数学思维训练的基本方法
摘要................................................................... .1
1、引言 (1)
2、观察是数学活动的开始，是数学思维训练的基础 (1)
2、1 创设多种情境培养学生的观察能力 (1)
2、2 采用观察法解决问题 (3)
3、尝试是数学活动的实验，也是思维训练的常用方法.............. . (4)
3、1 开始尝试学习 (5)
3、2 尝试解决数学问题 (7)
4、类比是数学活动的桥梁，也是思维训练的必经之路 (8)
4、1 类比思想在数学学习中的应用 (8)
4、2 数形结合思想在数学论证中的应用 (10)
5、想象是数学活动的创意，也是思维训练的有效途径 (10)
6、结束语 (11)
参考文献 (12)
数学思维训练的基本方法
--------------我要的不是答案，而是你的思维过程----------------
摘要：心理学家与哲学家把思维定义为：人脑对客观事物的本质属性和事物之间内在联系的规律性所做出的概括与间接的反应。通过观察、尝试、推理和想象四种方法对思维进行训练，有助于我们形成一个良好的逻辑思维，把思维运用到日常学习生活中，以便于解决数学问题。
关键词：本质属性；内在联系；思维应用。
1、引言
思维是人类最基本的一种资源，也是一种复杂的心理现象。思维就是人脑内形成的一种在解决实际问题时头脑中形成的一系列反应，以便于我们解决面对的实际问题。爱因斯坦就曾说过：“思维世界的发展，在某种意义上说，就是对惊奇的不断摆脱。” 在当今学校里，许多学生学习数学都有一个习惯，那就是遇到问题先找公式，找到公式，把已知条件往里一代入，剩下的步骤就是计算，计算完就完事了，根本不会动脑去思考这其中的原因是什么，也不会进行总结和归纳。所以现在的学生学习数学就变成了记公式、记公理，谁记得公式和公理多，记得熟练，谁的数学成绩就可以名列前茅。而这样的学习方式，导致学生对公式不会表达，不理解。在头脑中没有所有的知识点都是一盘散沙，没有形成一个连贯的数学知识体系，没有形成相对应的数学思维。所以当他们只要一遇到拓展性的题型、老师没有讲过的题型就会变得束手无策，无从下手。那么怎样训练学生的思
维呢？我从以下四个方面进行讨论分析。
2、观察是数学活动的开始，是数学思维训练的基础
观察是数学活动的开始，是数学思维训练的基础。对于数学的学习，观察是数学学习的起点，也是直接了解数学材料，收集数学知识信息的基本途径。
在学习数学的过程中，首先我们要带有目的的去观察所提供的材料和已知条件，有步骤的去梳理已知材料和已知条件中的内在联系，有方法的去总结的出得到的结论和反思。学会有效的观察是进行数学思维训练，提高数学能力的最有效的方法。
2、1 创设多种情境培养学生的思维能力
例1比较长短（利用PPT展示）
图1 图2
通过直接观察，同学们争先恐后的答案都是选择是图1的长度更长，再观察一会儿之后，就会出现不一样的答案。那么这个不确定的答案又是怎样出现的呢？接下来我们来进行分析讨论。
通过转化还原模型图，我们发现有以下几种可能：
第一种如图所示：
观察发现：图1的长度大于图2。
第二种如图所示
观察发现：图1和图2长度相等。
第三种如图所示
观察发现：图2的长度大于图1。
经过观察讨论，又有人提出质疑了，可不可以比较高度呢？因此我们会发现比较高度，又会有出现不同的情况。因此我们可以发现，在大多数的时候答案往往是相对的，并不是绝对的出现。
综上所述：通过观察法我们可以培养学生的发散性的思维。通过观察可以引导学生创设多种情境去思考，培养自己从不同的角度去思考问题，并解决问题。使用观察法时：首先我们需要带有明确的目的性去思考问题，其次我们需要从类别上去区分题型、观察出本题的特殊性（没有要求只从一个表面去比较），最后我们需要大胆的猜想。使用观察法的时候就不再是仅仅去观察，同时在观察的时候我们还需要把对比、类比、联想等相结合，以此来保证观察的全面性。
2、2 采用观察法解决问题
例2 求证。
观察一：一般的观察是直接分析结果，该证明题很容易联想到我们已经学过的一元二次函数与x轴的交点问题。利用函数与X轴的交点关系，初步获得解题方向。问题可以转化为这个二次函数的二次项系数大于0，开口向上。若与x轴没有交点，则表示二次函数恒大于0。利用一元二次方程的判别式：，可以得出结论：。
观察二：通过观察发现，大于号左右两边的式子都是我们所熟悉的，我们可以把这两个式子转化为两个函数（）。这两个函数都是我们所熟悉的抛物线和正比例函数。画出这两个函数的图形，因为，所以我们可以通过函数图像观察得到：的函数图像一直在的函数图像上方。由此可以得出结论：。
观察三：可以采用分类讨论的方法来求证。
当时，，而，所以；
当时，，而，所以；
当时，左右两边同时除以可以得到：，利用不等式的性质可以得到该等式恒成立，所以。
综上所述：当为任意值时。
前面使用的三种观察的方法进行比较，观察一和观察二相对于观察三而言，套用公式，没有真正的去分析理解问题的本质，而第三种观察法对问题进行透析，具有一定的逻辑顺序，对数学逻辑思维的要求也需要更加严谨。那么也就会有人提出质疑，明明前面的两种方法更加的简单，为什么还要使用更复杂的方法呢？
因此我们发现：学习的目的不在于你是否能解出一个答案，重点在于解题过程和解题方法。解题在于训练你的思维，训练你的能力，所以我们当我们面对一个问题时，常常可以运用到不同的方法，一题多解。因此可以从不同的角度训练学生的思维。通过观察法我们可以培养学生的发散性的思维，在使用观察法时：首先我们需要带有明确的目的性去思考问题，其次我们需要从类别上去区分题型、观察出本题的全面结构，最后我们需要大胆的猜想。使用观察法的时候就不再是只去观察、分析，还需要与类比、综合等数学思想相结合，既要保证观察的全面性，同时也需要学会去推广数学问题。
3、尝试是数学活动的实验，也是思维训练的常用方法
“学生能尝试，尝试能成功，成功能创新”是邱学华尝试教学理论的核心。自
20世纪60年代开始酝酿思考，到80年代正式启动教学实验，邱学华对“尝试
教学”进行了长达四十多年的研究与实践。从“学生能够在尝试中学习”到“学生能尝试、尝试能成功、成功能创新”观点的提出，尝试教学从无到有，从实验到理论，在中小学产生了重要影响。
3、1开始尝试学习
下面通过进行实例分析，在数学问题中的使用使用尝试法对数学思维的一个训练：例3 是否存在质数、，使得关于的一元二次方程有有理数根？
首先尝试解题:假设存在质数、，使得关于的一元二次方程有有理数根。
当时，，因为为质数，所以不存在；
当时，一元二次方程进行转化得: ；
分析已知条件：和都是质数，是有理数（分数和整数）。
假设是一个整数，可以得到：和都是整数并且不能进行约分。
因此：，
总结：和都是整数，并且还都是质数。
质数有：2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 61 67 71 73 79 83等。
通过进一步的观察发现当是奇数的时候，是一个偶数，那么就一定不是质数。所以我们可以得到答案：是一个偶数并且还是一个质数。2是唯一的一个既是
质数又是偶数的数。
所以
进行检验：当；
方程：
解得方程的两根为和
这时你会发现：怎么与我们假设的条件相矛盾呢？出现矛盾时表示假设是不成立的，但是又是符合题意，求出方程的有理数根。那么这个答案到底是对还是不对呢？接下来我们进一步的探究尝试。
运用反证法，先假设存在质数、，使得关于的一元二次方程有有理数根，则判别式为完全平方。
令，其中n是一个非负整数，
则
由于，且与同奇偶，所以和同为偶数。因此有以下几种可能情形：
① 消去n，得到，根据p，q同为质数，可以得到：；符合题意要求。
② 消去n，得到，根据p，q同为质数，可以得到：，；不合题意，舍去。
③ 消去n，得到，根据p，q同为质数，可以得到：；符合题意要求。
④ 消去n，得到，因为p，q同为质数，所以不合题意，舍去。
⑤ 消去n，得到，根据p，q同为质数，可以得到：，；不合题意，舍去。
总结：当时，方程为，解得方程的两个根分别是和。
综上所述：存在满足题设的质数，。
最先开始的尝试性解题，其过程是没有以任何的逻辑理论作为每一个过程的依据，所以最终求得的答案有一定的真实性可却又存在一定的矛盾。虽然我们不能把这种尝试的结果当做是解题方法，但却可以作为我们头脑中的解题过程，可以当做我们在解决数学问题时的一条经验。因此你会发现：数学学习，注重的不是一个结果，而在于你的解题方法，解题过程。学习数学就是一个不断尝试、不断的积累经验的一个过程。只有在学习的过程中不断的探索，积极的尝试，才能在这一过程中占据主体地位，才能充分的调动学生积极主动的思考，训练学生的数学思维。只有敢于尝试，敢于探索，积极思考才能更好的学习数学，学习知识。
3、2通过数学学习，尝试解决数学问题。
例4已知m，n，p为正整数，m<n.设A（-m，0），B(n，0)，C(0，p),O为坐标原点。若OA2+OB2+OC2=3(OA+OB+OC).
（1）证明；
（2）求图象经过A，B，C三点的二次函数的解析式。
（1）证明: 通过分析题意可以转化成直角三角形:
在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，OC⊥AB,OA=m，OB=n，OC=p，可知： ,
即
式可以得到: 式和 结合
进一步可以得到：，即。
（2）由问题（1）的结论：，
可以转化为：m、n是关于的一元二次方程的两个不等实根，所以根的判别式，解不等式得到：
又因为题中已告知：m、n、p为正整数，m<n，
所以：
则：A:(-1，0)，B:(4，0)，C：（0，2）
设过A、B、C三点的二次函数，把C点坐标代入方程可求得，因此：过A、B、
C三点的二次函数解析式为。
4、类比是数学活动的桥梁，也是思维训练的必经之路
4、1类比思想在数学学习中的应用
类比思想是指比较两个或两类以上事物之间的异同，在人们头脑中进行整理分析的方式。在高中的时候我们学习了等差数列和等比数列，看到概念我们知道一个是是等差，一个是等比，在学习之前我们就要引导学生思考，这两者之间是否有异同之处呢？
在学习等差数列时，我们知道了等差数列是指：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。因此在学习等比数列时，运用类比思想，我们可以初步的猜测等比数列的概念可能为：一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。通过证实发现我们的猜测是正确的。在这个学习的过程中可以得到：通过类比的方式学习，不仅可以训练了学生观察分析问题的能力，还在这一过程中让学生明白了数学学习是息息相关的。
类比推理是根据两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同从而进行推理归纳出他们之间的相似之处。在数学这门科学中，老师最希望学生能学会的就是“举一反三”。在我们的学习过程中，你会发现，每一个知识点之间都是一种存在紧密联系的关系的。
例5 数列{ }中数列{ }是公比为的等比数列。
（1）求使成立的的取值范围；
（2）求数列{ }的前2n项的和。
解：（1）因为：数列是公比为的等比数列，
所以：，
又因为：，即，
所以：（），
解得：，
（2）因为数列是公比为的等比数列，得，这表明数列的所有奇数项成等比数列，所有的偶数项成等比数列，且公比都是，有，所以：
当时：
当时：
通过类比推理，可以发现两个{ }与数列{ }之间存在共通之处，这就是我们在解题中通过一定的推理可以发现，推理是解决数学问题的关键，也是我们的训练数学思维的必经之路。类比是一种常见而主要的一种数学学习的方式，通过运用适当数学类比思想，你在解题时可以根据已知一步步的类比、推理得到目标答案，也可以把以前学到的知识、方法和理论迁移到新事物中，从而获得解决新问题的方法。在学习数学的过程中，把所学的知识点联系起来，对于学生而言是一个比较困难的事。这时就需要通过老师设计展示给学生看，学生通过学习这种思想方法，学会自己把各个知识点建立起知识网络。
4、2数形结合思想在数学论证中的应用
例6 已知，求证。
分析：给的已知条件和需要求证的含有两个未知数，用常规的方法不好控制的取值范围，运用数与形的类比，联想到三角函数定理。
因为：；
则可设，其中，；
所以：；
因为，所以；
又因为：；
所以：，；
所以：。
在解题过程中，我们经常会用到数形结合的方法，以“形”助“数”，由“数”思“形”，优势互补，利用图式与数形结合解题，可以培养学生解题的技巧，在解题的过程中训练学生的发散性思维，为进一步训练学生的创新思维打下基础。
5、想象是数学活动的创意，也是思维训练的有效途径
学习数学的核心是学习数学思维的活动，培养学生良好的思维是数学教学的重要任务之一。培养学生科学的解题思路，可以使学生在学习中发现问题，解决问题，寻找解决问题创新的方法。
在学生进入初中学习了正数和负数时，学生初步的对数有了一定的认识，在学习平方根时，老师会一再的强调被开方数的取值范围一定会大于等于0，因为只有在大于等于0的情况下才会有平方根。但世界著名科学家贝尔纳曾说：“妨碍人们创新的最大障碍，并不是未知的东西，而是已知的东西。”思维定式顽固的盘踞在人们的头脑中，使人们永远在创新的门外徘徊。法国笛卡尔却打破了这一定式的顽固思维，他就认为存在一个数的平方会等于一个负数。即存在求得，引入了虚数，在当时数学届引起一片困惑，很多的数学家都不承认虚数。但也是有少数的数学家承认虚数，德国的数学家莱布尼茨曾说过“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所它大概是存在于虚妄两届中的两栖物”，瑞士数学大师欧拉说：“一切形如，习得数学物质的数都是不可能有的，想象的数，因为它们所表示的数是负数的平方根。对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。”然而真理总是经的住时间的考验。在现在，虚数已经进入我们数学的学习中，还应用于生活。例如虚数为机翼上升力的基本定理起到了重要作用，为解决堤坝渗水的问题，为建立巨大水电站提供了重要的理论依据，在我们当今社会虚数越来越显示出它的重要性。
6、结束语
数学思维活动贯彻于整个数学学习活动过程中，思维是一种看不见摸不着的东西，是我们在平时的学习生活中一点一滴累计起来的。数学思维在数学学习中发挥中至关重要的作用，数学的学习其实就是对数学思维的锻炼。数学思维虽说我们无法真实的表示具体是什么，是以怎样的形态存在，但却是至关重要的。学生养成一个良好的思维，有助于数学的学习，同样也其他学科的学习。
参考文献
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[4]百科科学词条.“科普中国”中“尝试教学法”[DB]2016.06
[5]李翠.《开拓进取的创新思维》[M].花山文艺出版社，2013.5
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[7]邓凯主编.《初中数学核心思想分析》[M]浙江大学出版社，2013.02
[8]叶立军主编.数学方法论[M].浙江大学出版社，2008.06
[9]牛胜玉.《数学知识大全》[M].湖南师范大学出版社，2014.02
[10]薛金星.《初中数学教材全解》[M]陕西人民教育出版社，2017.09
The basic method of mathematics Thingking training
Abstract: Psychologists and philosophers have thought is defined as: the innate nature of the human brain to objective things and things of the inner link between regularity of generalization and indirect response. Through the observation,