习 题 二 解 答
1．用二分法求方程x 3-2x 2-4x-7=0在区间[3，4]内的根，精确到10-3，即误差不超过31
102-?。
分析：精确到10-3与误差不超过10-3不同。
解：因为f(3)＝-10＜0，f(4)=9＞0，所以，方程在区间［3，4］上有根。 由
3
4311*10
2
2
2
2
2
n n
n n
n
n
b a b a x x -----≤
==
=
<
?
有2n-1＞1000，又为210＝1024＞1000， 所以n ＝11，即只需要二分11次即可。
x *≈x 11=3.632。 指出：
（1）注意精确度的不同表述。精确到10-3和误差不超过10-3
是不同的。 （2）在计算过程中按规定精度保留小数，最后两次计算结果相同。
（3）用秦九韶算法计算f(x n )比较简单。
1*．求方程x 3-2x 2-4x-7=0的隔根区间。
解：令32247y x x x =---， 则2344322()()y x x x x '=--=+-
当23443220()()y x x x x '=--=+-=时，有122
23,x x =-=。
因为2
14902150327(),()y y -=-
<=-<，所以方程在区间223
(,)-上无根；
因为214903
27
()y -
=-<，而函数在23
(,)-∞-
上单调增，函数值不可能变号，所以
方程在该区间上无根；
因为2150()y =-<，函数在(2,+∞)上单调增，所以方程在该区间上最多有一个根，
而(3)=-10<0,y(4)=9>0，所以方程在区间(3,4)有一个根。 所以，该方程有一个根，隔根区间是(3.4)。
2．证明1sin 0x x --=在[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不大于4
1
102-?的根，需要迭代多少次？
分析：证明方程在指定区间内有一个根，就是证明相应的函数在指定区间有至少一个零点。
解：令()1sin f x x x =--，
因为(0)10sin 010,(1)11sin 1sin 10f f =--=>=--=-<，
则(0)(1)0f f <，
由零点定理，函数f(x)在[0,1]区间有一个根。 由
4
1011*10
2
2
2
2
2
n n
n n
n
n
b a b a x x -----≤
==
=
<
?
有2n-1＞10000，又为210＝1024，213＝8192<10000，214＝16384>10000 所以n ＝15，即需要二分15次。 指出：
要证明的是有一个解而不是唯一解，因此不必讨论单调性。 3．试用迭代公式102
20,1210
k k k x x x x +==++，求方程3
2
210200x x x ++-=的
根，要求精确到510-。
分析：精确到510-即误差不超过51
102-?
解：令32()21020f x x x x =++- 列表进行迭代如下：
指出：
精确到510-可以从两个方面判定。第一，计算过程中取小数到510-位，最后两个计算结果相同，终止计算。第二，计算过程中取小数到610-，当
5
1110
2k k x x -+-<
?终止计算。
本题采用第一种方法。
4．将一元非线性方程20cos x x e -=写成收敛的迭代公式，并求其在005.x =附近的根，要求精确到210-。
解：20cos x x e -=改写为222110
cos cos cos x x
x
x x x e e
e
=?
=?
-=，则
21cos x
x x x e
=+
-，设 21cos ()x
x g x x e
=+
-
有
22224
111)
sin cos (sin cos )
()()
x
x
x
x
x
x xe xe
x x g x e e
e
π
+--+'=+
=-
=-
在005.x =处，因为
05
054
051096151..)
(.).g e
π+
'=-
=<
所以迭代法121cos ()k
k
k k x x g x x e
+=+-在005.x =的邻域内收敛。
列表迭代如下：
此时0692069000614.cos ..e -=。
5．为求方程3210x x --=在015.x =附近的一个根，设将方程改为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：
12
2
13
2
2312
11
2
1111121111
31
1(),;
(),();(),.
()k k
k k
k k x x x
x x x x x x x x x +++=+
=+
=+=+=
=
--迭代公式迭代公式迭代公式 试分析每种迭代公式的收敛性，并取一种公式求出具有4位有效数字的近似值。
解：（1）因为2
11x x
=+
，所以迭代函数为2
11()g x x =+
，则
2
3
2
12()(
)()g x x
x
x
--'''===-，33
2
2152151
15
3375
(.)...g -'=-?=
=
<满足局部
收敛性条件，所以迭代公式12
11k k
x x
+=+
具有局部收敛性。
（2）因为12
31()x x =+,所以迭代函数为12
31()()g x x =+,则
1
21
2
2
3
3
2
2
3
1221213
3
31()()
()
()x
g x x x x x x --
'=
+=
+=
+,
2
2
3
215
150********.(.).(.)g ?'=
=<+满足局部收敛性条件,所以迭代公式
1
2311()k k
x x +=+具有收敛性。 （3）因为1
2
1
1()x x =
-，所以迭代函数为1
2
1
1()()g x x =
-，则
1312
2
111122
()()
()g x x x ---
'=-
-=-
-，
32
3
2
11
151********
205(.)(.)
..g -
'=-=
=>?不满足收敛性条件，所以迭代公式
11
2
1
1()k k x x +=
-不具有收敛性。
用迭代公式1211k k
x x
+=+列表计算如下：
所以，方程的近似根为1465*.x ≈。
6．设23()()x x C x ?=+-，应如何取C 才能使迭代公式1()k k x x ?+=具有局部收敛性？
解：设C 为常数，因为23()()x x C x ?=+-，所以12()x Cx ?'=+，要使迭代公式具有局部收敛性，需00121()x Cx ?'=+<，此时即有01121Cx -<+<，也即
010Cx -<<。即只要C 取满足如上条件的常数，就可以使得迭代公式具有局部
收敛性。
指出：
本题的一般形式为：
设()()x x Cf x ?=+，应如何取C 才能使迭代公式1()k k x x ?+=具有局部收敛性？
显然，()()x x Cf x ?=+是迭代格式1()k k x x ?+=相应的迭代函数，因此该迭代格式要求解的方程是()()()0x x x x Cf x f x ?=?=+?=。也就是说，这是如何选择C ，构造一个求解方程f(x)=0的收敛的迭代格式的问题。
因为()()x x Cf x ?=+，所以()1()x Cf x ?''=+， 要使迭代格式收敛，需()1()1x Cf x ?''=+< 解之得2()0Cf x '-<<，
即C 与()f x '异号，且()2Cf x '<。
下面的讨论利用了本题的特殊条件，求出了具体的结果：
因为23()()x x C x ?=+-，所以当2(3)x x C x =+-时，有2(3)0C x -=
，则
x =23()()x x C x ?=+-
的不动点为*
x =。
而12()x Cx ?'=+， 根据局部收敛性定理，
当1210C c ?'=+
<<
；
当(12(10C c ?'=+
时，迭代格式收敛到。
7．用牛顿法求方程3310x x --=在初始值02x =邻近的一个正根，要求
3
110
k k x x -+-<。
解: 因为3310x x --=
所以有3()31f x x x =--，相应的迭代公式为
3
3
122
312133
33
k k k k k k k x x x x x x x +--+=-
=
--
取x 0=2为迭代的初始近似值。迭代的结果列表如下：
因为3
3210.000110
2
x x --=<
?,符合计算的精度要求,所以
*
3 1.8794x x ≈=。
8．用牛顿法解方程1
0c x
-=，导出计算数c 的倒数而不用除法的一种简单
的迭代公式。用此公式求0.324的倒数，设初始值03x =，要求计算有5位有效数字。
解：对于方程1
0c x -=，有1()f x c
x =
-，相应的迭代公式为
2
12
1
21k k k k k k
c x x x x cx x +-=-
=--
。
应用该迭代公式求0.324的倒数，列表计算如下
所以
1
308640324
..≈。
指出： 如果将方程10
c x -=改写为等价的10cx -=，则有1()f x cx =-，相应的迭
代公式为
111k k k cx x x c
c
+-=-
=
无法展开迭代。
9．设a
lim
k →∞
。
解：设a 为正实数，n 为自然数，由牛顿法，方程0()n f x x a =-=的解为
11111()()(1)1[(1)]
k k k k n
n
n
k k k k n n k k
n k n k
k n k
f x x x f x x a nx x a
x nx
nx n x a
nx a n x n
x
+----=-
'--+=-
=
-+==
-+
此即求 由此，则
1
1
11
11
[(1)][(1)] lim lim lim
1
[(1)(1)]
lim
1
[(1)(1)]
lim
1
[((1)()
lim
n
k n k k k k k
n
k
k
n
k
k
n
k
k
a
n x n x ax
x n x
n a n x
n a n x
a n n x
n
-
-
→∞→∞→∞
--
→∞
-
→∞
-
→∞
-+-+
==
--+-
=
--+-
=
---
=
1
11
]
2(1)
(1)(1)
lim
22lim
n n
k
k k
k
a n a n
x x
-
++
→∞
→∞
-?-
--
====
指出：
本题中，表面上是k→∞的问题，
但实际上却是
k
x→的问题，1
,
k k
x x
+
才是极限过程中实际的变量。
本质上。本题实际上是求极限
1
1
1
11
[(1)][(1)] lim lim lim
1
[(1)]
n
k n k k k k k
n
x
a
n x n x ax
x n x
n x ax
-
-
→∞→∞→∞
-
-+-+
==
-+
=
由于讨论的是0
型不定式，且不定式的分母上有2次的“0”因子，因此两次应用罗必塔法则。
解二：首先证明一个定理：
定理：设**
()0,()0
f x f x
'
=≠，又设f(x)在*x的某个邻域内具有连续的二阶导数，则牛顿迭代法具有局部收敛性，且有。
**
1
*2*
()
lim
()()
k
k
k
x x f x
x x f x
+
→∞
''
-
=
'
-
。
证明：因为()
()
()
f x
g x x
f x
=-
'
所以
()2
()()()
()
()()
f x f x f x
g x x
f x f x
'''
??
'=-=
?
''
??
因为f(x)在邻域内具有连续的二阶导数，所以()
g x
'在邻域内连续，且
()
***
2
*
()()
()0
()f x f x g x f x '''=
='
由局部收敛性定理，牛顿迭代法具有局部收敛性。
对()2
()()()
()()()f x f x f x g x x f x f x '
''??'=-= ?''?
?求导，根据条件有 *
*
*
()()()
f x
g x f x ''''=
'
由收敛阶定理，若*
()0f x ''≠，则*
*
*
()()0()
f x
g x f x ''''=
≠'，牛顿迭代法二阶收
敛，若*
()0f x ''=，则*
*
*
()
()0()
f x
g x f x ''''=
='，牛顿迭代法有更高的收敛阶。
因为牛顿迭代法有二阶收敛性，所以
*
**
*
*
1*
2
*
()
()()
()
lim
()
2!
2!
2()
k k k f x x x
g x f x f x x x f x +→∞
'''''''-=
=
=
'-。
显然
如果*x 是方程f(x)=0的单根，则*()()()f x x x x ?=-，且*()0x ?≠。 此时*()()()()f x x x x x ??''=+-，则**()()0f x x ?'=≠，
可见定理中的条件“**()0,()0f x f x '=≠”可以等价替换为“*x 是方程f(x)=0的单根”
对本题来说，
()n f x x a =-
，*x =是方程的单根， 所以
11
(),0
n n f x nx f n --''==≠
22
()(1),(n n f x n n x f n n --''''=-=- 则
lim
lim
k k →∞
→∞
=-=-
=-
=
指出：
应用分组分解法进行因式分解，分子、分母约去“0”因子，就可以按连续函数的极限性质求解了。
10．用快速弦截求方程3310x x --=在初始值02x =邻近的实根（取1 1.9x =，要求精确到310-）。
解: 因为3310x x --=
所以有3()31f x x x =--，相应的迭代公式为
111()()
()()
k k k k k k k f x x x x x f x f x +--=-
--
取x
因为3
4310.000010
2
x x --=<
?,符合计算的精度要求,所以
*
4 1.8794
x x ≈=。
指出：
本教程所说快速弦截法是通常所说的弦截法（割线法），而它所说弦截法是通常的单点弦截法。
11、分别用下列方法求方程4cos x x e =在04
x π
=邻近的根，要求有三位有效
数字。
（1）用牛顿法，取04
x π
=；
（2）用弦截法，取01,4
2
x x π
π
=
=
；
（3）用快速弦截法，取01,4
2
x x π
π
=
=
。
解：方程4cos x x e =变形为4cos 0x e x -=， 则()4cos ,()4sin x x f x e x f x e x '=-=+。 牛顿法、弦截法、快速弦截法公式分别为 （1）牛顿法
1()4cos ()
4sin k k
x k k k k k x k k
f x e x x x x f x e
x +-=-
=-
'+；
（2）弦截法
1()(0.785)() 1.81
k k k k k f x x x x f x +=-
-+；
（3）快速弦截法
111()()
()()
k k k k k k k f x x x x x f x f x +--=-
--。
补充题 （一）
1、确定方程x 5+x-10＝0的根的个数，找出隔根区间。
2、用二分法求方程f(x)=x 3＋2x-5=0在［2，3］的根的近似值，要求误差不超过0.005。
3、用二分法求方程f(x)=x 3－2x-5=0在［2，3］的根的近似值，要求误差不超过0.05。
4、用二分法求方程2
()sin 04
x
f x x =-
=的非零实近似根，使误差不超过10
－2
。
5、分析方程()sin 02
x f x x =-
=的根的分布情况，并用二分法求正根的近似
值，使误差不超过10－2。
6、估计用二分法求方程f(x)=x 3＋4x 2-10=0在［1，2］内的根的近似值，为使误差不超过10－5时所需要的二分次数。
分析与解答
1、令510y x x =+-,
4
51y x '=+,
显然0y '>,而且函数没有不可导点, 所以，函数在区间(,)-∞∞上是单调增的， 故方程最多有一个根。
因为(0)100,(2)240y y =-<=>，
所以方程在（0，2）区间有一个根，（0，2）即为方程的隔根区间。 2、因为f(2)=7＞0，f(3)=28＞0，实际上本方程在指定范围内无根。但如果不加判定，也可以计算出一个值来。所以，用二分法求方程的根必须先行判定。
要特别注意的是，完整的二分法的过程是，第一步代入初值，第二步判断是否有解，第三步在有解的前提下求出解来。不进行判断就形式地套用二分法的过程是不可以的，同样地，如果因为无解就放弃讨论也是不正确的。
3、因为f(2)=－1＜0，f(3)=16＞0，所以方程在区间上有解。
321*0.05
2
2
2
2
n n
n n
n
n
b a b a x x ----≤
==
=
<，所以，2n ＞20，n=5。
x *≈2.10
4、画出y=sinx 和2
4
x
y =
的曲线，可以看出，
两条曲线除了原点外，在第一象限有且只有一个 交点。交点的横坐标介于1.5与2之间（显然， π／2≈1.5，sin(π／2)=1，2
(
)
214
π<，所以在π／2
f(x)＞0，而当x ＝2时，2
14
x
=，sinx ＜1,所以在2f(x)＜0。
5、画出y=sinx 和2
x y =
象限有且只有一个交点。交点的横坐标介于1.8与器计算估计，当sinx 的值从大于
2
x 要求│x *－x n │≤0.01，可以求出用二分法计算的次数。 在区间［1.8，1.9］上，因为
1.9 1.80.1*0.012
2
2
2
n n
n n
n
n
b a b a x x ----≤
==
=
<
所以，n=4。 具体计算过程如下 所以，x *≈x 4＝1.89 指出：
确定求根区间和根的初始近似值，应用MATLAB 工具，用交轨法是重要的途径，可以先确定大致范围，再缩小区间重新画图精细化。在用普通的手工画草图的方法画交轨图的时候，可以借助于计算器使得隔根区间更短，但这种方法只对简单问题有效。
6、│x *－x n │≤10－5，即
5
21110
2
2
n
n
--=
≤ ，所以 2n ≥105。
因为215＝32768，216＝65537，217＝131072，所以n=17。
（二）
1、对于方程3x 2－e x ＝0，为求最大正根与最小正根的近似值，试分别确定迭代函数g(x)及区间［a,b]，使得当x 0∈[a,b]时，相应的迭代过程x k+1=g(x k )收敛到要求的根。
2、证明：当x 0=1.5时，迭代法
1k x +=
和1k x +=
都收敛于方程f(x)=x 3+4x 2-10=0在区间［1，2］内的唯一实根x *，分别用上述迭代法求满足精度│x k+1－x k │≤10－5的近似根。
3、为求方程f(x)=x 3－x 2－1＝0在x 0＝1.5附近的一个根，可将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式
［1］改写成2
11x x
=+
,迭代公式为12
11k k
x x
+=+
；
［2］改写成x 3=1+x 2，迭代公式为1k x += ［3］改写成21
1
x x =
-，迭代公式为11k x +=
试分析每一种迭代公式的收敛性。
分析与解答
1、根据3x 2和e x 的图像可知，方程3x 2－e x ＝0在实数域上有三个根，分别在区间(－1,0)，(0,1)，(3,4)内。其最大正根在［3，4］区间，最小正根在［0，1］
区间。取迭代函数g(x)=ln3x 2，可以得到最大正根，而取迭代函数()g x =，可以得到最小正根。
2、两种迭代法的迭代函数分别在区间［1，2］和［1，1.5］上满足定理2（不动点原理）的条件，故当x 0=1.5时两种迭代法都收敛，且分别迭代9次和25，都可得到近似根1.36523。
我们讨论第一种迭代法，用定理2证明。它的迭代函数为()g x =。
首先，g(x)是一个减函数，当x=1时，(1)g =
x ＝2时，(2)g =。
所以当x ∈[1,2]时，1＜g(2)≤g(x)≤g(1)＜2，即g(x)∈[1,2]。
其次，()g x '=-，显然这是一个增函数，当x ＝2时，其函数
值为
(2)g '=-
=，所以，g ／(x)＜ g ／(2)＜1。
指出：只给出了含根区间，就只能用定理2证明。
3、［1］给出了初始近似值，也即知道了精确根的大致位臵，可以用定理4（局部收敛性定理）证明。
由题意，方程有实根。下面证明g ／
(x)连续和g ／
(x *)＜1（x *是方程的精确根）。
方程2
3
12()1,()g x g x x
x
'=+
=
，可见g ／(x)在1.5及其附近是连续减函数，因为
g(1.5)= －0.59，1.5又在x *的邻域内，由函数g ／(x)的连续性，g ／(x *)＜1，所以此迭代法具有局部的收敛性。
指出：
一般地说，用定理2（不动点原理）证明只要利用函数的单调性与区间上的最值就可以讨论，而用定理4（局部收敛性定理）则需要用到函数的连续性。
第一章 误差 1. 试举例,说明什么是模型误差,什么是方法误差. 解: 例如,把地球近似看为一个标准球体,利用公式2 4A r π=计算其表面积,这个近似看为球体的过程产生 的误差即为模型误差. 在计算过程中,要用到π,我们利用无穷乘积公式计算π的值: 12 222...q q π=? ?? 其中 11 2,3,... n q q n +?=?? ==?? 我们取前9项的乘积作为π的近似值,得 3.141587725...π≈ 这个去掉π的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差,也成为截断误差. 2. 按照四舍五入的原则,将下列各数舍成五位有效数字: 816.956 7 6.000 015 17.322 50 1.235 651 93.182 13 0.015 236 23 解: 816.96 6.000 0 17.323 1.235 7 93.182 0.015 236 3. 下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数,它们各有几位有效数字? 81.897 0.008 13 6.320 05 0.180 0 解: 五位 三位 六位 四位 4. 若1/4用0.25表示,问有多少位有效数字? 解: 两位 5. 若 1.1062,0.947a b ==,是经过舍入后得到的近似值,问:,a b a b +?各有几位有效数字? 解: 已知4311 d 10,d 1022 a b --
2.1 用二分法求方程013=--x x 在[1, 2]的近似根，要求误差不超过3102 1-?至少要二分多少？ 解：给定误差限ε＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(2 11 a b k 即可，亦即 96678.912lg 10lg 35.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝10. 2.3 证明方程1 -x –sin x ＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过 0.5×10-4的根要二分多少次？ 证明 令f (x )＝1－x －sin x ， ∵ f (0)=1>0，f (1)=－sin1<0 ∴ f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根.又 f '(x )=-1－c os x<0 (x ∈[0.1]),故f (x ) 在[0，1]单调减少，所以f (x ) 在区间 [0，1]内有唯一实根. 给定误差限ε＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211 a b k 即可，亦即 7287.1312 lg 10lg 45.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝14. 2.4 方程0123=--x x 在x =1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式： （1）211x x +=，迭代公式2111k k x x +=+ （2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+ （3）112-=x x ，迭代公式111-=+k k x x （4）13-=x x ，迭代公式131-=+k k x x 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。 解：（1）令211)(x x f + =，则3 2)(x x f -='，由于 159.05.112)(33<≈≤='x x f ，因而迭代收敛。 （2）令321)(x x f +=，则322)1(3 2)(-+='x x x f ，由于
【 数值计算方法试题一 一、 填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。 2、迭代格式)2(2 1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(211 0)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数， 则 a =( )， b =（ ）， c =（ ）。 4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则 ∑== n k k x l 0)(( )， ∑== n k k j k x l x 0 )(( )，当2≥n 时 = ++∑=)()3(20 4x l x x k k n k k ( )。 ； 5、设1326)(2 47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=?07 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。 7、{}∞ =0)(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ?，则?= 1 4)(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2211 21b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ??? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是 阶方法。
习 题 四 解 答 1、设010,1x x ==，写出()x f x e -=的一次插值多项式1()L x ，并估计插值误差。 设插值函数为1()L x ax b =+，由插值条件，建立线性方程组为 1 01 1a b a b e -?+=???+=? 解之得11 1a e b -?=-?=? 则11()(1)1L x e x -=-+ 因为(),()x x y x e y x e --'''=-= 所以，插值余项为 (1)(2) (2)011 ()()()()() (1)! 1()()2!1 ()()()2!1 (0)(1)((0,1))2n r x f x p x f x n f x f x x x x e x x ξξπξπξξ+-=-=+= =--=--∈ 所以 01 0101 ()max max (1) 2111248x r x e x x e ξξ-≤≤≤≤-≤-=??=。 2选用合适的三次插值多项式来近似计算f 和f 。 解：设三次插值多项式为230123()f x a a x a x a x =+++，由插值条件，建立方程组为 23012323 012323 01232301 23(0.1)(0.1)(0.1)0.9950.30.30.30.995 0.70.70.70.7651.1 1.1 1.10.454 a a a a a a a a a a a a a a a a ?+?-+?-+?-=?+?+?+?=??+?+?+?=??+?+?+?=?
即 012301230123 123012312301230.10.010.0010.9950.10.010.0010.9950.30.090.0270.9950.40.080.02800.70.490.3430.7650.80.480.344 1.761.1 1.21 1.3310.454a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-=-+-=??+++=++=??? +++=++=??+++=?12301231232330.40.720.9880.3110.10.010.0010.9950.40.080.02800.320.288 1.760.384 3.831a a a a a a a a a a a a a ??????++=-? -+-=??++=??? +=? ?-=-? 解之得 01 230.416.293.489.98 a a a a =??=-?? =-??=? 则所求的三次多项式为23()0.41 6.29 3.489.98f x x x x =--+。 所以 2323 (0.2)0.41 6.290.2 3.480.29.980.20.91 (0.8)0.41 6.290.8 3.480.89.980.8 1.74f f =-?-?+?=-=-?-?+?=- 3、设(0,1,2,,)i x i n =L 是 n+1个互异节点，证明： （1）0()(0,1,2,,)n k k i i i x l x x k n ===∑L ； （2）0 ()()0(0,1,2,,)n k i i i x x l x k n =-==∑L 。 证明： （1）由拉格朗日插值定理，以x 0,x 1,x 2,…x n 为插值节点，对y=f(x)=x k 作n 次插值，插值多项式为 0()()n n i i i p x l x y ==∑， 而y i =x i k , 所以0 ()()()n n k n i i i i i i p x l x y l x x ====∑∑ 同时，插值余项 (1)(1)11 ()()()()()()0(1)!(1)! n k n k n r x x p x f x x x n n ξξππ++=-= ==++ 所以0 ()n k k i i i l x x x ==∑ 结论得证。 （2）取函数()(),0,1,2,,k f x x t k n =-=L 对此函数取节点(0,1,2,,)i x i n =L ，则对应的插值多项式为
《计算方法》习题答案 第一章 数值计算中的误差 1．什么是计算方法？（狭义解释） 答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。 2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？ 答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。 解：400)(2 3 4 5 -+?+-?+=x x x x x x P ，从而 所以，多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。 5．叙述误差的种类及来源。 答：误差的种类及来源有如下四个方面： （1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。 （2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。 （3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。 （4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。这样引起的误差称为舍入误差。 6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。 答：设* x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=* 为近似值x 的绝对误差（简称误差）。若存在一个正数ε使ε≤-=x x e * ，称这个数ε为近似值x 的绝对误差限（简称误差限或精度）。 把绝对误差e 与精确值* x 之比* **x x x x e e r -==称为近似值x 的相对误差，称
数值计算方法试题一 一、填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（）次。 2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（）。 3、已知是三次样条函数，则 =( )，=（），=（）。 4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则 ( )，( )，当时( )。 5、设和节点则 和。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。 7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则。 8、给定方程组，为实数，当满足，且时，SOR迭代法收敛。 9、解初值问题的改进欧拉法是 阶方法。 10、设，当（）时，必有分解式，其中为下三角阵，当其对角线元素满足（）条件时，这种分解是唯一的。 二、二、选择题（每题2分） 1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（）。（1）, (2) , (3) , (4) 2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 （1），（2），（3），（4）， （1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次 4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（）。 (1), (2), (3), (4)
三、1、 2、（15 (1)(1) 试用余项估计其误差。 （2）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。 四、1、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。 2、（8分）已知方程组，其中 ， （1）（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。 （2）（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR 迭代法。 五、1、（15分）取步长，求解初值问题用改进的欧拉法求的值；用经典的四阶龙格—库塔法求的值。 2、（8分）求一次数不高于4次的多项式使它满足 ,,,, 六、（下列2题任选一题，4分） 1、1、数值积分公式形如 （1）（1）试确定参数使公式代数精度尽量高；（2）设，推导余项公式，并估计误差。 2、2、用二步法 求解常微分方程的初值问题时，如何选择参数使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。 数值计算方法试题二 一、判断题：（共16分，每小题２分） １、若是阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵和上三角阵，使唯一成立。（）
1、解：将)(x V n 按最后一行展开，即知)(x V n 是n 次多项式。 由于 n i i i n n n n n i n x x x x x x x x x x V ...1...1... ......... ...... 1 )(21110 20 0---= ，.1,...,1,0-=n i 故知0)(=i n x V ，即110,...,,-n x x x 是)(x V n 的根。又)(x V n 的最高 次幂 n x 的系数为 )(...1...1... ...... .........1),...,,(101 1 21 11 2 2221 02001101j n i j i n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x V -== ∏-≤<≤-----------。 故知).)...()()(,...,,()(1101101------=n n n n x x x x x x x x x V x V 6、解：（1）设 .)(k x x f =当n k ,...,1,0=时，有.0)()1(=+x f n 对 )(x f 构造Lagrange 插值多项式， ),()(0 x l x x L j n j k j n ∑== 其 0)()! 1() ()()()(1)1(=+=-=++x w n f x L x F x R n n n n ξ， ξ介于j x 之间，.,...,1,0n j = 故 ),()(x L x f n =即 .,...,1,0,)(0 n k x x l x k j n j k j ==∑= 特别地，当0=k 时， 10) (=∑=n j x j l 。 （2） 0)()1(1) ()1()()(0000=-=??? ? ??-??? ? ??-=--=-===∑∑∑∑k j j i j i k j k i i j i i k j n j k i i j k n j j x x x x i k x l x x i k x l x x ）利用（。 7、证明：以b a ,为节点进行线性插值，得 )()()(1 b f a b a x a f b a b x x P --+--= 因 0)()(==b f a f ，故0)(1=x P 。而 ))()(("2 1 )()(1b x a x f x P x f --= -ξ，b a <<ξ。 故)("max )(8 122)("max )(max 2 2 x f a b a b x f x f b x a b x a b x a ≤≤≤≤≤≤-=??? ??-≤。 14、解：设 ))...()(()(21n n x x x x x x a x f ---=， k x x g =)(，记)() (1 ∏=-=n j j n x x x w ，则 ),()(x w a x f n n =).()(' j n n j x w a x f = 由差商的性质知 [])! 1()(1,..,,1) (' 1 )(')('1 211 11 -== ==-===∑∑∑ n g a x x x g a x w x a x w a x x f x n n n n n j j n k j n n j j n n k j n j j k j ξ， ξ介于n x x ,...,1之间。 当20-≤≤ n k 时，0)()1(=-ξn g ， 当 1-=n k 时，)!1()(1-=-n g n ξ， 故 ???-=-≤≤=-= --=∑1,,20,0)!1()(1) ('1 11 n k a n k n g a x f x n n n n j j k j ξ 16、解：根据差商与微商的关系，有 [] 1! 7! 7!7)(2,...,2,2)7(7 10===ξf f ， [ ] 0! 80 !8)(2,...,2,2)8(8 1 ===ξf f 。 （ 13)(47+++=x x x x f 是7次多项式， 故 ,!7)()7(=x f 0)()8(=x f ）。 25、解：（1） 右边= [][]dx x S x f x S dx x S x f b a b a ??-+-)(")(")("2)(")("2 = [] d x x S x f x S x S x S x f x f b a ?-++-)("2)(")("2)(")(")("2)(" 222 = [] d x x S x f b a ?-)(")(" 22 = [][]dx x S dx x f b a b a 2 2 )(")("??- =左边。 （2）左边= ? -b a dx x S x f x S ))(")(")(("
《计算方法》练习题一 练习题第1套参考答案 一、填空题 1． 14159.3=π的近似值3.1428，准确数位是（ 2 10- ）。 2．满足d b f c a f ==)(,)(的插值余项=)(x R （ ))((!2) (b x a x f --''ξ ） 。 3．设)}({x P k 为勒让德多项式，则=))(),((22x P x P （5 2 ）。 4．乘幂法是求实方阵（按模最大 ）特征值与特征向量的迭代法。 5．欧拉法的绝对稳定实区间是（ ]0,2[-）。 二、单选题 1．已知近似数,,b a 的误差限)(),(b a εε，则=)(ab ε（Ｃ ）。 A ．)()(b a εε Ｂ．)()(b a εε+ Ｃ．)()(b b a a εε+ Ｄ．)()(a b b a εε+ 2．设x x x f +=2 )(，则=]3,2,1[f （ Ａ ）。 Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 3．设Ａ＝?? ? ? ??3113，则化Ａ为对角阵的平面旋转=θ（ Ｃ ） ． Ａ． 2π Ｂ．3π Ｃ．4π Ｄ．6 π 4．若双点弦法收敛，则双点弦法具有（Ｂ ）敛速． Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次 5．改进欧拉法的局部截断误差阶是（ Ｃ ）. A ．)(h o Ｂ．)(2 h o Ｃ．)(3 h o Ｄ．)(4 h o 三、计算题 1．求矛盾方程组：??? ??=-=+=+2 42321 2121x x x x x x 的最小二乘解。 2 212 212 2121)2()42()3(),(--+-++-+=x x x x x x x x ?， 由 0,021=??=??x x ? ?得：???=+=+9 629232121x x x x ， 解得14 9 ,71821== x x 。
数值计算方法习题一（2） 习题二（6） 习题三（15） 习题四（29） 习题五（37） 习题六（62） 习题七（70） 2009．9，9
习题一 1．设x >0相对误差为2%4x 的相对误差。 解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式： (())(())'()()()() f x x f x f x x f x f x δδ?= ≈得 （1）()f x = 11 ()()*2%1% 22x x δδδ≈ ===； （2）4 ()f x x =时 44 4 ()()'()4()4*2%8%x x x x x x δδδ≈ === 2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。 （1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。 解：由教材9P 关于1212.m n x a a a bb b =±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效 数字位数分别为：3，4，5 3．用十进制四位浮点数计算 （1）31.97+2.456+0.1352； （2）31.97+（2.456+0.1352） 哪个较精确？ 解：（1）31.97+2.456+0.1352 ≈2 1 ((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ?+?+ =2 (0.3443100.1352)fl ?+ =0.3457210? （2）31.97+（2.456+0.1352） 2 1 (0.319710(0.245610))fl fl ≈?+? = 21 (0.3197100.259110)fl ?+? =0.34562 10? 易见31.97+2.456+0.1352=0.3456122 10?，故（2）的计算结果较精确。 4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？
第一章绪论 习题一 1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1. 2.4)有 已知x*的相对误差满足，而 ，故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得 有5位有效数字，其误差限，相对误差限 有2位有效数字， 有5位有效数字， 3.下列公式如何才比较准确？ （1） （2）
解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。 （1） （2） 4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。 5.计算取，利用：式计算误差最小。 四个选项： 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1. 给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值 误差限，因
，故 二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值 误差限 ，故 2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少? 解：用误差估计式（5.8）， 令 因 得 3. 若，求和.
解：由均差与导数关系 于是 4. 若互异，求 的值，这里p≤n+1. 解：，由均差对称性 可知当有 而当P＝n＋1时 于是得 5. 求证. 解：解：只要按差分定义直接展开得 6. 已知的函数表
习 题 三 解 答 1、用高斯消元法解下列方程组。 （1）1231231 22314254 27x x x x x x x x -+=?? ++=??+=?①②③ 解：?4②＋(-)①2，1 2 ?③＋(-)①消去第二、三个方程的1x ，得： 1232323231425313222 x x x x x x x ? ?-+=? -=???-=?④⑤⑥ 再由5 2)4 ?⑥＋(-⑤消去此方程组的第三个方程的2x ，得到三角方程组： 1232332314272184x x x x x x ? ?-+=? -=???-= ? 回代，得： 36x =-，21x =-，19x = 所以方程组的解为 (9,1,6)T x =-- 注意： ①算法要求，不能化简。化简则不是严格意义上的消元法，在算法设计上就多出了步骤。实际上，由于数值计算时用小数进行的，化简既是不必要的也是不能实现的。无论是顺序消元法还是选主元素消元法都是这样。 ②消元法要求采用一般形式,或者说是分量形式，不能用矩阵，以展示消元过程。 要通过练习熟悉消元的过程而不是矩阵变换的技术。 矩阵形式错一点就是全错，也不利于检查。 一般形式或分量形式： 1231231 22314254 27x x x x x x x x -+=?? ++=??+=?①②③ 矩阵形式 123213142541207x x x -?????? ??? ?= ??? ? ??? ???????
向量形式 123213142541207x x x -???????? ? ? ? ?++= ? ? ? ? ? ? ? ????????? ③必须是方程组到方程组的变形。三元方程组的消元过程要有三个方程组，不能变形出单一的方程。 ④消元顺序12x x →→L ，不能颠倒。按为支援在方程组中的排列顺序消元也是存储算法的要求。实际上，不按顺序消元是不规范的选主元素。 ⑤不能化简方程，否则系数矩阵会变化，也不利于算法设计。 （2）1231231231132323110 221x x x x x x x x x --=?? -++=??++=-? ①②③ 解：?23②＋( )①11，1 11 ?③＋(-)①消去第二、三个方程的1x ，得： 123232311323523569111111252414111111x x x x x x x ? --=?? ? -=? ? ? +=-??④⑤⑥ 再由25 11)5211 ?⑥＋(-⑤消去此方程组的第三个方程的2x ，得到三角方程组： 123233113235235691111111932235252x x x x x x ? ?--=? ? -=?? ? =-?? 回代，得： 32122310641 ,,193193193 x x x =- ==， 所以方程组的解为 41106223(,,)193193193T x =- 2、将矩阵 1020011120110011A ?? ? ?= ?- ???
练习题与答案 练习题一 练习题二 练习题三 练习题四 练习题五 练习题六 练习题七 练习题八 练习题答案 练习题一 一、是非题 1.*x=–1 2.0326作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限 ≤ 4 10 2 1 - ? 。( ) 2.对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。( ) 3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。( )
4. 用 2 12x -近似表示cos x 产生舍入误差。 ( ) 5. 3.14和3.142作为π的近似值有效数字位数相同。 ( ) 二、填空题 1. 为了使计算()()2334912111y x x x =+-+---的乘除法次数尽量少，应将该表达式改写为 ； 2. *x =–0.003457是x 舍入得到的近似值，它有 位有效数字，误差限 为 ，相对误差限为 ； 3. 误差的来源是 ； 4. 截断误差为 ； 5. 设计算法应遵循的原则 是 。 三、选择题 1．*x =–0.026900作为x 的近似值，它的有效数字位数为( ) 。 (A) 7； (B) 3； (C) 不能确定 (D) 5. 2．舍入误差是( )产生的误差。 (A) 只取有限位数 (B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值 (C) 观察与测量 (D) 数学模型准确值与实际值
3．用 1+x 近似表示e x 所产生的误差是( )误差。 (A). 模型 (B). 观测 (C). 截断 (D). 舍入 4．用s *=21 g t 2表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g 为重力加速度)，s t 是 在时间t 内的实际距离，则s t s *是（ ）误差。 (A). 舍入 (B). 观测 (C). 模型 (D). 截断 5．1.41300作为2的近似值，有( )位有效数字。 (A) 3； (B) 4； (C) 5； (D) 6。 四、计算题 1． 3.142，3.141，22 7分别作为π的近似值，各有几位有效数字？ 2． 设计算球体积允许的相对误差限为1%，问测量球直径的相对误差限最大为多少？ 3． 利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确： (1)1||,11211<<+-++x x x x ， (2) 1||1112<<+?+x dt t x x (3) 1||,1<<-x e x ， (4) 1)1ln(2>>-+x x x 4．真空中自由落体运动距离s 与时间t 的关系式是s =21 g t 2，g 为重力加速度。现设g 是精确的，而对t 有0.1±秒的测量误差，证明：当t 增加时，距离的绝对误差增加，而相对误差却减少。
《计算方法》期中复习试题 一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ，拉 格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精度 为( 5 )； 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达 式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式1999 2001-
数值分析作业答案 插值法 1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。 （1）用单项式基底。 （2）用Lagrange插值基底。 （3）用Newton基底。 证明三种方法得到的多项式是相同的。 解：（1）用单项式基底 设多项式为: ， 所以： 所以f(x)的二次插值多项式为： （2）用Lagrange插值基底 Lagrange插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为： (3) 用Newton基底: 均差表如下： xk f(xk) 一阶均差二阶均差 1 0 -1 -3 3/2 2 4 7/ 3 5/6 Newton插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为： 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。 6、在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过10-6，问使用函数表的步长h应取多少？ 解：以xi-1,xi,xi+1为插值节点多项式的截断误差，则有 式中 令得 插值点个数
是奇数，故实际可采用的函数值表步长 8、，求及。 解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系： 所以有： 15、证明两点三次Hermite插值余项是 并由此求出分段三次Hermite插值的误差限。 证明：利用[xk，xk+1]上两点三次Hermite插值条件 知有二重零点xk和k+1。设 确定函数k(x): 当或xk+1时k(x)取任何有限值均可； 当时，，构造关于变量t的函数 显然有 在[xk,x][x,xk+1]上对g(x)使用Rolle定理，存在及使得 在，，上对使用Rolle定理，存在，和使得 再依次对和使用Rolle定理，知至少存在使得 而，将代入，得到 推导过程表明依赖于及x 综合以上过程有： 确定误差限： 记为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite插值函数。在区间[xk，xk+1]上有 而最值 进而得误差估计： 16、求一个次数不高于4次的多项式，使它满足，，。
比较详细的数值分析课后习题答案
0.1算法 1、 （p.11，题1）用二分法求方程013 =--x x 在[1,2]的近似根，要求误差不超过 10-3. 【解】 由二分法的误差估计式31 1*102 1 2||-++=≤=-≤ -εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10 ln 3≈-≥ k ，因此取9=k ，即至少需 2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x 在区间[0,1]有唯一个实根；使用二 分法求这一实根，要求误差不超过2102 1 -?。 【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且 012010)0(0<-=-?+=e f ，082110)1(1>+=-?+=e e f ，即0)1()0(+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]有唯一实根.
由二分法的误差估计式21 1*1021 2 12||-++?=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322 ln 10 ln 2=?≈≥ k ，因此取7=k ，即至少需二分 0.2误差 1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71， 718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。 【解】有效数字： 因为111021 05.001828.0||-?= <=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为1 2102105.000828.0||-?=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字； 因为3 3102 10005.000028.0||-?=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字； %85.17.205 .0||111=<-= x x e r ε； %85.171 .205 .0||222=<-= x x e r ε；
《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、 ?? ??? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ? ???????? ???=????????? ?? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(, 0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求 得?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(, 1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数 为 ，拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对 1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公
roots([1 -1 -1]) x=linspace(0,2*pi,10); y=sin(x); xi=linspace(0,2*pi,100); y1=interp1(x,y,xi); y2=interp1(x,y,xi,'spline'); y3=interp1(x,y,xi,'cublic'); plot(x,y,'o',xi,y1,xi,y2,xi,y3) x=[0 300 600 1000 1500 2000]; y=[0.9689 0.9322 0.8969 0.8519 0.7989 0.7491]; xi=linspace(0,2000,20); yi=1.0332*exp(-(xi+500)/7756); y1=interp1(x,y,xi,'spline'); subplot(2,1,1);plot(x,y,'o',xi,yi,xi,y1,'*') p=polyfit(x,y,2); y2=polyval(p,xi); subplot(2,1,2);plot(x,y,'o',xi,yi,xi,y2,'*') x=[0 300 600 1000 1500 2000]; y=[0.9689 0.9322 0.8969 0.8519 0.7989 0.7491]; xi=linspace(0,2000,20); y1=interp1(x,y,xi,'spline'); subplot(2,1,1);plot(x,y,'-o', xi,y1,'-*') p=polyfit(x,y,2); y2=polyval(p,xi); subplot(2,1,2);plot(x,y,'-o',xi,y2,'-*')
数值分析 （p11页） 4 试证：对任给初值x 0, 0)a >的牛顿迭代公式 112(),0,1 ,2,......k a k k x x x k +=+= 恒成立下列关系式： 2112(1)(,0,1,2,.... (2)1,2,...... k k k x k x x k x k +-=≥= 证明： （1 ）(2 1122k k k k k k x a x x x x +-??=+= =? ?? （2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ， a a x a x x a x x k k k k k ≥+??? ? ??-=???? ??+=+2 12121 6 证明： 若k x 有n 位有效数字，则n k x -?≤ -1102 1 8， 而() k k k k k x x x x x 28882182 1-=-???? ? ?+=-+ n n k k x x 21221102 1 5.22104185 .28--+?=??<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。 8 解： 此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理： （设x 的近似数* x 可表示为m n a a a x 10......021*?±=，如果* x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为 ()11 * *1021 --?≤ -l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数）
则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 111=??≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 122=??≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为： 00025.0102 21 333=??≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ，0183.01<-e x ∴其相对误差限为00678.07 .20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有 003063 .071 .20083 .022≈<-x e x 对于718.23=x ，有 00012.0718 .20003 .033≈<-x e x 备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。 （2）采用第二种方法时，分子为绝对误差限，不是单纯的对真实值与近似值差值的四舍五入，绝对误差限大于或等于真实值与近似值的差。 11. 解: ......142857.3722≈，.......1415929.3113 255≈ 2102 1 722-?≤-∴ π，具有3位有效数字