,bc＝－4a－b,cd＝－5a－
3b,则下列关系式中正确的是（）
（a）ad＝bc （b）ad＝2bc （c）ad＝－bc
?
?
?
?????????????
????????????
??????
（d）ad＝－2bc
??????
5．将图形f按a＝（h,k）（其中h0,k0）平移，就是将图形f（）（a）向x轴正方向平移h个单位，同时向y轴正方向平移k个单位。
（b）向x轴负方向平移h个单位，同时向y轴正方向平移k个单位。（c）向x轴负方向平移h个单位，同时向y轴负方向平移k
个单位。（d）向x轴正方向平移h个单位，同时向y轴负方向平
移k个单位。 6．已知a＝（,1)，b＝(?
12
2
?
?
3,
2)，下列各式正确的是（）
??????
??????
????
7．设e1与e2是不共线的非零向量，且ke1＋e2与e1＋ke2共线，则k的值是（）（a） 1 （b）－1 （c） ?1（d）任意不为零的
实数
9．已知m（－2，7）、n（10，－2），点p是线段mn上的点，
且pn＝－2pm，则p点的坐标为（）
（a）（－14，16）（b）（22，－11）（c）（6，1）（d）（2，4）
???
???
???
??????
?????????
10．已知a＝（1，2），b＝（－2，3），且ka+b与a－kb垂直，则k＝（）（a） ?1?2（b） 2?1（c） 2?3（d） 3?
?
?
?
?
?
?
?
2
?
11．把函数y?sin(x?3)?2的图象经过按a平移得到y?sinx的图象，则a＝（）（a） ????（b） ??3,2?（c） ???3,?2?（d） ?3,?2? 3,2
12．△abc的两边长分别为2、3，其夹角的余弦为1 ，则其外接圆
的半径为（）（a）
92
（b）
94
（c）
98
（d）
29
二、填空题：
13．已知m、n是△abc的边bc、ca上的点，且bm＝
?
???
3
???
bc,cn＝
???
3
???
ca,设ab＝
???
a，ac＝b，则mn＝
???????
14．△abc中，sinb?sinacosc,其中a、b、c是△abc的三内角，则△abc是
三角形。
三、解答题：
15．abcd是梯形，ab∥cd，且ab=2cd,m、n分别是dc和ab的
中点，已知ab
???
＝a，ad＝b,试用a、b表示mn。
16．设两非零向量a和b不共线，如果ab＝a＋b，cd＝3（a－b），
???
?
?
??????????
??????????
bc?2a?8b，求证：a、b、d三点共线。
??
18．在△abc中，已知abc,且a=2c,a、b、c所对的边分别为a、b、c，又a、b、c成等差数列，且b＝4，求a、c的长。
平面向量测试题答案
bddba acbda ac
13．15.
3
?
b?a；14.直角
34?
?
a?b
?
;18.+
a?
5,c?5
19.由
2cotb?cota?cotc
得
b2
=ac
2cosbcosa
?sinbsina
coscsin(a?c)sin2ba2?c2?b2
??2cosb??sincsinasincsinasincac
?a2?c2?2b2…
【篇三：平面向量练习题集答案】
一. 向量的基本概念与基本运算
1向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量向量的大小即向量的模（长度）的模可以比较大小．
??
②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行，所以在有关向
量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．③单位向量：模为1个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量方向相同或相反的向量，称为平行向
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量2向量加法：
求两个向量和的运算叫做向量的加法
?
设ab?a,bc?b，则a+b=ab?bc=ac?????（1）0?a?a?0?a；（2）向量加法满足交换律与结合律；
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：
（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：
ab?bc?cd?
． ?pq?qr?ar，但这时必须“首尾相连”
3向量的减法：
??
①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a?
记作?a 关于相反向量有：
???????
（i）?(?a)=a； (ii) a+(?a)=(?a)+a=0；
?????????
(iii)若a、b是互为相反向量，则a=?b,b=?a,a+b=0????????
②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作：a?b?a?(?b)
??????
③作图法：a?b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b 有共同起点） 4实数与向量的积：
??
（Ⅰ）?a???a；
????
??
当??0时，?a?0，方向是任意的??
5两个向量共线定理：
????
向量b与非零向量a共线?有且只有一个实数?，使得b=?a6平面
向量的基本定理：
???
如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的
任一向量a，有且只有
?????
一对实数?1,?2使：a??1e1??2e2，其中不共线的向量e1,e2叫做
表示这一平面内所有向量的一组基底
7 特别注意:
（1）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件（2）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况二. 平面向量的坐标表示
1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作
为基底a可表示成a?xi?yj，记作a=(x,y)
(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量
2平面向量的坐标运算：
(1) 若a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a?b??x1?x2,y1?y2? (2) 若
a?x1,y1?,b?x2,y2?，则ab??x2?x1,y2?y1? (3) 若a=(x,y)，
则?a=(?x, ?y)
(4) 若a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a//b?x1y2?x2y1?0 (5) 若
a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a?b?x1?x2?y1?y2 若a?b，则
x1?x2?y1?y2?0
向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）
及其各运算的坐标表示和性质
三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积：
a?b
∈r，称为向量b在a方向上的投影|a|
4向量的模与平方的关系：a?a?a2?|a|
5乘法公式成立：
?a?b???a?b??a?b?a?a?b??a?2a?b?b?a
2
2
2
2
2
2
?b； ?2a?b?b
2
2
2
6平面向量数量积的运算律：
①交换律成立：a?b?b?a
????
③分配律成立：?a?b??c?a?c?b?c?c??a?b? 特别注意：（1）结合律不成立：a??b?c???a?b??c；
（2）消去律不成立a?b?a?c不能得到
b?c? （3）a?b=0不能得到a=0或b=0
②对实数的结合律成立：??a??b??a?b?a??b???r?
7两个向量的数量积的坐标运算：
8向量的夹角：已知两个非零向量a与b，作oa=a, ob=b,则
∠aob=? （00???1800）
叫做向量a与b的夹角
cos?=cos?a,b??
a?ba?
b
????
典例精析
题型一向量的有关概念【例1】下列命题：
①向量ab的长度与的长度相等；
②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；
④向量与向量cd是共线向量，则a、b、c、d必在同一直线上.
其中真命题的序号是.
【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；ab与cd是共线向量，则a、b、c、d可在
同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①.
【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.
【变式训练1】下列各式：①|a|＝a?a；
②(a?b) ?c＝a? (b?c)；③oa－ob＝；
b.2
c.3
d.4
【解析】选d.| a|＝a?a正确；(a?b) ?c≠a? (b?c)； oa－ob＝ba 正确；如下图所示，
mn=++且mn=++，
两式相加可得2mn＝ab＋dc，即命题④正确；
因为a，b不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b为菱形的两条对角线，即得(a＋b)⊥(a－b). 所以命题①③④⑤正确.
题型二与向量线性运算有关的问题
【例2】如图，abcd是平行四边形，ac、bd交于点o，点m在线段do上，且=，点n在线段oc上,且=,设=a, =b,试用a、b表示，，.
【解析】在?abcd中，ac，bd交于点o， 111
所以＝＝(－)a－b)，
222
1313
＝2＝2(＋)＝2(a＋b).
11
又＝，＝，
33
111
必修4 平面向量知识点小结 一、向量的基本概念 1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别. 向量常用有向线段来表示 . 注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移. 举例 1 已知A（1,2），B（4,2），则把向量u A u B ur按向量a r（ 1,3）平移后得到的向量是. 结果：（3,0） 2.零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0r，规定：零向量的方向是任意的； 3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位 向量（与u A uu B r共线uuur 的单位向量是u A u B ur ）； | AB| 4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 a r、 b r叫做平行向量，记作：a r∥b r， 规定：零向量和任何向量平行 . 注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有r0）； ④三点A、B、C 共线u A uu B r、u A u C ur共线. 6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量 . a r的相反向量记作a r. 举例 2 如下列命题：（1）若|a r | |b r | ，则a r b r. （2）两个向量相 等的充要条件是它们的起点相同，终点相同 . （3）若u A u B ur u D u C u r，则ABCD是平行四边形 . （4）若ABCD是平行四边形，则u A uu B r u D u C uur. （5）若a r b r，b r c r，则a r c r. （6）若a r / /b r，b r / /c r则a r / /c r.其中正确的是. 结果：（4）（5） 二、向量的表示方法
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或a 。 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。 3.单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。 4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】 5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 6.相等向量：长度和方向都相同的向量。 7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则： AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数） 9.平行四边形法则： 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。 10.共线定理：//a b a b λ=?。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=?； cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ?=?=；121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误： （1）共线向量就是在同一条直线上的向量。 （2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。 （4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 （5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 （6）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。 （7）若ma mb =，则a b =。
一,向量重要结论 （1）、向量的数量积定义：||||cos a b a b θ?= 规定00a ?=， 22||a a a a ?== （2）、向量夹角公式：a 与b 的夹角为θ，则cos |||| a b a b θ?= （3）、向量共线的充要条件：b 与非零向量a 共线?存在惟一的R λ∈，使b a λ=。 （4）、两向量平行的充要条件：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =平行?12210x y x y -= （5）、两向量垂直的充要条件：向量a b ⊥0a b ??=?12120x x y y += （6）、向量不等式：||||||a b a b +≥+，||||||a b a b ≥? （7）、向量的坐标运算：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =，则a b ?=1212x x y y + （8）、向量的投影：︱b ︱cos θ=||a b a ?∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 （9）、向量：既有大小又有方向的量。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。相等 向量：长度相等且方向相同的向量。 （10）、零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝ 0 ?｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的， 且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） （11）、单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜ 0a ｜＝1 （12）、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b (即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 注：解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1） 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,= ，要会求出直线的斜率； （2）给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点; （3）给出0 =+,等于已知P 是MN 的中点; （4）给出()+=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线; （5）给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数,,1,O C O A O B αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线. （6） 给出λλ++=1OP ，等于已知P 是AB 的定比分点，λ为定比，即λ= （7） 给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知 AMB ∠是锐角。 （ 8）给出=??λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/ （9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-?+，等于已知ABCD 是菱形;
第7章 平面向量习题 练习7.1.1 1、填空题 （1）只有大小，没有方向的量叫做 ；既有大小，又有方向的量叫做 ； （2）向量的大小叫做向量的 ，模为零的向量叫做 ，模为1的向量叫做 ； （3）方向相同或相反的两个非零向量互相 ，平行向量又叫 ，规定： 与任何一个向量平行； （4）当向量a 与向量b 的模相等，且方向相同时，称向量a 与向量b ； （5）与非零向量a 的模相等，且方向相反的向量叫做向量a 的 ； 2、选择题 （1）下列说法正确的是（ ） A ．若|a |=0，则a =0 B ．若|a |=|b |，则a =b C ．若|a |=|b |，则a 与b 是平行向量 D ．若a ∥b ，则a =b （2）下列命题： ①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或 相反；③向量AB u u u r 与向量CD u u u r 共线，则A 、B 、C 、D 四点共线；④如果a ∥b ，b ∥c .那么a ∥c 正确的命题个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.0 参考答案： 1、（1）数量；向量（2）模；零向量；单位向量（3）平行的向量；共线向量；零向量 （4）相等（5）负向量 2、（1）A （2）B 练习7.1.2 1、选择题 （1）如右图所示，在平行四边行ABCD 中，下列结论错误的是（ ） A ．AB=DC u u u r u u u r B ．AD+AB=A C u u u r u u u r u u u r C ．AB +AD=B D u u u r u u u r u u u r D ．AD+CB=0u u u r u u u r r （2）化简：AB+BC CD u u u r u u u r u u u r =（ ） A ．AC u u u r B ．AD u u u r C ．B D u u u r D ．0r 2、作图题：如图所示，已知向量a 与b ，求a +b A D C B a b
"表示法仔臥几何型标)1 I 在几何学中的丽1 正弦、余弦定理药丽 二、详细知识要点讲解； 重点知识回顾 1. 向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量 ,有二个要素： ? _________________ 4 4 2. 向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母 a 、 b 等表示；③平面向量的坐标表 、，一 、、 4 - 示：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i 、j 作为基底。任作一个向量 a ，由平 -H 4 面向量基本定理知，有且只有一对实数 x 、y ，使得a 二xi ? yj ，(x, y)叫做向量a 的(直 角)坐标，记作a = (x, y)，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特 别地， ‘=(1,0)，j =(0,1)，0=(0,0)。 a=Jx 2+]2 ；若 A(x 1,y 1)，B(X 2,y 2)， 则 AB =仪2 -为』2 - y 1 ， AB = (X 2=xj 2—( y zP yj 2 3. 零向量、单位向量：①长度为 的向量叫零向量，记为 0 ；②长度为 _________ 个单位长 —* 度的向量，叫单位向量?(注：就是单位向量) |a| 4. 平行向量：①方向 __________ 的向量叫平行向量；②我们规定 _______ 与任一向量平行? ,4 扌 彳十一 ，，4 扌 4 _ _ _ 十一亠耳一 「「亠冃 :知识框架图; 平面向量 趴洪线向量的充宴翔 向量的in.猱法1 1向量的怅度*夹角 “实数与向St 的积1 」两个向量平行的充套条件 向盘的数量积1―* 两个向量垂直的充要务件 卩线段的定比分点 1瞪翅证宙 向
平面向量部分常见的题型练习 类型（一）：向量的夹角问题 1.平面向量, 4==且满足2.=，则与的夹角为 2.已知非零向量, （2-⊥=，则与的夹角为 类型（二）：向量共线问题 1. 已知平面向量），（x 32=，平面向量），，（182--=b 若a ∥b ，则实数x 2. 设向量），（，（3212==若向量b a +λ与向量)74(--=，共线，则=λ 3.已知向量） ，（，（x 211==若24-+与平行，则实数x 的值是（ ） A ．-2 B ．0 C ．1 D ．2 类型（三）: 向量的垂直问题 1．已知向量b a b x a ⊥==且），（)6,3(,1，则实数x 的值为 2 ．已知向量=--==b b a n b n a 与），若，（），，（211 3．已知=（1，2），=（-3，2）若k +2与2-4垂直，求实数k 的值 4． 42==，且b a 与的夹角为 3 π ，若的值垂直，求与k b a k b a k 22-+。 类型（四）投影问题 1． ，45==，与的夹角3 2π θ=，则向量在向量上的投影为 2． 在Rt △ABC 中，===∠AC C .,4,2 则π 类型（四）求向量的模的问题 1. 已知零向量====b a a ，则），（2510.,12 2. 已知向量, ====221 3. 已知向量a )3,1(= ，=+-=)0,2( 4. 设向量， 1== 及34=- ，求3+的值 类型（五）平面向量基本定理的应用问题 1．若=（1，1），=（1，-1），=（-1，-2），则等于 （ ） (A) 2321+- (B)2321-- (C)b a 2123- (D)b a 2 123+-
数学必修4第二章 平面向量知识点 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 1. 向量：既有大小又有方向的量。 2. 向量的模：向量的大小即向量的模（长度），如,AB a uu r r 的模分别记作|AB u u u r |和||a r 。 注：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。 3. 几类特殊向量 (1)零向量：长度为0的向量，记为0r ，其方向是任意的，0r 与任意向量平行， 零向量a ＝0r ｜a ｜＝0。由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） (2)单位向量：模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量0||1a u u r 。将一个 向量除以它的模即得到单位向量，如a r 的单位向量为： ||a a e a r r r (3)平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量,称为平行向量.记作a ∥b 。 规定：0r 与任何向量平等， 任意一组平行向量都可以移到同一直线上，由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。 （4）相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。记作a r 。 关于相反向量有：① 零向量的相反向量仍是零向量， ②)(a =a ； ③ ()0a a v v v ； ④若a 、b 是互为相反向量，则 a = b ,b =a ,a +b =0 。
《平面向量》题型汇总 类型（一）：向量的夹角问题 1.平面向量b a ,41==且满足 2.=b a ，则b a 与的夹角为 . 2.已知非零向量b a ,）（a b b 2-⊥=，则b a 与的夹角为 . 3.已知向量,满足 424)2.(==-=+-b a b a ）（，则与的夹角为 . 4.设非零向量、、满足=+==|,|||||，则>=<, . 类型（二）：向量共线问题 1.已知向量），（，（x 211==若24-+与平行，则实数x 的值是 . 2.已知），（），，（），，（73231x C B A --=，=且∥， 则x= . 3．已知a =（1，2），=（-3，2）若k +2与2-4共线，则k= . 4.已知,不共线，k -=+=,，如果∥，那么k= ,与的方向关系是 . 5. 已知向量且），（，（,221m -==a ∥b ，则=+b a 32 . 类型（三）: 向量的垂直问题 1．已知向量=--==n n 与），若，（，（211 . 2.已知),1,1(),0,1(==b a 当λ= 时，与λ+垂直？ 3.已知,24），（=与垂直的单位向量的坐标为 . 4. 已知向量的值为垂直，则实数与且向量），（λλb a b a b a 2)0,1(,23-+-=-= 5. =⊥-===k k 若（），（),2,()3,1(,13 . 6. ，若向量），（+-==)3,2(,21∥b ，___=+⊥（
类型（四）投影问题 1．已知，4,5==b a ，b a 与的夹角32πθ=，则向量b 在向量a 上的投影为 2．在Rt △ABC 中，===∠AC AB AC C .,4,2则π 3．关于c a b a ..=且0≠a ，下列几种说法正确的是 ① )(c b a -⊥； ② b ⊥c ； ③0).(=-c b a ④b 在a 方向上的投影等于c 在a 方向上的投影 ； ⑤a b λ=； ⑥c b = 类型（四）求向量的模的问题 1. 已知零向量==+==b b a b a a ，则），（25,10.,12 . 2. 已知向量b a ,满足=+=-==b a b a b a ，则2,2,1 . 3. 已知向量a )3,1(=，=+-=b a b ，则)0,2( . 4．已知向量b a b a -==则),cos ,1(),sin ,1(θθ的最大值为 . 5. 设向量a ，b 满足的值为则b a b a a b a +-⊥==2),2(,2,1 . 类型（五）平面向量基本定理的应用问题 1．若a =（1，1），b =（1，-1），c =（-1，-2），则c 等于 （ ） (A) b a 2321+- (B)b a 2 321-- (C)b a 2123- (D)b a 2 123+- 2.如图，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝ . 3.已知b a c c b a μλμλ+=-===的值，使和），求，（），，（），，（011101
平面向量应用举例练习题 一、选择题 1．一物体受到相互垂直的两个力f 1、f 2的作用，两力大小都为53N ，则两个力的合力的大小为( ) A ．103N B ．0N C ．56N D.56 2N 2．河水的流速为2m/s ，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( ) A ．10m/s B ．226m/s C ．46m/s D ．12m/s 3．(2010·山东日照一中)已知向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6，则x 1＋y 1x 2＋y 2 的值为( ) A.2 3 B ．－23 C.56 D ．－56 4．已知一物体在共点力F 1＝(lg2，lg2)，F 2＝(lg5，lg2)的作用下产生位移S ＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W 为( ) A ．lg2 B ．lg5 C ．1 D ．2 5．在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PBC 与 △ABC 的面积之比是( ) A.1 3 B.12 C.2 3 D.3 4 6．点P 在平面上作匀速直线运动，速度v ＝(4，－3)，设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为(速度单位：m/s ，长度单位：m)( ) A ．(－2,4) B ．(－30,25) C ．(10，－5) D ．(5，－10) 7．已知向量a ，e 满足：a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则( ) A ．a ⊥e B ．a ⊥(a －e ) C ．e ⊥(a －e ) D ．(a ＋e )⊥(a －e ) 8．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →⊥OB →，点C 在∠AOB 内，∠AOC ＝30°，设OC →
平面向量知识点总结归纳 1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+ ． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ；②结合律：()() a b c a b c ++=++ ； ③00a a a +=+= ． ⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++ ． 3、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=-- ． b a C B A a b C C -=A -AB =B
设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =-- ． 4、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ ． ①a a λλ= ； ②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a 的方向相 反；当0λ=时，0a λ= ． ⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+ ；③() a b a b λλλ+=+ ． ⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ== ． 5、向量共线定理：向量() 0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 b a λ= ． 设()11,a x y = ，()22,b x y = ，其中0b ≠ ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、 () 0b b ≠ 共线． 6、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于 这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+ ．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底） 7、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ， ()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλ λ++?? ?++??． 8、平面向量的数量积： ⑴() cos 0,0,0180a b a b a b θθ?=≠≠≤≤ ．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥??= ．②当a 与b 同向时， a b a b ?= ；当a 与b 反向时，a b a b ?=- ；22a a a a ?== 或a ．③ a b a b ?≤ ． ⑶运算律：①a b b a ?=? ；②()()()a b a b a b λλλ?=?=? ；③() a b c a c b c +?=?+? ． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y = ，()22,b x y = ，则1212a b x x y y ?=+ ．
平面向量经典例题： 1. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，则实数λ等于( ) A ．－2 B ．－13 C ．－1 D ．－23 [答案] C [解析] λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)，∵λa ＋b 与c 共线，∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1. 2. (文)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ， 3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( ) A ．－1 B ．－ 3 C ．－3 D ．1 [答案] C [解析] a ＋2b ＝( 3，1)＋(0,2)＝( 3，3)， ∵a ＋2b 与c 垂直，∴(a ＋2b )·c ＝ 3k ＋3 3＝0，∴k ＝－3. (理)已知a ＝(1,2)，b ＝(3，－1)，且a ＋b 与a －λb 互相垂直，则实数λ的值为( ) A ．－ 611 B ．－116 C.611 D.11 6 [答案] C [解析] a ＋b ＝(4,1)，a －λb ＝(1－3λ，2＋λ)， ∵a ＋b 与a －λb 垂直， ∴(a ＋b )·(a －λb )＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝611 . 3. 设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a 、b 间的夹角为( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30° [答案] B [解析] 如图，在?ABCD 中， ∵|a |＝|b |＝|c |，c ＝a ＋b ，∴△ABD 为正三角形，∴∠BAD ＝60°，
一、选择题: (本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1．设点P（3，-6），Q（-5，2），R的纵坐标为-9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为（）。 A、-9 B、-6 C、9 D、6 2．已知=(2,3), b=(-4,7)，则在b上的投影为（）。 A、B、C、D、 3．设点A（1，2），B（3，5），将向量按向量=（-1，-1）平移后得 向量为（）。 A、（2，3） B、（1，2） C、（3，4） D、（4，7）4．若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=sinBcosC，那么ΔABC是（）。 A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形5．已知| |=4, |b|=3, 与b的夹角为60°，则| +b|等于（）。A、B、C、D、 6．已知O、A、B为平面上三点，点C分有向线段所成的比为2，则（）。 A、B、 C、D、 7．O是ΔABC所在平面上一点，且满足条件，则点O是ΔABC的（）。 A、重心 B、垂心 C、内心 D、外心8．设、b、均为平面内任意非零向量且互不共线，则下列4个命题：(1)( ·b)2= 2·b2(2)| +b|≥| -b| (3)| +b|2=( +b)2
(4)(b ) -( a )b 与 不一定垂直。其中真命题的个数是（ ）。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 9．在ΔABC 中，A=60°，b=1， ，则 等 于（ ）。 A 、 B 、 C 、 D 、 10．设 、b 不共线，则关于x 的方程 x 2+b x+ =0的解的情况是（ ）。 A 、至少有一个实数解 B 、至多只有一个实数解 C 、至多有两个实数解 D 、可能有无数个实数解 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）. 11．在等腰直角三角形ABC 中，斜边AC=22，则CA AB =_________ 12．已知ABCDEF 为正六边形，且AC =a ，AD =b ，则用a ，b 表示AB 为______. 13．有一两岸平行的河流，水速为1，速度为 的小船要从河的一边驶 向对岸，为使所行路程最短，小船应朝________方向行驶。 14．如果向量 与b 的夹角为θ，那么我们称 ×b 为向量 与b 的“向量积”， ×b 是一个向量，它的长度| ×b |=| ||b |sin θ，如果| |=3, |b |=2, ·b =-2，则| ×b |=______。 三、解答题：（本大题共4小题，满分44分.） 15．已知向量 = , 求向量b ，使|b |=2| |，并且 与b 的夹角 为 。（10分）
§平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念 2.向量的线性运算
3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 方法与技巧 1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”． 2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线．如AB→∥CD→且AB与CD不共线，则AB∥CD； 若AB→∥BC→，则A、B、C三点共线． 失误与防范 1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性． 2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.
§平面向量基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x ＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， 1 λa＝(λx ，λy1)，|a|＝x21＋y21. 1 (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝?x2－x1?2＋?y2－y1?2. 3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠∥b?x1y2－x2y1＝0. 方法与技巧 1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键． 2．平面向量共线的坐标表示 (1)两向量平行的充要条件
平面向量 题型1.基本概念判断正误： 例 2 （1）化简：①AB BC CD ++=___；②AB AD DC --=____；③ ()()AB CD AC BD ---=_____ （2）若正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===，则||a b c ++＝_____ （3）若O 是ABC 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC 的形状为_ 9．与向量a =（12，5）平行的单位向量为 （ ） A ．125,1313??- ??? B ．12 5,1313??-- ??? C ．125125,,13131313????-- ? ?????或 D ．125125,,13131313???? -- ? ????? 或 10．如图，D 、E 、F 分别是?ABC 边AB 、BC 、CA 上的 中点，则下列等式中成立的有_________： ①+-=FD DA AF 0 ②+-=FD DE EF 0 ③+-=DE DA BE 0 ④+-=AD BE AF 0 11.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ ） A.0PA PB += B.0PC PA += C.0PB PC += D.0PA PB PC ++= 12.已知点(3,1)A ，(0,0)B ，(3,0)C ．设BAC ∠的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC CE λ=，其中λ等于（ ） A.2 B. 1 2 C.-3 D.－13 13.设向量a=(1, －3),b=(－2,4),c =(－1,－2)，若表示向量4a ,4b －2c ,2(a －c ),d 的有向线段首尾相接能构成四边形， 则向量d 为 ( ) A.(2,6) B.(－2,6) C.(2,－6) D.(－2,－6) 14.如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD xAB yAC =+，则 x = ，y = . 图2 15、已知O 是ABC △所在平面内一点D 为BC 边中点且20OA OB OC ++=那么（ ） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD = F E C B A
《平面向量》测试题 一、选择题 1.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（ ） A.x=-1 B.x=3 C.x= 2 9 D.x=51 2.与向量a=(-5,4)平行的向量是（ ） A.（-5k,4k ） B.(-k 5,-k 4) C.(-10,2) D.(5k,4k) 3.若点P 分所成的比为4 3 ，则A 分所成的比是（ ） A.73 B. 37 C.- 37 D.-7 3 4.已知向量a 、b ，a ·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a 与b 的夹角为（ ） A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=32041-,|a|=4,|b|=5，则向量a ·b=（ ） A.103 B.-103 C.102 D.10 6．(浙江)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( ) A.? ????79，73 B.? ????－73，－79 C.? ????73，79 D.? ????－7 9 ，－73 7.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x ）·b 与b 垂直，则x 的值为（ ） A. 3 23 B. 23 3 C.2 D.- 5 2 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（ ） A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,- 2 1 ) 9.设四边形ABCD 中，有DC = 2 1 ，且||=|BC |，则这个四边形是（ ） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 10.将y=x+2的图像C 按a=(6,-2)平移后得C ′的解析式为（ ） A.y=x+10 B.y=x-6 C.y=x+6 D.y=x-10 11.将函数y=x 2+4x+5的图像按向量a 经过一次平移后，得到y=x 2 的图像，则a 等于（ ） A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1) 12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是（ ） A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题 13.设向量a=(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b= 。 14.已知：|a|=2,|b|=2,a 与b 的夹角为45°，要使λb-a 垂直，则λ= 。 15.已知|a|=3,|b|=5，如果a ∥b ，则a ·b= 。 16.在菱形ABCD 中，（AB +AD ）·（AB -AD ）= 。
平面向量知识点及方法总结总结 一、平面向量两个定理 1、平面向量的基本定理 2、共线向量定理。 二、平面向量的数量积 1、向量在向量上的投影：，它是一个实数，但不一定大于0、 2、的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积、三坐标运算：设，，则（1）向量的加减法运算：，、（2）实数与向量的积：、（3）若，，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标、（4）平面向量数量积：、（5）向量的模：、 四、向量平行(共线)的充要条件、 五、向量垂直的充要条件、六、七、向量中一些常用的结论 1、三角形重心公式在中，若，，，则重心坐标为、 2、三角形“三心”的向量表示（1）为△的重心、（2）为△的垂心、（3）为△的内心； 3、向量中三终点共线存在实数，使得且、 4、在中若D为BC边中点则 5、与共线的单位向量是七、向量问题中常用的方法 （一）基本结论的应用
1、设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则（A）8 （B）4 （C）2 （D） 12、已知和点M满足、若存在实数m使得成立，则m= A、2 B、3 C、4 D、 53、设、都是非零向量，下列四个条件中，能使成立的条件是（） A、 B、 C、 D、且 4、已知点____________ 5、平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则（） A、 B、 C、 D、6、中,P是BN上一点若则m=__________ 7、o为平面内一点，若则o是____心 8、（xx课标I理）已知向量的夹角为，则、 （二）利用投影定义
9、如图，在ΔABC中，，，，则= （A）（B）（C）（D 10、已知点、、、,则向量在方向上的投影为 A、 B、 C、 D、11设是边上一定点,满足,且对于边上任一点,恒有则 A、 B、 C、 D、 （二）利用坐标法 12、已知直角梯形中，//,,,是腰上的动点，则的最小值为____________、 13、（xx课标II理）已知是边长为的等边三角形，为平面内一点，的最小值是（） （三）向量问题基底化 14、在边长为1的正三角形ABC中, 设则____________、 15、（xx天津理）在中，，，、若，，且，则的值为 ___________、 16、见上第11题 （四）数形结合代数问题几何化，几何问题代数化例题 1、中,P是BN上一点若则m=__________
平面向量 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与 终点的大写字母表示，如：几何表示法 AB ，a ；坐标表示法,(y x yj xi a =+= 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行a ＝ ? ｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共 线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同 一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的 平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =???==?21 2 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b ==，则a +b =AB BC +=AC （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量
平面向量： 1. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共 线，则实数λ等于( ) A ．－2 B ．－13 C ．－1 D ．－23 [答案] C [解析] λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)， ∵λa ＋b 与c 共线， ∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1. 2. (文)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( ) A ．－1 B ．－3 C ．－3 D ．1 [答案] C [解析] a ＋2b ＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)， ∵a ＋2b 与c 垂直，∴(a ＋2b )·c ＝3k ＋33＝0， ∴k ＝－3. (理)已知a ＝(1,2)，b ＝(3，－1)，且a ＋b 与a －λb 互相垂直，则实数λ的值为( ) A ．－611 B ．－116
C.6 11 D. 11 6 [答案] C [解析] a＋b＝(4,1)，a－λb＝(1－3λ，2＋λ)，∵a＋b与a－λb垂直， ∴(a＋b)·(a－λb)＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝6 11 . 3.设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a、b 间的夹角为( ) A．150° B．120° C．60° D．30° [答案] B [解析] 如图，在?ABCD中， ∵|a|＝|b|＝|c|，c＝a＋b，∴△ABD为正三角形， ∴∠BAD＝60°，∴〈a，b〉＝120°，故选B. (理)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝ 3 2 ，a与b的夹角为60°，
高中平面向量经典练习题 【编著】黄勇权 一、填空题 1、向量a=（2，4），b=（-1，-3），则向量3a-2b的坐标是。 2、已知向量a与b的夹角为60°，a=（3，4），|b | =1，则|a+5b | = 。 3、已知点A（1，2），B（2，1），若→ AP=（3，4），则 → BP= 。 4、已知A（-1，2），B（1，3），C（2，0），D（x，1），若AB与CD共线，则|BD|的值等于________。 5、向量a、b满足|a|=1，|b|= 2 ，(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为________。 6、设向量a，b满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6 ，则a·b＝。 7、已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是。 8、在△ABC中，D为AB边上一点，→ AD = 1 2 → DB， → CD = 2 3 → CA + m → CB，则 m= 。 9、已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，a⊥（2a+b），则a与b的夹角是。 10、在三角形ABC中，已知A（-3，1），B（4，-2），点P（1，-1）在中线AD 上，且→ AP= 2 → PD，则点C的坐标是（）。 二、选择题 1、设向量→ OA=（6，2），→ OB=（-2，4），向量→ OC垂直于向量→ OB，向量 → BC平行于 →OA，若→ OD + → OA= → OC，则 → OD坐标=（）。 A、（11，6） B、（22，12） C、（28，14） D、（14，7） 2、把A（3,4）按向量a（1,-2）平移到A',则点A'的坐标（） A、（4 , 2） B、（3，1） C、（2，1） D、（1，0） 3、已知向量a，b，若a为单位向量, 且 | a| = | 2b| ,则（2a+ b）⊥（a-2b），则向量a与b的夹角是（）。 A、90° B、60° C、30° D、0° 4、已知向量ab的夹角60°，| a|= 2，b=（-1，0），则| 2a-3b|=（）
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB 几何表示法 AB ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a =+= 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜ a ｜＝ 由于0 的方向是任意的，且规定0 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线） 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b (即 自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必 须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =大 小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x =???==?2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b == ，则a +b =AB BC + =A C （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法