【真题】16年山东省聊城一中高三(上)数学期中试卷含答案(文科)

2016山东数学文理试题及解析（一）2016年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i解：复数z满足2z+=3﹣2i，设z=a+bi，可得：2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i．解得a=1，b=﹣2．z=1﹣2i．故选：B．2．设集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（）A．（﹣1，1）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（0，+∞）解：∵A={y|y=2x，x∈R}=（0，+∞），B={x|x2﹣1＜0}=（﹣1，1），∴A∪B=（0，+∞）∪（﹣1，1）=（﹣1，+∞）．故选：C．3．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A．56 B．60 C．120 D．140解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，故自习时间不少于22.5小时的频率为：0.7×200=140，故选：D4．若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（）A．4 B．9 C．10 D．12解：由约束条件作出可行域如图，∵A（0，﹣3），C（0，2），∴|OA|＞|OC|，联立，解得B（3，﹣1）．∵，∴x2+y2的最大值是10．故选：C．5．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（）A．+πB．+πC．+πD．1+π解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，半球的直径为棱锥的底面对角线，由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=．故R=，故半球的体积为：=π，棱锥的底面面积为：1，高为1，故棱锥的体积V=，故组合体的体积为：+π，故选：C6．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解：当“直线a和直线b相交”时，“平面α和平面β相交”成立，当“平面α和平面β相交”时，“直线a和直线b相交”不一定成立，故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件，故选：A7．函数f（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）的最小正周期是（）A．B．πC．D．2π解：数f（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）=2sin（x+）•2cos（x+）=2sin（2x+），∴T=π，故选：B8．已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（）A．4 B．﹣4 C．D．﹣解：∵4||=3||，cos＜，＞=，⊥（t+），∴•（t+）=t•+2=t||•||•+||2=（）||2=0，解得：t=﹣4，故选：B．9．已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2解：∵当x＞时，f（x+）=f（x﹣），∴当x＞时，f（x+1）=f（x），即周期为1．∴f（6）=f（1），∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），∴f（1）=﹣f（﹣1），∵当x＜0时，f（x）=x3﹣1，∴f（﹣1）=﹣2，∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，∴f（6）=2．故选：D．10．若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（）A．y=sinx B．y=lnx C．y=e x D．y=x3解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，当y=sinx时，y′=cosx，满足条件；当y=lnx时，y′=＞0恒成立，不满足条件；当y=e x时，y′=e x＞0恒成立，不满足条件；当y=x3时，y′=3x2＞0恒成立，不满足条件；故选：A二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为解：∵输入的a，b的值分别为0和9，i=1．第一次执行循环体后：a=1，b=8，不满足条件a＜b，故i=2；第二次执行循环体后：a=3，b=6，不满足条件a＜b，故i=3；第三次执行循环体后：a=6，b=3，满足条件a＜b，故输出的i值为：3，故答案为：312．若（ax2+）5的展开式中x5的系数是﹣80，则实数a= ．解：（ax2+）5的展开式的通项公式T r+1=（ax2）5﹣r=a5﹣r，令10﹣=5，解得r=2．∵（ax2+）5的展开式中x5的系数是﹣80∴a3=﹣80，得a=﹣2．13．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD 的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），由2|AB|=3|BC|，可得2•=3•2c，即为2b2=3ac，由b2=c2﹣a2，e=，可得2e2﹣3e﹣2=0，解得e=2（负的舍去）．故答案为：2．14．在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为解：圆（x﹣5）2+y2=9的圆心为（5，0），半径为3．圆心到直线y=kx的距离为，要使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交，则＜3，解得﹣＜k＜．∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交相交的概率为=．故答案为：．15．已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是解：当m＞0时，函数f（x）=的图象如下：∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，必须4m﹣m2＜m（m＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，∴m的取值范围是（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．三、解答题,：本大题共6小题，共75分.16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．（Ⅰ）证明：a+b=2c；（Ⅱ）求cosC的最小值．解：（Ⅰ）证明：由得：；∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；∴2sin（A+B）=sinA+sinB；即sinA+sinB=2sinC（1）；根据正弦定理，；∴，带入（1）得：；∴a+b=2c；（Ⅱ）a+b=2c；∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a=b时取等号；又a，b＞0；∴；∴由余弦定理，=；∴cosC的最小值为．17．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（Ⅱ）已知EF=FB=AC=2AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．证明：（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，∵G、H为EC、FB的中点，∴GQ，QH∥，又∵EF BO，∴GQ BO，∴平面GQH∥平面ABC，∵GH⊂面GQH，∴GH∥平面ABC．解：（Ⅱ）∵AB=BC，∴BO⊥AC，又∵OO′⊥面ABC，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，0，0），C（﹣2，0，0），B（0，2，0），O′（0，0，3），F（0，，3），=（﹣2，﹣，﹣3），=（2，2，0），由题意可知面ABC的法向量为=（0，0，3），设=（x0，y0，z0）为面FCB的法向量，则，即，取x0=1，则=（1，﹣1，﹣），∴cos＜，＞===﹣．∵二面角F﹣BC﹣A的平面角是锐角，∴二面角F﹣BC﹣A的余弦值为．18．已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．解：（Ⅰ）S n=3n2+8n，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=6n+5，n=1时，a1=S1=11，∴a n=6n+5；∵a n=b n+b n+1，∴a n﹣1=b n﹣1+b n，∴a n﹣a n﹣1=b n+1﹣b n﹣1．∴2d=6，∴d=3，∵a1=b1+b2，∴11=2b1+3，∴b1=4，∴b n=4+3（n﹣1）=3n+1；（Ⅱ）c n===6（n+1）•2n，∴T n=6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①，∴2T n=6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②，①﹣②可得﹣T n=6[2•2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1]=12+6×﹣6（n+1）•2n+1=（﹣6n）•2n+1=﹣3n•2n+2，∴T n=3n•2n+2．19．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．解：（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，故概率P=++=++=，（II）“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，则P（X=0）==，P（X=1）=2×[+]=，P（X=2）=+++=，P（X=3）=2×=，P（X=4）=2×[+]=P（X=6）==故X的分布列如下图所示：X 0 1 2 3 4 6P∴数学期望EX=0×+1×+2×+3×+4×+6×==20．已知f（x）=a（x﹣lnx）+，a∈R．（I）讨论f（x）的单调性；（II）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．（Ⅰ）解：由f（x）=a（x﹣lnx）+，得f′（x）=a（1﹣）+==（x＞0）．若a≤0，则ax2﹣2＜0恒成立，∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当a＞0，若0＜a＜2，当x∈（0，1）和（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（1，）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；若a=2，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上为增函数；若a＞2，当x∈（0，）和（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；（Ⅱ）解：∵a=1，令F（x）=f（x）﹣f′（x）=x﹣lnx﹣1=x﹣lnx+．∵e x＞1+x，∴x＞ln（1+x），∴e x﹣1＞x，则x﹣1＞lnx，∴F（x）＞=．令φ（x）=，则φ′（x）=（x∈[1，2]）．∴φ（x）在[1，2]上为减函数，则，∴F（x）＞恒成立．即f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．21．平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率是，抛物线E：x2=2y的焦点F是C的一个顶点．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．（i）求证：点M在定直线上；（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．解：（I）由题意可得e==，抛物线E：x2=2y的焦点F为（0，），即有b=，a2﹣c2=，解得a=1，c=，可得椭圆的方程为x2+4y2=1；（Ⅱ）（i）证明：设P（x0，y0），可得x02=2y0，由y=x2的导数为y′=x，即有切线的斜率为x0，则切线的方程为y﹣y0=x0（x﹣x0），可化为y=x0x﹣y0，代入椭圆方程，可得（1+4x02）x2﹣8x0y0x+4y02﹣1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=，即有中点D（，﹣），直线OD的方程为y=﹣x，可令x=x0，可得y=﹣．即有点M在定直线y=﹣上；（ii）直线l的方程为y=x0x﹣y0，令x=0，可得G（0，﹣y0），则S1=|FG|•|x0|=x0•（+y0）=x0（1+x02）；S 2=|PM|•|x 0﹣|=（y 0+）•=x 0•，则=，令1+2x 02=t （t ≥1），则====2+﹣=﹣（﹣）2+，则当t=2，即x 0=时，取得最大值，此时点P 的坐标为（，）．（二）2016年山东省高考数学试卷（文科）第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

2015-2016学年山东省烟台市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分.每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上.1．（5分）已知集合A={x|x＞﹣1}，A∪B=A，则集合B可以是（）A．{0，2}B．{﹣1，0，1}C．{x|x≤0}D．R2．（5分）已知角α终边与单位圆x2+y2=1的交点为，则=（）A．B．C．D．13．（5分）设x＞0，且1＜b x＜a x，则（）A．0＜b＜a＜1 B．0＜a＜b＜1 C．1＜b＜a D．1＜a＜b4．（5分）给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④5．（5分）若a＞0，b＞0，且a+2b﹣2=0，则ab的最大值为（）A．B．1 C．2 D．46．（5分）若x，y满足，则下列不等式恒成立的是（）A．y≥﹣1 B．x≥2 C．x+2y+2≥0 D．2x﹣y+1≥07．（5分）已知函数f（x）=x+，则函数y=f（x）的大致图象为（）A．B．C．D．8．（5分）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为（）A．1 B．2 C．D．9．（5分）函数y=cos（+φ）（0≤φ＜2π）在区间（﹣π，π）上单调递增，则φ的最大值是（）A．B． C． D．10．（5分）如果函数y=f（x）在区间I上是增函数，而函数y=在区间I上是减函数，那么称函数y=f（x）是区间I上“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”，若函数f（x）=是区间I上“缓增函数”，则“缓增区间”I为（）A．[1，+∞）B．C．[0，1]D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把正确答案填在答题卡的相应位置.11．（5分）若log x y=﹣2，则x2+y的值域为．12．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c、，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC 则b=．13．（5分）已知函数f（x）=则f（f（﹣1））=．14．（5分）如图所示，点P是函数y=2sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0）图象的最高点，M、N是图象与x轴的交点，若=0，则ω=．15．（5分）若关于x的函数f（x）=（t＞0）的最大值为M，最小值为N，且M+N=4，则实数t的值为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.16．（12分）已知向量=（cosθ，sinθ），=（2，﹣1）．（1）若⊥，求的值；（2）若|﹣|=2，，求的值．17．（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．18．（12分）已知平面向量=（cosφ，sinφ），=（cosx，sinx），=（sinφ，﹣cosφ），其中0＜φ＜π，且函数f（x）=（•）cosx+（•）sinx的图象过点（，1）．（1）求φ的值；（2）将函数y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在[0，]上的最大值和最小值．19．（12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB=3米，AD=2米．（Ⅰ）要使花坛AMPN的面积大于32平方米，求AN长的取值范围；（Ⅱ）若AN∈[3，4）（单位：米），则当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积．20．（13分）已知二次函数h（x）=ax2+bx+2，其导函数y=h′（x）的图象如图，f （x）=6lnx+h（x）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）在区间上是单调函数，求实数m的取值范围．21．（14分）已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx．（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；（2）设定义在D上的函数y=g（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为l：y=h（x）．当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=g（x）的“转点”．当a=8时，问函数y=f（x）是否存在“转点”？若存在，求出“转点”的横坐标；若不存在，请说明理由．2015-2016学年山东省烟台市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分.每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上.1．（5分）已知集合A={x|x＞﹣1}，A∪B=A，则集合B可以是（）A．{0，2}B．{﹣1，0，1}C．{x|x≤0}D．R【解答】解：集合A={x|x＞﹣1}，A∪B=A，则集合B可以是{0，2}．故选：A．2．（5分）已知角α终边与单位圆x2+y2=1的交点为，则=（）A．B．C．D．1【解答】解：由题意可得，cosα=，则=cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣，故选：A．3．（5分）设x＞0，且1＜b x＜a x，则（）A．0＜b＜a＜1 B．0＜a＜b＜1 C．1＜b＜a D．1＜a＜b【解答】解：∵1＜b x，∴b0＜b x，∵x＞0，∴b＞1∵b x＜a x，∴∵x＞0，∴∴a＞b∴1＜b＜a故选：C．4．（5分）给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④【解答】解：①是幂函数，其在（0，+∞）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；②中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+∞）内为减函数，故此项符合要求；③中的函数图象是由函数y=x﹣1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；④中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意．故选：B．5．（5分）若a＞0，b＞0，且a+2b﹣2=0，则ab的最大值为（）A．B．1 C．2 D．4【解答】解：：∵a＞0，b＞0，a+2b=2∴∴ab当且仅当a=2b=1即a=1，b=时取等号∴ab的最大值为故选：A．6．（5分）若x，y满足，则下列不等式恒成立的是（）A．y≥﹣1 B．x≥2 C．x+2y+2≥0 D．2x﹣y+1≥0【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，对可行域内的点不等式恒成立的是2x﹣y+1=0．故选：D．7．（5分）已知函数f（x）=x+，则函数y=f（x）的大致图象为（）A．B．C．D．【解答】解：①当x＞0时，f（x）=，由基本不等式知：≥，且当x=1时取等号，即x=1时，函数有最小值2，排除BC，②当x＜0时，f（x）=x﹣，因为x、都是增函数，故函数f（x）=x﹣为增函数，只有D符合，故选：D．8．（5分）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为（）A．1 B．2 C．D．【解答】解：由题意，如图，因为AD=AB，BE=BC，∴，又（λ1，λ2为实数），∴，∴λ1+λ2=．故选：C．9．（5分）函数y=cos（+φ）（0≤φ＜2π）在区间（﹣π，π）上单调递增，则φ的最大值是（）A．B． C． D．【解答】解：∵函数y=cos（+φ）（0≤φ＜2π）在区间（﹣π，π）上单调递增，∴（﹣π）+φ≥π+2kπ，且•π+φ≤2π+2kπ，k∈z，解得2kπ+≤φ≤+2kπ．再结合0≤φ＜2π，可得φ的最大值是，故选：C．10．（5分）如果函数y=f（x）在区间I上是增函数，而函数y=在区间I上是减函数，那么称函数y=f（x）是区间I上“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”，若函数f（x）=是区间I上“缓增函数”，则“缓增区间”I为（）A．[1，+∞）B．C．[0，1]D．【解答】解：f（x）=在区间[1，+∞）上是增函数，y==x﹣1+，y′=﹣•=；故y==x﹣1+在[﹣，]上是减函数，故“缓增区间”I为[1，]；故选：D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把正确答案填在答题卡的相应位置.11．（5分）若log x y=﹣2，则x2+y的值域为（2，+∞）．【解答】解：log x y=﹣2，可得y=x﹣2，x＞0且x≠1，x2+y=x2+x﹣2=x2+＞2=2．所以x2+y的值域为：（2，+∞）；故答案为：（2，+∞）．12．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c、，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC 则b=4．【解答】解：∵sinAcosC=3cosAsinC，∴∴2c2=2a2﹣b2∵a2﹣c2=2b，∴b2=4b∵b≠0∴b=4故答案为：413．（5分）已知函数f（x）=则f（f（﹣1））=1．【解答】解：函数f（x）=则f（﹣1）=，f（f（﹣1））=f（）==1．故答案为：1．14．（5分）如图所示，点P是函数y=2sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0）图象的最高点，M、N是图象与x轴的交点，若=0，则ω=．【解答】解：，点P是函数y=2sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0）图象的最高点，M、N 是图象与x轴的交点，若=0，所以OP=2，MO=OM=2，所以T=8，因为T=，所以ω=故答案为：15．（5分）若关于x的函数f（x）=（t＞0）的最大值为M，最小值为N，且M+N=4，则实数t的值为2．【解答】解：由题意，f（x）==t+，显然函数g（x）=是奇函数，∵函数f（x）最大值为M，最小值为N，且M+N=4，∴M﹣t=﹣（N﹣t），即2t=M+N=4，∴t=2，故答案为：2．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.16．（12分）已知向量=（cosθ，sinθ），=（2，﹣1）．（1）若⊥，求的值；（2）若|﹣|=2，，求的值．【解答】解：（1）若⊥，则=2cosθ﹣sinθ=0，tanθ==2，∴===．（2）∵||=1，||=，若|﹣|=2，，则有﹣2+=4，即1﹣2+5=4，解得=1，即2cosθ﹣sinθ=1，平方可得4cos2θ﹣4sinθcosθ+sin2θ=1，化简可得3cos2θ﹣4sinθcosθ=0，即ta nθ=．再利用同角三角函数的基本关系sin2θ+cos2θ=1，求得cosθ=，sinθ=，∴=sinθ+cosθ=．17．（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，∴b=•sinB=×=3．（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，∴S=a•b•sinC=×3×3×=．18．（12分）已知平面向量=（cosφ，sinφ），=（cosx，sinx），=（sinφ，﹣cosφ），其中0＜φ＜π，且函数f（x）=（•）cosx+（•）sinx的图象过点（，1）．（1）求φ的值；（2）将函数y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）∵…（1分）…（2分）∴f（x）=（=cos（φ﹣x）cosx+sin（φ﹣x）sinx=cos（φ﹣x﹣x）=cos（2x﹣φ），…（4分）即f（x）=cos（2x﹣φ）∴f（﹣φ）=1，而0＜φ＜π，∴φ=．…（6分）（2）由（1）得，f（x）=cos（2x﹣），于是g（x）=cos（2（），即g（x）=cos（x﹣）．…（9分）当x∈[0，]时，﹣，所以）≤1，…（11分）即当x=0时，g（x）取得最小值，当x=时，g（x）取得最大值1．…（12分）19．（12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB=3米，AD=2米．（Ⅰ）要使花坛AMPN的面积大于32平方米，求AN长的取值范围；（Ⅱ）若AN∈[3，4）（单位：米），则当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积．【解答】解：设AN的长为x米（x＞2）由于，则AM=故S AMPN=AN•AM=…（3分）（Ⅰ）由花坛AMPN的面积大于32平方米，得＞32，∴2＜x＜或x＞8，即AN长的取值范围是（2，）∪（8，+∞）．…（6分）（Ⅱ）令y=，则y′=因为当x∈[3，4）时，y′＜0，所以函数y=在[3，4）上为单调递减函数，…（9分）从而当x=3时y=取得最大值，即花坛AMPN的面积最大27平方米，此时AN=3米，AM=9米…（12分）20．（13分）已知二次函数h（x）=ax2+bx+2，其导函数y=h′（x）的图象如图，f （x）=6lnx+h（x）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）在区间上是单调函数，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由已知，h′（x）=2ax+b，其图象为直线，且过（0，﹣8），（4，0）两点，把两点坐标代入h′（x）=2ax+b，∴，解得：，∴h（x）=x2﹣8x+2，h′（x）=2x﹣8，∴f（x）=6lnx+x2﹣8x+2，（2）f′（x）=+2x﹣8，∵x＞0，∴x，f′（x），f（x）的变化如下：∴f（x）的单调递增区间为（0，1）和（3，+∞）∴f（x）的单调递减区间为（1，3）要使函数f（x）在区间（1，m+）上是单调函数，则，解得：＜m≤．21．（14分）已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx．（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；（2）设定义在D上的函数y=g（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为l：y=h（x）．当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=g（x）的“转点”．当a=8时，问函数y=f（x）是否存在“转点”？若存在，求出“转点”的横坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f′（x）=2x﹣3+=，当f′（x）＞0时，0＜x＜，或x＞1，当f′（x）＜0时，＜x＜1，∴f（x）在（0，）和（1，+∞）递增，在（，1）递减；=﹣+ln，∴x=时，f（x）极大值x=1时，f（x）极小值=﹣2；（Ⅱ）a=8时，由y=f（x）在其图象上一点P（x0，f（x0））处的切线方程，得h（x）=（2x0+﹣10）（x﹣x0）+﹣10x0+8lnx0，设F（x）=f（x）﹣h（x）=，则F（x0）=0，F′（x）=f′x）﹣h′（x）=（2x+﹣10）﹣（2x0+﹣10）=（x﹣x0）（x﹣）；当0＜x 0＜2时，F （x ）在（x 0，）上递减，∴x ∈（x 0，）时，F （x ）＜F （x 0）=0，此时＜0，x 0＞2时，F （x ）在（，x 0）上递减；∴x ∈（，x 0）时，F （x ）＞F （x 0）=0，此时＜0，∴y=f （x ）在（0，2），（2，+∞）不存在“转点”，x 0=2时，F′（x ）=（x ﹣2）2，即F （x ）在（0，+∞）上是增函数； x ＞x 0时，F （x ）＞F （x 0）=0，x ＜x 0时，F （x ）＜F （x 0）=0， 即点P （x 0，f （x 0））为“转点”，故函数y=f （x ）存在“转点”，且2是“转点”的横坐标．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m nm na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,mm m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。

2015-2016学年山东省聊城四中高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡上）1．设U={2，5，7，8}，A={2，5，8}，B={2，7，8}，则∁U（A∪B）等于( ) A．{2，8} B．∅C．{5，7，8} D．{2，5，7，8}2．“a＞0”是“|a|＞0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．设命题p：∅=0，q：∈R，则下列结论正确的是( )A．p∧q为真B．p∨q为真C．p为真D．￢p为真4．若a、b是任意实数，且a＞b，则( )A．a2＞b2B．C．lg（a﹣b）＞0 D．5．设m=a2+a﹣2，n=2a2﹣a﹣1，其中a∈R，则( )A．m＞n B．m≥n C．m＜n D．m≤n6．函数f（x）=+lg（x+1）的定义域为( )A．（﹣∞，﹣1） B．（1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．R7．函数f（x）=2x2﹣mx+3，在x∈时为减函数，则f（1）等于( )A．﹣3 B．13 C．7 D．由m的值而定8．设f（x）是定义在R上的奇函数，且在【解答】解：∵a＞0⇒|a|＞0，|a|＞0⇒a＞0或a＜0即|a|＞0不能推出a＞0，∴a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件故选A【点评】本题根据充要条件的概念考查充要条件的判断，是基础题．3．设命题p：∅=0，q：∈R，则下列结论正确的是( )A．p∧q为真B．p∨q为真C．p为真D．￢p为真【考点】复合命题的真假．【专题】对应思想；综合法；简易逻辑．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假．【解答】解：命题p：∅=0是假命题，命题q：∈R是真命题，故p∨q是真命题，故选：B．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查集合问题，是一道基础题．4．若a、b是任意实数，且a＞b，则( )A．a2＞b2B．C．lg（a﹣b）＞0 D．【考点】不等式比较大小．【专题】综合题．【分析】由题意可知a＞b，对于选项A、B、C举出反例判定即可．【解答】解：a、b是任意实数，且a＞b，如果a=0，b=﹣2，显然A不正确；如果a=0，b=﹣2，显然B无意义，不正确；如果a=0，b=﹣，显然C，lg＞0，不正确；满足指数函数的性质，正确．故选D．【点评】本题考查比较大小的方法，考查各种代数式的意义和性质，是基础题．5．设m=a2+a﹣2，n=2a2﹣a﹣1，其中a∈R，则( )A．m＞n B．m≥n C．m＜n D．m≤n【考点】不等式比较大小．【专题】应用题；整体思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】先作差，再配方，即可比较大小．【解答】解：n﹣m=2a2﹣a﹣1﹣a2﹣a+2=a2﹣2a+1=（a﹣1）2≥0，故m≤n，故选：D．【点评】本题考查了利用作差法比较大小，属于基础题．6．函数f（x）=+lg（x+1）的定义域为( )A．（﹣∞，﹣1） B．（1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．R【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】由分式的分母不为0，对数式的真数大于0联立不等式组得答案．【解答】解：由，解得x＞﹣1且x≠1．∴函数f（x）=+lg（x+1）的定义域为（﹣1，1）∪（1，+∞）．故选：C．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，是基础题．7．函数f（x）=2x2﹣mx+3，在x∈时为减函数，则f（1）等于( )A．﹣3 B．13 C．7 D．由m的值而定【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】根据题意，分析可得，对称轴方程与x=﹣2相等，求出m再代入计算f（1）即可．【解答】解：因为二次函数单调区间的分界点为其对称轴方程，所以x==﹣2，∴m=﹣8⇒f （1）=2×12﹣（﹣8）×1+3=13．故选 B【点评】本题考查二次函数图象的对称性，是基础题．二次函数是在中学阶段研究最透彻的函数之一，二次函数的图象是抛物线，在解题时要会根据二次函数的图象分析问题，如二次函数的对称轴方程，顶点坐标等．8．设f（x）是定义在R上的奇函数，且在【解答】解：sin•cos=，可得sinx=．sin（π﹣x）=sinx=．故选：A．【点评】本题考查二倍角公式以及诱导公式的应用，考查计算能力．13．已知角α终边经过点 P（﹣5，﹣12），则 tanα的值是( )A．B．﹣C．D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得tanα的值．【解答】解：由于角α终边经过点 P（﹣5，﹣12），则 tanα==，故选：A．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．14．已知=﹣5，那么tanα的值为( )A．﹣2 B．2 C．D．﹣【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】已知条件给的是三角分式形式，且分子和分母都含正弦和余弦的一次式，因此，分子和分母都除以角的余弦，变为含正切的等式，解方程求出正切值．【解答】解：由题意可知：cosα≠0，分子分母同除以cosα，得=﹣5，∴tanα=﹣．故选D．【点评】同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角三角函数间的相互关系，其主要应用于同角三角函数的求值和同角三角函数之间的化简和证明．在应用这些关系式子的时候就要注意公式成立的前提是角对应的三角函数要有意义．15．设x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则（+）•（﹣）的值是( )A．x B．1 C．0 D．﹣1【考点】平面向量数量积的运算．【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用．【分析】根据⊥求出x，代入计算．【解答】解：∵⊥，∴=x﹣2=0，x=2，∴2=5， 2=5，∴（+）•（﹣）=2﹣2=0．故选C．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，是基础题．16．如果函数y=2x2+（2a﹣b）x+b，当y＜0时，有1＜x＜2，则a、b的值为( ) A．a=﹣1，b=﹣4 B． a=﹣，b=2 C．a=﹣1，b=4 D．a=1，b=﹣4【考点】二次函数的性质．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】由已知可得1，2是方程2x2+（2a﹣b）x+b=0的两根，由韦达定理得：，解得答案．【解答】解：∵当y＜0时，有1＜x＜2，∴1，2是方程2x2+（2a﹣b）x+b=0的两根，由韦达定理得：，解得：a=﹣1，b=4，故选：C．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．17．已知tanθ=2，则sinθcosθ=( )A． B． C．±D．±【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得sinθcosθ的值．【解答】解：∵tanθ=2，则sinθcosθ===，故选：B．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．18．把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移个单位，这时对应于这个图象的解析式为( )A．y=cos2x B．y=﹣sin2x C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象周期变换法则，我们可得到把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，对应图象的解析式，再根据函数图象的平移变换法则，可得到再把图象向左平移个单位，这时对应于这个图象的解析式．【解答】解：函数y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，可以得到函数y=sin2x的图象再把图象向左平移个单位，以得到函数y=sin2（x+）=cos2x的图象故选A【点评】本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，其中熟练掌握函数y=Asin （ωx+φ）的图象的平移变换、周期变换、振幅变换法则是解答本题的关键．19．在△ABC中，已知AB=AC，∠B=30°，则∠A=( )A．45° B．15° C．45°或135°D．15°或105°【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】由正弦定理可解得sinC，结合范围C∈（0，180°），可得C，利用三角形内角和定理即可求A的值．【解答】解：∵AB=AC，∠B=30°，∴由正弦定理，可得：sinC===，∴由C∈（0，180°），可得：C=45°，或135°．∴可得：A=180°﹣B﹣C=105°，或15°．故选：D．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，正弦函数的图象和性质，属于基础题．20．数列{a n}满足a1=1，S n=n，则a2012=( )A．1 B．2010 C．2011 D．2012【考点】数列的求和．【专题】计算题；函数思想；等差数列与等比数列．【分析】求出数列的通项公式，即可得到结果．【解答】解：数列{a n}满足a1=1，S n=n，可得a n=1，则a2012=1．故选：A．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查计算能力．二、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共20分．请将答案填在答案卷相应题号的横线上）22．等差数列{a n}中，若a1+a4+a7=15，a3+a6+a9=3，则S9=27．【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a4=5，a6=1，进而可得a5=3，而S9=9a5，计算可得．【解答】解：由等差数列的性质可得a1+a4+a7=3a4=15，a3+a6+a9=3a6=3，解之可得a4=5，a6=1，故a4+a6=6，即2a5=6，a5=3，故S9===27故答案为：27【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属中档题．23．等比数列{a n}中，a1=9，a5=4，则a3=6．【考点】等比数列的性质．【专题】计算题；函数思想；定义法；等差数列与等比数列．【分析】直接利用等比中项公式求解即可．【解答】解：等比数列{a n}中，a1=9，a5=4，则a3=±=±6．a3=﹣6（舍去）．故答案为：6．【点评】本题考查等比数列的性质，等比中项的求法，是易错题．24．设=（，sinα），=（cosα，），且，则锐角α为．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题．【分析】由已知中=（，sina），=（cosa，），，我们易构造一个三角方程，解方程即可求出锐角a的大小．【解答】解：∵=（，sina），=（cosa，），又∵，∴sina•cosa﹣•=0即sina•cosa=即sin2a=1又∵α为锐角故α=故答案为：【点评】本题考查的知识点是平面向量共线（平行）的坐标表示，其中根据向量平行的充要条件，构造三角方程，是解答本题的关键．三、解答题（本大题共5个小题，共40分.请在答案卷相应的题号处写出解答过程）26．等比数列{a n}中，a1+a4=20，a2+a5=40，求它的前6项和s6．【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a4=20，a2+a5=40，∴q（a1+a4）=20q=40，解得q=2，=20，解得a1=．∴S6==140．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．27．已知等差数列{a n}中，公差d＞0，且a2、a6是一元二次方程x2﹣8x+14=0的根．（1）求数列{a n}的通项公式a n．（2）求数列{a n}的前10项和．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）由韦达定理得a2=2，a2=14，由此利用等差数列通项公式能求出首项和公差，由此能求出通项公式．（2）由等差数列的首项和公差，能求出数列{a n}的前10项和．【解答】解：（1）由题意得：一元二次方程的根为2，14，∵公差d＞0，∴a2=2，a2=14，…即，…解得a1=﹣1，d=3，…∴通项公式a n=﹣1+（n﹣1）×3=3n﹣4．…（2）∵得a1=﹣1，d=3，∴S10==125．…【点评】本题考查等差数列的通项公式和前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．28．已知△ABC中，∠A、∠B、∠C成等差数列，且，．求：（1）求∠A，∠C的大小．（2）求△ABC的面积．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】（1）由等差数列的性质及三角形内角和定理可求∠B=60°，由正弦定理可求sinA，∠A，即可得解．（2）利用三角形面积公式即可得解．【解答】解：（1）∵∠A、∠B、∠C成等差数列，∴2∠B=∠A+∠C，又∵∠A+∠B+∠C=180°．∴∠B=60°．…由正弦定理得：，…解得：sinA=，…所以∠A=45°或∠A=135°，…因为135°+60°＞180°，所以∠A=135°应舍去，即∠A=45°．所以∠C=180°﹣45°﹣60°=75°…（2）…=3…【点评】本题主要考查了等差数列的性质及三角形内角和定理，正弦定理，三角形面积公式的应用，考查了计算能力，属于中档题．29．一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x（件）与售价P（元/件）之间的关系为P=160﹣2x，生产x件的成本R=500+30x元．（1）该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？（2）当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】（1）设该厂的月获利为y，则y=（160﹣2x）x﹣（500+30x）=﹣2x2+130x﹣500，解不等式﹣2x2+130x﹣500≥1300；（2）由（1）知，利用配方法求y=﹣2x2+130x﹣500=﹣2（x﹣）2+1612.5的最大值及最大值点．【解答】解：（1）设该厂的月获利为y，由题意得，y=（160﹣2x）x﹣（500+30x）=﹣2x2+130x﹣500，由y≥1300得，﹣2x2+130x﹣500≥1300，∴x2﹣65x+900≤0，∴（x﹣20）（x﹣45）≤0，解得20≤x≤45；∴当月产量在20～45件之间时，月获利不少于1300元．（2）由（1）知y=﹣2x2+130x﹣500=﹣2（x﹣）2+1612.5∵x为正整数，∴x=32或33时，y取得最大值为1612元，∴当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元．【点评】本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力，同时考查了配方法求函数的最值，属于中档题．30．已知（1）将函数化为正弦型函数y=Asin（ωx+φ）的形式；（2）求函数的最小正周期及单调递增区间．【考点】三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由条件利用三角恒等变换，化简函数的解析式．（2）根据函数的解析式再利用正弦函数的周期性和单调性，求得函数的最小正周期及单调递增区间．【解答】解：（1）∵=sin2x+cos2x=sin（2x+）．（2）根据y=sin（2x+），求得它的最小正周期为=π．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得它的单调递增区间为：，k∈Z．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，属于基础题．。

聊城一中2016级高三第一学期期中考试数学（理科）试题命题人：毛士奇 审题人：王子国 做题人：崔金霞一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合},12|{R x y y A x ∈+==，}021|{≥-+=x x x B ，则A ∩（∁R B ）=( ) A ．[2，+∞）B ．[1，2]C ．（1，2]D ．（﹣∞，1]2.若复数z 满足i z i 2)1(-=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数z 的模为（ ） A ．2 B ．i +1 C ．22 D ．223．下列命题中正确的是（ ）A ．“1>x ” 是“1)1(log 2>+x ”的充分不必要条件B ．若0,x >则sin x x >恒成立C ．命题“()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是“()0,,ln 1x x x ∀∉+∞≠-”D ．命题“若22=x ，则x x ==的逆否命题是“若x x ≠≠，则22x ≠”4．等比数列}{n a 中，610=a ，则数列}{log 6n a 的前19项和等于 ( ) A ．6 B ．9 C ．12D ．195．已知函数()()()()()()32311,03log 1,x x f x f f a f a ax x x ⎧+<⎪===⎨-≥⎪⎩，则（ ） A ．8 B ．6 C ．3 D ．16．已知函数21co s 2sin 23)(2-+=x x x f ，若其图象是由y=sin2x 图象向左平移ϕ（)0>ϕ）个单位得到，则ϕ的最小值为（ ）A ．π6B ．5π6 C ．π12D ．5π127．已知M 是△ABC 内的一点，且34=⋅AC AB ，︒=∠30BAC ，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为1，x ，y ，则xyxy 4+的最小值是（ ） A ．2B ．8C ．6D ．38．设l 、m 、n 表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，给出下列4个命题： ①若m ∥l ，且m ⊥α，则l ⊥α； ②若m ∥l ，且m ∥α，则l ∥α；③若l =βα ，m =γβ ，n =αγ ，则l ∥m ∥n ； ④若m =βα ，l =γβ ，n =αγ ，且n ∥β，则m ∥l . 其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≤-ay y x y x 102，若y x z +=的最大值为6，则y a x +的最小值为（ ）A.4B.21 C.3 D.41 10.函数()f x 图像如右图，在定义域(－π2，π)内可导，且其导函数为'()f x ，则不等式0sin )(<⋅'x x f 的解集为( )A ．(－π4，0)∪(π3，3π4)B ．(－π2，－π4)∪(π3，3π4)C ．(－π4，3π4)D ．(－π2，－π4)∪(0，π3)∪(3π4，π)11．已知函数)(x f 是定义在 R 上的奇函数，且⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=)2(,2)20(,)(2x e x x x x x f x，若函数m x f x F -=)()(有5个零点，则实数m 的取值范围是（ ）．A.)1,1(33e e -B ．)41,0()0,1(3 e -C ．]0,1(3e - D. )0,1(3e -12． 已知函数aex e e a e x f x x--+=)(21)(2（其中e R a ,∈为自然对数底数）在1=x 处取得极小值，则a 的取值范围是（ ） A ．0<aB ．e a ->C ．0<≤-a eD ．e a -<二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线b kx y += ，当]4,3[-∈x 时，]13,8[-∈y ，则此直线的方程为 （写成直线方程的斜截式形式）14．若}{n a 是等差数列，首项01>a ，010101009>+a a ，010101009<⋅a a ，则使前n 项和0>n S 成立的最大自然数n 是15. 计算：=︒+︒++︒-︒-︒)28tan 1)(17tan 1(12sin )212cos 4(312tan 216.如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．下列命题正确的为 .①存在点E ，使得11C A //平面1BED F ； ②对于任意的点E ，平面11AC D ⊥平面1BED F ； ③存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F ；④对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变．三．解答题：共70分。

2015-2016学年山东省青岛市城阳一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={y|y=2x，x＞0}，R是实数集，则（∁R B）∪A等于（）A．R B．（﹣∞，0）∪1，+∞）C．（0，1） D．（﹣∞，1]∪（2，+∞）2．（5分）已知，若共线，则实数x=（）A．B．C．1 D．23．（5分）函数的定义域是（）A．B．C．D．4．（5分）已知角α的终边经过点P（﹣1，2），则tan（α+）的值是（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣5．（5分）已知函数f（x）=．若f（1）=f（﹣1），则实数a的值等于（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）在△ABC中，C=90°，且CA=CB=3，点M满足等于（）A．2 B．3 C．4 D．67．（5分）过原点作曲线y=lnx的切线，则切线斜率为（）A．e2B．C．e D．8．（5分）下列命题错误的是（）A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”B．若命题，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0C．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件D．若向量，满足•＜0，则与的夹角为钝角9．（5分）若函数f（x）=log a（x+b）的大致图象如图，其中a，b为常数，则函数g（x）=a﹣x+b的大致图象是（）A．B．C．D．10．（5分）若不等式≤a≤在t∈（0，2]上恒成立，则a的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，2]二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，那么它的通项公式为a n=．12．（5分）函数的图象，其部分图象如图所示，则f（x）=．13．（5分）已知函数f（x）=log2x+x﹣2的零点在区间（n，n+1）（n∈Z）内，则n=．14．（5分）已知函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），当a，b∈（﹣∞，0）时总有，若f（m+1）＞f（2m），则实数m的取值范围是．15．（5分）有下列命题：①的图象关于直线x=对称；②y=的图象关于点（﹣1，1）对称；③关于x的方程ax2﹣2ax﹣1=0有且仅有一个实根，则a=﹣1；④满足条件AC=，∠B=60°，AB=1的三角形△ABC有两个．其中真命题的序号是．三、解答题：本大题6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知，，．（Ⅰ）求向量与的夹角θ；（Ⅱ）求及向量在方向上的投影．17．（12分）已知等差数列{a n}满足：a5=11，a2+a6=18．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+2n，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）已知向量（ω＞0），函数f（x）=，若函数f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若将函数f（x）的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，bcosC=a﹣c．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=1，求a+c的最大值．20．（13分）设函数f（x）=+lnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）如果对于任意的，都有x1•f（x1）≥g（x2）成立，试求实数a的取值范围．21．（14分）设函数f（x）=lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．2015-2016学年山东省青岛市城阳一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={y|y=2x，x＞0}，R是实数集，则（∁R B）∪A等于（）A．R B．（﹣∞，0）∪1，+∞）C．（0，1） D．（﹣∞，1]∪（2，+∞）【解答】解：∵A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＜0或x＞2}=（﹣∞，0）∪（2，+∞），B={y|y=2x，x＞0}={y|y＞1}，∴∁R B={y|y≤1}=（﹣∞，1]，∴（∁R B）∪A=（﹣∞，1]∪（2，+∞）．故选：D．2．（5分）已知，若共线，则实数x=（）A．B．C．1 D．2【解答】解：∵，∴∵与共线，∴1×1﹣2×（1﹣x）=0∴x=故选：B．3．（5分）函数的定义域是（）A．B．C．D．【解答】解：由函数，可得．解得﹣＜x＜2，故选：B．4．（5分）已知角α的终边经过点P（﹣1，2），则tan（α+）的值是（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣【解答】解：由题意知tanα=﹣2，∴===﹣，故选：D．5．（5分）已知函数f（x）=．若f（1）=f（﹣1），则实数a的值等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵f（1）=f（﹣1），∴a1=log2（1﹣（﹣1）），故a=1；故选：A．6．（5分）在△ABC中，C=90°，且CA=CB=3，点M满足等于（）A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：由题意得AB=3，△ABC是等腰直角三角形，•=（）•=+=0+||•||cos45°=×3×3×=3，故选：B．7．（5分）过原点作曲线y=lnx的切线，则切线斜率为（）A．e2B．C．e D．【解答】解：解：设切点坐标为（a，lna），∵y=lnx，∴y′=，切线的斜率是，切线的方程为y﹣lna=（x﹣a），将（0，0）代入可得lna=1，∴a=e，∴切线的斜率是=；故选：D．8．（5分）下列命题错误的是（）A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”B．若命题，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0C．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件D．若向量，满足•＜0，则与的夹角为钝角【解答】解：A．依据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，可知：命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”．可判断出A正确．B．依据命题的否定法则：“命题：∃x0∈R，﹣x0+1≤0”的否定应是“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，故B是真命题．C．由于，在△ABC中，∵0＜A+B＜π，∴0，∴，又0＜B＜A＜π，∴0＜A﹣B＜π，∴，∴．据以上可知：在△ABC中，sinA＞sinB⇔＞0⇔A＞B．故在△ABC中，sinA ＞sinB是A＞B的充要条件．因此C正确．D．由向量，∴，∴的夹角，∴向量与的夹角不一定是钝角，亦可以为平角π，∴可以判断出D是错误的．故选：D．9．（5分）若函数f（x）=log a（x+b）的大致图象如图，其中a，b为常数，则函数g（x）=a﹣x+b的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由函数f（x）=log a（x+b）的图象为减函数可知0＜a＜1，f（x）=log a（x+b）的图象由f（x）=log a x向左平移可知0＜b＜1，故函数g（x）=a﹣x+b的大致图象是A，故选：A．10．（5分）若不等式≤a≤在t∈（0，2]上恒成立，则a的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，2]【解答】解：∵函数y==+，在t∈（0，2]上为减函数∴当t=2时，的最小值为1；又∵≤=，当且仅当t=3时等号成立∴函数y=在区间（0，2]上为增函数可得t=2时，的最大值为∵不等式≤a≤在t∈（0，2]上恒成立，∴（）max≤a≤（）min，即≤a≤1可得a的取值范围是[，1]二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，那么它的通项公式为a n=2n．【解答】解：a1=S1=1+1=2，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+n）﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=2n．当n=1时，2n=2=a1，∴a n=2n．故答案为：2n．12．（5分）函数的图象，其部分图象如图所示，则f（x）=2sin（x﹣）．【解答】解：由函数f（x）的图象可得A=2，=•=﹣，求得ω=1，在根据五点法作图可得1×+φ=0，求得φ=﹣，故f（x）=2sin（x﹣），故答案为：．13．（5分）已知函数f（x）=log2x+x﹣2的零点在区间（n，n+1）（n∈Z）内，则n=1．【解答】解：由于函数f（x）=log2x+x﹣2在（0，+∞）是增函数，且f（1）=﹣1＜0，f（2）=1＞0，∴f（1）f（2）＜0，故函数f（x）=log2x+x﹣2的零点在区间（1，2）内有唯一零点．再根据函数f（x）=log2x+x﹣2的零点在区间（n，n+1）（n∈Z）有零点，可得n=1，故答案为：1．14．（5分）已知函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），当a，b∈（﹣∞，0）时总有，若f（m+1）＞f（2m），则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）．【解答】解：∵函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），∴函数f（x）是偶函数又∵当a，b∈（﹣∞，0）时总有，∴函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增函数根据偶函数的性质可知函数f（x）在（0，+∞）上单调递减函数∵f（m+1）＞f（2m），∴f（|m+1|）＞f（|2m|），即|m+1|＜|2m|，则（m+1）2＜4m2，（3m+1）（1﹣m）＜0，m＞1或m＜﹣，解得：m∈（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）故答案为：（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）15．（5分）有下列命题：①的图象关于直线x=对称；②y=的图象关于点（﹣1，1）对称；③关于x的方程ax2﹣2ax﹣1=0有且仅有一个实根，则a=﹣1；④满足条件AC=，∠B=60°，AB=1的三角形△ABC有两个．其中真命题的序号是①③．【解答】解：①={+}=cos2x，当x=时，y取最小值，故函数图象关于直线x=对称，故①正确；函数y==+1的图象由函数y=的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，函数y=的图关于点（0，0）对称，故函数y=的图象关于点（1，1）对称，故②错误；关于x的方程ax2﹣2ax﹣1=0有且仅有一个实根，则，即a=﹣1，故③正确；满足条件AC=，∠B=60°，AB=1的三角形△ABC有且只有一个，故④错误；故正确的命题的序号为：①③，故答案为：①③三、解答题：本大题6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知，，．（Ⅰ）求向量与的夹角θ；（Ⅱ）求及向量在方向上的投影．【解答】解：（Ⅰ）因为，，．所以，即16﹣8cosθ﹣3=9，所以cosθ=，因为θ∈[0，π]，所以；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以==5，||=，所以向量在方向上的投影为：．17．（12分）已知等差数列{a n}满足：a5=11，a2+a6=18．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+2n，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的首项为a1，公差为d，由a5=11，a2+a6=18，得，解得a1=3，d=2，所以a n=2n+1；（Ⅱ）由a n=2n+1得，则=．18．（12分）已知向量（ω＞0），函数f（x）=，若函数f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若将函数f（x）的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．【解答】解：（1）f（x））==2cosωx（sinωx﹣cosωx）﹣2+3=sin2ωx﹣cos2ωx=，∵，∴．令，求得f（x）的增区间为．（2）将函数f（x）的图象先向左平移个单位，得到y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）的图象；然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）=sin（4x+）的图象，故，∵，、∴，故函数g（x）的值域是．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，bcosC=a﹣c．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=1，求a+c的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴b2﹣c2=a2﹣ac∴b2=a2+c2﹣ac，∴，又∵；（Ⅱ）∵b2=a2+c2﹣2accosB，∴1=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac，∵当且仅当a=c时等号成立，∴，即a+c≤2．即有a+c的最大值为2．20．（13分）设函数f（x）=+lnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）如果对于任意的，都有x1•f（x1）≥g（x2）成立，试求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，若，则f'（x）≥0，函数f（x）单调递增；若，则f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；所以，函数f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增．…（4分）（Ⅱ），，可见，当时，g'（x）≥0，g（x）在区间单调递增，当时，g'（x）≤0，g（x）在区间单调递减，而，所以，g（x）在区间上的最大值是1，依题意，只需当时，xf（x）≥1恒成立，即恒成立，亦即a≥x﹣x2lnx；…（8分）令，则h'（x）=1﹣x﹣2xlnx，显然h'（1）=0，当时，1﹣x＞0，xlnx＜0，h'（x）＞0，即h（x）在区间上单调递增；当x∈（1，2]时，1﹣x＜0，xlnx＞0，h'（x）＜0，（1，2]上单调递减；所以，当x=1时，函数h（x）取得最大值h（1）=1，故a≥1，即实数a的取值范围是[1，+∞）．…（12分）21．（14分）设函数f（x）=lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当m=e时，f（x）=lnx+，∴f′（x）=；∴当x∈（0，e）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，e）上是减函数；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上是增函数；∴x=e时，f（x）取得极小值为f（e）=lne+=2；（Ⅱ）∵函数g（x）=f′（x）﹣=﹣﹣（x＞0），令g（x）=0，得m=﹣x3+x（x＞0）；设φ（x）=﹣x3+x（x＞0），∴φ′（x）=﹣x2+1=﹣（x﹣1）（x+1）；当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上是增函数，当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上是减函数；∴x=1是φ（x）的极值点，且是极大值点，∴x=1是φ（x）的最大值点，∴φ（x）的最大值为φ（1）=；又φ（0）=0，结合y=φ（x）的图象，如图；可知：①当m＞时，函数g（x）无零点；②当m=时，函数g（x）有且只有一个零点；③当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；④当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；综上，当m＞时，函数g（x）无零点；当m=或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；（Ⅲ）对任意b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），则h（b）＜h（a）．∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；∵h′（x）=﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m≥﹣x2+x=﹣+（x＞0），∴m≥；对于m=，h′（x ）=0仅在x=时成立； ∴m 的取值范围是[，+∞）．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m nm na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,mm m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。

2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文数本卷满分150分,考试时间120分钟.参考公式:如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷(选择题,共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5},则∁U(A∪B)=( )A.{2,6}B.{3,6}C.{1,3,4,5}D.{1,2,4,6}2.若复数z=2,其中i为虚数单位,则z=( )1-iA.1+IB.1-iC.-1+iD.-1-i3.某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )A.56B.60C.120D.1404.若变量x,y 满足{x +y ≤2,2x -3y ≤9,x ≥0,则x 2+y 2的最大值是( )A.4B.9C.10D.125.一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为( )A.13+23πB.13+√23πC.13+√26πD.1+√26π6.已知直线a,b 分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A.充分不必要条件 B .必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知圆M:x 2+y 2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2√2.则圆M 与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( ) A.内切B.相交C.外切D.相离8.△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c.已知b=c,a 2=2b 2(1-sin A).则A=( ) A.3π4B.π3C.π4D.π69.已知函数f(x)的定义域为R .当x<0时, f(x)=x 3-1;当-1≤x ≤1时, f(-x)=-f(x);当x>12时, f (x +12)=f (x -12).则f(6)=( )A.-2B.-1C.0D.210.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是( ) A.y=sin xB.y=ln xC.y=e xD.y=x 3第Ⅱ卷(非选择题,共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.执行下边的程序框图,若输入n 的值为3,则输出的S 的值为 .12.观察下列等式:(sin π3)-2+(sin 2π3)-2=43×1×2;(sin π5)-2+(sin 2π5)-2+(sin 3π5)-2+(sin 4π5)-2=43×2×3;(sin π7)-2+(sin2π7)-2+(sin 3π7)-2+…+(sin 6π7)-2=43×3×4; (sin π9)-2+(sin 2π9)-2+(sin 3π9)-2+…+(sin 8π9)-2=43×4×5;…… 照此规律,(sin π2n+1)-2+(sin 2π2n+1)-2+(sin 3π2n+1)-2+…+(sin 2nπ2n+1)-2= .13.已知向量a =(1,-1),b =(6,-4).若a ⊥(t a+b ),则实数t 的值为 . 14.已知双曲线E:x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0).矩形ABCD 的四个顶点在E 上,AB,CD 的中点为E 的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E 的离心率是 .15.已知函数f(x)={|x|,x ≤m,x 2-2mx +4m,x >m,其中m>0.若存在实数b,使得关于x 的方程f(x)=b有三个不同的根,则m 的取值范围是 . 三、解答题:本大题共6小题,共75分. 16.(本小题满分12分)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:①若xy ≤3,则奖励玩具一个; ②若xy ≥8,则奖励水杯一个; ③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动. (Ⅰ)求小亮获得玩具的概率;(Ⅱ)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.设f(x)=2√3sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2. (Ⅰ)求f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移π3个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g (π6)的值.18.(本小题满分12分)在如图所示的几何体中,D 是AC 的中点,EF ∥DB. (Ⅰ)已知AB=BC,AE=EC,求证:AC ⊥FB;(Ⅱ)已知G,H 分别是EC 和FB 的中点.求证:GH ∥平面ABC.已知数列{a n }的前n 项和S n =3n 2+8n,{b n }是等差数列,且a n =b n +b n+1. (Ⅰ)求数列{b n }的通项公式; (Ⅱ)令c n =(a n +1)n+1(b n +2)n.求数列{c n }的前n 项和T n .20.(本小题满分13分) 设f(x)=xln x-ax 2+(2a-1)x,a ∈R . (Ⅰ)令g(x)=f '(x),求g(x)的单调区间;(Ⅱ)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a 的取值范围.已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4,焦距为2√2.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)过动点M(0,m)(m>0)的直线交x轴于点N,交C于点A,P(P在第一象限),且M是线段PN 的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长QM交C于点B.(i)设直线PM,QM的斜率分别为k,k',证明k'k为定值;(ii)求直线AB的斜率的最小值.2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)一、选择题1.A ∵A∪B={1,3,4,5},∴∁U (A ∪B)={2,6},故选A.2.B ∵z=21-i =2(1+i)(1-i)(1+i)=1+i, ∴z =1-i,故选B.3.D 由频率分布直方图知200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为1-(0.02+0.10)×2.5=0.7,则这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7=140,故选D.4.C 作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示(包括边界),x 2+y 2表示平面区域内的点与原点的距离的平方,由图易知平面区域内的点A(3,-1)与原点的距离最大,所以x 2+y 2的最大值是10,故选C.5.C 由三视图可知四棱锥为正四棱锥,底面正方形的边长为1,四棱锥的高为1,球的直径为正四棱锥底面正方形的对角线,所以球的直径2R=√2,即R=√22,所以半球的体积为23πR 3=√26π,又正四棱锥的体积为13×12×1=13,所以该几何体的体积为13+√26π.故选C.6.A因为直线a和直线b相交,所以直线a与直线b有一个公共点,而直线a,b分别在平面α,β内,所以平面α与β必有公共点,从而平面α与β相交;反之,若平面α与β相交,则直线a与直线b可能相交、平行、异面.故选A.7.B由题意知圆M的圆心为(0,a),半径R=a,因为圆M截直线x+y=0所得线段的长度为2√2,所以圆心M到直线x+y=0的距离d=√2=√a2-2(a>0),解得a=2,又知圆N的圆心为(1,1),半径r=1,所以|MN|=√2,则R-r<√2<R+r,所以两圆的位置关系为相交,故选B.8.C在△ABC中,由b=c,得cos A=b2+c2-a22bc =2b2-a22b2,又a2=2b2(1-sin A),所以cos A=sin A,即tanA=1,又知A∈(0,π),所以A=π4,故选C.9.D当x>12时,由f (x+12)=f (x-12)可得f(x)=f(x+1),所以f(6)=f(1),又由题意知f(1)=-f(-1),f(-1)=(-1)3-1=-2,所以f(6)=2,故选D.10.A设函数y=f(x)图象上两点的横坐标为x1,x2.由题意知只需函数y=f(x)满足f '(x1)·f'(x2)=-1(x1≠x2)即可.y=f(x)=sin x的导函数为f '(x)=cos x,f '(0)·f '(π)=-1,故A满足;y=f(x)=ln x的导函数为f '(x)=1x , f '(x1)·f '(x2)=1x1x2>0,故B不满足;y=f(x)=e x的导函数为f '(x)=e x, f '(x1)·f'(x2)=e x1+x2>0,故C不满足;y=f(x)=x3的导函数为f '(x)=3x2,f '(x1)·f '(x2)=9x12x22≥0,故D不满足.故选A.二、填空题11.答案 1解析执行程序框图:i=1,S=√2-1,1≥3不成立;i=2,S=√3-1,2≥3不成立;i=3,S=√4-1=1,此时3≥3成立,结束循环,输出S的值为1.12.答案4n(n+1)3解析观察前4个等式,由归纳推理可知(sinπ2n+1)-2+(sin2π2n+1)-2+…+(sin2nπ2n+1)-2=43×n×(n+1)=4n(n+1)3.13.答案-5解析因为a⊥(t a+b),所以a·(t a+b)=0,即t a 2+a·b=0,又因为a=(1,-1),b=(6,-4),所以|a|=√2,a·b=1×6+(-1)×(-4)=10,因此可得2t+10=0,解得t=-5.14.答案 2解析由已知得|AB|=|CD|=2b2a,|BC|=|AD|=|F1F2|=2c.因为2|AB|=3|BC|,所以4b2 a =6c,2b2=3ac,2b2a2=3e,2(e2-1)=3e,2e2-3e-2=0,解得e=2,或e=-12(舍去).15.答案(3,+∞)解析f(x)的图象如图所示,若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,只需4m-m2<m,解之得m>3或m<0,又m>0,所以m>3.三、解答题16.解析用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则基本事件空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.因为S中元素的个数是4×4=16,所以基本事件总数n=16.(Ⅰ)记“xy≤3”为事件A,则事件A包含的基本事件数共5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).所以P(A)=516,即小亮获得玩具的概率为516.(Ⅱ)记“xy≥8”为事件B,“3<xy<8”为事件C, 则事件B包含的基本事件数共6个,即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4).所以P(B)=616=3 8 .事件C包含的基本事件数共5个, 即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1).所以P(C)=516.因为38>516,所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.17.解析(Ⅰ)f(x)=2√3sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2 =2√3sin2x-(1-2sin xcos x)=√3(1-cos 2x)+sin 2x-1=sin 2x-√3cos 2x+√3-1=2sin(2x-π3)+√3-1.由2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2(k∈Z),得kπ-π12≤x≤kπ+5π12(k∈Z).所以f(x)的单调递增区间是[kπ-π12,kπ+5π12](k∈Z).(或(kπ-π12,kπ+5π12)(k∈Z))(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=2sin(2x-π3)+√3-1.把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=2sin(x-π3)+√3-1的图象,再把得到的图象向左平移π3个单位,得到y=2sin x+√3-1的图象,即g(x)=2sin x+√3-1.所以g(π6)=2sinπ6+√3-1=√3.18.证明(Ⅰ)因为EF∥DB,所以EF与DB确定平面BDEF. 连结DE.因为AE=EC,D为AC的中点, 所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE=D,所以AC⊥平面BDEF,因为FB⊂平面BDEF,所以AC⊥FB.(Ⅱ)设FC的中点为I.连结GI,HI. 在△CEF中,因为G是CE的中点, 所以GI∥EF.又EF∥DB,所以GI∥DB.在△CFB中,因为H是FB的中点, 所以HI∥BC.又HI∩GI=I,所以平面GHI∥平面ABC.因为GH⊂平面GHI,所以GH∥平面ABC.19.解析 (Ⅰ)由题意知当n ≥2时,a n =S n -S n-1=6n+5,当n=1时,a 1=S 1=11,符合上式,所以a n =6n+5.设数列{b n }的公差为d.由{a 1=b 1+b 2,a 2=b 2+b 3,即{11=2b 1+d,17=2b 1+3d,可解得b 1=4,d=3.所以b n =3n+1.(Ⅱ)由(Ⅰ)知c n =(6n+6)n+1(3n+3)n =3(n+1)·2n+1.又T n =c 1+c 2+…+c n ,得T n =3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1],2T n =3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2],两式作差,得-T n =3×[2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)×2n+2]=3×[4+4(1-2n )1-2-(n +1)×2n+2]=-3n ·2n+2.所以T n =3n ·2n+2.20.解析 (Ⅰ)由f '(x)=ln x-2ax+2a,可得g(x)=ln x-2ax+2a,x ∈(0,+∞).则g'(x)=1x -2a=1-2ax x .当a ≤0时,x ∈(0,+∞)时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增;当a>0时,x ∈(0,12a )时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增,x ∈(12a ,+∞)时,函数g(x)单调递减.所以当a ≤0时,g(x)的单调增区间为(0,+∞);当a>0时,g(x)的单调增区间为(0,12a ),单调减区间为(12a ,+∞).(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f '(1)=0.①当a ≤0时, f '(x)单调递增,所以当x ∈(0,1)时, f '(x)<0, f(x)单调递减.当x ∈(1,+∞)时, f '(x)>0, f(x)单调递增.所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.②当0<a<12时,12a >1,由(Ⅰ)知f '(x)在(0,12a )内单调递增,可得当x ∈(0,1)时, f '(x)<0,x ∈(1,12a )时, f '(x)>0.所以f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,12a)内单调递增, 所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.③当a=12时,12a =1, f '(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,所以当x ∈(0,+∞)时, f '(x)≤0, f(x)单调递减,不合题意.④当a>12时,0<12a <1, 当x ∈(12a ,1)时, f '(x)>0, f(x)单调递增, 当x ∈(1,+∞)时, f '(x)<0, f(x)单调递减,所以f(x)在x=1处取极大值,合题意.综上可知,实数a 的取值范围为a>12.21.解析(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c. 由题意知2a=4,2c=2√2,所以a=2,b=√a2-c2=√2.所以椭圆C的方程为x24+y22=1.(Ⅱ)(i)设P(x0,y0)(x0>0,y0>0).由M(0,m),可得P(x0,2m),Q(x0,-2m).所以直线PM的斜率k=2m-mx0=m x0,直线QM的斜率k'=-2m-mx0=-3mx0.此时k'k =-3.所以k'k为定值-3.(ii)设A(x1,y1),B(x2,y2).直线PA的方程为y=kx+m, 直线QB的方程为y=-3kx+m.联立{y=kx+m, x24+y22=1,整理得(2k2+1)x2+4mkx+2m2-4=0.由x0x1=2m2-42k2+1,可得x1=2(m2-2)(2k2+1)x0.所以y1=kx1+m=2k(m2-2)(2k2+1)x0+m.同理x2=2(m2-2)(18k2+1)x0,y2=-6k(m2-2)(18k2+1)x0+m.所以x2-x1=2(m2-2)(18k2+1)x0-2(m2-2)(2k2+1)x0=-32k2(m2-2)(18k2+1)(2k2+1)x0,y2-y1=-6k(m2-2)(18k2+1)x0+m-2k(m2-2)(2k2+1)x0-m=-8k(6k2+1)(m2-2)(18k2+1)(2k2+1)x0,所以k AB=y2-y1x2-x1=6k2+14k=14(6k+1k).由m>0,x0>0,可知k>0,所以6k+1k ≥2√6,等号当且仅当k=√66时取得.此时=√66,即m=√147,符合题意.所以直线AB的斜率的最小值为√62.。

2015-2016学年山东省青岛市城阳一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={y|y=2x，x＞0}，R是实数集，则（∁R B）∪A等于（）A．R B．（﹣∞，0）∪1，+∞）C．（0，1） D．（﹣∞，1]∪（2，+∞）2．（5分）已知，若共线，则实数x=（）A．B．C．1 D．23．（5分）函数的定义域是（）A．B．C．D．4．（5分）已知角α的终边经过点P（﹣1，2），则tan（α+）的值是（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣5．（5分）已知函数f（x）=．若f（1）=f（﹣1），则实数a的值等于（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）在△ABC中，C=90°，且CA=CB=3，点M满足等于（）A．2 B．3 C．4 D．67．（5分）过原点作曲线y=lnx的切线，则切线斜率为（）A．e2B．C．e D．8．（5分）下列命题错误的是（）A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”B．若命题，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0C．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件D．若向量，满足•＜0，则与的夹角为钝角9．（5分）若函数f（x）=log a（x+b）的大致图象如图，其中a，b为常数，则函数g（x）=a﹣x+b的大致图象是（）A．B．C．D．10．（5分）若不等式≤a≤在t∈（0，2]上恒成立，则a的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，2]二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，那么它的通项公式为a n=．12．（5分）函数的图象，其部分图象如图所示，则f（x）=．13．（5分）已知函数f（x）=log2x+x﹣2的零点在区间（n，n+1）（n∈Z）内，则n=．14．（5分）已知函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），当a，b∈（﹣∞，0）时总有，若f（m+1）＞f（2m），则实数m的取值范围是．15．（5分）有下列命题：①的图象关于直线x=对称；②y=的图象关于点（﹣1，1）对称；③关于x的方程ax2﹣2ax﹣1=0有且仅有一个实根，则a=﹣1；④满足条件AC=，∠B=60°，AB=1的三角形△ABC有两个．其中真命题的序号是．三、解答题：本大题6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知，，．（Ⅰ）求向量与的夹角θ；（Ⅱ）求及向量在方向上的投影．17．（12分）已知等差数列{a n}满足：a5=11，a2+a6=18．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+2n，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）已知向量（ω＞0），函数f（x）=，若函数f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若将函数f（x）的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，bcosC=a﹣c．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=1，求a+c的最大值．20．（13分）设函数f（x）=+lnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）如果对于任意的，都有x1•f（x1）≥g（x2）成立，试求实数a的取值范围．21．（14分）设函数f（x）=lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．2015-2016学年山东省青岛市城阳一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={y|y=2x，x＞0}，R是实数集，则（∁R B）∪A等于（）A．R B．（﹣∞，0）∪1，+∞）C．（0，1） D．（﹣∞，1]∪（2，+∞）【解答】解：∵A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＜0或x＞2}=（﹣∞，0）∪（2，+∞），B={y|y=2x，x＞0}={y|y＞1}，∴∁R B={y|y≤1}=（﹣∞，1]，∴（∁R B）∪A=（﹣∞，1]∪（2，+∞）．故选：D．2．（5分）已知，若共线，则实数x=（）A．B．C．1 D．2【解答】解：∵，∴∵与共线，∴1×1﹣2×（1﹣x）=0∴x=故选：B．3．（5分）函数的定义域是（）A．B．C．D．【解答】解：由函数，可得．解得﹣＜x＜2，故选：B．4．（5分）已知角α的终边经过点P（﹣1，2），则tan（α+）的值是（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣【解答】解：由题意知tanα=﹣2，∴===﹣，故选：D．5．（5分）已知函数f（x）=．若f（1）=f（﹣1），则实数a的值等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵f（1）=f（﹣1），∴a1=log2（1﹣（﹣1）），故a=1；故选：A．6．（5分）在△ABC中，C=90°，且CA=CB=3，点M满足等于（）A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：由题意得AB=3，△ABC是等腰直角三角形，•=（）•=+=0+||•||cos45°=×3×3×=3，故选：B．7．（5分）过原点作曲线y=lnx的切线，则切线斜率为（）A．e2B．C．e D．【解答】解：解：设切点坐标为（a，lna），∵y=lnx，∴y′=，切线的斜率是，切线的方程为y﹣lna=（x﹣a），将（0，0）代入可得lna=1，∴a=e，∴切线的斜率是=；故选：D．8．（5分）下列命题错误的是（）A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”B．若命题，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0C．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件D．若向量，满足•＜0，则与的夹角为钝角【解答】解：A．依据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，可知：命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”．可判断出A正确．B．依据命题的否定法则：“命题：∃x0∈R，﹣x0+1≤0”的否定应是“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，故B是真命题．C．由于，在△ABC中，∵0＜A+B＜π，∴0，∴，又0＜B＜A＜π，∴0＜A﹣B＜π，∴，∴．据以上可知：在△ABC中，sinA＞sinB⇔＞0⇔A＞B．故在△ABC中，sinA ＞sinB是A＞B的充要条件．因此C正确．D．由向量，∴，∴的夹角，∴向量与的夹角不一定是钝角，亦可以为平角π，∴可以判断出D是错误的．故选：D．9．（5分）若函数f（x）=log a（x+b）的大致图象如图，其中a，b为常数，则函数g（x）=a﹣x+b的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由函数f（x）=log a（x+b）的图象为减函数可知0＜a＜1，f（x）=log a（x+b）的图象由f（x）=log a x向左平移可知0＜b＜1，故函数g（x）=a﹣x+b的大致图象是A，故选：A．10．（5分）若不等式≤a≤在t∈（0，2]上恒成立，则a的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，2]【解答】解：∵函数y==+，在t∈（0，2]上为减函数∴当t=2时，的最小值为1；又∵≤=，当且仅当t=3时等号成立∴函数y=在区间（0，2]上为增函数可得t=2时，的最大值为∵不等式≤a≤在t∈（0，2]上恒成立，∴（）max≤a≤（）min，即≤a≤1可得a的取值范围是[，1]二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，那么它的通项公式为a n=2n．【解答】解：a1=S1=1+1=2，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+n）﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=2n．当n=1时，2n=2=a1，∴a n=2n．故答案为：2n．12．（5分）函数的图象，其部分图象如图所示，则f（x）=2sin（x﹣）．【解答】解：由函数f（x）的图象可得A=2，=•=﹣，求得ω=1，在根据五点法作图可得1×+φ=0，求得φ=﹣，故f（x）=2sin（x﹣），故答案为：．13．（5分）已知函数f（x）=log2x+x﹣2的零点在区间（n，n+1）（n∈Z）内，则n=1．【解答】解：由于函数f（x）=log2x+x﹣2在（0，+∞）是增函数，且f（1）=﹣1＜0，f（2）=1＞0，∴f（1）f（2）＜0，故函数f（x）=log2x+x﹣2的零点在区间（1，2）内有唯一零点．再根据函数f（x）=log2x+x﹣2的零点在区间（n，n+1）（n∈Z）有零点，可得n=1，故答案为：1．14．（5分）已知函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），当a，b∈（﹣∞，0）时总有，若f（m+1）＞f（2m），则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）．【解答】解：∵函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），∴函数f（x）是偶函数又∵当a，b∈（﹣∞，0）时总有，∴函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增函数根据偶函数的性质可知函数f（x）在（0，+∞）上单调递减函数∵f（m+1）＞f（2m），∴f（|m+1|）＞f（|2m|），即|m+1|＜|2m|，则（m+1）2＜4m2，（3m+1）（1﹣m）＜0，m＞1或m＜﹣，解得：m∈（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）故答案为：（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）15．（5分）有下列命题：①的图象关于直线x=对称；②y=的图象关于点（﹣1，1）对称；③关于x的方程ax2﹣2ax﹣1=0有且仅有一个实根，则a=﹣1；④满足条件AC=，∠B=60°，AB=1的三角形△ABC有两个．其中真命题的序号是①③．【解答】解：①={+}=cos2x，当x=时，y取最小值，故函数图象关于直线x=对称，故①正确；函数y==+1的图象由函数y=的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，函数y=的图关于点（0，0）对称，故函数y=的图象关于点（1，1）对称，故②错误；关于x的方程ax2﹣2ax﹣1=0有且仅有一个实根，则，即a=﹣1，故③正确；满足条件AC=，∠B=60°，AB=1的三角形△ABC有且只有一个，故④错误；故正确的命题的序号为：①③，故答案为：①③三、解答题：本大题6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知，，．（Ⅰ）求向量与的夹角θ；（Ⅱ）求及向量在方向上的投影．【解答】解：（Ⅰ）因为，，．所以，即16﹣8cosθ﹣3=9，所以cosθ=，因为θ∈[0，π]，所以；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以==5，||=，所以向量在方向上的投影为：．17．（12分）已知等差数列{a n}满足：a5=11，a2+a6=18．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+2n，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的首项为a1，公差为d，由a5=11，a2+a6=18，得，解得a1=3，d=2，所以a n=2n+1；（Ⅱ）由a n=2n+1得，则=．18．（12分）已知向量（ω＞0），函数f（x）=，若函数f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若将函数f（x）的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．【解答】解：（1）f（x））==2cosωx（sinωx﹣cosωx）﹣2+3=sin2ωx﹣cos2ωx=，∵，∴．令，求得f（x）的增区间为．（2）将函数f（x）的图象先向左平移个单位，得到y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）的图象；然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）=sin（4x+）的图象，故，∵，、∴，故函数g（x）的值域是．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，bcosC=a﹣c．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=1，求a+c的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴b2﹣c2=a2﹣ac∴b2=a2+c2﹣ac，∴，又∵；（Ⅱ）∵b2=a2+c2﹣2accosB，∴1=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac，∵当且仅当a=c时等号成立，∴，即a+c≤2．即有a+c的最大值为2．20．（13分）设函数f（x）=+lnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）如果对于任意的，都有x1•f（x1）≥g（x2）成立，试求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，若，则f'（x）≥0，函数f（x）单调递增；若，则f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；所以，函数f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增．…（4分）（Ⅱ），，可见，当时，g'（x）≥0，g（x）在区间单调递增，当时，g'（x）≤0，g（x）在区间单调递减，而，所以，g（x）在区间上的最大值是1，依题意，只需当时，xf（x）≥1恒成立，即恒成立，亦即a≥x﹣x2lnx；…（8分）令，则h'（x）=1﹣x﹣2xlnx，显然h'（1）=0，当时，1﹣x＞0，xlnx＜0，h'（x）＞0，即h（x）在区间上单调递增；当x∈（1，2]时，1﹣x＜0，xlnx＞0，h'（x）＜0，（1，2]上单调递减；所以，当x=1时，函数h（x）取得最大值h（1）=1，故a≥1，即实数a的取值范围是[1，+∞）．…（12分）21．（14分）设函数f（x）=lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当m=e时，f（x）=lnx+，∴f′（x）=；∴当x∈（0，e）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，e）上是减函数；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上是增函数；∴x=e时，f（x）取得极小值为f（e）=lne+=2；（Ⅱ）∵函数g（x）=f′（x）﹣=﹣﹣（x＞0），令g（x）=0，得m=﹣x3+x（x＞0）；设φ（x）=﹣x3+x（x＞0），∴φ′（x）=﹣x2+1=﹣（x﹣1）（x+1）；当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上是增函数，当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上是减函数；∴x=1是φ（x）的极值点，且是极大值点，∴x=1是φ（x）的最大值点，∴φ（x）的最大值为φ（1）=；又φ（0）=0，结合y=φ（x）的图象，如图；可知：①当m＞时，函数g（x）无零点；②当m=时，函数g（x）有且只有一个零点；③当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；④当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；综上，当m＞时，函数g（x）无零点；当m=或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；（Ⅲ）对任意b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），则h（b）＜h（a）．∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；∵h′（x）=﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m≥﹣x2+x=﹣+（x＞0），∴m≥；对于m=，h′（x）=0仅在x=时成立；∴m的取值范围是[，+∞）．。

2015-2016学年度期中高三自主练习数学（人文）注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B 铅笔.要字迹工整，笔迹清晰.走出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效.3.答卷前将密封线内的项目填写清楚.一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分.每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上.1.已知集合{}1,A x x A B A =>-⋃=，则集合B 可以是A.RB. {}1,0,1-C. {}0x x ≤D. {}0,2 2.已知角α终边与单位圆221x y +=的交点为1P ,2y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A. 12-B. 12C. D.1 3.设0,1x x x b a ><<且，则下列不等式正确的是A. 01b a <<<B. 01a b <<<C. 1b a <<D. 1a b << 4.给定函数①12y x =，②()12log 1y x =+，③1y x =-，④12x y +=，其中往区间()0,1上单调递减的函数序号是A.①②B.②③C.③④D.①④5若0,0,220a b a b >>+-=且，则ab 的最大值为 A. 12 B.1 C.2 D.46.若,x y 满足010x y x x y +≥⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩，则下列不等式恒成立的是A. 1y ≥-B. 2x ≥C. 220x y ++≥D. 210x y -+≥7.已知函数()1f x x x=+，则函数()y f x =的大致图象为8.设D ，E 分别是ABC ∆的边AB ，BC 上的点，12,23AD AB BE BC ==，若12DE AB AC λλ=+uuu r uu u r uuu r (12,λλ为实数)，则12λλ+的值为 A. 32 B. 12 C. 23 D. 349.若函数()cos 023x y ϕϕπ⎛⎫=+≤<⎪⎝⎭在区间(),ππ-上单调递增，则ϕ的最大值是 A. 6πB. 43πC. 53πD. 116π 10.如果函数()y f x =在区间I 上是增函数，而函数()f x y x=在区间I 上是减函数，那么称函数()y f x =是区间I 上“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”，若函数()21322f x x x =-+是区间I 上“缓增函数”，则“缓增区间”I 为A. [)1,+∞B. ⎡⎣C. []0,1D. ⎡⎣ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把正确答案填在答题卡的相应位置.11.若2log 2x y x y =-+，则的取值范围为12.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C b ==则13.若函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则()()1f f -= 14.如图所示，点P 是函数()()2sin ,0y x x R ωϕω=+∈>图象的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，若0=PM PN ω=uuu r uuu r g ，则15.若关于x 的函数()()2222sin 0tx x t x f x t x t+++=>+的最大值为M，最小值为N，且4M N +=，则实数t 的值为三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.16. （本小题满分12分）已知向量()()cos ,sin ,2,1a b θθ==-.（1）若a b ⊥，求sin cos sin cos θθθθ-+的值； （2）若2,0,2a b πθ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，求sin 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c .若3,cos 2a A B A π===+. （1）求b 的值；（2）求ABC ∆的面积.18. （本小题满分12分） 已知平面向量()()()cos ,sin ,cos ,sin ,sin ,cos a b x x c ϕϕϕϕ===-，其中0ϕπ<<，且函数()cos sin f x a b x b c x =+g g 的图象过点,16π⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求ϕ的值；（2）将函数()y f x =图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()02y g x π⎡⎤=⎢⎥⎣⎦在，上的最大值和最小值.19. （本小题满分12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知AB=3米，AD=2米.（1）要使花坛AMPN 的面积大于32平方米，求AN的取值范围；（2）若[)3,4AN ∈（单位：米），则当AM ，AN 的长度分别是多少时，花坛AMPN 的面积最大？并求出最大面积.20. （本小题满分13分）已知二次函数()22h x ax bx =++，其导函数()y h x '=的图象如图，()()6ln f x x h x =+.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 在区间11,2m ⎛⎫+⎪⎝⎭上是单调函数，求实数m 的取值范围. 21. （本小题满分14分） 已知函数()()22ln f x x a x a x =-++. （1）当1a =时，求函数()f x 的极值；（2）设定义在D 上的函数()y g x =在点()00,P x y 处的切线方程为():l y h x =. 当0x x ≠时，若()()00g x h x x x ->-在D 内恒成立，则称P 为函数()y g x =的“转点”.当8a =时，试问()y f x =是否存在“转点”？若存在，求出“转点”的横坐标；若不存在，请说明理由.。

2015-2016学年度高三春季高考第一学期中考试数学试题第I 卷（选择题，共 60 分）一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡．．．上） 1．设U ={2，5，7，8}，A ={2，5，8}，B ={2，7，8}，则U （A ∪B ）等于（ ）(A) {2，8} (B) ∅ (C) {5，7，8}(D) {2，5，7，8} 2．0>x 是0>x 的（ ）(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件3．设命题p ：∅＝0，q ：2∈ R ，则下列结论正确的是（ ）(A) p q ∧为真 (B) p q ∨为真 (C) p 为真 (D) q ⌝为真4．若b a ,是任意实数,且b a >,则（ ）（A ）22b a > （B ）b a ＜1 （C ）lg(a-b)＞0（D ）(12)a ＜(12)b 5．设m= a 2＋a －2,n= 2a 2－a －1，其中a ∈ R ，则（ ）(A) m ＞n (B) m ≥n (C) m ＜n (D) m ≤n6．函数f (x )=1x －1＋lg (x ＋1)的定义域为( ) (A) (－∞，－1) (B) (1，＋∞) (C) (－1，1)∪(1，＋∞) (D) R7．f (x )=2x 2－mx ＋3,x ∈[－2, ＋∞)时是增函数,x ∈(]2,-∞-时是减函数, 则f (1)等于（ ）(A) －3 (B) 13 (C) 7 (D) 由m 而定的其它常数8．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且在),0[+∞上单调递增，则f (－3)，f (－4)的大小关系是（ ）(A) f (－3) > f (－4) (B) f (－3) < f (－4) (C) f (－3) ＝ f (－4) (D) 无法比较9． 在同一坐标系中，当a >1时，函数 y ＝( 1a )x 与 y ＝log a x 的图像是（ ）(A) (B) (C) (D)10．若2a ＝4，则log a 12 的值是（ ）(A) －1 (B) 0 (C) 1 (D) 1211．等比数列}{n a 中，若a 2a 6＝8，则log 2(a 1a 7)等于（ ）(A) 8 (B) 2 (C) 16 (D) 312．如果sin x 2·cos x 2 ＝13，那么sin(π－x )的值为（ ）(A) 23 (B) -89 (C) 89(D) ±23 13．已知角 α 终边经过点 P (－5，－12)，则 tan α 的值是(A ) 125 (B ) －125(C ) 512 (D ) －512 14．如果sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，那么tan α的值为（ ） (A)－2 (B) 2 (C)2316 (D)－2316 15．设x ∈ R ，向量→a ＝(x ，1)，→b =(1，－2 )，且 →a ⊥→b ，则 (→a ＋→b )·(→a －→b )的值是（ ）(A) x (B) 1 (C) 0 (D) －116、如果函数y=2x 2+(2a-b)x+b ，当y<0时，有1<x<2，则a 、b 的值为（ ）(A) a=-1,b=-4 (B) a=-12 ,b=2 (C) a=-1,b=4 (D)a=1,b=-417、已知2tan =θ，则=θθcos sin （ ）(A) 53 (B) 52 (C) ±52 (D)±53 18.把函数y=sin x 图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变， 再把图象向左平移4π个单位，这时对应于这个图象的解析式是（ ） (A) y=cos 2x (B) y= -sin 2x (C) y=sin(2x-4π) (D)y=sin(2x+4π)19.在△ABC 中，已知AB=，∠B=30°，则∠A=（ ）(A) 45° (B) 15° (C) 45°或135° (D)15°或105°20、数列{}n a 满足,,11n S a n ==则=2012a （ ）(A) 1 (B) 2010 (C) 2011 (D)2012第II 卷（非选择题，共60分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。