常微分方程试题库
二、计算题（每题6分）
1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx ；
2. 解方程：x y x
y
e 2d d =+； 3. 解方程：；
4. 解方程：
t e x dt
dx
23=+； 5. 解方程：0)2(=+---dy xe y dx e y y ；
6. 解方程：0)ln (3=++dy x y dx x
y
；
7. 解方程：0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy ；
8. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x ； 9. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x ； 10. 解方程：02=-''+'''x x x ； 11. 解方程：1,0='-'='+'y x y x ；
12. 解方程：
y y dx dy
ln =； 13. 解方程：y x e dx
dy
-=；
14. 解方程：02)1(22=+'-xy y x ；
15. 解方程：x y dx
dy
cos 2=；
16. 解方程：dy yx x dx xy y )()(2222+=+；
17. 解方程：x xy dx dy
42=+；
18. 解方程：23=+ρθ
ρ
d d ；
19. 解方程：22x y xe dx
dy
+=；
20. 解方程：422x y y x =-'；
选题说明：每份试卷选2道题为宜。
二、计算题参考答案与评分标准：（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx
解： ,2,1,0,2
,±±=+==k k x k y π
ππ是原方程的常数解， （2分）
当2
,π
ππ+
≠≠k x k y 时，原方程可化为：
0cos sin sin cos =-dx x
x
dy y y ， （2分） 积分得原方程的通解为：
C x y =cos sin . （2分）
2. 解方程：
x y x
y
e 2d d =+ 解：由一阶线性方程的通解公式
?
?
+?
=-),)(()()(dx e x f C e y dx
x p dx
x p （2分）
x
x x x dx
x dx e Ce dx e C e dx e e C e 3
1
)()
(23222+=+=?+?=---??
分）
（分）
（22 3. 解方程： 解：由一阶线性方程的通解公式
??+?=-))(()()(dx e x f C e y dx
x p dx x p （2分）
=??+?-)sec (tan tan dx xe C e xdx
xdx
（2分）
?+=)sec (cos 2xdx C x x x C sin cos +=. （2分）
4. 解方程：
t e x dt
dx
23=+ 解：由一阶线性方程的通解公式
??+?
=-))(()()(dt e t f C e x dt
t p dt t p （2分）
=??+?-)(323dt e e C e dt
t dt （2分）
?+=-)(53dt e C e t t
t t e Ce 235
1+=-. （2分） 5. 解方程：0)2(=+---dy xe y dx e y y
解：原方程可化为：
02=+---y y xde ydy dx e ， （2分） 即 0)(2=--y xe d y ， （2分） 原方程的通解为：
C y xe y =--2. （2分）
6. 解方程：0)ln (3=++dy x y dx x
y
解：原方程可化为：
0ln )(ln 3=++xdy dy y x yd ， （2分） 即 0)4
1
ln (4=+y x y d ， （2分） 原方程的通解为：
C y x y =+44
1
ln . （2分）
7. 解方程：0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy
解：因为x
N
x x y M ??=+=??62，所以原方程为全微分方程， （2分） 由 02323222=+++ydy x dy x dx y x xydx ， （1分） 得: 0)()(232=+y x d y x d ， （2分） 故原方程的通解为：
C y x y x =+232. （1
分）
8. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x 解：其特征方程为：
0)2)(1(485223=--=-+-λλλλλ， （1分）
特征根为2=λ为2重根，1=λ.
（2分） 所以其基本解组为： t t t e te e ,,22， （2分） 原方程的通解为： t t t e C te C e C x 32221++=. （1分）
9. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x 解：其特征方程为：
0)1()1(2223357=+-=+-λλλλλλ， （1分） 特征根为：0=λ为3重根，1=λ，为2重根，1-=λ为2重根.（2分） 所以其基本解组为： 2,1t t ，t t t t te e te e --,,,， （2分） 原方程的通解为：t t t t te C e C te C e C t C t C C x --++++++=76542321. （1分）
10. 解方程：02=-''+'''x x x 解：其特征方程为：
0)22)(1(2223=++-=-+λλλλλ， （1分）
特征根为：i ±-==11321，，λλ.
（2分） 所以其实基本解组为： t e t e e t t t sin ,cos ,--， （2分） 原方程的通解为： t e C t e C e C y t t t sin cos 321--++=. （1分）
11. 解方程：1,0='-'='+'y x y x ； 解：原方程可化为： 2
1,2
1-='='y x ， （2分） 积分得通解为：
212
,2
c t y c t x +-=+=. （4分）
12. 解方程：
y y dx
dy
ln = 解：原方程可化为：
ln y
y 积分得原方程的通解为：
C y x =ln ln . （3
分）
13. 解方程：
y x e dx
dy
-= 解：原方程可化为：
dx e dy e x y =， （3分） 积分得原方程的通解为：
c x y +=. （3分）
14. 解方程：02)1(22=+'-xy y x
解：0=y 是原方程的常数解， （1分） 当0≠y 时，原方程可化为：
01
2122=-+dx x x dy y ， （2分） 积分得原方程的通解为：
c x y +-=-1ln 21. （3分） 15. 解方程：
x y dx
dy
cos 2= 解：0=y 是原方程的常数解， （1分） 当0≠y 时，原方程可化为：
xdx dy y
cos 1
2=， （2分） 积分得原方程的通解为：
x c y sin 1-=-. （3分）
16. 解方程：dy yx x dx xy y )()(2222+=+
解：0=y ，0=x 是原方程的常数解， （1分） 当,0≠x 0≠y 时，原方程可化为：
x
x y y 22积分得原方程的通解为：
c x x y y +-=---11ln ln . （3分）
17. 解方程：
x xy dx
dy
42=+ 解：分析可知2=y 是其特解. （2分）
对应齐方程的02=+xy dx
dy
通解为：
2
x ce y -=， （2分）
故原方程的通解为：
22
+=-x ce y . （2分）
18. 解方程：
23=+ρθ
ρ
d d 解：分析可知3
2
=ρ是其特解. （2
分）
对应齐方程
03=+ρθ
ρ
d d 的通解为： θρ3-=c
e ， （2分）
故原方程的通解为：
3
23+=-θρce . （2分）
19. 解方程：2
2x y xe dx
dy +=
解：原方程可化为：
dx xe dy e x y 22=-， （3分） 积分得原方程的通解为：
c e e x y =+-2
2. （3分）
20. 解方程：422x y y x =-'
解：分析可知4x y =是其特解. （2分）
又对应齐方程02=-'y y x 的通解为：
2cx y =， （2分） 故原方程的通解为：
42x cx y +=. （2分）
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