2013年第一次中考适应性测试
数学试题
答卷时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1．本试卷的选择题和非选择题都在答题纸上作答，不能．．
答在试卷上． 2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号用0.5毫米黑水笔填写在答题纸对应位置上．
3．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．
4．非选择题必须在指定的区域内，用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，不能超出指定区域或在非指定区域作答，否则答案无效．
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有．．
一项．．
是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上． 1．－2的倒数是（ ★ ）
A ．－12
B ．2
C ．1
2
D ．±2
2．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米等于0.000 002 5米，把0.000 002 5用科学记数法表示为（ ★ ） A ．6
2.510? B ．5
0.2510
-? C ． 62.510-? D ．7
2510-?
3．如图所示，下列各式正确的是（ ★ ） A ．∠A ＞∠2＞∠1 B ．∠1＞∠2＞∠A C ．∠2＞∠1＞∠A D ．∠1＞∠A ＞∠2
4．若x ，y 为实数，且0)1(22
=++-y x ，则y x - A .1 B .0 C .2 D .3
5．下列电视台图标中，属于中心对称图形的是（ ★ ）
A .
B .
C .
D .
6．某商场对上周某种品牌的女装的销售情况进行了统计，如下表所示：
经理决定本周进女装时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（ ★ ） A ．平均数 B ．中位数
C ．众数
D ．方差
7．若n （0n ≠）是关于x 的方程2
20x m x n ++=的根，则m ＋n 的值为（ ★ ） A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2
8．如图，AB 是半圆O 直径，半径OC ⊥AB ，连接AC ，∠CAB 的平分线AD 分别交OC
于点E ，交BC ︵
于点D ，连接CD 、OD ，以下三个结论： ①AC ∥OD ；②AC ＝2CD ；③线段CD 是CE 与CO 的 比例中项，其中所有正确结论的序号是（ ★ ） A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．①②③
9．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示）．对应的两条抛物线关于y 轴对称，AE ∥x 轴，AB ＝4cm ，最低点C 在x 轴上，高CH ＝1cm ，BD ＝2cm ．则右轮廓线DFE
A ．2
)3(4
1+=
x y B ．2
)3(41--=x y C ．2
)3(4
1+-=x y
D ．2)3(4
1-=x y
10．在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，2）．延长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点A 2，作正方形A 2B 2C 2C 1，…，按这样的规律进行下去，第2013个正方形的面积为（ ★ ）
A ．2012
235?
??
??? B ．2012
495?
?
?
???
C ．2013
235?
?
?
???
D ．2013
495?
?
?
???
O
A
B
C
D
E
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上．
11．（1）计算： =-3
2
)(ab ★ ； （2）化简：
x
x
x x 1246
93
2-+ （)0>x ＝ ★ ．
12．如图，直线l 1∥l 2， ∠1＝40°，∠2＝75°，
则∠3＝ ★ °．
13．如果实数x ，y 满足方程组???=-=+1
224y x y x ，
那么x 2－y 2＝ ★ ．
14．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，
已知CD ＝2，AC ＝3， 则sin B 的值是 ★ ．
15．一个不透明的口袋中，装有红球6个，白球9个，黑球3个，这些球除颜色不同外没
有任何区别．现从中任意摸出一个球，要使摸到黑球的概率为14
，需要往这个口袋再
放入同种黑球 ★ 个．
16．如图，已知过D 、A 、C 三点的圆的圆心为E ，过
B 、E 、F 三点的圆的圆心为D ，如果∠A ＝63 o，那么∠B ＝ ★ o．
17．为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射
定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B ）8.4米的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得D E ＝2.4米，观察者目高CD ＝1.6米，则树（AB ）的高度为 ★
米．
l 2
l 13
2
1
A
B C
D
18．如图所示，过y 轴正半轴上的任意一点P ，作x 轴的平行线，分别与反比例函数
x
y x y 24=
-
=和的图象交于点A 和点B ，若点C 是x 轴上任
意一点，连接AC 、BC ，则△ABC 的面积为 ★ ．
三、解答题（本题共10小题，共96分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答． 19．（本小题满分10分） （1）计算：2
1
-－tan60°＋(5－1)0
（2）解不等式
31-x ≥
2
x －1，并把它的解集在数轴上表示出来．
20．（本小题满分8分）
先化简2
2)1
1
1
1(
2
-÷
+--x
x x x
，1，－1中选取一个你认为合适．．
的数作为x 的值代入求值．
21．（本小题满分8分）
如图，有四条互相不平行的直线L 1、L 2、L 3、L 4
所截出的八个角．请你任意选择其中的三个角（不可选择未标注的角），尝试找到它们的关系，并选择其中一组予以证明．
22．（本小题满分8分）
某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染多少台电脑？
23．（本小题满分9分）
已知，如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的角平分线AD 交BC 边于D ． （1）以AB 边上一点O 为圆心，过A ，D 两点作⊙O （不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若（1）中的⊙O 与AB 边的另一个交点为E ，半径为2，AB ＝6，求线段AD 、AE 与劣弧DE 所围成的图形面积．（结果保留根号和π）
E
D C
B A
O
24．（本小题满分8分）
甲、乙、丙、丁四位同学进行一次羽毛球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛．（1）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率；
（2）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率。
25．（本小题满分9分）
如图，已知OA ⊥OB ，OA ＝4，OB ＝3，以AB 为边作矩形ABCD ，使AD ＝a ，过点D 作DE 垂直OA 的延长线且交于点
E ．（1）求证：△OAB ∽△EDA ；
（2）当a 为何值时，△OAB 与△EDA 全等？请说明理由；并求出此时B 、D 两点的距离．
26．（本小题满分10分）
小强和爸爸上山游玩，两人距地面的高度y （米）与小强登山时间x （分）之间的函数图象分别如图中折线OAC 和线段DE 所示，根据函数图象进行以下探究：
信息读取：（1）爸爸登山的速度是每分钟 米；（2）请解释图中点B 的实际意义； 图象理解：
（3）求线段DE 所表示的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （4）计算并填空：m ＝ ； 问题解决：
（5）若小强提速后，他登山的速度是爸爸速度的3倍，问小强登山多长时间时开始提速？此时小强距地面的高度是多少米？
27．（本小题满分12分）
已知：如图1，△OAB 是边长为2的等边三角形，OA 在x 轴上，点B 在第一象限内；△OCA 是一个等腰三角形，OC ＝AC ，顶点C 在第四象限，∠C ＝120°．现有两动点P 、Q 分别从A 、O 两点同时出发，点Q 以每秒1个单位的速度沿OC 向点C 运动，点P
以每秒
3个单位的速度沿A →O →B 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止． （1）求在运动过程中形成的△OPQ 面积S 与运动时间t 之间的函数关系，并写出自变量t 的取值范围；
（2）在OA 上（点O 、A 除外）存在点D ，使得△OCD 为等腰三角形，请直接写出．．．．所有符合条件的点D 的坐标；
（3）如图2，现有∠MCN ＝60°，其两边分别与OB 、AB 交于点M 、N ，连接MN ．将∠MCN 绕着C 点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M 、N 始终在边OB 和边AB 上．试判断在这一过程中，△BMN 的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．
28．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系中，直线3342
y x =
-
与抛物线2
14
y x b x c =-
++交于A 、B 两
点，点A 在x 轴上，点B 的横坐标为－8． （1）求该抛物线的解析式；
（2）点P 是直线AB 上方．．的抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为C ，交直线AB 于点D ，作PE ⊥AB 于点E ．
①设△PDE 的周长为l ，点P 的横坐标为x ，求l 关于x 的函数关系式，并求出l 的最大值；
②连接P A ，以P A 为边作如图所示一侧的正方形APFG ．随着点P 的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F 或G 恰好落在y 轴上时，求出对应的点P 的坐标．
图1
图2
2013年中考第一次适应性测试数学试题
参考答案与评分标准
一、选择题
1、A
2、C
3、B
4、D
5、D
6、C
7、A
8、C
9、D 10、B 二、填空题
11．（1）6
3b a -；（2）x 3 12．65° 13．2 14．
4
3 15．2
16．18° 17．5.6 18．3 三、解答题 19．解：（1）原式＝2
1—3＋1 …………………………3分
＝
2
3—3 …………………………5分
（2）原不等式化为2（x －1）≥3x －6． …………………………6分
2x －2≥3x －6． …………………………7分
x ≤4． …………………………………8分
不等式的解集在数轴上表示如下：
…………………………………10分
20．解：原式＝
x
x x x x )
1)(1(2)1)(1(2-+?
-+ ……………………………4分
＝x
4 ……………………………6分
答案不惟一，取x
4= ……………………………8分
21．解：找到1组给1分，找到4组及以上给4分 ……………………………4分 如?=∠+∠+∠360642，?=∠+∠+∠180751，752∠+∠=∠，813∠+∠=∠ 选择其中一组予以正确的证明，证明略 ……………………………………………8分
22．解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x 台电脑 …………………………1分
依题意得：1(1)81x x x +++=， …………………………4分
解得 12810x x ==-，（舍去）， …………………………6分 ∴ 8x =． …………………………7分 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台． …………………………8分
23．解：（1）如图，作AD 的垂直平分线交AB 于点O ，O 为圆心，OA 为半径作圆。
……………………………………………………………2分
判断结果：BC 是⊙O 的切线． …………………………………………3分 连结OD ． ∵AD 平分∠BAC ∴∠DAC =∠DAB ∵OA =OD ∴∠ODA =∠DAB ∴∠DAC =∠ODA …………………………………………4分 ∴OD ∥AC ∴∠ODB =∠C …………………………………………5分 ∵∠C =90o ∴∠ODB =90o 即OD ⊥BC
∵OD 是⊙O 的半径 ∴ BC 是⊙O 的切线。…………………………………6分 （2）如图 ∵r =2 ∴OB =4 ∴∠OBD =30o，∠DOB =60o ∵S △ODA =31322
1=?? …………………………………………7分 S 扇形ODE =
ππ3
22360
602
=?? …………………………………………8分
∴S 阴影部分=π3
23+ …………………………………………9分
24．（1）画树状图（或列表如下）：
…………………………………………3分 ∴ 共有12个等可能的结果，其中恰好是甲乙的占2个 ∴ P （甲乙）=
21126
= …………………………………………… 5分
（2）P （乙）=13 ……………………………………… 8分
25．（1）证明：∵OA ⊥OB ，∴∠BAO 与∠OBA 互余 …………………………… 1分
又∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90o ，
∴∠DAE 与∠BAO 互余，∴∠OBA ＝∠DAE ， …………………………… 2分 ∵OA ⊥OB ，DE ⊥OA ，∴∠BOA ＝∠DEA ＝90o …………………………… 3分 ∴△OAB ∽△EDA ． ……………………………4分 （2）解：在Rt △OAB 中，AB ＝5432
2
=+， …………………………… 5分
由（1）可知∠OBA ＝∠DAE ，∠BOA ＝∠DEA ＝90o ，
∴当a ＝AD =AB =5时，△OAB 与△EDA 全等． …………………………… 7分 当a ＝AD =AB =5时，可知矩形ABCD 为正方形 …………………………… 8分 所以此时 BD
＝ …………………………… 9分
26．解：（1）10； …………………………1分 （2）图中点B 的实际意义是：
距地面高度为165米时两人相遇（或小强追上爸爸）； …………………………2分
甲乙丙
丁
甲乙丙丁甲乙丙丁丁丙
乙
甲
（3）∵ D （0，100），E （20，300）
∴线段DE 的解析式为110100(020)y x x =+≤≤ …………………………4分 （4）m ＝6.5 …………………………6分 （5）由图知
3001656.5
t --＝3×10 ∴t ＝11. …………………………7分
∴B （6.5，165），C （11，300），
∴直线AC 的解析式为y 2＝30x —30． …………………………8分 又∵线段OA 过点（1，15），直线OA 的解析式为y 3＝15x ……………………9分
由??
?-==30
3015x y x y 解得：??
?==30
2y x ∴A （2，30）
即登山2分钟时小强开始提速，此时小强距地面的高度是30米， …………………10分
27．解：（1）过点C 作CD ⊥OA 于点D ． ……………………………………1分
∵OC =AC ，∠ACO =120°，∴∠AOC =∠OAC =30°． ∵O C A C =，C D O A ⊥， ∴1O D D A ==．
在Rt O D C ?中，1co s co s 303
O D O C A O C
==
=∠?
………………………2分
①当203
t <<
时，O Q t =,3A P t =,23O P O A A P t =-=-；
过点Q 作Q E O A ⊥于点E ．
在R t O E Q ?中，∵30A O C ∠=?，∴12
2
t Q E O Q =
=， ……………………3分
∴2
1131(23)2
2
24
2
O P Q t S O P E Q t t t
?=
?=-?
=-
+．
即23142
S t t
=-+ ． ……………………………………………………………4分
②当
233
t <≤
时，
O Q t
=，32O P t =-． ……………………………………………………5分
∵60B O A ∠=?，30A O C ∠=?，∴90P O Q ∠=?．
∴2
113(32)2
2
2O P Q S O Q O P t t t t
?=
?=
?-=
-．
即2
32S t t
=-． …………………………………………………6分
故当203
t <<时，2314
2S t t
=-+
，当
23
3
t <≤
时，2
32
S t t
=
-
（2
）,0)3
或2(,0)
3 ……………………………………………8分
（3）B M N ?的周长不发生变化．
延长B A 至点F ，使A F O M =，连结C F ． ………………………………9分 ∵90,M O C F A C O C A C ∠=∠=?=，∴M O C ?≌F A C ?．
∴M C C F =，M C O F C A ∠=∠ …………………………………………10分
∴F C N F C A N C A M C O N C A ∠=∠+∠=∠+∠60O C A M C N =∠-∠= ． ∴F C N M C N ∠=∠． 又∵,M C C F C N C N ==．
∴M C N ?≌F C N ?．∴M N N F = ……………………………………11分 ∴B M M N B N B M N F B N ++=++AF BA OM BO ++-=B A B O =+4=． ∴B M N ?的周长不变，其周长为4 ……………………………………12分
28．解：（1）对于3342
y x =
-
，当y =0，x =2.当x =—8时，y =—
152
.
∴A 点坐标为（2，0），B 点坐标为15(8,).
2--
………………………………2分
由抛物线2
1
4y x b x c =-++经过A 、B 两点，得012,
15168.2
b c b c =-++???-=--+?
?
解得2
35135
..4
24
4
2b c y x x =-
=
∴=--
+
，
……………………………………4分
（2）①设直线334
2
y x =-
与y 轴交于点M 当x =0时，y =32
-
. ∴OM =
32
.
∵点A 的坐标为（2，0），∴OA =2.∴AM
5
.2=
……………………5分
∵OM ：OA ：AM =3∶4：5.
由题意得，∠PDE =∠OMA ，∠AOM =∠PED =90°，∴△AOM ～△PED . ……………6分 ∴DE ：PE ：PD =3∶4：5. ……………………………………………7分
∵点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点 ∴PD =y P -y D 2
13533()()4
4
2
4
2
x x x =--+
--=2
13444
x x --
+. …………………8分
∴2
1213(4)54
2
l x x =
--+2
31848.
5
5
5
x x =--
+
………………………………9分
…………………………………10分 ②当点G 落在y 轴上时
由△ACP ≌△GOA 得PC =AO =2，即2
13524
4
2
x x -
-
+
=，解得2
x =
，
所以122),2).2
2
P P
…………………………12分
当点F 落在y 轴上时，同法可得32
2
P ，42
2
P （舍
去）. …………………………14分
∴满足题意的点P 有三个，分别是
377(
22P -+
-+