全等三角形的判定一
1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”，和判定方法2——“边角边”；
2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.
一、全等三角形判定1——“边边边”
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
要点诠释：如图，如果''
A B＝AB，''
A C＝AC，''
B C＝BC，则△ABC△△'''
A B C.
二、全等三角形判定2——“边角边”
1.全等三角形判定2——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
要点诠释：如图，如果AB ＝''
A B，△A＝△'A，AC ＝''
A C，则△ABC△△'''
A B C. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，△B＝△B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
教学目标
学习内容
知识梳理
类型一、全等三角形的判定1——“边边边” 例1、如图，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，求证：△BAD ＝△CAE.
【答案与解析】
证明：在△ABD 和△ACE 中，
AB AC AD AE BD CE =??=??=?
△△ABD△△ACE （SSS ）
△△BAD ＝△CAE （全等三角形对应角相等）.
【变式】已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：△CAD ＝△DBC.
证明：连接DC ，
在△ACD 与△BDC 中
()AD BC AC BD
CD DC ?=?=??=?
公共边 △△ACD△△BDC （SSS ）
△△CAD ＝△DBC （全等三角形对应角相等）
类型二、全等三角形的判定2——“边角边”
例2、如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD ．
证明：如图，延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE ．
在△ABD 和△ECD 中，AD ＝DE ，△ADB ＝△EDC ，BD ＝CD ．
△△ABD△△ECD ．
△AB ＝CE ．
△AC ＋CE ＞AE ，
△AC ＋AB ＞AE ＝2AD ．即AC ＋AB ＞2AD ．
例3、已知，如图：在△ABC 中，△B ＝2△C ，AD△BC ，求证：AB ＝CD －BD ． 证明：在DC 上取一点E ，使BD ＝DE
例题讲解
△ AD△BC ，△△ADB ＝△ADE
在△ABD 和△AED 中， BD ＝DE ，AD ＝AD ．
△△ABD△△AED （SAS ）．
△AB ＝AE ，△B ＝△AED ．
又△△B ＝2△C ＝△AED ＝△C ＋△EAC ．
△△C ＝△EAC ．△AE ＝EC ．
△AB ＝AE ＝EC ＝CD—DE ＝CD—BD ． 【变式】已知，如图，在四边形ABCD 中，AC 平分△BAD ，CE△AB 于E ，并且AE ＝
21（AB ＋AD ），求证：△B ＋△D ＝180°.
证明：在线段AE 上，截取EF ＝EB ，连接FC ，
△CE△AB ，
△△CEB ＝△CEF ＝90°
在△CBE 和△CFE 中，
CEB CEF EC =EC EB EF =??∠=∠???
△△CBE△△CFE （SAS ）
△△B ＝△CFE
△AE ＝2
1（AB ＋AD ），△2AE ＝ AB ＋AD △AD ＝2AE －AB
△AE ＝AF ＋EF ，
△AD ＝2（AF ＋EF ）－AB ＝2AF ＋2EF －AB ＝AF ＋AF ＋EF ＋EB －AB ＝AF ＋AB －AB ，
即AD ＝AF
在△AFC 和△ADC 中
(AF AD FAC DAC AC AC =??∠=∠??=?
角平分线定义）
△△AFC△△ADC （SAS ）
△△AFC ＝△D
△△AFC ＋△CFE ＝180°，△B ＝△CFE.
A E D C
B
△△AFC ＋△B ＝180°，△B ＋△D ＝180°.
类型三、全等三角形判定的实际应用
例4、如图，公园里有一条“Z 字形道路ABCD ，其中AB△CD ，在AB ，BC ，CD 三段路旁各有一个小石凳
E ，M ，
F ，且BE ＝CF ，M 在BC 的中点.试判断三个石凳E ，M ，F 是否恰好在一条直线上？为什么？
证明：△AB 平行CD （已知）
∴∠B ＝∠C （两直线平行，内错角相等）
∵M 在BC 的中点（已知）
∴BM ＝CM （中点定义）
在△BME 和△CMF 中
BE CF B C BM CM =??∠=∠??=?
∴△BME ≌△CMF （SAS ）
∴∠EMB ＝∠FMC （全等三角形的对应角相等）
∴∠EMF ＝∠EMB ＋∠BMF ＝∠FMC ＋∠BMF ＝∠BMC ＝180°（等式的性质）
∴E ，M ，F 在同一直线上
一、选择题 1. 如图，已知AB ＝AC ，D 为BC 的中点，结论：△AD△BC ；△AD 平分△BAC ；△△B ＝△C ；△△ABC 是
等边三角形.其中正确的是（ ）.
A.△△
B. △△
C. △△△
D. △△
2．如图，是的中线，、分别是和延长线上的点，且，连接、，
下列说法：△；△ 和的面积相等；△；△ △，其中正确的有（ ）．
A.1个
B.2个
AD ABC ?E F AD AD DE DF =BF CE CE BF =ABD ?ACD ?//BF CE BDF ?CDE ?综合题库
C.3个
D.4个
3. AD为△ABC中BC边上的中线, 若AB＝2, AC＝4, 则AD的范围是( )
A .AD＜6 B. AD＞2 C. 2＜AD＜6 D. 1＜AD＜3
4．如图，AB＝DC，AD＝BC，E、F是DB上两点，且BF＝DE，若△AEB＝120°，△ADB＝30°，则△BCF ＝（）．
A.150°
B.40°
C.80°
D.90°
5. 根据下列条件能唯一画出△ABC的是（）
A.AB＝3，BC＝4，AC＝8
B.AB＝4，BC＝3，△A＝30°
C.AB＝5，AC＝6，△A＝45°
D. △A＝30°，△B＝60°，△C＝90°
6. 如图，在△ABC中，△A＝50°，△B＝△C，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，并且BD＝CE，BE＝
CF，则△DEF等于（）
A.50°
B.60°
C. 65°
D. 70°
二、填空题
7. 如图，AB＝CD，AC＝DB，△ABD＝25°，△AOB＝82°，则△DCB＝_________.
8. 如图，△ABC是三边均不等的三角形，DE＝BC，以D、E为两个顶点画位置不同的三角形，使所作的三
角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画个.
9. 如图，已知AE＝AF，AB＝AC，若用“SAS”证明△AEC△AFB，还需要条件.
10. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分，则图中全等三角形共有_____对.
11. 如图所示，BE△AC于点D，且AD＝CD，BD＝ED，若△ABC＝54°，则△E＝°.
AA BB的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），如图，若测得12. 把两根钢条','
AB＝5厘米，则槽宽为厘米．
三、解答题
13. 如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，△ABC
＝△EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．
14. 如图, ∠B ＝∠C, BD ＝CE, CD ＝BF 。求证: ∠EDF ＝ 90?－
2
1∠A
15. 已知：如图，BE 、CF 是△ABC 的高，且BP ＝AC ，CQ ＝AB ，求证：AP△AQ.
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】C
【解析】由SSS 证全等可得①②③是正确的.
2. 【答案】Ｄ；
3. 【答案】D ；
【解析】用倍长中线法；
4. 【答案】D ；
【解析】证△ABE△△CDF ，△ADE△△BCF ；
5. 【答案】C ；
【解析】A 不能构成三角形，B 没有SSA 定理，D 没有AAA 定理.
6. 【答案】C ；
【解析】证△DBE ≌△ECF ，△DEF ＝180°－△DEB －△FEC ＝180°－△DEB －△BDE ＝
△B ＝
180502
?-?＝65°. 二.填空题
7. 【答案】66°； 【解析】可由SSS 证明△ABC ≌△DCB ，∠OBC ＝∠OCB ＝
82412
?=?，所以△DCB ＝ △ABC ＝25°＋41°＝66°
8. 【答案】4；
【解析】在DE 的两侧可以各画2个.
9. 【答案】∠EAB ＝∠FAC ；
【解析】答案不唯一.
10.【答案】4； 【解析】△AOD ≌△COB ，△AOB ≌△COD ，△ABD ≌△CDB ，△ABC ≌△CDA.
11.【答案】27；
【解析】可证△ADB ≌△CDB ≌△CDE.
12.【答案】5；
三.解答题
13.【解析】AE ＝CD ，并且AE△CD
证明：延长AE 交CD 于F ，
△△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形
△AB ＝AC ，BD ＝BE
在△ABE 和△CBD 中
90AB BC ABE CBD BE BD =??∠=∠=???=?
△△ABE△△CBD （SAS ）
△AE ＝CD ，△1＝△2
又△△1＋△3＝90°，△3＝△4（对顶角相等）
△△2＋△4＝90°，即△AFC ＝90°
△AE△CD
14.【解析】证明：在△ABC 中，△B ＝△C ，
△△B ＝90?-12
△A 在△DBF 和△ECD 中
BD CE B C BF CD =??∠=∠??=?
△△DBF△△ECD （SAS ）
△△BFD ＝△CDE
△△EDF ＝180°－△BDF －△CDE ＝180°－（△BDF ＋△BFD ）＝△B ＝90?－
12
△A . 15.【解析】证明：△BE△AC ，CF△AB （已知）
△△ACF ＋△BAC ＝90°，△ABE ＋△BAC ＝90°，（三角形内角和定理）
△ACF ＝△ABE （等式性质）
在△ACQ 和△PBA 中 △??
???=∠=∠=BP AC ABP ACF AB CQ
△△ACQ△△PBA （SAS ）
△△Q ＝△BAP （全等三角形对应角相等）
△CF△AB （已知）
△△Q ＋△QAF ＝90°，（垂直定义）
△△BAP ＋△QAF ＝90°，（等量代换）
△AP△AQ.（垂直定义）