极端值概率模型在金融风险度量领域内的应用
1. 引言
在过去的二三十年中，由于经济全球化、金融一体化、信息技术的发展、金融业管制的放松等原因，全球金融市场得到了迅猛的发展，全球范围内的汇率、利率、股票价格呈现高度的波动性。尤其是金融衍生工具诞生之后，大部分的大银行、证券公司和其他金融机构，都积极参与了与之相关的交易，使得金融机构所面临的风险进一步扩大，同时也更为复杂化。在这个大背景下，金融风险管理越来越受到人们的重视，如何有效地控制金融市场风险已成为金融机构和监管当局迫切需要解决的问题。
风险管理的基础和核心是风险的度量。对金融市场而言，就是研究当市场风险因子发生不利变化时金融资产组合价值损失的大小。为此，金融风险管理多采用定量分析技术，大量运用数理统计模型来识别、度量和监测风险。
VaR从根本上来说一个高分位数，其与收益率分布的尾部密切有关，传统上人们常常是以正态分布为假设来进行研究。但由于金融收益序列的复杂性，序列分布的中间部分特性往往与尾部特性不一致。此后的大量研究发现传统的方差一协方差方法、历史模拟方法、蒙特卡洛模拟方法在估计金融资产收益率的VaR值时是低效的。而且在实际的风险管理中，人们往往对金融资产收益率大起大落时的情况更为关心。
如何准确地测度极端风险下的VaR成为一个越来越紧迫的议题。传统方法的弊端决定了它们无法很好地解决这一问题。正因如此，只有引入新的理论与模型，才能更好地刻画出金融市场的极端风险。
2. 金融风险
2.1 金融风险概论
金融风险是一定量金融资产在未来时期内预期收入遭受损失的可能性。即与一般的风险相比，一方面，金融风险是针对资金借贷和经营带来的风险；另一方面，金融风险是一种投机风险，可能带来经济损失，也可以获得超额收益。对于金融经营，风险是一种客观存在，我们要做的，就是研究如何去控制风险，防范金融风险隐患。2.2 金融风险管理概论
金融风险管理是指各经济实体在筹集和经营资金的过程中，对金融风险进行识别、衡量和分析，并在此基础上有效地控制与处置金融风险，用最低成本即用最经济
合理的方法来实现最大安全保障的科学管理方法，管理对象仅限于资金筹集与经营过程中存在和发生的风险。
金融风险管理通过；消除和尽量减轻金融风险的不利影响，改善微观经济实体的经营管理，从而对整个宏观经济的稳定和发展起到促进作用。
2.3 金融风险度量
风险度量方法可大致归为两类：一类是度量风险与某一目标值之间的离散程度；另一类则是度量为了弥补潜在损失所需准备的资本或风险溢价。
第一类风险度量方法的典型代表就是以“均值—方差”为分析框架的资产组合选择理论。在该理论中，将均值视为收益水平的度量，方差（或标准差）视为风险水平的度量。正是得益于这一开创性的工作，现代金融学取得了惊人的成功。
第二类风险度量方法的典型代表就是目前已广泛应用于金融领域的VaR 技术。它是指在一定概率条件下（表示为α）的最大可能损失。假设风险X 的累积分布函数为()F x ，()VaR α可表述为，αα=≤)]V aR(Pr[X 。从统计学的角度看，VaR 就是累积概率α所对应的分位数。
3.风险价值（VaR ）
3.1 VaR 的基本原理
VaR 值就是指在某一特定的时期内，对给定的置信度、给定的资产或资产组合可能遭受的最大损失值。其数学定义为：()1t P P VaR δ??≤=- ，其中t P ?? 表示在t ?时间内，某资产的市场值的变化，δ为给定的概率。即：对某资产或资产组合，在市场条件下，对给定的时间区间和置信水平，VaR 给出了其最大可能的预期损失。也就是说，我们可以1δ-的概率保证，损失不会超过VaR 。
资产组合价值波动的统计测量，其核心在于构造组合价值变化的概率分布，基本思想仍然是利用资产价值的历史波动信息来推断未来情形，只是对未来价值波动的推断不是一个确定值，而是一个概率分布。令一种资产或一个投资组合的初始价值为0P ，收益率为R ，则期末的价值为()01P P R =+。令R 的期望值与波动性分别为μ和σ，在给定置信水平下，该投资组合的最小价值为()''01P P R =+，风险价值VaR 值定义为
相对损失，即()'VaR E P P =-，将P 与'P 代人，则()'0VaR P R μ=--。
3.2 VaR 的发展
VaR 最早是由 J ．P Morgan 的Till Guldimann 于上世纪80年代提出的，其后就被广泛地接受和使用，用于度量金融风险。VaR 的一个较为普遍的定义是一定时期内的最大损失，它使得实际损失超出这个值的概率小于预先设定的水平。1993年，30人小组(G-30)在建议5中强调了使用VaR 方法测度市场风险的重要性。VaR 的提出使得金融风险的量化成为可能，使风险管理发生了创新性的革命。其最大的优点在于测量的综合性，可以将不同市场因子、不同市场的风险集为一个数，较准确的测量由不同风险来源及其相互作用而产生的潜在损失，较好适应了金融市场发展的动态性、复杂性和全球整合性趋势。实际上VaR 可看作是一个分位数。假设资产的收益和损失服从某一分布函数F ，则VaR 可表示为：
()1VaR=1F α--
其中α一般选取0.05或0.01等较小的数。因此本质上说计算VaR 是一个统计问题。
由于传统的方法都存在着很大的缺陷，因此就需要引入新的方法与理论来更好地测度VaR 。
3.3 传统VaR 的不足
历史模拟法，该方法是基于历史数据的经验分布，它不需要对资产组合价值变化的分布做特定假设。该方法简单、直观、易于操作。但同时HS 法也有很多缺陷。具体表现在：第一，收益分布在整个样本时限内是固定不变的。如果历史趋势发生逆转时，基于原有数据的VaR 值会和预期最大损失发生较大偏离。第二，HS 法不能提供比所观察样本中最小收益还要坏的预期损失。第三，样本的大小会对VaR 值造成较大的影响。产生一个较大的方差。第四，HS 法不能作极端情况下的敏感性测试。
方差协方差方法：该方法计算简单，只需要估计每个资产组合的标准差和相关系数，就可以得到任意资产组合的VaR 值。然而，这种方法基于两个基本的假设：线性假设和正态假设。实际运用时，还要有零均值的假定， 量研究表明：①实际的收益率数据分布并不关于原点对称；②实际的收益率数据分布的尾部要比正态分布的厚。所以使用这种方法的结果是低估风险。
蒙特卡罗模拟法：由于蒙特卡罗模拟法能够较好地处理非线性问题，且估计精度
较高，随着计算杌的高速发展，该方法已得到越来越多的重视和使用，但该方法有两个缺陷：一是计算量太大，二是当维数高时，传统的抽样技术变得非常困难，使得蒙特卡罗模拟法难于实现。
4.极值理论
4.1极值理论的产生与发展
极值理论主要是针对极端现象的一种有力工具，由于其研究对象的不寻常性而具有特别的吸引力。作为一种对随机现象的研究，极值理论最早可追溯到20世纪早期，Dodd(1923)，Freehet(1927)，Fisher&Tippett(1928)是这一领域的先行者。
在1928年，Fisher 署 ClTippeR 提出了一个十分著名的定理，该定理对极值理论的发展有着十分重要的意义，它明确地指出了极值分布的三大类型。（Gumbel 分布、Frechet 分布、weibull 分布)
此后，R ．yon Mises(1936)提出了最大次序统计量收敛于极值分布的简单的充分条件；B ．Gnedenko(1943)给出了极值类型定理的严格证明，建立了严格的极值理论，并提出了极端次序统计量收敛的充分必要条件。为了便于统计应用Jenkinson(1955)给出了广义极值分布(GEV)，把上述三种分布用统一的形式表达出来：
()1exp 1,10x x G x γμμγγσσ??--?? ?=-++> ? ????? 极值理论的另一个分支是广义 Pareto 分布(GPD)。GPDi 扫 Pickands 在1975年首次提出，随后 Davison(1984)，Smith(1984，1985)，Van Montfort 和Writer(1985)做了进一步的研究。GPD 的形式如下：
()111,01exp ,0x G x x γμγγσμγσ?-???--+≠ ????=?-???--= ?????
如果假设高于某一阈值的事件发生的次数服从泊松分布过程，且满足POT 条件，那么可以利用GPD 分布去拟合高于阈值的超限分布。①因此只要取得适当的阈值，便可以用GPD 分布对超阈值进行研究。
之后有关极值理论的研究主要是沿着这两个分支，对参数的估计问题和极值理论
的应用问题展开的。极值分布的参数估计方法众多，有矩估计、极大似然估计、概率权矩估计、L矩估计、Bayes估计、自助法等等，出现了Hill估计、Pickands估计、Dekkers．Einmahl．Dehaan 估计等著名的估计量。
4.2 极值理论概论
极值理论是次序统计理论的一个分支，主要处理严重背离分布均值的统计数据，其基础是1943年 Gnedendo 建立的著名的极值定理。该定理认为极值的极限分布与本身的分布是独立的。Gunbel 于1958年对这一学科的研究作了系统的总结,从而形成了极值理论。极值理论在气象、水文、地震等领域应用广泛,近年来,大量把极值理论用于金融保险等领域的文章开始出现。从统计学意义上讲，极值就是指某个时期的随机过程的最大值和最小值，通常位于分布数据的尾部。
极值理论是测量极端市场条件下风险损失的一种方法，它具有超越样本数据的估计能力，并可以准确地描述分布尾部的分位数。它主要包括两类模型：BMM模型（Block Maxima Method）和POT模型（Peaks over Threshold)。这两类模型的共同点就是只考虑分布尾部的近似表达,并不是针对整个分布进行建模。
4.3 国内外实证研究
统计极值的理论研究以Fisher和Tippett最早,他们给出的关于最大顺序统计量标准化的广义极值分布极限理论奠定了经典极值理论的基础。极值理论的应用研究最早是在20世纪30年代,主要应用到材料科学、洪水分析、地震分析和降雨量分析等方面。其中 Gumbel 对极值理论的应用研究作出了重要贡献,他第一个将极值理论系统到应用到实践中,并引起了工程师和和统计学家的注意。
Longin(1996)考察了美国股票市场的极端变动，用纽约证券交易所1885．1990将近一个世纪的数据进行分析，研究表明美国股市收益率的尾部服从 Frechet 分布。从长期来看计算所得的结果是很稳定的，即使在大萧条时期，尾部的性态也没发生改变；从短期来看，每天，每周，每月的极值收益也是服从 Freehet 分布。他首次将极值理论给市场回报的极端变动建模，开辟了将极值理论用于风险管理的先河。
Lan—Chih Ho，Peter Burridge，John Cadle，Michael Theobald(2000)应用极值方法研究了处于亚洲金融危机中的六个亚洲国家和地区的股票市场，包括台湾、日本、韩国、泰国、马来西亚和印度尼西亚。他们在研究中采用了广义极值分布，首先考察1984年至1996年，把估计所得的VaR与传统方法进行了比较，接着分别对1996年，
1997年至1998年这两个时间区间用各种方法估计了VaR。结果发现当数据分布存在厚尾时，极值方法更适宜于VaR的估计，并且所有国家数据的尾部分布都服从Frechet 分布，但分布的参数会随着所选取的样本的时间段及长短而改变。如果银行和金融机构采用极值方法来计量市场风险，那为满足Basle协议要求所需要的资本会显著提高。 Longin 通过用历史模拟法、正态法、GARCH、EWMA 和极值方法对 S&P500和SBF 240指数的喇行计算和比较，总结了极值方法相对于其他传统方法的三大优势：第一，极值方法是基于参数估计的方法，能超越样本，对高分位数进行估计，而历史模拟法则由于样本容量的局限很难对高分位数作出准确的估计；第二，极值方法没有对收益率做出任何假设，让数据自己来展现尾部的性态，而在给定正态分布或其他分布的情况下，分布尾部的拟和很差；第三，极值方法着眼于极端事件，这些极端变化的风险明确地纳入了模型，而在GARCH、EWMA这些使用条件分布的方法中，大的出乎意料的市场冲击被忽略了。
Longin(2001)对美国证券市场上世纪70年代至90年代10次极端波动的研究；V砒ede Chavez．Demoulin，Paul Embrechts，Armill Roehrl(2002)对1996年8月2日至2001年lO月29日瑞士航空公司开盘价的极端变动的研究等，都显示了极值理论在分析金融风险上的较强能力。
在我国，对极值理论的介绍很少，有的只是外文文献的简单译文，少有专著和译著，对极值理论尚没有全面正确的阐述，在应用研究上，与国外的情况大致相同，也大都集中在地震、水文、气象等领域，金融风险的应用研究相对要晚得多。不过近几年，这一专题已成为热点。
朱国庆、张维、程博（2001）对股市收益厚尾性进行了研究 于极值理论利用门限峰值法 POT（Peaks over Threshold)方法以样本超限期望（The Sample Mean Excess Function)函数为工具,通过 GPD(Generalizde Pareto Distrbution ) 模型,对股市收益分布尾部进行拟合探讨。由此给出股市收益分布尾部估计，并求出了尾部分位点。朱国庆、张维（2000）依据极值理论利用GEV模型实证拟合了上海股市极值收益分布形式，通过 SHERMAN 最优拟合优度检验得出上海股市极值收益分布服从Frechet 分布。
5.总结
由于在金融时间序列的研究上，传统的VaR估计方法，包括历史模拟法、方差协
方差、蒙特卡罗方法，都不可避免地存在着一定的缺陷，低估了可能发生的潜在损失，EvT被引入到金融风险管理领域。研究这一议题的学者日益增多，我国国内也出现了不少这一方面的文章，其内容涉及到银行、保险、证券的多个方面，从内部的风险控制到外部的金融监管，从绩效评估到信息披露都显示极值理论的巨大威力。极值理论作为一种测度极端情况下在险价值的有力工具，有效地弥补了传统方法在高分位数估计上的不足。
虽然极值理论已越来越受到重视，但是毕竟有关这一问题的研究时间尚短，无论是在理论上还是在实践上都有不少问题没有解决。我们相信随着进一步的研究，极值方法无论是在理论上还是在实践上都会得以完善，这将有助于更好地测度和控制金融风险。这些研究方向不仅会受到更多学者的重视，也将会是本人进一步努力的方向。参考文献：
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