安阳一中2015-2016学年下期期末考试
高一数学试题卷
一、选择题：（每小题5分，共60分）
1、已知平面α//平面β，若两条直线n m ,分别在平面βα,内，则n m ,关系不可能是（ ）
A 、平行
B 、相交
C 、异面
D 、平行或异面
2、设P 是ABC ?所在平面α外一点，若PC PB PA ==，则P 在平面α内的射影是ABC ? 的 （ ）
A 、内心
B 、垂心
C 、外心
D 、中心 3、已知点M 在平面ABC 内，对空间任意一点O ，且+
=x OM 31+3
1
， 则x 的值（ ）
A. 1
B. 0
C. 3
D.
3
1
4、b a ,是空间两条不相交的直线，则过b 且平行a 的平面 ( ) A.有且只有一个 B. 最多有一个
C.至少有一个
D.以上答案都不对
5、给出以下四个命题（其中a,b 是两条直线，α是平面）：
（1） 若b a b a //,//,//则αα （2） 若αα//,//,//b a b a 则
（3） 内所有直线平行于则若ααa a ,// （4） 若α平行于a 内无数条直线，则α//a
其中正确的个数是（ ）
A. 0 B .1 C .2 D .3
6、已知向量→
→b a ,满足4||,1||==→
→
b a ，且2=?→
→b a ，则→
a 与→
b 的夹角为（ ）
A 、
6π B 、4π C 、3π D 、2
π 7、已知A （1，2），B （4，2），则向量AB 按向量（–1，3）平移后得到的向量是（ ）
A ．（3，0） B.（3，5） C.（–4，3） D.（2，3）
8、下列式子正确的是（ ）
A ．| a ·b |≤|a||b|
B ． （a ·b ）2
=a 2
·b 2
C ．a|a|= a 2
D ．a(a ·b)=(a ·a)b
9、已知()()5,0,1,221P P -且点P 在21P P
22PP =，
则点P 坐标是（ ）
A.(-2,11)
B.(
34,3) C. (3
2
,3) D.(2,-7) 10、已知,33)3()(,4||,3||=+?+==→
→
→
→
→
→
b a b a b a ，则→
a 与→
b 的夹角为（ ） A 、030 B 、060 C 、0120 D 、0150
11、设向量)(),1,(),1,2(R ∈-=-=λλ，若向量与的夹角为钝角，则λ的取值范围是 （ ） A. ??? ??∞+-
,21 B.()∞+,2 C. ()∞+???? ??-,22,21 D.??? ?
?
-∞-21,
12、O 是平面上一定点,C B A ,,是平面上不共线三点,动点P 满
足
+
+=λ,),0[+∞∈λ，则P 的轨迹一定通过ABC ?的( )
A.外心
B.内心
C. 重心
D.垂心
二、填空题：（每小题4分，共16分）
13、已知→
→→→
==
b a b a 与,2||,3||的夹角为0
30,则=+→
→||b a ___________
14、在ABC ?中，若bc c b a ++=222，则A 的度数为_______
15、若把函数3)2(log 2+-=x y 的图象按→
a 平移，得到函数1)1(log 2-+=x y 的图象，
则→
a 的坐标为_________
16、在ABC ?中，,7,5,1200
===∠BC AB A 则ABC ?的面积______=S
三、解答题：（本大题共6个小题，共74分）
17、（12分）叙述三垂线定理并加以证明。
18、（12分）已知4||,3||==→
→
b a (且→
→
b a 与不共线),当且仅当k 为何值时,向量→
→+b k a 与
→
→
-b k a 互相垂直？
19、（12分）已知正方体1111ABCD A B C D -中， ,E F 分别为棱111,A B BB 的中点 （1）求直线1AD 与直线1A B 的夹角。
（2）求直线AE 与直线CF 的夹角。
20、（12分）设()5,2=，()1,3=，()3,6=。在线段OC 上是否存在点M ，使
MB MA ⊥？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。
21、（12分）已知向量)cos ,cos 3(),cos ,(sin x x b x x a ==→
→
，且0≠→
b ，定义函数
12)(-?=→
→b a x f
（1） 求函数)(x f 的最小正周期； （2） 若→
→
⊥b a ，求x 的最小正值。
22、（14分）设向量=)sin ,cos 1(αα+,=)sin ,cos 1(ββ-,=(1,0),),0(πα∈,
)2,(ππβ∈,与的夹角为1θ,与的夹角为2θ,且-1θ2θ=
3
π
,求2sin βα-的值.
安阳一中2005-2006学年下期期末考试
高一数学试题答案卷
一、选择题：BCDCA CAAAC CB
二、填空题：13、13；14、0120；15、 ()4,3--；16、4
3
15 三、解答题：
17、答案见课本高二（下B ）23页
18、解：→→+b k a 与→→-b k a 互相垂直的充要条件是0)()(=-?+→
→→→b k a b k a
即02
22
=-→→b k a 。.0169,16,92
2
2
=-∴==→→k b a
43±=∴k ，也就是说，当且仅当43
±=k 时，→→+b k a 与→→-b k a 互相垂直。
19、解：(1)060
(2)在AB 上取一点G ,使得4
AB
BG =
连接,GF CG 设,4BG a AB a == 因为E 是11A B 的中点 所以//GF AE
GFC ∠为异面直线AE 与CF 所成角或其补角
2,,CF CG FG ===
由余弦定理得2
cos 5GFC ∠==
所以异面直线AE 与CF 所成角为2
arccos 5
。
20、解：设[]1,0,∈=t t ，则(),3,6t t =，即()t t M 3,6。
()t t OM OA MA 35,62--=-=，()t t OM OB MB 31,63--=-=。若
MB
MA ⊥，
则
)31)(35()63)(62(=--+--=?t t t t MB MA ，
即
31,01148452==+-t t t 或15
11=t 。∴存在点M ，M 点的坐标为()1,2或??
? ??511,522
21、解：（1）
)
6
2sin(22cos 2sin 31cos 2cos sin 3212)(2π
+
=+=-+=-?=→
→x x x x x x b a x f
π=∴T
（2）若→→⊥b a ，则0=?→
→b a 即0cos cos sin 32=+x x x
0cos sin 3,0cos ,0=+∴≠∴≠→
→
x x x b ，3
3tan -=∴x x ∴的最小正值是
6
5π。 22. 设向量与的夹角为1θ
=
1cos
θ1
sin )cos 1()0,1()sin ,cos 1(22?++?+αααα=
α
αcos 22cos 1++=
2
cos
22cos 22
α
α
),0(πα∈
)2,0(2πα
∈ 02
cos >∴α
∴=
1cos θ2
cos
22cos 22
αα
=2cos α 1θ),0(π∈ ∴1
θ=2α
设向量c b 与的夹角为2θ
=
2cos θ1
sin )cos 1()0,1()sin ,cos 1(22?+-?-ββββ==β
βcos 22cos 1--=
2
sin
22sin 22
β
β
)2,(ππβ∈
),2(2ππβ
∈ 02
sin >∴β
∴=
2cos θ2
sin
22sin 22
ββ
=2sin β=)22cos(βπ-= )22cos(πβ-
)2
,0(22
π
π
β
∈-
∴ 2θ∈),0(π ∴
2θ=2
2
π
β
-
∴ =-)cos(21θθ)222cos(πβα+-=2
sin
β
α--
∴=-)cos(21θθ=3cos π2
1
∴2sin βα-=-=-)cos(21θθ-2
1