题型一 直方图
（湖北理17）（本小题满分12分）在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：
（I ）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；
（II ）估计纤度落在[1.381.50)，中的概率及纤度小于1.40的概率是多少？
（III ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[1.301.34)，的中点值是1.32）作为代表．据此，估计纤度的期望．
解：（Ⅰ）
（Ⅱ）纤度落在[)1.381.50，中的概率约为0.300.290.100.69++=，纤度小于1.40的概率
分组 频数 频率 [)1.301.34， 4 0.04 [)1.341.38， 25 0.25 [)1.381.42， 30 0.30 [)1.421.46， 29 0.29 [)1.461.50， 10 0.10 [)1.501.54， 2 0.02 合计
100 1.00 样本数据
频率/组距
1.30 1.34 1.38 1.42 1.46 1.50 1.54
约为1
0.040.250.300.442
++
?=． （Ⅲ）总体数据的期望约为
1.320.04 1.360.25 1.400.30 1.440.29 1.480.10 1.520.02 1.4088?+?+?+?+?+?=．
变式 （2009广东卷理）
根据空气质量指数API （为整数）的不同，
可将空气质量分级如下表：
对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API 数据按照区间]50,0[，
]100,50(，]150,100(，]200,150(，]250,200(，]300,250(进行分组，得到频率分布直方
图如图5.
（1）求直方图中x 的值；
（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；
（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率. （结果用分数表示．已知781257
=，12827
=，
++365
21825318257
9125
123
9125818253=++
，573365?=） 解：（1）由图可知-=150x ++365218253(
182********
123150)9125818253?-=?++，解得18250119
=x ；
（2）219)50365
2
5018250119(
365=?+??；
（3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为
533652195036525018250119==?+?，则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为
5
2
531=-，一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为
78125
76653)53()52()53()52(11
6670777=--C C .
3.（2009浙江卷理）（本题满分14分）在1,2,3,,9 这9个自然数中，任取3个数．
（I ）求这3个数中恰有1个是偶数的概率；
（II ）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的
数1,2和2,3，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ．
解析：（I ）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A ，则1
2453
910
()21
C C P A C ==； （II ）随机变量ξ的取值为0,1,2,ξ的分布列为
ξ
0 1 2
P
5
12 12
112
所以ξ的数学期望为5112012122123
E ξ=?
+?+?=
题型二 抽样问题
例题 (2009山东卷文) 一汽车厂生产A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种
型号,某月的产量如下表(单位:辆):
轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z 标准型
300
450
600
按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A 类轿车10辆. （1） 求z 的值.
（2） 用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,
从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;
（3） 用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6,
9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
解: (1).设该厂本月生产轿车为n 辆,由题意得,5010100300
n =+,所以n=2000. z=2000-100-300-150-450-600=400
(2) 设所抽样本中有m 辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本,所以
40010005
m
=,解得m=2也就是抽取了2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车,分别记作S 1,S 2;B 1,B 2,B 3,则从中任取2辆的所有基本事件为(S 1, B 1), (S 1, B 2) , (S 1, B 3) (S 2 ,B 1), (S 2 ,B 2), (S 2 ,B 3),( (S 1, S 2),(B 1 ,B 2), (B 2 ,B 3) ,(B 1 ,B 3)共10个,其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件: (S 1, B 1), (S 1, B 2) , (S 1, B 3) (S 2 ,B 1), (S 2 ,B 2), (S 2 ,B 3),( (S 1, S 2),所以从中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为710
. (3)样本的平均数为1
(9.48.69.29.68.79.39.08.2)98
x =
+++++++=, 那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0这6个数,总的个数为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为
75.08
6
=. 【命题立意】:本题为概率与统计的知识内容,涉及到分层抽样以及古典概型求事件的概率问题.要读懂题意,分清类型,列出基本事件,查清个数.,利用公式解答.
变式 （2009天津卷文）
为了了解某工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A ，B,C 三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A,B ，C 区中分别有18，27，18个工厂
（Ⅰ）求从A,B,C 区中分别抽取的工厂个数；
（Ⅱ）若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A 区的概率。
【答案】(1) 2，3，2(2)
21
11 【解析】 （1）解： 工厂总数为18+27+18=63，样本容量与总体中的个体数比为9
1637=，所以从A,B,C 三个区中应分别抽取的工厂个数为2，3，2.
（2）设21,A A 为在A 区中抽得的2个工厂，321,,B B B 为在B 区中抽得的3个工厂，
21,C C 为在C 区中抽得的2个工厂，这7个工厂中随机的抽取2个，全部的可能结果有：27
C
种，随机的抽取的2个工厂至少有一个来自A 区的结果有),(21A A ，
),(21B A ),(11B A ),(31B A ),(21C A ),(11C A ,同理2A 还能组合5种，一共有11种。所以所
求的概率为
21
11112
7=C 【考点定位】本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查运用统计、概率知识解决实际问题的能力。
题型三 等可能事件的概率
在一次实验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等。如果事件A 包含的结果有m 个，那么P （A ）=
n
m
。这就是等可能事件的判断方法及其概率的计算公式。高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能力。
例题1（2010湖南）为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A,B,C 的相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表（单位：人）
(Ⅰ)求x,y ; （Ⅱ）若从高校B 、C 抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C 的概率。
解 (Ⅰ)由题意可得2183654x y
==所以1,3x y ==，
（Ⅱ）记从高校B 中抽取的2人为12,b b ，从高校C 中抽取的3人为123,,C C C 则从高校B 、C 抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有（12,b b ），（11,b c ），（12,b c ），（23,b c ），（21,b c ），（22,b c ），（23,b c ），12(,)C C ，13(,)C C ，23(,)C C 共10种，设选中的2人都来自高校C 的事件为X ，则X 包含的基本事件有12(,)C C ，13(,)C C ，
23(,)C C 共3种，因此3
()10
p X =
故选中的2人都来自高校C 的概率为310
变式1（2010江苏）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，
二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产
品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。（Ⅰ）记X （单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列；（Ⅱ）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。
解：（1）由题设知，X 的可能取值为10，5，2，-3，且 P （X=10）=0.8×0.9=0.72， P （X=5）=0.2×0.9=0.18， P （X=2）=0.8×0.1=0.08 ，P （X=-3）=0.2×0.1=0.02。 由此得X 的分布列为：
X
10
5
2[来源:学科网
ZXXK]
-3 P
0.72
0.18
0.08
0.02
（2）设生产的4件甲产品中一等品有n 件，则二等品有4n -件。
由题设知4(4)10n n --≥，解得14
5
n ≥， 又n N ∈，得3n =，或4n =。
所求概率为3
3440.80.20.80.8192P C =??+=
答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。
变式2 （2010福建）设平面向量a m =（m ，1），b n =（2，n ），其中m ，n ∈{1,2,3,4}.
（I ）请列出有序数组（m ，n ）的所有可能结果；（II ）记“使得a m ⊥（a m －b n ） 成立的（m ，n ）”为事件A ，求事件A 发生的概率. 解：(Ⅰ)有序数组（m,n ）的吧所有可能结果为：（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4）共16个.
(Ⅱ)由()m m n a a b ⊥-得221m m n o -+-=，即2(1)n m =-. 由于,m n ∈｛1,2,3,4｝，故事件A 包含的基本条件为（2,1）和（3,4），共2个.又基本事件的总数为16，故所求的概率21
()168
P A =
=. 题型四 互斥事件至少有一个发生与相互独立事件同时发生概率计算
不可能同时发生的两个事件A 、B 叫做互斥事件，它们至少有一个发生的事件为A+B ，用概率的加法公式)()()(B P A P B A P +=+计算。事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，则A 、B 叫做相互独立事件，它们同时发生的事件为B A ?。用概率的法公式()()()B P A P B A P ?=?计算。高考常结合考试竞赛、上网工作等问题对这两个事件的识别及其概率的综合计算能力进行考查。必有一个发生的两个互斥事件A 、B 叫做互为对
立事件。即-=A B 或-
=B A 。至少、至多问题常使用“正难则反”的策略求解.用概率的减
法公式()??
?
??-=_1A P A P 计算其概率。高考常结合射击、电路、交通等问题对对立事件的判
断识别及其概率计算进行考查。
例题1（2005全国卷Ⅲ）设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，
（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少； （Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率. 解：（Ⅰ）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A 、B 、C ，……1分 则A 、B 、C 相互独立，由题意得： P （AB ）=P （A ）P （B ）=0.05 P （AC ）=P （A ）P （C ）=0.1
P （BC ）=P （B ）P （C ）=0.125…………………………………………………………4分 解得：P （A ）=0.2；P （B ）=0.25；P （C ）=0.5
所以, 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5……6分
（Ⅱ）∵A 、B 、C 相互独立，∴A
B C 、、相互独立，……………………………………7分 ∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为
()()()()0.80.750.50.3P A B C P A P B P C ??==??=……………………………10分
∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为1()10.30.7p P A B C =-??=-=……12分
变式1 （2005福建卷文）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为5
221
与
. （Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；
（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率. 解：（Ⅰ）依题意，记“甲投一次命中”为事件A ，“乙投一次命中”为事件B ，则 .5
3
)(,21)(,52)(,21)(====
B P A P B P A P 甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次的概率为.2
1
（Ⅱ）∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为 100
953532121=???=
P ∴甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率 .100
91100911=-
=-=P P 答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为
.100
91 ∵“甲、乙两人各投球一次，恰好命中一次”的事件为B A B A ?+?
13121()()().25252
P A B A B P A B P A B ∴?+?=?+?=
?+?=
变式2 （06四川卷）某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”
与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响
（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； （Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保留三位小数）
解：记“甲理论考核合格”为事件1A ；“乙理论考核合格”为事件2A ；“丙理论考核合格”
为事件3A ；记i A 为i A 的对立事件，1,2,3i =；记“甲实验考核合格”为事件1B ；“乙实验考核合格”为事件2B ；“丙实验考核合格”为事件3B ；
（Ⅰ）记“理论考核中至少有两人合格”为事件C ，记C 为C 的对立事件 解法1：()()
123123123123P C P A A A A A A A A A A A A =+++
()()()
()123123123123P A A A P A A A P A A A P A A A =+++
0.90.80.30.90.20.70.10.80.70.90.80.7=??+??+??+?? 0.902=
解法2：()()
1P C P C =-()
1231231231231P A A A A A A A A A A A A =-+++
()()()()
1231231231231P A A A P A A A P A A A P A A A ??=-+++??
()10.10.20.30.90.20.30.10.80.30.10.20.7=-??+??+??+??
10.098=-0.902=
所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902
（Ⅱ）记“三人该课程考核都合格” 为事件D
()()()()112233P D P A B A B A B =?????????
()()()112233P A B P A B P A B =?????
()()()()()()112233P A P B P A P B P A P B =?????
0.90.80.80.80.70.9=?????
0.254016= 0.254≈
所以，这三人该课程考核都合格的概率为0.254
题型五 独立重复试验概率
若在n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖其它各次试验的结果，则此试验叫做n 次独立重复试验。若在1 次试验中事件A 发生的概率为P ，则在n 次独立惩处试验
中，事件A 恰好发生k 次的概率为()()
1n k
k k
n n P k C P P -=-。
高考结合实际应用问题考查n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率的计算方法和化归转化、分类讨论等数学思想方法的应用。
例题（2005湖北卷）某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p 1，寿命为2年以上的概率为p 2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.
（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率； （Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；
（Ⅲ）当p 1=0.8，p 2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）.
解：（I ）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为,5
1p 需要更换2只灯泡的概率为
;)1(213
125p p C -
（II ）对该盏灯来说，在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1-p 1）2；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p 1(1-p 2)，故所求的概率为
);1()1(2121p p p p -+-=
（III ）至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况，换5只的概率为p 5（其中p 为
（II ）中所求，下同）换4只的概率为4
15p C （1-p ），故至少换4只灯泡的概率为 .
34.042.
34.04.06.056.06.07.08.02.0,3.0,8.0).
1(45322141553只灯泡的概率为年至少需要换即满时又当=??+=∴=?+===-+=p p p p p p C p p
变式 1
为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类. 这三类工程所含项目的个数分别占总数的12, 13, 16. 现有3名工人独立地从中
任选一个项目参与建设. 求：(Ⅰ) 他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(Ⅱ) 至少
有1人选择的项目属于民生工程的概率.
解 记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件i A ，i B ，i C ，1i =，
2，3．由题意知1A ，2A ，3A 相互独立，1B ，2B ，3B 相互独立，1C ，2C ，3C 相互独立，
i A ，j B ，
k C （i ，j ，k =1，2，3，且i ，j ，k 互不相同）相互独立，且1 ( )2i P A =，1()3
i P B =，
1()6
i P C =．
（Ⅰ）他们选择的项目所属类别互不相同的概率P =1231233!()6()()()P AB C P A P B P C =
111162366
=???=
（Ⅱ）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率 1231 ()P P B B B =-1231( )( )( )P B P B P B =- 31191(1)327
=--=．
变式 2 (08天津）
甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为2
1
与p ，且乙投球2次均未命中的概率为
16
1． （Ⅰ）求乙投球的命中率p ；
（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；
（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．
解：本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．
（Ⅰ）解法一：设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B ． 由题意得()()()16
1
112
2
=
-=-p B P 解得43=
p 或45（舍去），所以乙投球的命中率为4
3． 解法二：设设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B ． 由题意得1()()16P B P B =
，于是1()4P B =或1()4P B =-（舍去），故3
1()4
p P B =-=．
所以乙投球的命中率为
34
． （Ⅱ）解法一：由题设和（Ⅰ）知()()2
1,21==
A P A P ． 故甲投球2次至少命中1次的概率为(
)
4
3
1=?-A A P
解法二：
由题设和（Ⅰ）知()()
2
1,21==
A P A P 故甲投球2次至少命中1次的概率为()()
()()4
3
1
2=
+A P A P A P A P C （Ⅲ）由题设和（Ⅰ）知，()()()()
4
1
,43,21,21====B P B P A P A P
甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中两次，乙两次
均不中；甲两次均不中，乙中2次。概率分别为
()()()()
16
3
1212=
?B P B P C A P A P C ， ()(
)
641=
??B B P A A P ， ()
()649
=??B B P A A P
所以甲、乙两人各投两次，共命中2次的概率为
32
11649641163=++．
题型六 随机变量概率分布与期望
解决此类问题时，首先应明确随机变量可能取哪些值，然后按照相互独立事件同时发生概率的法公式去计算这些可能取值的概率值即可等到分布列，最后根据分布列和期望、方差公式去获解。以此考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念和运用概率知识解决实际问题的能力。
例题 （2005湖南卷）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概
率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值. （Ⅰ）求ξ的分布及数学期望；
（Ⅱ）记“函数f (x )＝x 2－3ξx ＋1在区间[2，＋∞)上单调递增”为事件A ，求事件A 的概率. 解：（I ）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”
为事件A 1，A 2，A 3. 由已知A 1，A 2，A 3相互独立，P （A 1）=0.4，P （A 2）=0.5， P （A 3）=0.6.
客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应地，客人没有游览的景点数的可能取 值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3.
P （ξ=3）=P （A 1·A 2·A 3）+ P （321A A A ??）
= P （A 1）P （A 2）P （A 3）+P （)()()321A P A P A ） =2×0.4×0.5×0.6=0.24，
P （ξ=1）=1－0.24=0.76.
所以ξ的分布列为
E ξ=1×0.76+3×0.24=1.48. （Ⅱ）解法一 因为,4
9
1)23()(22ξξ-+-
=x x f 所以函数),2
3[13)(2
+∞+-=ξξ在区间x x x f 上单调递增，
要使),2[)(+∞在x f 上单调递增，当且仅当.3
4
,223≤≤ξξ即
从而.76.0)1()3
4
()(===≤=ξξP P A P
解法二：ξ的可能取值为1，3.
当ξ=1时，函数),2[13)(2
+∞+-=在区间x x x f 上单调递增， 当ξ=3时，函数),2[19)(2+∞+-=在区间x x x f 上不单调递增.0 所以.76.0)1()(===ξP A P
例题2 （2005辽宁卷）某工厂生产甲、乙两
种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A 、B 两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A 级时，产品为一等品，其余均为二等品.
（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A 级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P 甲、P 乙； （Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（I ）
ξ
1 3 P
0.76
0.24
的条件下，求ξ、η的分布列及E ξ、E η；
（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人40名，可用资金60万元.设x 、y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在（II ）的条件下，x 、y 为何值时，ηξyE xE z +=最大？最大值是多少？ （解答时须给出图示）
（Ⅰ）解：.6.08.075.0,68.085.08.0=?=?=乙甲P P …………2分
、（Ⅱ）解：随机变量ξ、η的分别列是
,2.432.05.268.05=?+?=ξE .1.24.05.16.05.2=?+?=ηE …………6分
（Ⅲ）解：由题设知?????
?
?≥≥≤+≤+.
0,0,4028,
60105y x y x y x 目标函数为 .1.22.4y x yE xE z +=+=ηξ……8分
作出可行域（如图）： 作直线:l ,01.22.4=+y x
将l 向右上方平移至l 1位置时，直线经过可行域上
的点M 点与原点距离最大，此时y x z 1.22.4+= …………10分
取最大值. 解方程组?
??=+=+.4028,
60105y x y x
得.4,4==y x 即4,4==y x 时，z 取最大值，z 的最大值为25.2 .……………12分
变式1 甲、乙两人做射击游戏，甲乙两人射击击中与否是相互独立事件，规则如下：
若射击一次击中，原射击者继续射击，若射击一次不中，就由对方接替射击。已知甲乙两人射击一次击中的概率均为
8
7
，且第一次由甲开始射击。 （1）求前4次射击中，甲恰好射击3次的概率。
（2）若第n 次由甲射击的概率为n a ，求数列{}n a 的通项公式；求n n a ∞
→lim ，并说明极
限值的实际意义。
解：记A 为甲射击，B 为乙射击，则
1）前4次射击中甲恰好射击3次可列举为 AAAB ，AABA ，ABAA
ξ
5 2.5 P 0.68
0.32
η
2.5 1.5 P
0.6
0.4
其概率为P=
512
63878181818187818787=??+??+?? 2）第1+n 次由甲射击这一事件，包括第 n 次由甲射击，第1+n 次继续由甲射击这一事件以 第 n 次由乙射击，第 1+n 由甲射击这一事件，这两事件发生的概率是互斥的且
发生的概率分别为
n a 87与 )1(81n a -则有关系式 =+1n a n a 87+ )1(81n a -=8
143+n a 其中11=a 。211-+n a =4
3
（21-n a ），∴数列{21-
n a }为等比数列。 ∴1)4
3
(2121-+=n n a
∴n n a ∞→lim =∞→n lim ))4
3
(2121(1-+n =21
实际意义为当甲、乙两人射击次数较多时，甲、乙两分别射击的次数接近相等。
变式2 （07重庆理）某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴
纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次），设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为19，110，1
11
，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中： （Ⅰ）获赔的概率；
（Ⅱ）获赔金额ξ的分布列与期望． （18）（本小题13分）
解：设k A 表示第k 辆车在一年内发生此种事故，123k =，
，．由题意知1A ，2A ，3A 独立， 且11()9P A =
，21()10P A =，31
()11
P A =． （Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为
12312389103
1()1()()()19101111
P A A A P A P A P A -=-=-??=．
（Ⅱ）ξ的所有可能值为0，9000，18000，27000．
12312389108
(0)()()()()9101111
P P A A A P A P A P A ξ====??=，
123123123(9000)()()()P P A A A P A A A P A A A ξ==++ 123123123()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++
19108110891910119101191011=??+??+?? 2421199045
==， 123123123(18000)()()()P P A A A P A A A P A A A ξ==++
123123123()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++
1110191811910119101191011=??+??+?? 273990110
==， 123123(27000)()()()()P P A A A P A P A P A ξ===
111191011990
=??=． 综上知，ξ的分布列为
ξ
0 9000 18000 27000
P
811 1145 3110 1990
求ξ的期望有两种解法： 解法一：由ξ的分布列得
811310900018000270001145110990
E ξ=?+?+?+? 29900
2718.1811
=
≈（元）．
解法二：设k ξ表示第k 辆车一年内的获赔金额，123k =，
，， 则1ξ有分布列
1ξ
0 9000
P
8
9 19
故11
900010009
E ξ=?
=． 同理得21900090010E ξ=?=，31
9000818.1811
E ξ=?≈． 综上有1231000900818.182718.18E E E E ξξξξ=++≈++=（元）．
题型七 离散型随变量概率分布列
设离散型随机变量的分布列为
ξ
1x 2x
i x
P
1P 2P
i P
它有下面性质：①)
,2,1(0 =≥i P i
②,121=++++ i p p p 即总概率为1；
③期望;11 +++=i i P x P x E ξ方差 +-++-=i i P E x P E x D 2
121)()(ξξξ
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. 高考常结合应用问题对随机变量概率分布列及其性质的应用进行考查.
例题1 (2004年全国高考题)某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规
则规定:每题回答正确得100分,回答不正确得100分.假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8,且各题回答正确与否相互之间没有影响.
①求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望. ②求这名同学总得分不为负分(即)0≥ξ)的概率.
解:ξ的取值为.300,100,100,300--
(P 008.02.0)3002==-=ξ； (P ;096.08.02.03)1002=??=-=ξ (P 2100)30.20.80.384;ξ==??= (P 512.08.0)3002===ξ
所以的概率分布为 § 300- 100- 100
300 P
0.008
0.096
0.384
0.512
180512.0300384.010010096100008.0300=?+?+?-?-=∴ξE
这名同学总得分不为负分的概率为
896.0512.0384.0)300()100()0(=+==+==≥ξξξP P P
变式
（2010天津理）某射手每次射击击中目标的概率是
2
3
，且各次射击的结果互不影响。 （Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率
（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。另外2次未击中目标的概率； （Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3次后的总的分数，求ξ的分布列。
（1）解：设X 为射手在5次射击中击中目标的次数，则X ~25,3B ??
???
.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率
22
2
52240(2)133243
P X C ????
==??-=
? ????? （Ⅱ）解：设“第i 次射击击中目标”为事件(1,2,3,4,5)i A i =；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ,则 123451234512345()()()()P A P A A A A A P A A A A A P A A A A A =++
=32323
21121123333333???????????+??+? ? ? ? ? ???????????
=
881
（Ⅲ）解：由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6
3
12311(0)()327
P P A A A ζ??
==== ???
123123123(1)()()()P P A A A P A A A P A A A ζ==++
=2
2
21121122
33333339
?????+??+?= ? ?????
1232124
(2)()33327
P P A A A ζ===??=
123123(3)()()P P A A A P A A A ζ==+=22
21118333327????
?+?= ? ?????
123(6)()P P A A A ζ===3
28327
??
=
??? 所以ξ的分布列是
题型八 标准正态分布
例题 （06湖北）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布
(70,100)N 。已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名。
（Ⅰ）、试问此次参赛学生总数约为多少人？
（Ⅱ）、若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？
可共查阅的（部分）标准正态分布表00()()x P x x Φ=<
0x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.2 1.3 1.4 1.9 2.0 2.1
0.8849 0.9032 0.9192 0.9713 0.9772 0.9821
0.8869 0.9049 0.9207 0.9719 0.9778 0.9826
0.888 0.9066 0.9222 0.9726 0.9783 0.9830
0.8907 0.9082 0.9236 0.9732 0.9788 0.9834
0.8925 0.9099 0.9251 0.9738 0.9793 0.9838
0.8944 0.9115 0.9265 0.9744 0.9798 0.9842
0.8962 0.9131 0.9278 0.9750 0.9803 0.9846
0.8980 0.9147 0.9292 0.9756 0.9808 0.9850
0.8997 0.9162 0.9306 0.9762 0.9812 0.9854
0.9015 0.9177 0.9319 0.9767 0.9817 0.9857
点评：本小题主要考查正态分布，对独立事件的概念和标准正态分布的查阅，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力。
解：（Ⅰ）设参赛学生的分数为ξ，因为ξ～N(70，100)，由条件知，
P(ξ≥90)＝1－P （ξ<90）＝1－F(90)＝1－Φ)10
70
90(
-＝1－Φ(2)＝1－0.9772＝0.228. 这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28％，因此， 参赛总人数约为
0228
.012
≈526（人）。
（Ⅱ）假定设奖的分数线为x 分，则P(ξ≥x )＝1－P （ξ ( )10 x -＝52650＝0.0951，即Φ)1070(-x ＝0.9049，查表得10 70 -x ≈1.31，解得x ＝83.1. 故设奖得分数线约为83.1分。 题型九 二项分布列 例题 （06辽宁）现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、 1.18万元、1.17万元的概率分别为 16、12、1 3 ;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是(01)p p <<,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为ξ,对乙项目每投资十万元, ξ取0、1、2时, 一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量1ξ、2ξ分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润. (I) 求1ξ、2ξ的概率分布和数学期望1E ξ、2E ξ; (II) 当12E E ξξ<时,求p 的取值范围. 【解析】(I)解法1: 1ξ的概率分布为 1ξ 1.2 1.18 1.17 P 16 12 13 E 1ξ=1.216? +1.1812?+1.171 3 ?=1.18. 由题设得~(2,)B p ξ,则ξ的概率分布为 ξ 0 1 2 P 2(1)p - 2(1) p p - 2p 故2ξ的概率分布为 ξ 1.3 1.25 0.2 P 2(1)p - 2(1) p p - 2p 所以2ξ的数学期望为 E 2ξ=21.3(1)p ?-+1.252(1)p p ?-+20.2p ?=2 0.1 1.3p p --+. 解法2: 1ξ的概率分布为 1ξ 1.2 1.18 1.17 P 16 12 13 E 1ξ=1.216? +1.1812?+1.171 3 ?=1.18. 设i A 表示事件”第i 次调整,价格下降”(i=1,2),则 P(ξ=0)= 2 12()()(1)P A P A p =-; P(ξ=1)=1212()()()()2(1)P A P A P A P A p p +=-; P(ξ=2)=212()()P A P A p = 故2ξ的概率分布为 ξ 1.3 1.25 0.2 P 2 (1)p - 2(1) p p - 2p 所以2ξ的数学期望为 E 2ξ=21.3(1)p ?-+1.252(1)p p ?-+20.2p ?=2 0.1 1.3p p --+. (II) 由12E E ξξ<,得: 20.1 1.3 1.18(0.4)(0.3)00.40.3p p p p p --+>?+- 因0 变式 （08全国II) 购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若 投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为4 1010.999 -． （Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p ； （Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．
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