十、假设法
方法简介
假设法是对于待求解的问题，在与原题所给条件不相违的前提下，人为的加上或减去某些条件，以使原题方便求解。求解物理试题常用的有假设物理情景，假设物理过程，假设物理量等，利用假设法处理某些物理问题，往往能突破思维障碍，找出新的解题途径，化难为易，化繁为简。
赛题精析
例1 如图2—10—1所示，一根轻质弹簧上端固定，下端挂一质量为m 0的平盘，盘中有一物体，质量为m.当盘静止时，弹簧的长度比其自然长度伸长了L.今向下拉盘使弹簧再伸长△L 后停止，然后松手放开.设弹簧总处在弹性限度以内，则刚松开手时盘对物体的支持力等于（ ）
A ．(1+△L/L)mg
B ．(1+△L/L)(m+m 0)g
C ．△Lmg
D ．(△L/L)(m+m 0)g
解析 此题可以盘内物体为研究对象受力分析，根据牛顿第二定律列出一个式子，然后再以整体为研究对象受力分析，根据牛顿第二定律再列一个式子和根据平衡位置的平衡条件联立求解，求解过程较麻烦。若采用假设法，本题将变得非常简单。
假设题中所给条件△L=0，其意义是没有将盘往下拉，则松手放开，弹簧长度不会变化，盘仍静止，盘对物体的支持力的大小应为mg. 以△L=0代入四个选项中，只有答案A 能得到mg.由上述分析可知，此题答案应为A.
例2 如图2—10—2所示，甲、乙两物体质量 分别为m 1=2kg, m 2=3kg ，叠放在水平桌面上。已知 甲、乙间的动摩擦因数为μ1=0.6，物体乙与平面间
的动摩因数为μ2=0.5，现用水平拉力F 作用于物体
乙上，使两物体一起沿水平方向向右做匀速直线运动，如果运动中F 突然变为零，则物体甲在水平方向上的受力情况（g 取10m/s 2）
A ．大小为12N ，方向向右
B ．大小为12N ，方向向左
C ．大小为10N ，方向向右
D ．大小为10N ，方向向左 解析 当F 突变为零时，可假设甲、乙两 物体一起沿水平方运动，则它们运动的加速度可 由牛顿第二定律求出。由此可以求出甲所受的摩 擦力，若此摩擦力小于它所受的滑动摩擦力，则
假设成立。反之不成立。
如图2—10—2—甲所示。假设甲、乙两物体一起沿水平方向运动，则2—10—2—甲由牛顿第二定律得：
f 2=(m 1+m 2)a ① f 2=μN 2=μ2(m 1+m 2)
g ② 由①、②得：a=5m/s 2
可得甲受的摩擦力为f 1=m 1a=10N 因为f=μ1m 1=12N f 1 所以假设成立，甲受的摩擦力为10N ，方向向左。应选D 。 例3 一升降机在箱底装有若干个弹簧，如图2—10—3所示，设在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力，则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程中 （ ） A ．升降机的速度不断减小 B ．升降机的速度不断变大 C ．先是弹力做的负功小于 重力做的正功，然后是 弹力做的负功大于重力 做的正功 D ．到最低点时，升降机加速度的值一定大于重力加速度的值 解析 升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程，它受重力、弹簧弹力两个力作用。当重力大于弹力时速度继续增大，当重力等于弹力时速度增大到最大，当重力小于弹力时，速度开始减小，最后减为零，因而速度是先增大后减小，所以选项C 正确。 假设升降机前一运动阶段只受重力作用，做初速度为零的匀加速直线运动，它下降了h 高度，末速度为v ，则 v 2=2gh 后一运动阶段升降机只受弹力作用，做初速度为v 、末速度为零的匀减速直线运动，把弹簧压缩了x ，则 v 2=2ax 所以2gh=2ax 而x h mg kx x m kx hg m kx m F a 2,)2(22,20==+==∑即所以 因为,2,2,g m mg mg m mg kx a mg kx x h =->-=>>低即所以 所以选项D 也正确. 例4 一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹 角为θ=30°，如图2—10—4所示。一长为L 的绳（质量不计），一端固定在圆锥体的顶点O 处，另一端拴着一个质量为m 的小物体（可看做质点）。物体以速度v 绕圆锥体的轴线在水平面内做匀速圆周运动。 （1）当6 1gL v = 时，求绳对物体的拉力； （2）gL v 2 3 2= ，求绳对物体的拉力。 解析 当物体以某一速率绕圆锥体的轴线做水平匀面内的匀速圆周运动时，可能存在圆锥体对物体的弹力为零的临界状况，此时物体刚好与圆锥面接触但不发生形变。而当速率变大时，物体将脱离圆锥面，从而导致绳对物体的拉力大小和方向都要变化。因此，此题的关键是先求出临界状态下线速度的值。 以小物体为研究对象，假设它与圆锥面接触，而没有弹力作用。受力如图2—10—4—甲所示，根据运动定律得： Tcos θ=mg ① Tsin θ=θ sin 2 L mv ② 解得：6 3gL v = （1）因为v gL v <= 6 1所以物体m 与圆锥而接触且有压力，受力如图2—10—4—乙所示，由运动定律得 T 1cos θ+Nsin θ=mg ① T 1sin θ－Ncos θ=m θ sin 2 1L v ② 解得拉力：)133(6 1+=mg T （2）因为v gL v >= 2 3 2，所以物体m 脱离圆锥面，设绳子与轴线的夹角为?，受力如图2—10—4—丙所示，由运动定律得： ? ?sin sin 22 2L v m T = ① mg T =?cos 2 ② 解得绳子拉力：T 2=2mg 例5 如图2—10—5所示，倾角为α的斜面和倾角为β的斜面具有共同的顶点P ，在顶点上安装一个轻质小滑轮，重量均为W 的两物块A 、B 分别放在两斜面上，由一根跨过滑轮的细线连接着，已知倾角为α的斜面粗糙，物块 与斜面间摩擦因数为μ；倾角为β的斜面光滑， 为了使两物块能静止在斜面上，试列出α、β必 须满足的关系式。 解析 因题目中没有给出具体数值，所以 精糙斜面上物块的运动趋势就不能确定，应考虑两种可能。 令细线的张力为T ，假设物块A 有沿斜面向上运动的趋势时，对A 物块有 T －μWcos α=Wsin α 对B 物块有：T=Wsin β 两式联立解得：sin β=sin α+μcos α 同理，假设物块A 有沿斜面向下运动的趋势时，可解得 sin β=sin α－μcos α 因此，物块静止在斜面上时两倾角的关系为sin α－μcos α≤sin β≤sin α+μcos α 例6 如图2—10—6所示，半径为r 的铅球内有一半径为2 r 的球形空腔，其表面与球面相切，此铅球的质量为M ，在铅球和空腔 的中心连线上，距离铅球中心L 处有一质量为m 的小球 （可以看成质点），求铅球小球的引力。 解析 设想把挖去部分用与铅球 同密度的材料填充，填充部分铅球的质 量为M 1.为了抵消填充球体产生的引力， 我们在右边等距离处又放置一个等质量 的球体。如图2—10—6甲所示。 设放置的球体的质量为M 1， 则M M r M 7 181)2(34031== ?=πρ 填补后的铅球质量：M 0=M+M 1=8M/7. 则原铅球对小球引力为 ] )2/(1/2)[7/4()2(7/47/8)2(/22222 1201 0r L L GMm r L GMm L GMm r L m GM L m GM F F F --=--=--=-= 例7 三个半径为r 、质量相等的球放一在 一个半球形碗内，现把第四个半径也为r ，质量也 相等的相同球放在这三个球的正上方，要使四个球 都能静止，大的半球形碗的半径应满足什么条件？ 不考虑各处摩擦。 解析 假设碗的球面半径很大，把碗面变成平面。因为各接触面是光滑的，当放上第四个球后，下面的三个球会散开，所以临界情况是放上第四个球后，下面三个球之间刚好无弹力。把上面的球记为A ，下面三个球分别记为B 、C 、D ，则四个球的球心连起来构成一个正四面体，正四面体的边长均2r ，如图2—10—7所示。 设A 、B 球心的连线与竖直方向的夹角为α，设碗面球心为O ，O 与B 球心的连线与竖直方向的夹角为β，碗面对上面三个球的作用力都为F ，如图2—10—7—甲所示。先以整体为研究对象，受重力、碗面对三个球的弹力F ，在竖直方向上有 3Fcos β=4mg ① 再以B 球为研究对象，受重力mg 、碗面对B 球的作用力F 、A 球对B 的压力F N ，根据共点力平衡条件，有 ?? ?=+=α βα βsin sin cos cos N N F F F mg F 消去F N ，得： mg F F -= ββ cos sin tan ② ①、②联立，消去F 得： αβtan 4 1 tan = ③ 因为四个球的球心构成一个边长为2r 正四面体，如图2—10—7所示，根据几何关系，可以知道： 2 1)3 32( )2(223 32tan 2 22 2= -??= '-'='' = r r r O B AB O B O A O B α 代入③式得：2 41tan = β 于是碗面的半径为r O B r O B r BO R ++'=+' = +=ββ 2cot 1sin =7.633r 所以半球形碗的半径需满足R ≤7.633r. 例8 如图2—10—8所示，一根全长为L 、 粗细均匀的铁链，对称地挂在轻小光滑的定滑 轮上，当受到轻微的扰动，铁链开始滑动，当铁 链下降L 1(L 1≤L/2)的瞬间，铁链的速度多大？ 解析 在铁链下降时，只有重力做功，机 械能守恒。当铁链下降L 1时，如图2—10—8—甲所示，假设此位置是把左侧铁链下端AB=L 1段剪下来再接到右侧铁链的下端CD 处实现的。 设铁链的总质量为m ，铁链下降到L 1时，L 1段中心下降L 1高，所以重力做功 L mgL gL L L m W 2111== 根据机械能守恒定律：L mgL mv 2 1 221= 解得铁链的速度：12L L g v = 例9 如图2—10—9所示，大小不等的两个容器被一根细玻璃管连通，玻璃管中有一段水银柱将容器内气体隔开（温度相同），当玻璃管竖直放置时，大容器在上，小容器在下，水银柱刚好在玻璃管的正中间，现将两容器同时降低同样的温度，若不考虑容器的变化，则细管中水银柱的移动情况是 （ ） A ．不动 B ．上升 C ．下降 D ．先上升后下降 解析 只要假设水银柱不动，分析气体压强随温度的变化情况，就可判定水银柱怎样移动。 假设水银柱不移动，则两部气体的体积都不变，根据查理定律，有： . ,,,:C p p p p p T T p p T T p p T T p T T p p T p B A B A B B A A 水银柱向下移动故选所以由于有化简为? ??=??-?-= 例10 如图2—10—10所示，将一定量的水银灌入 竖直放置 的U 形管中，管的内径均匀，内直径d=1.2cm. 水银灌完后，两管听水银在平衡位置附近做简谐振动，振 动周期T=3.43s. 已知水银的密度ρ=1.36×104kg/m 3.试求水 银的质量m . 解析 题中水银做简谐振动，已知振动周期要求水银的质量m . 根据简谐振动的周期公式k m T π 2=，T 已知，关键是求出k . 简谐振动的物体受的回复力F=－kx ，找出F 与 x 的关系，求出k ，问题就可以求解. 如图2—10—10所示，设水银离开平衡位置的距离为xcm, 则回复力为 g x d F ρπ ??= 24 2 由回复力的大小F=k x ,得：g d x F k ρπ2 2 == 根据k m T π 2= 解得水银的质量 kg g d T k T m 914.388.9)1036.1()012.0()43.3(84422222 2=?????===πρπ 例11 热气球是靠加热气球内部空气排除部分气体而获得上升动力的装置，现外界气 体温度是15℃，密度为1.2kg/m 3,气球内、外气压相等，要用容积1000m 3的气球吊起200kg 的重物，必须把气球内的空气温度加热到多少才行？（取g=10m/s 2） 解析 加热气球内的气体时，气体被排出，质量减少，在浮力不变的情况下，使F 浮≥G 总时，热气球升空.这里出现了气体质量减小的变质量问题，为应用三大实验定律只有依靠假设法，在此，为应用等压变化规律，假设升温后排出去的气体与留在热气球内的气体状态相同，如图2—10—11所示。 初态体积V 1=V 0，末态体积V 2=V 0+△V 0 气体质量m=ρV 0=1.2kg/m 3×1000m 3=1.2×103kg F 浮=ρ空gV 0≥G 总=(m ′+m 物)g 代入已知数据：1.2×10×103≥(m ′+200)×10 得m ′≤1.0×103(kg) 其中m 是加热前热气球内空气质量，m ′为 加热后热气球内空气质量. △m=m －m ′=1.2×103kg －10×103kg=200kg 当密度相同时， 300200,m V m m V V V m m =' ?=??='?所以 对等质量、等压的气体应用盖·吕萨克定律 初态V=V 0=103m 3 T 1=273+15=288k 未态V 2=V 0+△V=1.2×103m 3 根据： 2 1 21T T V V = 解得加热后气体温度：T 2= 1 2 V V T 1=345.6K=72.6℃. 例12 0.2L 的氧气瓶内，装有4g 氧气，在室温为0℃时，瓶内氧气的压强是多少？ 解析 本题乍一看似乎缺少已知量，更无法利用理想气体状态方程，但当我们假设这些氧气的标准状态为初态时，则问题就可以解决了. 假设这些氧气的初态为标准状态，则有 K T atm p L V 27314.22324 111==?= 由已知该氧气的末状态为V 1=0.2L ， T 2=273K ，p 2未知， 由于T 1=T 2，所以根据玻意耳定律p 1V 1=p 2V 2 解得p 2=1.4atm 例13 如图2—10—12所示，用导热材料制成的两端开口的U 型管ABCD ，其中AB 高L 1=24cm,CD 高L 2=20cm ，截面积分别为S AB =1cm 2, S CD =2cm 2,开始时两管均有高h=16cm 的水银柱，现用两个橡皮帽将两个管口封闭，打开下方的阀门K ，有注射器从底部缓慢抽出水银，当其中的一个管内的水银被抽干时立即关闭阀门K.（已知大气压强为p 0=75cmHg ） （1）请你判断首先被抽干的是哪一管中的水银？ （2）另一只管中剩余的水银柱高度为多少？ 解析 求解这一类题时，应根据可解的情况 先做出必要的假设，然后按着所做出的假设进行推 理，在推理过程中，对所做假设做出否定或认同即 可求解. 假设左管内水银先被抽干，并设这时右管内剩余 水银柱的高度为x ,对左管内封闭气体用玻意耳定律有p 1V 1=p 1′V 1′ 可得cmHg S S p V V p 257524)1624(1111 =?-='=' 所以右管内气体压强为p 2′=(25－x )cmHg 再对右管内被封气体，根据玻意耳定律得： 75(20－16)S CD =(25－x )(20－x )S CD 整理得：x 2－45x +200=0 解得：x =5cm 或40cm （不合题意舍去） 在根据以上假设列的方程中，有满足题设的实数解，故所做假设成立，即左管内水银先抽干，且此时右管内剩余水银柱高度为5cm . 例14 如图2—10—13所示，正四面体 ABCD 各面均为导体，但又彼此绝缘，已知带 电后四个面的电势分别为?1，?2，?3，?4， 求四面体中心点的电势. 解析 保持四面体不动，假设按照一定 方式调换四个面上的电荷，即假设四个面的电荷 绕中心O 转动，结果会得到正四面体的四个面的若干带电模式，由于转动时并未改变各面电荷之间的相对位置，所以各种模式在中心O 点的电势?0都相同。现假设将四种模式叠加，则O 点电势应为4?0。另一方面，四处模式叠加后，正四面体的每个面的电势皆为?1+?2+?3+?4，这时正四面体构成一近似封闭的等势面，它所包围的空间（其中无电荷）就近似为一等势体，因此O 点的电势为?1+?2+?3+?4。 所以上分析得出：4?0=?1+?2+?3+?4 所以中心点的电势?0= 4 1 (?1+?2+?3+?4) 例15 有一半径为R 的不导电的半球薄壳，均匀带电，倒扣在x Oy 平面上，如图2—10—14所示，图中O 为球心，ABCD 为球壳边缘，AOC 为直径。有一电电为q 的点电荷位于OC 上的E 点，OE=r 。已知将此点电荷由E 点缓慢移至球壳顶点T 时，外力需要做功W （W>0），不计重力影响. （1）试求将此点电荷由E 点缓慢移至A 点外力需做功的正负、大小，并说明理由； （2）P 为球心正下方的一点，OP=R.试求将此点 电荷由E 点缓慢移至P 点，外力需做功的正负及大小， 并说明理由. 解析 （1）假设取另一完全相同的带电半球壳 扣在题给的半球壳下面，构成一个完整的地均匀带电球 壳，则球壳及其内部各点电势都相等，令U 表示此电势。 根据对称性可知，上下两个半球壳分别在圆面ABCD 上各 点引起的电势是相等的，再由电势叠加原理可知，当只有上半球壳存在时，圆面ABCD 上各点 的电势都应为完整球壳内电势的一半，即U/2，所以将电荷由E 点移至A 点的过程中，外力做功为零。 （2）对完整球壳，E 点与T 点等势，电势差为零。由电势叠加原理可知，若上半球壳在T 、E 两点形成的电势差为(U T －U E ),则下半球壳在T 、E 两点形成的电势差必为－(U T －U E ).已知W=q(U T －U E ).所以在下半球产生的电场中，q 由E 到T 外力做功必为－W.由对称性可知，在上半球壳产生的电场中，q 由E 到P 外力的功刀必为－W. 例16 无穷方格电阻丝网格如图2—10—15所示， 其中每一小段电阻丝的电阻均为r ，试求相邻两个格点 A 、B 间的等效电阻R AB . 解析 假设从A 点注入电流I ，根据对称性， 追踪一条支路，再根据欧姆定律可求出R AB . 假设电流I 从A 点流入，不从B 点流出，I 将 分流到无穷远处。据对称性，其中有 4 I 流经AB 段。 再假设电流I 不是从A 点流入，而是从无穷远处流向 B 点，从B 点流出，据对称性，其中也有I/4流经AB 段。现在假设电流I 从A 点流入，经过足够长的时间达稳定后，从B 点流出的电流也应为I ，经AB 段的电流为两个I/4的叠加，如图2—10—15—甲所示，即为 2I ，于是有U AB =(2 I )r.所以AB 间的等效电阻R AB =U AB /I=r/2. 例17 如图2—10—16所示，在半径为r 的圆柱形区域内，充满与圆柱轴线平行的匀强磁场，一长为3r 的金属棒MN 与磁场方向垂直地放在磁场区域内，棒的端点MN 恰在磁场边界的圆周上，已知磁感应强度B 随时间均匀变化，其变化率为 t B ??=k ，求MN 中产生的电动势为多大？ 解析 由题可知，MN 上有感应电动势，这种感应电动势无法直接计算。但如果注意MN 的长为3r ，结合题意，可虚构两根与NM 完全相同的金属棒与MN 棒一起刚好构成圆的内接正三角形，如图2—10—16—甲所示.由法拉第电磁感应定律，这一回路中的感应电动势 .34 3 2kr S t B t ???=??= φεMN 上的感应电动势是整个回路中电动势的1/3，所以 24 331 kr MN = =εε 针对训练 1．两个物体A 和B ，质量分别为M 和m ，用跨过定滑轮的轻绳相连，A 静止于水平地面上， 如图2—10—17所示，不计摩擦，A 对绳的作用力的大小与地面对A 的作用力的大小分 别为 （ ） A ．mg, (M －m)g B ．mg , Mg C ．(M －m)g, Mg D ．(M+m)g, (M －m)g 2．如2—10—18所示，A 、B 是静止在水平地面 上完全相同的两块长木板，A 的左端和B 的右端 相接触，两板的质量皆为M=2.0kg ，长度皆为L=1.0m ， C 是质量为m=1.0kg 的小物块。现给它一个初速度 v 0=2.0m/s ，使它从板B 的左端向右滑动，已知地面是 光滑的，而C 与板A 、B 之间的动摩擦因数皆为μ=0.10， 求最后A 、B 、C 各以多大的速度做匀速运动。取重力加 速度g=10m/s 2。 3．质量为m 的物体A 置于质量为M 、倾角为θ的斜面体 B 上，A 、B 之间光滑接触，B 的底面与水平地面也是光滑 接触。设开始时A 与B 均静止，而后A 以某初速度沿B 的斜面向上运动，如图2—10—19所示，试问A 在没有到 达斜面顶部前是否会离开斜面？为什么？讨论中不必考虑B 向前倾倒的可能性。 4．半径为r 、质量为m 的三个相同的球放在水平桌面上，两两互相接触。用一个高为1.5r 的圆柱形圆筒（上下均无底）将此三球套在筒内，圆筒的内径取适当值，使得各球间以及球与筒壁之间均保持无形变接触。现取一质量亦为m 、半径为R 的第四个球，放在三球的上方正中。设四个球的表面、圆筒的内壁表现均由相同物质构成，其相互之间的最大静摩擦系数为μ=3/15（约等于0.775），问R 取何值时，用手缓慢竖直向上提起圆筒即能将四个球一起提起来？ 5．如图12—10—20所示的一段封闭、水平放置 的粗细均匀的玻璃管中，有水银柱将气体隔成 了体积不同的左右两部分，初温T 左>T 右，当两 部分气体升高相同的温度时，判断水银柱如何移动。 （提示：假设用一装置将水银柱固定住，两边气体 作等容变化。） 6．如图2—10—21所示，A 、B 两容器容积相等，用粗 细均匀的细玻璃管相连，容器内装有不同气体，细管 中央有一段水银且保持平衡，此时A 中气体的温度为 0℃，B 中气体温度为20℃，若将它们的温度都降低 10℃，则水银柱将 （ ） A ．向A 移动 B ．向B 移动 C ．不动 D ．不能确定 7．如图2—10—22所示，半径为R 的大球O 被内切地挖去半径为R/2的小球O ′，大球余下的部分均匀带电量为Q ，试求距大球球心O 点r 处（r>R ）P 点的场强。已知OP 的连线经过小球球心。 8．如图2—10—23所示，两种电路中电源相同，各电阻器阻值相等，各电流表的内阻相等且不可忽略，电流表A 1，A 2，A 3，和A 4读出的电流值分别为I 1、I 2、I 3和I 4。下列关系式中正确的是 A ．I 1=I 3 B ．I 1 9．如图2—10—24所示，匀强磁场的磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里，质量为m 、电量为+q 的微粒在磁场中由静止开始下落，空气阻力不计。求微粒下落的最大高度和最大速度。 10．两根相距d=0.2m 的平行光滑金属长轨道与水平方向成30°角固定，匀强磁场的磁感应强 度B=0.2T ，方向垂直两导轨组成的平面。两根金属棒ab 、cd 互相平行且始终与导轨垂直地放在导轨上，它们的质量m 1=0.1kg , m 2=0.02kg,两棒电阻均为0.02Ω，导轨的电阻不计。如图2—10—25所示，ab 棒在平行于导轨平面斜向上的外力作用下，以v=1.5m/s 的速度沿斜面匀速向上运动，求在此过程中金属棒cd 运动的最大速度。 11．两个定值电阻R 1、R 2串联后接在输出电压U 稳定于12V 的直流电源上。有人把一个内阻 不是远大于R 1、R 2的电压表接在R 1两端，如图2—10—26所示，电压表的示数8V ，如果把此电压表改接在R 2的两端，则电压表的示数将 （ ） A ．小于4V B ．等于4V C ．大于4V ，小于8V D ．等于或大于8V 12．如图2—10—27所示的电路中，电池的电动势为ε，内阻为r ，R 1和R 2是两个阻值固定的 电阻。当可变电阻R 的滑片向a 点移动时，通过R 1的电流I 1和通过R 2的电流I 2将发生如下的变化中，正确的是 （ ） A ．I 1变大，I 2变小 B ．I 1变大，I 2变大 C ．I 1变小，I 2变大 D ．I 1变小，I 2变小 十、假设法 1．A 2．s m v s m v s m v C B A /)61(15 2,/1064,/)61(152+=-=+= 3．不会离开斜面，因为A 与B 的相互作用力为]sin /[)cos (2 θθm M g mM +，始终为正值。 4．r R r )1333 32()1332( -≤<- 5．水银柱将向左移动 6．A 7．]) 2(1 2[742 2R r r KQ -- 8．B 、D 9．qB mg v B q g m d m m 2,2222== 10．v '=1m/s ，方向沿斜面向下 11．A 12．C 例1：沿水平方向向一堵竖直光滑的墙壁抛出一个弹性小球A ， 抛出点离水平地面的高度为h ，距离墙壁的水平距离为s ， 小球与墙壁发生弹性碰撞后，落在水平地面上，落地点距墙壁的水平距离为2s ，如图7—1所示. 求小球抛出时的初速度. 解析：因小球与墙壁发生弹性碰撞， 故与墙壁碰撞前后入射速度与反射速度具有对称性， 碰撞后小球的运 动轨迹与无墙壁阻挡时小球继续前进的轨迹相对称，如图7—1—甲所示，所以小球的运动可以转换为平抛运动处理， 效果上相当于小球从A ′点水平抛出所做的运动. 根据平抛运动的规律：?? ? ??==2 021gt y t v x 因为抛出点到落地点的距离为3s ，抛出点的高度为h 代入后可解得：h g s y g x v 2320 == 例2：如图7—2所示，在水平面上，有两个竖直光滑墙壁A 和B ，间距为d ， 一个小球以初速度0v 从两墙正中间的O 点斜向上抛出， 与A 和B 各发生一次碰撞后正好落回抛出点O ， 求小球的抛射角θ. 解析：小球的运动是斜上抛和斜下抛等三段运动组成， 若按顺序求解则相当复杂，如果视墙为一平面镜， 将球与墙的弹性碰撞等效为对平面镜的物、像移动，可利用物像对称的规律及斜抛规律求解. 物体跟墙A 碰撞前后的运动相当于从O ′点开始的斜上抛运动，与B 墙碰后落于O 点相当于落到O ″点，其中O 、O ′关于A 墙对称，O 、O ″对于B 墙对称，如图7—2—甲所示，于是有 ? ??==?? ???-==0221sin cos 200y d x gt t v y t v x 落地时θθ 代入可解得2 202arcsin 2122sin v dg v dg == θθ 所以抛射角 例3：A 、B 、C 三只猎犬站立的位置构成一个边长为a 的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v ，A 犬想追捕B 犬，B 犬 想追捕C 犬，C 犬想追捕A 犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？ 解析：以地面为参考系，三只猎犬运动轨迹都是一条复杂的曲线，但根据对称性，三只猎犬最后相交于 三角形的中心点，在追捕过程中，三只猎犬的位置构成三角形的形状不变，以绕点旋转的参考系来描述，可认为三角形不转动，而是三个顶点向中心靠近，所以只要求出顶点到中心运动的时间即可. 由题意作图7—3， 设顶点到中心的距离为s ，则由已知条件得 a s 3 3 = 由运动合成与分解的知识可知，在旋转的参考系中顶点向中心运动的速度为 v v v 2330cos = =' 由此可知三角形收缩到中心的时间为 v a v s t 32='= 此题也可以用递推法求解，读者可自己试解. 例4：如图7—4所示，两个同心圆代表一个圆形槽，质量为m ，内外半径几乎同为R. 槽内A 、B 两处分别放有一个质量也为m 的小球，AB 间的距离为槽的直径. 不计一切摩擦. 现将系统置于光滑水平面上，开始时槽静止，两小球具有垂直于AB 方向的速度v ，试求两小球第一次相距R 时，槽中心的速度0v . 解析：在水平面参考系中建立水平方向的x 轴和y 轴. 由系统的对称性可知中心或者说槽整体将仅在x 轴方向上 运动。设槽中心沿x 轴正方向运动的速度变为0v ，两小球相对槽心做角速度大小为ω的圆周运动，A 球处于 高中物理竞赛辅导（2） 静力学力和运动 共点力的平衡 n个力同时作用在物体上，若各力的作用线相交于一点，则称为 共点力，如图1所示。 作用在刚体上的力可沿作用线前、后滑移而不改变其力 学效应。当刚体受共点力作用时，可把这些力沿各自的作用 线滑移，使都交于一点，于是刚体在共点力作用下处于平衡 状态的条件是：合力为零。 （1） 用分量式表示： （2） [例1]半径为R的刚性球固定在水 平桌面上，有一质量为M的圆环状均匀 弹性细绳圈，原长为，绳 圈的弹性系数为k。将圈从球的正上方 轻放到球上，并用手扶着绳圈使其保持 水平，最后停留在平衡位置。考虑重力， 不计摩擦。①设平衡时绳圈长 ，求k值。②若 ，求绳圈的平衡位置。 分析：设平衡时绳圈位于球面上相应于θ角的纬线上。在绳圈上任取一小元段， 长为，质量为，今将这元段作为隔离体，侧视图和俯视图分别由图示（a）和（b）表示。 元段受到三个力作用：重力方向竖直向下；球面的支力N方向沿半径R 指向球外；两端张力，张力的合力为 位于绳圈平面内，指向绳圈中心。这三个力都在经 线所在平面内，如图示（c）所示。将它们沿经线的切向和法向分 解，则切向力决定绳圈沿球面的运动。 解：（1）由力图（c）知：合张力沿经线切向分力为： 重力沿径线切向分力为： （2-2） 当绳圈在球面上平衡时，即切向合力为零。 （2-3） 由以上三式得 （2-4） 式中 由题设：。把这些数据代入（2-4）式得。于是。 （2）若时，C=2，而。此时（2-4）式变成 tgθ=2sinθ-1, 即 sinθ+cosθ=sin2θ, 平方后得。 在的范围内，上式无解，即此时在球面上不存在平衡位置。这时由于k值太小，绳圈在重力作用下，套过球体落在桌面上。 [例2]四个相同的球静止在光滑的球形碗内，它们的中心同在一水平面内，今以另一相同的球放以四球之上。若碗的半径大于球的半径k倍时，则四球将互相分离。试求k值。 分析：设每个球的质量为m，半径为r ，下面四个球的相互作用力为N，如图示（a）所示。 又设球形碗的半径为R，O' 为球形碗的球心，过下面四球的 球心联成的正方形的一条对角线 AB作铅直剖面。如图3（b）所示。 当系统平衡时，每个球所受的合 力为零。由于所有的接触都是光 滑的，所以作用在每一个球上的 力必通过该球球心。 上面的一个球在平衡时，其 重力与下面四个球对它的支力相平衡。由于分布是对称的，它们之间的相互作用力N， 大小相等以表示，方向均与铅垂线成角。 全国第31届中学生物理竞赛预赛试题 一、选择题．本题共5小题，每小题6分，在每小题给出的4个选 项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意．把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分． 1．一线膨胀系数为α的正立方体物块，当膨胀量较小时，其体膨胀系数等于 A．αB．α1/3 C．α3D．3α 2．按如下原理制作一杆可直接测量液体密度的秤，称为密度秤，其外形和普通的杆秤差不多，装秤钩的地方吊着一体积为lcm3的较重的合金块，杆上有表示液体密度数值的刻度．当秤砣放在Q点处时秤杆恰好平衡，如图所示，当合金块完全浸没在待测密度的液体中时，移动秤砣的悬挂点，直至秤杆恰好重新平衡，便可直接在杆秤上读出液体的密度．下列说法中错误的是 A．密度秤的零点刻度在Q点 B．秤杆上密度读数较大的刻度在较小的刻度的左边 C．密度秤的刻度都在Q点的右侧 D．密度秤的刻度都在Q点的左侧 3．一列简谐横波在均匀的介质中沿z轴正向传播，两质点P1和P2的平衡位置在x轴上，它们相距60cm，当P1质点在平衡位置处向上运动时，P2质点处在波谷位置，若波的传播速度为24 m/s，则该波的频率可能为 A．50Hz B．60Hz C．400Hz D．410Hz 4．电磁驱动是与炮弹发射、航空母舰上飞机弹射起飞有关的一种新型驱动方式，电磁驱动的原理如图所示，当直流电流突然加到一固定线圈上，可以将置于线圈上的环弹射出去．现在同一个固定线圈上，先后置有分别用钢、铝和硅制成的形状、大小和横截面积均相同的三种环；当电流突然接通时，它们所受到的推力分别为F1、F2和F3．若环的重力可忽略，下列说法正确的是 A．F1>F2>F3B．F2>F3 >F1 C．F3 >F2> F1D．F1=F2=F3 5．质量为m A的A球，以某一速度沿光滑水平面向静止的B球运动，并与B球发生弹性正碰．假设B球的质量m B可选取为不同的值，则 A．当m B=m A时，碰后B球的速度最大 B．当m B=m A时，碰后B球的动能最大 高中奥林匹克物理竞赛解题方法 十、图像法 方法简介 图像法是根据题意把抽象复杂的物理过程有针对性地表示成物理图像，将物理量间的代数关系转变为几何关系，运用图像直观、形象、简明的特点，来分析解决物理问题，由此达到化难为易，化繁为简的目的，图像法在处理某些运动问题，变力做功问题时是一种非常有效的方法。 赛题精讲 例1：一火车沿直线轨道从静止发出由A 地驶向B 地，并停止在B 地。AB 两地相距s ，火 车做加速运动时，其加速度最大为a 1，做减速运动时，其加速度的绝对值最大为a 2，由此可可以判断出该火车由A 到B 所需的最短时间为 。 解析：整个过程中火车先做匀加速运动，后做匀减速运动，加速度最大时，所用时间最短，分段运动可用图像法来解。 根据题意作v —t 图，如图11—1所示。 由图可得1 1t v a = vt t t v s t v a 21)(21212 2=+== 由①、②、③解得2 121)(2a a a a s t += 例2：两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度为v 0，若前车突然以恒定 的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车。已知前车在刹车过程中所行的距离为s ，若要保证两辆车在上述情况中不相碰，则两车在做匀速行驶时保持的距离至少为 （ ） A ．s B ．2s C ．3s D ．4s 解析：物体做直线运动时，其位移可用速度——时间图像 中的面积来表示，故可用图像法做。 作两物体运动的v —t 图像如图11—2所示，前车发 生的位移s 为三角形v 0Ot 的面积，由于前后两车的刹车 加速度相同，根据对称性，后车发生的位移为梯形的面积 S ′=3S ，两车的位移之差应为不相碰时，两车匀速行驶 时保持的最小车距2s. 所以应选B 。 ① ② ③ 图11—2 7.1简谐振动 一、简谐运动的定义 1、平衡位置：物体受合力为0的位置 2、回复力F ：物体受到的合力，由于其总是指向平衡位置，所以叫回复力 3、简谐运动：回复力大小与相对于平衡位置的位移成正比，方向相反 F k x =- 二、简谐运动的性质 F kx =- ''mx kx =- 取试探解（解微分方程的一种重要方法） cos()x A t ω?=+ 代回微分方程得： 2m x kx ω-=- 解得： 22T π ω== 对位移函数对时间求导，可得速度和加速度的函数 cos()x A t ω?=+ sin()v A t ωω?=-+ 2cos()a A t ωω?=-+ 由以上三个方程还可推导出： 222()v x A ω += 2a x ω=- 三、简谐运动的几何表述 一个做匀速圆周运动的物体在一条直径 上的投影所做的运动即为简谐运动。 因此ω叫做振动的角频率或圆频率， ωt +φ为t 时刻质点位置对应的圆心角，也叫 做相位，φ为初始时刻质点位置对应的圆心 角，也叫做初相位。 四、常见的简谐运动 1、弹簧振子 (1)水平弹簧振子 (2)竖直弹簧振子 2、单摆（摆角很小） sin F mg mg θθ=-≈- x l θ≈ 因此： F k x =- 其中： mg k l = 周期为：222T π ω=== 例1、北京和南京的重力加速度分别为g 1=9.801m/s 2和g 2=9.795m/s 2，把在北京走时准确的摆钟拿到南京，它是快了还是慢了？一昼夜差多少秒？怎样调整？ 例2、三根长度均为l=2.00m 、质量均匀的直杆，构成一正三角彤框架 ABC ．C 点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动．杆AB 是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨运动，如图所示．现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动? 24届 二、（25分）图中所示为用三角形刚性细杆AB、BC、CD连成的平面连杆结构图。AB和CD杆可分别绕过A、D的垂直于纸面的固定轴转动，A、D两点位于同一水平线上。BC杆的两端分别与AB杆和CD杆相连，可绕连接处转动（类似铰链）。当AB杆绕A轴以恒定的角速度 转到图中所示的位置时，AB杆处于竖直位置。BC杆与CD杆都与水平方向成45°角， a的大小和方向已知AB杆的长度为l，BC杆和CD杆的长度由图给定。求此时C点加速度 c （用与CD杆之间的夹角表示） 27复 28复 二、（20分）质量均匀分布的刚性杆AB、CD如图放置，A点与水平地面接触，与地面间的 静摩擦系数为μA，B、D两点与光滑竖直墙面接触， 杆AB和CD接触处的静摩擦系数为μC，两杆的质量均 为m，长度均为l。 1、已知系统平衡时AB杆与墙面夹角为θ，求CD杆 与墙面夹角α应该满足的条件（用α及已知量满足的 方程式表示）。 2、若μA=1.00，μC=0.866，θ=60.0°。求系统平衡时 α的取值范围（用数值计算求出）。 26复 二、（20分）图示正方形轻质刚性水平桌面由四条完全相同的轻质细桌腿1、2、3、4支撑于桌角A 、B 、C 、D 处，桌腿竖直立在水平粗糙刚性地面上。已知桌腿受力后将产生弹性微小形变。现于桌面中心点O 至角A 的连线 OA 上某点P 施加一竖直向下的力F ，令c OA OP =，求桌面 对桌腿1的压力F 1。 25复 三、（22分）足球射到球门横梁上时，因速度方向不同、射在横梁上的位置有别，其落地点也是不同的。已知球门的横梁为圆柱形，设足球以水平方向的速度沿垂直于横梁的方向射到横梁上，球与横梁间的滑动摩擦系数0.70μ=，球与横梁碰撞时的恢复系数e=0.70。试问足球应射在横梁上什么位置才能使球心落在球门线内（含球门上）？足球射在横梁上的位置用球与横梁的撞击点到横梁轴线的垂线与水平方向（垂直于横梁的轴线）的夹角θ（小于 90 ）来表示。不计空气及重力的影响。 27复 24届 一、（20分）如图所示，一块长为m L 00.1=的光滑平板PQ 固定在轻质弹簧上端，弹 A 高中物理竞赛模拟试卷（一） 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150 分，考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共 40 分） 一、本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的 4 个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确，全部选对的得 4 分，选不全的得 2 分，有错选或不答的得 0 分. 1.置于水平面的支架上吊着一只装满细砂的漏斗，让漏斗左、右摆动，于是桌面上漏下许多砂子，经过一段时间形成一砂堆，砂堆的纵剖面最接近下图Ⅰ-1中的哪一种形状 2.如图Ⅰ-2所示，甲乙两物体在同一光滑水平轨道上相向运动，乙上连有一段轻弹簧，甲乙相互作用过程中无机械能损失，下列说法正确的有 A.若甲的初速度比乙大，则甲的速度后减到 0 B.若甲的初动量比乙大，则甲的速度后减到0 C.若甲的初动能比乙大，则甲的速度后减到0 D.若甲的质量比乙大，则甲的速度后减到0 3.特技演员从高处跳下，要求落地时必须脚先着地，为尽量保证安全，他落地时最好是采用哪种方法 A.让脚尖先着地，且着地瞬间同时下蹲 B.让整个脚板着地，且着地瞬间同时下蹲 C.让整个脚板着地，且着地瞬间不下蹲 D.让脚跟先着地，且着地瞬间同时下蹲 4.动物园的水平地面上放着一只质量为M 的笼子，笼内有一只质量为 m 的猴子.当猴以某一加速度沿竖直柱子加速向上爬时，笼子对地面的压力为F 1；当猴以同样大小的加速度沿竖直柱子加速下滑时，笼子对地面的压力为 F 2（如图Ⅰ-3），关于 F 1 和 F 2 的大小，下列判断中正确的是 A.F 1 = F 2＞(M + m )g B.F 1＞(M + m )g ,F 2＜(M + m )g C.F 1＞F 2＞(M + m )g D.F 1＜(M + m )g ，F 2＞(M + m )g 5.下列说法中正确的是 A.布朗运动与分子的运动无关 B.分子力做正功时，分子间距离一定减小 C.在环绕地球运行的空间实验室里不能观察热传递的对流现象 D.通过热传递可以使热转变为功 6.如图Ⅰ-4所示，虚线a 、b 、c 代表电场中的三个等势面，相邻等势面之 图Ⅰ -3 图Ⅰ -4 图Ⅰ-2 高中奥林匹克物理竞赛解题方法 、整体法 方法简介 整体是以物体系统为研究对象，从整体或全过程去把握物理现象的本质和规律，是一种把具 有相互联系、相互依赖、相互制约、相互作用的多个物体，多个状态，或者多个物理变化过程组合 作为一个融洽加以研究的思维形式。整体思维是一种综合思维，也可以说是一种综合思维，也是多 种思维的高度综合，层次深、理论性强、运用价值高。因此在物理研究与学习中善于运用整体研究 分析、处理和解决问题，一方面表现为知识的综合贯通，另一方面表现为思维的有机组合。灵活运 用整体思维可以产生不同凡响的效果，显现“变”的魅力， 把物理问题变繁为简、变难为易。 赛题精讲 例1如图1—1所示，人和车的质量分别为m和M，人用水 平力F拉绳子，图中两端绳子均处于水平方向，不计滑轮质量及摩 擦，若人和车保持相对静止，且水平地面是光滑的，则车的加速度为 ________________________________________________ . 解析：要求车的加速度，似乎需将车隔离出来才能求解，事实 上，人和车保持相对静止，即人和车有相同的加速度，所以可将人和车看做一个整体，对整体用 牛顿第二定律求解即可 将人和车整体作为研究对象，整体受到重力、水平面的支持力和两条绳的拉力 向重力与支持力平衡，水平方向绳的拉力为2F,所以有： 2F=(M+m)a，解得： 2F a M m 例2用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来，如图 1 —2所示，今对小球a持续施加一个向左偏下30°的恒力，并对小球b持续施加一个向右 偏上30°的同样大小的恒力，最后达到平衡，表示平衡状态的图可能是 ?在竖直方解析 最近十年初中应用物理知识竞赛题分类解析专题12--简单机械 一、选择题 1. （2013全国初中应用物理知识竞赛预赛题）某次刮大风时把一棵大树吹倒了，需要两个工人把它扶起，工人们想到了如图l2所示的四种方案，每个人所需拉力最小的方案是 ( ) 1.答案：B 解析：根据滑轮知识，AB图绳中拉力为二人拉力之和，且拉树的力为两根绳中的拉力。根据杠杆知识，B图在动力臂大，所以每个人所需拉力最小的方案是B。 2.(2010全国初中应用物理知识竞赛题).图5是环卫工人用的一种垃圾夹的结构示意图。拉绳的一端固定在手把上，另一端穿过空心管杆与两夹爪的一端相连。当用力捏手把时，夹爪在拉绳的作用下可夹持物体，同时弹簧被压缩；当松开手把时， 夹爪在弹簧的作用下恢复原状。在使用过程中，手 把和夹爪分别是 ( ) A.省力杠杆，费力杠杆 B.费力杠杆，省力杠杆 C省力杠杆，省力杠杆 D.费力杠杆，费力杠杆 . 答案：A解析：手把动力臂大于阻力臂，是省力杠杆，夹爪动力臂小于阻力臂，是费力杠杆。 3.(2010全国初中应用物理知识竞赛题).体操、投掷、攀岩等体育运动都不能缺少的“镁粉”，它的学名是碳酸镁。体操运动员在上杠前都要在手上涂擦“镁粉”，其目的是 ( ) A.仅仅是为了利用“镁粉”，吸汗的作用，增加手和器械表面的摩擦而防止打滑 B.仅仅是为了利用手握着器械并急剧转动时“镁粉”，能起到衬垫作用，相当于在中间添加了一层“小球”做“滚动摩擦” C仅仅是为了利用“镁粉”，填平手掌的褶皱和纹路，使手掌与器械的接触面增大，将握力变得更加实在和均匀 D.上述各种功能都具有 .答案：D解析：体操运动员在上杠前在手上涂擦“镁粉”的目的是为了利用“镁粉”吸汗的作用，增加手和器械表面的摩擦而防止打滑；利用手握着器械并急剧转动时“镁粉”能起到衬垫作用，相当于在中间添加了一层“小球”做“滚动摩擦”；利用“镁粉”填平手掌的褶皱和纹路，使手掌与器械的接触面增大，将握力变得更加实在和均匀，所以选项D正确。 4. (2011上海初中物理知识竞赛题)某人在车后用80牛的水平力推车，使车在平直公路上匀速前进，突然发现车辆前方出现情况，他马上改用120的水平拉力使车减速，在减速的过程中，车受到的合力大小为( ) A．40牛 B．80牛 C．120牛 D．200牛 3. 答案：D解析：用80牛的水平力推车，使车在平直公路上匀速前进，说明车运动受到的阻力为80N。改用120的水平拉力使车减速，在减速的过程中，车受到人向后拉力120N，阻力80N，所以车受到的合力大小为120N+80N=200N. ，选项D正确。 5. （2011上海初中物理知识竞赛题）分别用铁和铝做成两个外部直径和高度 相等，但内径不等的圆柱形容器，铁杯装满质量为m1的水后总重为G1；铝杯装 满质量为m2的水后总重为G2。下列关系不可能正确的是（） A．G1 《全国中学生物理竞赛大纲2020版》 (2020年4月修订，2020年开始实行) 2011年对《全国中学生物理竞赛内容提要》进行了修订，修订稿经全国中学生物理竞赛委员会第30次全体会议通过，并决定从2020年开始实行。修订后的“内容提要”中，凡用※号标出的内容，仅限于复赛和决赛。 力学 1.运动学 参考系 坐标系直角坐标系 ※平面极坐标※自然坐标系 矢量和标量 质点运动的位移和路程速度加速度 匀速及匀变速直线运动及其图像 运动的合成与分解抛体运动圆周运动 圆周运动中的切向加速度和法向加速度 曲率半径角速度和※角加速度 相对运动伽里略速度变换 2．动力学 重力弹性力摩擦力惯性参考系 牛顿第一、二、三运动定律胡克定律万有引力定律均匀球壳对壳内和壳外质点的引力公式(不要求导出) ※非惯性参考系※平动加速参考系中的惯性力 ※匀速转动参考系惯性离心力、视重 ☆科里奥利力 3．物体的平衡 共点力作用下物体的平衡 力矩刚体的平衡条件 ☆虚功原理 4．动量 冲量动量质点与质点组的动量定理动量守恒定律※质心 ※质心运动定理 ※质心参考系 反冲运动 ※变质量体系的运动 5．机械能 功和功率 动能和动能定理※质心动能定理 重力势能引力势能 质点及均匀球壳壳内和壳外的引力势能公式(不要求导出)弹簧的弹性势能功能原理机械能守恒定律 碰撞 弹性碰撞与非弹性碰撞恢复系数 6．※角动量 冲量矩角动量 质点和质点组的角动量定理和转动定理 角动量守恒定律 7．有心运动 在万有引力和库仑力作用下物体的运动 开普勒定律 行星和人造天体的圆轨道和椭圆轨道运动 8．※刚体 刚体的平动刚体的定轴转动 绕轴的转动惯量 平行轴定理正交轴定理 刚体定轴转动的角动量定理刚体的平面平行运动9．流体力学 静止流体中的压强 浮力 ☆连续性方程☆伯努利方程 10．振动 简谐振动振幅频率和周期相位 振动的图像 参考圆简谐振动的速度 （线性）恢复力由动力学方程确定简谐振动的频率简谐振动的能量同方向同频率简谐振动的合成 阻尼振动受迫振动和共振(定性了解) 11．波动 横波和纵波 波长频率和波速的关系 波的图像 ※平面简谐波的表示式 波的干涉※驻波波的衍射(定性) 声波 声音的响度、音调和音品声音的共鸣乐音和噪声 十三、降维法 方法简介 降维法是将一个三维图变成几个二维图，即应选两个合适的平面去观察，当遇到一个空间受力问题时，将物体受到的力分解到两个不同平面上再求解。由于三维问题不好想像，选取适当的角度，可用降维法求解。降维的优点是把不易观察的空间物理量的关系在二维图中表示出来，使我们很容易找到各物理量之间的关系，从而正确解决问题。 赛题精讲 例1：如图13—1所示，倾角θ=30°的粗糙斜面上放一物体，物体重为G ，静止在斜面上。现用与斜面底边平行的力F=G/2推该物体，物体恰好在斜面内做匀速直线运动，则物体与斜面间的动摩擦因数μ等于多少？物体匀速运动的方向如何？ 解析：物体在重力、推力、斜面给的支持力和摩擦力四个力的作用下做匀速直线运动，所以受力平衡。但这四个力不在同一平面内，不容易看出它们之间的关系。我们把这些力分解在两个平面内，就可以将空间问题变为平面问题，使问题得到解决。 将重力沿斜面、垂直于斜面分解。我们从上面、侧面观察，图13—1—甲、图13—1—乙所示。 如图13—1—甲所示，推力F 与重力沿斜面的分力G 1的合力F ′为： G G F F 2 22 12 = += ' F ′的方向沿斜面向下与推力成α角， 则 ?=∴== 451 tan 1ααF G 这就是物体做匀速运动的方向 物体受到的滑动摩擦力与F ′平衡，即 2/2G F f = '= 所以摩擦因数：3 630cos 2/2=? ==G G F f N μ 例2：如图13—2所示，一个直径为D 的圆柱体，其侧面刻有螺距为h 的光滑的螺旋形凹槽，槽内有一小球，为使小球能自由下落，必须要以多大的加速度来拉缠在圆柱体侧面的绳子？ 解析：将圆柱体的侧面等距螺旋形凹槽展开成为平面上的斜槽，如图13—2—甲所示，当圆柱体转一周，相当于沿斜槽下降一个螺距h ，当圆柱转n 周时，外侧面上一共移动的 高中物理《竞赛辅导》力学部分 目录 ：力学中的三种力 【知识要点】 （一）重力 重力大小G=mg，方向竖直向下。一般来说，重力是万有引力的一个分力，静止在地球表面的物体，其万有引力的另一个分力充当物体随地球自转的向心力，但向心力极小。 （二）弹力 1．弹力产生在直接接触又发生非永久性形变的物体之间(或发生非永久性形变的物体一部分和另一部分之间)，两物体间的弹力的方向和接触面的法线方向平行，作用点在两物体的接触面上．2．弹力的方向确定要根据实际情况而定． 3．弹力的大小一般情况下不能计算，只能根据平衡法或动力学方法求得．但弹簧弹力的大小可用．f=kx(k 为弹簧劲度系数，x为弹簧的拉伸或压缩量)来计算． 在高考中，弹簧弹力的计算往往是一根弹簧，而竞赛中经常扩展到弹簧组．例如：当劲度系数分别为k1,k2,…的若干个弹簧串联使用时．等效弹簧的劲度系数的倒数为：，即弹簧变软；反之．若 以上弹簧并联使用时，弹簧的劲度系数为：k=k 1+…k n ，即弹簧变硬．(k=k 1+…k n 适用于所有并联弹簧的原长相等；弹簧原长不相等时，应具体考虑) 长为 的弹簧的劲度系数为k ，则剪去一半后，剩余 的弹簧的劲度系数为2k （三）摩擦力 1．摩擦力 一个物体在另一物体表面有相对运动或相对运动趋势时，产生的阻碍物体相对运动或相对运动趋势的力叫摩擦力。方向沿接触面的切线且阻碍物体间相对运动或相对运动趋势。 2．滑动摩擦力的大小由公式f=μN 计算。 3．静摩擦力的大小是可变化的，无特定计算式，一般根据物体运动性质和受力情况分析求解。其大小范围在0＜f≤f m 之间，式中f m 为最大静摩擦力，其值为f m =μs N ，这里μs 为最大静摩擦因数，一般情况下μs 略大于μ，在没有特别指明的情况下可以认为μs =μ。 4．摩擦角 将摩擦力f 和接触面对物体的正压力N 合成一个力F ，合力F 称为全反力。在滑动摩擦情况下定义tgφ=μ=f/N ，则角φ为滑动摩擦角；在静摩擦力达到临界状态时，定义tgφ0=μs =f m /N ，则称φ0为静摩擦角。由于静摩擦力f 0属于范围0＜f≤f m ，故接触面作用于物体的全反力同接触面法线 的夹角≤φ0，这就是判断物体不发生滑动的条件。换句话说，只要全反力的作用线落在（0，φ0）范围时，无穷大的力也不能推动木块，这种现象称为自锁。 本节主要内容是力学中常见三种力的性质。在竞赛中以弹力和摩擦力尤为重要，且易出错。弹力和摩擦力都是被动力，其大小和方向是不确定的，总是随物体运动性质变化而变化。弹力中特别注意轻绳、轻杆及胡克弹力特点；摩擦力方向总是与物体发生相对运动或相对运动趋势方向相反。另外很重要的一点是关于摩擦角的概念，及由摩擦角表述的物体平衡条件在竞赛中应用很多，充分利用摩擦角及几何知识的关系是处理有摩擦力存在平衡问题的一种典型方法。 【典型例题】 【例题1】如图所示，一质量为m 的小木块静止在滑动摩擦因数为μ=的水平面上，用一个与水平方 向成θ角度的力F 拉着小木块做匀速直线运动，当θ角为多大时力F 最小？ 【例题2】如图所示，有四块相同的滑块叠放起来置于水平桌面上，通过细绳和定滑轮相互联接起来.如果所有的接触面间的摩擦系数均为μ，每一滑块的质量均为 m ，不计滑轮的摩擦.那么要拉动最上面一块滑块至少需要多大的水平拉力?如果有n 块这样的滑块叠放起 来，那么要拉动最上面的滑块，至少需多大的拉力? 【例题3】如图所示，一质量为m=1㎏的小物块P 静止在倾角为θ=30°的斜面 上，用平行于斜面底边的力F=5N 推小物块，使小物块恰好在斜面上匀速运动，试求小物块与斜面间的滑 动摩擦因数（g 取10m/s 2 ）。 【练习】 1、如图所示，C 是水平地面，A 、B 是两个长方形物块，F 是作用在物块B 上沿水平方向的力，物块A 和B 以相同的速度作匀速直线运动，由此可知， A 、 B 间的滑动 θ F P θ F A B F C N F f m f 0 α φ 2014第31届全国中学生物理竞赛预赛试题及参考答案与评分标准 一、选择题．本题共5小题，每小题6分，在每小题给出的4个选 项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意．把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分． 1．一线膨胀系数为α的正立方体物块，当膨胀量较小时，其体膨胀系数等于 A．αB．α1/3 C．α3D．3α 2．按如下原理制作一杆可直接测量液体密度的秤，称为密度秤，其外形和普通的杆秤差不多，装秤钩的地方吊着一体积为lcm3的较重的合金块，杆上有表示液体密度数值的刻度．当秤砣放在Q点处时秤杆恰好平衡，如图所示，当合金块完全浸没在待测密度的液体中时，移动秤砣的悬挂点，直至秤杆恰好重新平衡，便可直接在杆秤上读出液体的密度．下列说法中错误的是 A．密度秤的零点刻度在Q点 B．秤杆上密度读数较大的刻度在较小的刻度的左边 C．密度秤的刻度都在Q点的右侧 D．密度秤的刻度都在Q点的左侧 3．一列简谐横波在均匀的介质中沿z轴正向传播，两质点P1和P2的平衡位置在x轴上，它们相距60cm，当P1质点在平衡位置处向上运动时，P2质点处在波谷位置，若波的传播速度为24 m/s，则该波的频率可能为 A．50Hz B．60Hz C．400Hz D．410Hz 4．电磁驱动是与炮弹发射、航空母舰上飞机弹射起飞有关的一种新型驱动方式，电磁驱动的原理如图所示，当直流电流突然加到一固定线圈上，可以将置于线圈上的环弹射出去．现在同一个固定线圈上，先后置有分别用钢、铝和硅制成的形状、大小和横截面积均相同的三种环；当电流突然接通时，它们所受到的推力分别为F1、F2和F3．若环的重力可忽略，下列说法正确的是 A．F1>F2>F3B．F2>F3 >F1 C．F3 >F2> F1D．F1=F2=F3 5．质量为m A的A球，以某一速度沿光滑水平面向静止的B球运动，并与B球发生弹性正碰．假设B球的质量m B可选取为不同的值，则 A．当m B=m A时，碰后B球的速度最大 B．当m B=m A时，碰后B球的动能最大 C．在保持m B>m A的条件下，m B越小，碰后B球的速度越大 高中奥林匹克物理竞赛解题方法 五、极限法 方法简介 极限法是把某个物理量推向极端，即极大和极小或极左和极右，并依此做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论。极限法在进行某些物理过程的分析时，具有独特作用，恰当应用极限法能提高解题效率，使问题化难为易，化繁为简，思路灵活，判断准确。因此要求解题者，不仅具有严谨的逻辑推理能力，而且具有丰富的想象能力，从而得到事半功倍的效果。 赛题精讲 例1：如图5—1所示， 一个质量为m 的小球位于一质量可忽略的直立 弹簧上方h 高度处，该小球从静止开始落向弹簧，设弹簧的劲度 系数为k ，则物块可能获得的最大动能为 。 解析：球跟弹簧接触后，先做变加速运动，后做变减速运动，据此推理， 小球所受合力为零的位置速度、动能最大。所以速最大时有 mg =kx ① 图5—1 由机械能守恒有 22 1)(kx E x h mg k +=+ ② 联立①②式解得 k g m m g h E k 2 221?-= 例2：如图5—2所示，倾角为α的斜面上方有一点O ，在O 点放一至 斜面的光滑直轨道，要求一质点从O 点沿直轨道到达斜面P 点 的时间最短。求该直轨道与竖直方向的夹角β。 解析：质点沿OP 做匀加速直线运动，运动的时间t 应该与β角有关， 求时间t 对于β角的函数的极值即可。 由牛顿运动定律可知，质点沿光滑轨道下滑的加速度为 βcos g a = 该质点沿轨道由静止滑到斜面所用的时间为t ，则 OP at =22 1 所以β cos 2g OP t = ① 由图可知，在△OPC 中有 图5—2 ) 90sin()90sin(βαα-+=- OC OP 所以) cos(cos βαα-=OC OP ② 将②式代入①式得 g OC g OC t )]2cos([cos cos 4)cos(cos cos 2βαααβαβα-+=-= 显然，当2,1)2cos(αββα= =-即时，上式有最小值. 所以当2α β=时，质点沿直轨道滑到斜面所用的时间最短。 此题也可以用作图法求解。 例3：从底角为θ的斜面顶端，以初速度0υ水平抛出一小球，不计 空气阻力，若斜面足够长，如图5—3所示，则小球抛出后， 离开斜面的最大距离H 为多少？ 解析：当物体的速度方向与斜面平行时，物体离斜面最远。 以水平向右为x 轴正方向，竖直向下为y 轴正方向， 则由：gt v v y ==θtan 0，解得运动时间为θtan 0g v t = 该点的坐标为 θθ2202200tan 221tan g v gt y g v t v x ==== 由几何关系得：θθtan cos /x y H =+ 解得小球离开斜面的最大距离为 θθsin tan 220?=g v H 。 这道题若以沿斜面方向和垂直于斜面方向建立坐标轴，求解则更加简便。 例4：如图5—4所示，一水枪需将水射到离喷口的水平距离为3.0m 的墙外， 从喷口算起， 墙高为4.0m 。 若不计空气阻力，取 2/10s m g =，求所需的最小初速及对应的发射仰角。 解析：水流做斜上抛运动，以喷口O 为原点建立如图所示的 直角坐标，本题的任务就是水流能通过点A （d 、h ）的最小初速度和发射仰角。 图5— 3 图5—4 高中物理竞赛辅导讲义 第2篇 运动学 【知识梳理】 一、匀变速直线运动 二、运动的合成与分解 运动的合成包括位移、速度和加速度的合成，遵从矢量合成法则（平行四边形法则或三角形法则）。 我们一般把质点对地或对地面上静止物体的运动称为绝对运动，质点对运动参考照系的运动称为相对运动，而运动参照系对地的运动称为牵连运动。以速度为例，这三种速度分别称为绝对速度、相对速度、牵连速度，则 v 绝对 = v 相对 + v 牵连 或 v 甲对乙 = v 甲对丙 + v 丙对乙 位移、加速度之间也存在类似关系。 三、物系相关速度 正确分析物体（质点）的运动，除可以用运动的合成知识外，还可充分利用物系相关速度之间的关系简捷求解。以下三个结论在实际解题中十分有用。 1．刚性杆、绳上各点在同一时刻具有相同的沿杆、绳的分速度（速度投影定理）。 2．接触物系在接触面法线方向的分速度相同，切向分速度在无相对滑动时亦相同。 3．线状交叉物系交叉点的速度，是相交物系双方运动速度沿双方切向分解后，在对方切向运动分速度的矢量和。 四、抛体运动： 1．平抛运动。 2．斜抛运动。 五、圆周运动： 1．匀速圆周运动。 2．变速圆周运动： 线速度的大小在不断改变的圆周运动叫变速圆周运动，它的角速度方向不变，大小在不断改变，它的加速度为a = a n + a τ，其中a n 为法向加速度，大小为2 n v a r =，方向指向圆心；a τ为切向加速度，大小为0lim t v a t τ?→?=?，方向指向切线方向。 六、一般的曲线运动 一般的曲线运动可以分为很多小段，每小段都可以看做圆 周运动的一部分。在分析质点经过曲线上某位置的运动时，可 以采用圆周运动的分析方法来处理。对于一般的曲线运动，向心加速度为2n v a ρ =，ρ为点所在曲线处的曲率半径。 七、刚体的平动和绕定轴的转动 1．刚体 所谓刚体指在外力作用下，大小、形状等都保持不变的物体或组成物体的所有质点之间的距离始终保持不变。刚体的基本运动包括刚体的平动和刚体绕定轴的转动。刚体的任 四、（20分）某些非电磁量的测量是可以通过一些相应的装 置转化为电磁量来测量的。一平板电容器的两个极扳竖直放 置在光滑的水平平台上，极板的面积为S ，极板间的距离为 d 。极板1固定不动，与周围绝缘；极板2接地，且可在水 平平台上滑动并始终与极板1保持平行。极板2的两个侧边 与劲度系数为k 、自然长度为L 的两个完全相同的弹簧相连， 两弹簧的另一端固定．图预17-4-1是这一装置的俯视图．先将电容器充电至电压U 后即与电源断开，再在极板2的右侧的整个表面上施以均匀的向左的待测压强p ；使两极板之间的距离发生微小的变化，如图预17-4-2所示。测得此时电容器的电压改变量为U ?。设作用在电容器极板2上的静电作用力不致引起弹簧的可测量到的形变，试求待测压强p 。 五、（20分）如图预17-5-1所示，在正方形导线回路所围的区域 1234A A A A 内分布有方向垂直于回路平面向里的匀强磁场，磁感应强 度B 随时间以恒定的变化率增大，回路中的感应电流为 1.0mA I =．已知12A A 、34A A 两边的电阻皆为零；41A A 边的电阻 1 3.0k R =Ω，23A A 边的电阻27.0k R =Ω。 1．试求12A A 两点间的电压12U 、23A A 两点间的电压23U 、34 A A 两点间的电压34U 、41A A 两点间的电压41U 。 2．若一内阻可视为无限大的电压表V 位于正方形导线回路所在的平面内，其正负端与连线 位置分别如图预17-5-2、图预17-5-3和图预17-5-4所示，求三种情况下电压表的读数1U 、 2U 、3U 。 六、（20分）绝热容器A 经一阀门与另一容积比A 的容积大得很多的绝热容器B 相连。开始时阀门关闭，两容器中盛有同种理想气体，温度均为30℃，B 中气体的压强为A 中的2倍。现将阀门缓慢打开，直至压强相等时关闭。问此时容器A 中气体的温度为多少？假设在打开到关闭 高中奥林匹克物理竞赛解题方法 一、整体法 方法简介 整体是以物体系统为研究对象，从整体或全过程去把握物理现象的本质和规律，是一种把具有相互联系、相互依赖、相互制约、相互作用的多个物体，多个状态，或者多个物理变化过程组合作为一个融洽加以研究的思维形式。整体思维是一种综合思维，也可以说是一种综合思维，也是多种思维的高度综合，层次深、理论性强、运用价值高。因此在物理研究与学习中善于运用整体研究分析、处理和解决问题，一方面表现为知识的综合贯通，另一方面表现为思维的有机组合。灵活运用整体思维可以产生不同凡响的效果，显现“变”的魅力，把物理问题变繁为简、变难为易。 赛题精讲 例1：如图1—1所示，人和车的质量分别为m 和M ， 人用水平力F 拉绳子，图中两端绳子均处于水平方向， 不计滑轮质量及摩擦，若人和车保持相对静止，且 水平地面是光滑的，则车的加速度为 . 解析：要求车的加速度，似乎需将车隔离出来才 能求解，事实上，人和车保持相对静止，即人和车有相同的加速度，所以可将人和车看做一个整体，对整体用牛顿第二定律求解即可. 将人和车整体作为研究对象，整体受到重力、水平面的支持力和两条绳的拉力.在竖直方向重力与支持力平衡，水平方向绳的拉力为2F ，所以有： 2F=(M+m)a ，解得： m M F a +=2 例2 用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来，如图 1—2所示，今对小球a 持续施加一个向左偏下30°的恒力，并 对小球b 持续施加一个向右偏上30°的同样大 小的恒力，最后达到平衡，表示平衡状态的图可能是 （ ） 解析表示平衡状态的图是哪一个，关键是要求出两条轻质细绳对小球a和小球b的拉力的方向，只要拉力方向求出后，。图就确定了。 先以小球a、b及连线组成的系统为研究对象，系统共受五个力的作用，即两个重力(m a+m b)g，作用在两个小球上的恒力F a、F b和上端细线对系统的拉力T1.因为系统处于平衡状态，所受合力必为零，由于F a、F b大小相等，方向相反，可以抵消，而(m a+m b)g的方向竖直向下，所以悬线对系统的拉力T1的方向必然竖直向上.再以b球为研究对象，b球在重力m b g、恒力F b和连线拉力T2三个力的作用下处于平衡状态，已知恒力向右偏上30°，重力竖直向下，所以平衡时连线拉力T2的方向必与恒力F b和重力m b g的合力方向相反，如图所示，故应选A. 例3有一个直角架AOB，OA水平放置，表面粗糙，OB竖直向下，表面光滑，OA上套有小环P，OB上套有小环Q，两个环的质量均为m，两环间由一根质量可忽略、不何伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图1—4所示.现将P环向左移动一段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态相比，OA杆对P环的支持力N和细绳上的拉力T的变化情况是（）A．N不变，T变大B．N不变，T变小 C．N变大，T变小D．N变大，T变大 解析先把P、Q看成一个整体，受力如图1—4—甲所示， 则绳对两环的拉力为内力，不必考虑，又因OB杆光滑，则杆在 竖直方向上对Q无力的作用，所以整体在竖直方向上只受重力和 OA杆对它的支持力，所以N不变，始终等于P、Q的重力之和。 再以Q为研究对象，因OB杆光滑，所以细绳拉力的竖直分量等 于Q环的重力，当P环向左移动一段距离后，发现细绳和竖直方向 夹角a变小，所以在细绳拉力的竖直分量不变的情况下，拉力T应变小.由以上分析可知应选B. 例4 如图1—5所示，质量为M的劈块， 其左右劈面的倾角分别为θ1=30°、θ2=45°， 质量分别为m1=3kg和m2=的两物块， 同时分别从左右劈面的顶端从静止开始下滑，高中奥林匹克物理竞赛解题方法之七对称法
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