锐角三角函数与圆专题
知识点回顾
锐角三角函数知识点：
1. 正弦(sin α)、余弦(cos α)、正切(tan α) 特殊角的三角函数值，如30°，45°，60°
30°
45°
60°
sina cosa tana
准确运用特殊三角函 数值计算：
2sin45°-2
1
cos60°=________．2sin45°-3tan60°=________．
(sin30°+tan45°)·cos60°=__ _． tan45°·sin45°-4sin30°·cos45°=__ _．
例1.如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长都是1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则tanA=（ ）
A 、
55 B 、510 C 、2 D 、2
1
圆的主要知识点：
1. 垂径定理：垂直于弦的直径____________,并且平分弦所对的__________.
锐
角 a
三 角 函 数
推论：平分弦（不是直径）的直径________于弦，并且_______弦所对的两条弧圆的两条平行弦所夹的弧。
2.圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的__________.
推论：1.同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角__________________.
2.半圆（或直径）所对的圆周角是_____,90°的圆周角所对的弦是______.
3、圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦，所对的弧相等，弦心距
4.切线的性质与判定、
性质：圆的切线_________于过切点的半径或直径.
推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。
判定：1.已知半径，证垂直；2.作垂直，证半径.
5.点与圆的位置关系:___________________________________.
直线与圆的位置关系:_________________________________.
圆与圆的位置关系：__________________________________.
6.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长 ,这点和圆心的连线两条切线的夹角。
例2．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F.有下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③BC平分∠ABD；
④AF＝DF；⑤BD＝2OF；⑥△CEF≌△BED.其中一定成立的是( )
A．②④⑤⑥B．①③⑤⑥
C．②③④⑥D．①③④⑤
类型1：在圆中求锐角的三角函数值
1．如图2，已知⊙O的半径为1，锐角三角形ABC内接于⊙O，
BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于( )
A．OM的长 B．2OM的长 C．CD的长 D．2CD的长
2 .如图3，AB是⊙O的直径，弦AC与BD相交于点P，∠BPC是α，若⊙o的半径是3，CD=4，求cosα的值是__________.
3.如图4，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA＝5，弦AC＝8，OD⊥AC，垂足为
E，交⊙O于点D，连接BE.设∠BEC＝α，则sinα的值为_________．
图3 图4
4.如图，AB是圆O的直径，∠ABT=45°，AT=AB
(1) 求证：AT是圆O的切线
(2)连接OT交圆O于点C，求tan∠TAC的值。
变式一：
如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E。
（1）求证：直线EF是⊙O的切线
（2）求cos∠E的值
变式二：
如图所示，已知等边?ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D 作DF⊥AC，垂直足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接GD，
（1）求证：DF是⊙o的切线、
（2）求tan∠FGD的值.
类型2：在圆中已知锐角三角函数值，求线段长度。
1.如图1,以圆O为圆心,半径为1的弧交坐标轴于A,B两点,P是上一点(不与A,B 重合),连接OP,设∠POB＝α,则点P的坐标是( )
A.(sinα,sinα)
B.(cosα,cosα)
C.(cosα,sinα)
D.(sinα,cosα)
图1 图2
2. 如图2，以Rt ?ABC 的边AB 为直径作⊙o ，点C 在⊙o 上，过点C 作CD ⊥AB 于
点D ，已知cos ∠ACD= 53
，BC=4，则AC 的长是（ ）
A.1
B. 320
C. 3
D. 3
16
3.如图，点C 在以AB 为直径的⊙o 上，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为点D ，AD 交⊙o 于点E ，
(1) 求证：AC 平分∠DAB
(2) 连接BE 交AC 于点F,若cos ∠CAD=
54 ，求FC
AF 的值.
变式一：
如图，⊙o 的直径AB 与弦CD 互相垂直，垂足为点E ，⊙o 的切线BF 与弦AD 的延长线交于点F ，若AD=3，cos ∠BCD=
4
3
，求BF 的长。
变式二：
如图，在?ABC 中，以AC 为直径作⊙o 交BC 于点D ，交AB 于点G ，且D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为点E ，交AC 的延长线于点F ， （1）求证：直线EF 是⊙o 的切线 （2）若CF=5，cosA=
5
2
，求BE 的长.
[解题技巧]：解答锐角三角函数与圆相结合的的题目，关键是构造直角三角形，而直角三角形的寻找有以下方法：①构造直径所对的圆周角；②连接圆心和切点；③利用垂径定理等，有时需要利用同（等）弧所对的圆周角相等或同（等）角的余角相等来转化角，再用相关的锐角三角函数去解决问题，解题时与三角形相似结合解答。
课堂小结：
锐角三角函数与圆的关系应从圆的各种相关定理出发，掌握垂径定理、切线的判定与性质、圆周角定理等知识，从给定的条件中构造出直角三角形，运用锐角三角函数中的边角关系，解决相应题目。