提高GM(1,1)模型预测精度的的两种方法
安强
(西安理工大学理学院，西安 710054)
摘要：GM(1,1)模型具有一定的适用范围.本文谈到两种增加预测精度的模型：小波—GM(1,1)模型以及改进的GM(1,1)模型。前者用小波变换处理序列后减少序列的随机性，然后用GM(1,1)模型进行预测。后者通过对参数的精确化使得模型更加精确。
关键词：GM(1,1)模型；小波变换
Two methods to improve the GM (1, 1) model of the
prediction precision
AN Qiang
(science institute, xi’an university of technology, xi’an
710054,China)
Abstract:GM(1,1) model have it’s own local. This text talk about two model to increase the precision of forecasting: small wave GM(1,1) model and improved GM(1,1) model. The fomer use small wave to reduce the random of the order, then use GM(1,1) model to forecast. The Latter make the model more exact by accurate the parameter.
Keywords: GM(1,1) model: Wavelet Transform
1 前言
随着人类科学知识的日益深化和扩展，需要对未来的事物做出预测，20世纪80年代，邓聚龙教授创立灰色系统理论并受到众多学者和实际工作者的热情支持和关注。邓聚龙教授提出的灰色系统理论，是以信息不完全的系统为研究对象，运用特定的方法描述信息不完全的系统并进行预测、决策、控制的一种系统理论．灰色GM(1,1)模型是灰色系统理论的主要内容之一．该模型是一种时间序列预测模型，它能根据少量信息建模和预测，因而已得到广泛的应用。但是GM(1,1)模型在许多情况下预测精度并不高，即使拟合纯指数序列也得不到满意的结果，因此一些学者对其进行了研究．刘思峰研究了GM(1,1)模型的适用范围，谢乃明提出了离散GM(1,1)模型，李大军提出了GM(1,1)模型，每一种研究对于提高灰色预测模型的精度都有一定的意义．本文将从分析灰色GM(1,1)模型缺陷的基础上，从背景值构造和初始值扰动两个方面改进GM(1,1)模型．所以，先用小波对原始序列进行预处理，消弱数据列的波动变化，减少随机性，强化了事物发展的客观
性和必然性，然后进行预测；同时为了提高灰色模型的精度，减少预测误差，充分利用原始数据的信息。
2 GM(1,1)模型的适用范围
命题1 当()()()()()2
211221n n k k n z k z k ==????-→??????∑∑时，GM(1,1)模型无意义 命题2 当GM(1,1)发展系数2a ≥时，GM(1,1)模型无意义。
当所给出的一组序列满足这两个命题中的一个时，我们用GM(1,1)模型进行预测，为提高精度，我们可以用以下两种方法。
3 提高GM(1,1)模型预测精度的两种方法
方法一：小波—GM(1,1)模型。
由基于小波生成的小波函数系可表示为
()(
),a b t b t a ψ-??=????
(1) 对任意的函数或者信号()f t ，其连续小波变换定义为
()()(
)()_________________
___________,,,f a b a b R R t b W a b f x t dt f t dt a ψψ-??==
????
? (2) 其中：,,0a b R a ∈≠。
小波变换分为连续和离散两种,在使用小波变换重构信号的过程中, 常采用离散化处理。尽管在变形预测中使用的数据是离散时间序列, 但这里的离散化不同于习惯上的时间离散化, 它不针对时间变量t,而是针对连续的尺度参数a 和连续的平移参数b 。在实际中采用的是动态采样网格, 最常用的是二进制的动态采样网格,即02a =, 01b =。每个网格点对应的尺度为2j ,而平移为2j k 。其对应的二进小波公式为
()()()22,22k k k b t t k ψψ-=- (3)
设J 为要分解的任意尺度，则()f x 在分解水平为J 下的完全重构公式为
()()(),,,,J J k j k j k j k k z j f t c t d t φψ∈=-∞=+
∑∑ (4)
式中,j k d 称为小波展开系数；,j k c 称为尺度展开系数。式(4)中的第一项为概貌序列，第二项为分解重构得到的各细节序列。本文采用Daubechies 正交小波对变形监测数据序列进行分解。
定理1：若函数()()x t t -∞<<+∞满足狄氏条件和()f t dt +∞
-∞<∞?，则()x t 可
表示为
()()1
2i t x x t e F d ωωωπ+∞
-∞=? t -∞<<∞ (5)
其中
()()i t x F e x t dt ωω+∞
--∞=? t -∞<<∞ (6) 定理说明信号()x t 可以表示成谐分量
()12i t x F d e ωωωπ的无限叠加，其中ω称为园频率，()12x F d ωωπ
是圆频率为ω的谐分量的振幅(无穷小量)，利用2f ωπ= (f 表示频率)，则 ()()()211222ft x x F d F f d e x t dt df πωωπωππ+∞
-∞==? (7)
式(7)中，df 是无穷小量，因此，对数据列频谱细分时，振幅减小。
灰色小波模型建立的基本思想是通过小波变换将变形监测数据列分解,而得到多个不同的序列,然后利用灰色GM(1,1)模型对这些子序列进行预测, 再通过重构得出预测的变形监测数据序列。由于原始数据列频谱大,数据振荡范围也大,因此该模型能提高预测精度。
例 1给出一组大坝安全监测数据如下：
{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}，用小波- GM(1,1)模型的GM(1,1)模型进行预测， 分别用小波- GM(1,1)模型和GM(1,1)模型进行预测其结果如下：
从以上数据以及图形可以看出，前者的预测精度比后者高。
方法二：改进的GM(1,1)模型
()()1x k 为原始序列()()0x k 的1-AGO 序列，()()1z k 为()()1x k 的紧邻均值生成序
列。设 ()()()()()()()11
111z k p x k p x k =?+-?- (1) ()()()()01x k az k b += (2)
将(1)代入(2)中得：
()()()()()()()()
0111111x k a p x k p x k b +?+-?-= (3) 整理上式得
()()()()()11111111111a p b x k x k a p a p
+-=-+++ (4) 取()()()()1011x x =代入(4)式叠加得
()()()()()()1111111111111111k k a p a p b x k x k a p a a p ??+-+-??????=-+- ? ?++????????
(5) 令()111111a a p e a p
-+-=+，式()()()()10111ak ak b x k e x e a ∧--??+=?+-??是微分方程
()()()()01x k az k b +=的精确解，此时有
()
111111a a e a p a e --+-=- (6) 将上式与()()()()1122122
a b x k x k a a -+=+++对比得 ()1111221a p a a a p
+--=++ (7) 将(6)式代入(7)式得
22ln()12222ln()22a a a a p a a a a
----++=--?++ (8) 其中a 为GM(1,1)模型所得参数。将p 值代入式(1)再建立GM(1,1)模型即可得到重构后的模型，最后导出模型拟合式为
()
()()()1101111
11a k b b x k x m e a a ∧-??+=+-+ ??? 其中m 为扰动因子，1a ，1b 为重构后所得灰微分方程的参数。
例 2 对以下数据进行预测。
{1.285,1.647,2.119,2.716,3.494,4.477,5.760,7.383,9.497}
GM(1,1)模型与改进GM(1,1)模型的预测结果如下：
从以上数据可以看出，改进的GM(1,1)模型提高了预测精度
4 结论
这两种模型法都可以增加GM(1,1)模型的预测精度，前者通过对前期时间序列的处理，减小其随机性而增加预测精度。后者通过对参数的进一步精确而提高预测精度。
参考文献：
[1] 刘思峰,谢乃明.灰色系统理论及其应用[M].北京:科学出版社,2008.
[2] 程正兴,白水辰.小波分析算法及其应用[M].西安:西安交通大学出版社,2002.
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[4] 刘思峰,邓聚龙. GM(1,1)模型的适用范围[J].中国学术期刊电子出版社,2000.
[5] 张欢勇,戴文战.灰色GM(1,1)预测模型的改进[J].浙江理工大学学报,2009.
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