不等式恒成立问题
不等式中恒成立问题的解法 一、判别式法 若所求问题可转化为二次不等式,则可考虑应用判别式法解题。一般地,对于二次函数 ),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有 1)0)(>x f 对R x ∈恒成立? ??>?00 a ; 2)0)(+-+-x m x m 的解集是R ,求m 的范围。 解析:要想应用上面的结论,就得保证是二次的,才有判别式,但二次项系数含有参数m ,所以要讨论m-1是否是0。 (1)当m-1=0时,元不等式化为2>0恒成立,满足题意; (2)01≠-m 时,只需???<---=?>-0 )1(8)1(0 12 m m m ,所以,)9,1[∈m 二、最值法 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法,其一般类型有: 1)a x f >)(恒成立min )(x f a 2)a x f <)(恒成立max )(x f a >? 例2、若[]2,2x ∈-时,不等式23x ax a ++≥恒成立,求a 的取值范围。 解:设()2 3f x x ax a =++-,则问题转化为当[]2,2x ∈-时,()f x 的最小值非负。 (1) 当22a - <-即:4a >时,()()min 2730f x f a =-=-≥ 7 3 a ∴≤又4a >所以a 不存在; (2) 当222a -≤≤即:44a -≤≤时,()2min 3024a a f x f a ?? =-=--≥ ??? 62a ∴-≤≤ 又44a -≤≤ 42a ∴-≤≤ (3) 当22 a -> 即:4a <-时,()()min 270f x f a ==+≥ 7a ∴≥-又 4a <-74a ∴-≤<- 综上所得:72a -≤≤
不等式恒成立、能成立、恰成立问题
编号:2007-HX-001 不等式恒成立、能成立、恰成立问题 [文档副标题] [日期] 福建省长乐第一中学教科室 [公司地址]
不等式恒成立、能成立、恰成立问题 一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值: (1)若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >,?()f x 的下界大于A (2)若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界小于A 例1、设f(x)=x 2 -2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时,都有f(x)≥a 恒成立,求a 的取值范围。 例2、已知(),22x a x x x f ++= 对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围; 例 3、R 上的函数()x f 既是奇函数,又是减函数,且当?? ? ??∈2, 0πθ时,有() ()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立,求实数m 的取值范围. 例4、已知函数)0(ln )(4 4>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --,其中a 、b 为常数. (1)试确定a 、b 的值; (2)讨论函数)(x f 的单调区间; (3)若对任意0>x ,不等式2 2)(c x f -≥恒成立,求c 的取值范围。 2、主参换位法 例5、若不等式a 10x -<对[]1,2x ∈恒成立,求实数a 的取值范围 例6、若对于任意1a ≤,不等式2 (4)420x a x a +-+->恒成立,求实数x 的取值范围 例7、已知函数32 3()(1)132 a f x x x a x = -+++,其中a 为实数.若不等式2()1f x x x a '--+>对任意(0)a ∈+∞,都成立,求实数x 的取值范围. 3、分离参数法 (1) 将参数与变量分离,即化为()()g f x λ≥(或()()g f x λ≤)恒成立的形式; (2) 求()f x 在x D ∈上的最大(或最小)值; (3) 解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ,得λ的取值范围。 适用题型:(1) 参数与变量能分离;(2) 函数的最值易求出。 例8、当(1,2)x ∈时,不等式2 40x mx ++<恒成立,则m 的取值范围是 .
函数、不等式恒成立问题完整解法
函数、不等式恒成立问题完整解法 恒成立问题的基本类型: 类型1:设,<1)上恒成立 ;<2)上恒成立。 类型2:设 <1)当时,上恒成立 , 上恒成立 <2)当时,上恒成立 上恒成立 类型3: 。 类型4: 恒成一、用一次函数的性质 对于一次函数有:
例1:若不等式对满足的所有都成立,求x的范 围。 解读:我们可以用改变主元的办法,将m视为主变元,即将元不等式化为: ,;令,则时, 恒成立,所以只需即,所以x的范围是。 二、利用一元二次函数的判别式 对于一元二次函数有: <1)上恒成立; <2)上恒成立 例2:若不等式的解集是R,求m的范围。 解读:要想应用上面的结论,就得保证是二次的,才有判别式,但二次项系数含有参数m,所以要讨论m-1是否是0。 <1)当m-1=0时,元不等式化为2>0恒成立,满足题意; <2)时,只需,所以,。 三、利用函数的最值<或值域) <1)对任意x都成立; <2)对任意x都成立。简单计作:“大的大于最大的,小的小于最小的”。由此看出,本类问题实质上是一类求函数的最值问题。 例3:在ABC中,已知恒 成立,求实数m的范围。 解读:由 ,
,恒成立,,即 恒成立, 例4:<1)求使不等式恒成立的实数a的范围。 解读:因为函,显然函数有最 大值,。 如果把上题稍微改一点,那么答案又如何呢?请看下题: <2)求使不等式恒成立的实数a的范围。 解读:我们首先要认真对比上面两个例题的区别,主要在于自变量的取值范围的变 化,这样使得的最大值取不到,即a取也满足条件,所以 。 所以,我们对这类题要注意看看函数能否取得最值,因为这直接关系到最后所求参数a的取值。利用这种方法时,一般要求把参数单独放在一侧,所以也叫分离参数法。 四:数形结合法 对一些不能把数放在一侧的,可以利用对应函数的图象法求解。 例5:已知,求实数a的取值范围。 解读:由,在同一直角坐标系中做出两个函数的图象,如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交,则由 得到a分别等于2和0.5,并作出函数的图象,所以,要想使函数 在区间中恒成立,只须在区间对应的图象在 在区间对应图象的上面即可。当才能保证,而才可以,所以。
高考数学不等式恒成立、能成立、恰成立问题
不等式恒成立、能成立、恰成立问题 一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值: (1)若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >,?()f x 的下界大于A (2)若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界小于A 例1、设f(x)=x2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时,都有f(x)≥a 恒成立,求a 的取值范围。 例2、已知(),22x a x x x f ++=对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围; 例3、R 上的函数()x f 既是奇函数,又是减函数,且当 ??? ??∈2,0πθ时,有()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒 成立,求实数m 的取值范围. 例4、已知函数)0(ln )(44>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --,其中a 、b 为常数.(1)试确定a 、b 的值; (2)讨论函数)(x f 的单调区间; (3)若对任意0>x ,不等式22)(c x f -≥恒成立,求c 的取值范围。 2、主参换位法 例5、若不等式a 10x -<对 []1,2x ∈恒成立,求实数a 的取值范围 例6、若对于任意1a ≤,不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立,求实数x 的取值范围 例7、已知函数323()(1)132a f x x x a x = -+++,其中a 为实数.若不等式 2()1f x x x a '--+>对任意(0)a ∈+∞,都成立,求实数x 的取值范围. 3、分离参数法 (1) 将参数与变量分离,即化为 ()()g f x λ≥(或()()g f x λ≤)恒成立的形式; (2) 求()f x 在x D ∈上的最大(或最小)值; (3) 解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ,得λ的取值范围。 适用题型:(1) 参数与变量能分离;(2) 函数的最值易求出。 例8、当(1,2)x ∈时,不等式240x mx ++<恒成立,则m 的取值范围是 . 例9、已知函数321()33f x ax bx x =+++,其中0a ≠(1)当b a ,满足什么条件时,)(x f 取得极值?(2)已知0>a , 且)(x f 在区间(0,1]上单调递增,试用a 表示出b 的取值范围.
教案高中含参不等式的恒成立问题整理版.doc
高中数学不等式的恒成立问题 一、用一元二次方程根的判别式 有关含有参数的一元二次不等式问题,若能把不等式转化成二次函数或二次方程,通过根的判别式或数形结合思想,可使问题得到顺利解决。 基本结论总结 例1 对于x ∈R ,不等式恒成立,求实数m 的取值范围。 例2:已知不等式04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈R恒成立,求参数a 的取值范围. 解:要使04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈R恒成立,则只须满足: (1)???<-+-<-0)2(16)2(4022 a a a 或 (2)?? ? ??<-=-=-0 40)2(20 2a a 解(1)得?? ?<<-<2 22 a a ,解(2)a =2 ∴参数a 的取值范围是-2<a ≤2. 练习 1. 已知函数])1(lg[2 2 a x a x y +-+=的定义域为R ,求实数a 的取值范围。 2.若对于x ∈R ,不等式恒成立,求实数m 的取值范围。 3.若不等式的解集是R ,求m 的范围。 4.x 取一切实数时,使3 47 2+++kx kx kx 恒有意义,求实数k 的取值范围.
例3.设22)(2 +-=mx x x f ,当),1[+∞-∈x 时,m x f ≥)(恒成立,求实数m 的取值范围。 关键点拨:为了使 在 恒成立,构造一个新函数 是解题的关键,再利用二次 函数的图象性质进行分类讨论,使问题得到圆满解决。若二次不等式中x 的取值范围有限制,则可利用根的分布解决问题。 解:m mx x x F -+-=22)(2 ,则当),1[+∞-∈x 时,0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=?m m m 即时,0)(>x F 显然成立; 当0≥?时,如图,0)(≥x F 恒成立的充要条件为: ??? ? ??? -≤--≥-≥?1 220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。 例4 。已知1ax x )x (f 2+-=,求使不等式0)x (f <对任意]2,1[x ∈恒成立的a 的取值范围。 解法1:数形结合 结合函数)x (f 的草图可知]2,1[x ,0)x (f ∈<时恒成立? 25a 0 a 25)2(f 0a 2)1(f >?? ?<-=<-=得。所以a 的取值范围是),25 (+∞。 解法2:转化为最值研究 4a 1)2a x ()x (f 22- +-= 1. 若]2,1[)x (f ,3a 232a 在时即≤≤上的最大值,25a ,0a 25)2(f )x (f max ><-==得3a 25 ≤<所以。 2. 若0a 2)1(f )x (f ]2,1[)x (f ,3a 2 3 2a max <-==>>上的最大值在时即,得2a >,所以3a >。 综上:a 的取值范围是),2 5 (+∞。 注:1. 此处是对参a 进行分类讨论,每一类中求得的a 的范围均合题意,故对每一类中所求得的a 的范围求并集。 2. I x ,m )x (f ∈<恒成立)m (m )x (f max 为常数; )m (m )x (f I x ,m )x (f min 为常数恒成立>?∈> 解法3:分离参数 ]2,1[x ,x 1x a ]2,1[x ,01ax x 2∈+ >?∈<+-。设x 1 x )x (g +=, 注:1. 运用此法最终仍归结为求函数)x (g 的最值,但由于将参数a 与变量x 分离,因此在求最值时避免了分类讨论,使问题相对简化。 2. 本题若将“]2,1[x ∈”改为“)2,1(x ∈”可类似上述三种方法完成。 仿解法1:?∈<)2,1(x ,0)x (f 25a 0 )2(f 0)1(f ≥?? ?≤≤得即),25 [:a +∞的范围是 读者可仿解法2,解法3类似完成,但应注意等号问题,即此处2 5 a = 也合题。 O x y x -1
不等式有解和恒成立问题
不等式有解和恒成立问题 Prepared on 24 November 2020
不等式有解和恒成立问题 知识点的罗列,文字不宜太多,简洁明了最好) ? 知识点一:不等式恒成立问题 ? 知识点二:不等式有解问题 分析该知识点在中高考中的体现,包含但不仅限于:考察分值、考察题型(单选、填空、解答题)、考察方式:考场难度、和哪些知识点在一起考察,参考中高考真题) 含参不等式的恒成立与有解问题是高考与会考考察不等式的一个重点内容,也是常考的内容,难度中等偏上,考察综合性较强,该知识点在填空选择解答题里都有涉及,经常和函数的最值问题在一起考察,需要同学对典型函数的值域求法有熟悉的掌握。 注意题目的答案,不要展示给学生看,这里答案和解析是帮助老师自己分析的) 一、不等式有解问题 例题:当m 为何值时,2211223 x mx x x +-<-+对任意的x ∈R 都成立 解法1:二次函数法: 移项、通分得: 又22230x x -+>恒成立,故知:2(2)40x m x -++>恒成立。 所以:2(2)160m ?=+-<,得到62m -<< 解法2:分离参数法: 注意到2(2)40x m x -++>恒成立,从而有:224mx x x <-+恒成立,那么: 注意到,在上式中我们用到了这样一个性质: 总结:解决恒成立问题的方法:二次函数法和分离参数法 变式练习:(初三或者高三学生必须选取学生错题或者学生所在地区的中高考真题或者当地的统考题目) 【试题来源】(上海2016杨浦二模卷) 【题目】设函数x x g 3)(=,x x h 9)(=,若b x g a x g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数,且0))(2()1)((>?-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立,求实数k 的取值范围. 【答案】:因为b x g a x g x f +++= )()1()(是实数集上的奇函数,所以1,3=-=b a . )1 321(3)(+-=x x f ,)(x f 在实数集上单调递增.
不等式恒成立求参数的取值范围
不等式恒成立求参数的取值范围 武汉市第四十九中学 李清华 邮政编码;430080 一、 教学目标 1、 知识目标;掌握不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法并会运用 2、 能力目标;培养学生分析问题解决问题的能力 3、 情感目标;优化学生的思维品质 二、 教学重难点 1、教学的重点;不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法并会运用 2、教学的难点;不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法的选择 三、 教学方法:高三复习探究课:学生研讨探究----学生归纳小结-----学生巩固 练习----学生变式探究---学生总结 四、 教学过程 1、 引人 高三数学复习中的不等式恒成立问题,涉及到函数的性质、图象, 渗透着换元、化归、数形结合、函数方程等思想方法,有利于考查学生的综合解题能力,因此备受命题者的青睐,也成为历年高考的一个热点。我们今天这堂课来研究不等式恒成立求参数的取值范围问题的求解方法。引入课题 2、新课 下面我们来看例1例1、对一切实数x ]1,1[-∈,不等式 a x a x 24)4(2-+-+>0恒成立,求实数a 的取值范围(由学生完成) 由一个基本题得到不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法 解法一;分离参数 由原不等式可得:a(x-2) > -x 2+4x-4 , 又因为x ∈[-1,1] ,x-2∈[-3,-1] a<2-x
又因为x∈[-1,1],所以a<1. 解法二;分类讨论、解不等式 (x-2)[x-(2-a)]>0 当a=0时不等式恒成立 当a<0 时x>2-a 或x<2 不等式恒成立 当a>0时x>2 或x<2-a 所以2-a>1 即a<1 所以a<1时不等式恒成立 解法三;构造函数求最值 设f(x)=x2+(a-4)x+4-2a 当(4-a)/2∈[-1,1],即a∈[2,6]时 -a2<0 不成立,舍弃; 当a>6时,f(-1)=1-a+4+4-2a>0 a<3 不成立,舍弃; 当a<2时,f(1)=1+a-4+4-2a=1-a>0 a<1 综上得:a<1 解法四;构造方程用判别式韦达定理根的分布 设x2+(a-4)x+4-2a=0 方程无实根或有两实根两根小于-1或两根大于1 △=(a-4)2-4(4-2a)=a2≥0 所以1-(a-4)+4-2a>0且(4-a)/2<-1 或1+(a-4)+4-2a>0 且(4-a)/2>16且a<3 或a<1且a<2, 所以a<1 解法五;数形结合(用动画来演示
微专题不等式恒成立问题常见类型及解法
恒成立问题常见类型及解法 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型:(1)一次函数型;(2)二次函数型;(3)变量分离型;(4)利用函数的性质求解;(5)直接根据函数的图象求解;(6)反证法求解。 一、一次函数型 给定一次函数()==+y f x kx b (k ≠0),若()=y f x 在[m,n]内恒有()f x >0,则根据函数的 图象(线段)可得①0()0>??>?k f m 或②0()0?>?k f n ,也可合并成f (m)0f (n)0>??>?, 同理,若在[,]m n 内恒有()0() 2 1-m x 对一切[]2,2∈-m 都成立,求实数x 的取值范围。 【解析】令f (m)=(21-x )m -2x +1,则上述问题即可转化为关于m 的一次函数 =y ()f m 在区间[-2,2]内函数值小于0恒成立的问题。考察区间端点,只 要(2)(2)-?? ? <0,<0f x f 即x 的取值范围是(12 ,1 2). 二、二次函数型 若二次函数2 (0,)=++≠∈y ax bx c a x R 的函数值大于(或小于)0恒成立,则有 a 00>???(或00a ì?í?D ? ),若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以
及二次函数的图象求解。 典例2关于x 的方程9x +(4+a )3x +4=0恒有解,求a 的取值范围。 【解析】方法1(利用韦达定理) 设3x =t,则t>0.那么原方程有解即方程t 2 +(4+a )t+4=0有正根。 1212 Δ0 (4)040 ≥?? ∴+=-+>??=>?g x x a x x ,即2(4a)160a 4?+-≥?<-?,a 0a 8a 4≥≤-?∴?<-?或,解得a ≤-8. 方法2(利用根与系数的分布知识) 即要求t 2 +(4+a )t+4=0有正根。设f(t)= t 2 +(4+a )t+4. 当?=0时,即(4+a )2 -16=0,∴a =0或a =-8. 当a =0时,f(t)=(t+2)2=0,得t=-2<0,不合题意; 当a =-8时,f(t)=(t-2)2 =0,得t=2>0,符合题意。∴a =-8。 当?>0,即a <-8或a >0时, ∵f(0)=4>0,故只需对称轴4a 02 +->,即a <-4.∴a <-8. 综上可得a ≤-8. 三、变量分离型 若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。 典例3设函数2 ()1f x x =-,对任意2,3x ??∈+∞????,2 4()(1)4()x f m f x f x f m m ??-≤-+ ??? 恒成立,则实数m 的取值范围是 【解析】依据题意得2 2222214(1)(1)14(1)---≤--+-x m x x m m 在3[,)2∈+∞x 上恒定成 立,即2 2213241-≤--+m m x x 在3[,)2∈+∞x 上恒成立。 当32=x 时函数2321=--+y x x 取得最小值53 -, 所以 221543-≤-m m ,即22(31)(43)0+-≥m m ,解得2≤-m 或2 ≥m 。 四、利用函数的性质解决恒成立问题 若函数f(x)是奇(偶)函数,则对一切定义域中的x,f(-x)= -f(x),(f(-x)=f(x))恒成立;若函数y=f(x)的周期为T ,则对一切定义域中的x,有f(x)=f(x+T)恒成立;若函数
含参不等式恒成立问题中,求参数取值范围一般方法
含参不等式恒成立问题中,求参数取值范围一般方法 恒成立问题是数学中常见问题, 也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中,已知一 个变量的取值范围,求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。 一、分离参数 在给出的不等式中,如果能通过恒等变形分离出参数,即:若 a_ f x 恒成立,只须 求出 f X max ,则 a - f X 血;若 ^ f X 恒成立,只须求出 f X min ,则 a 乞 f X 讪, 转化为函数求最值。 例1已知函数f X = lg I X a -2,若对任意x := 2川a?恒有f X \ >0,试确定a 的 I x 丿 取值范围。 a 解:根据题意得:x 2 1在x := 12,牡阳上恒成立, x 即:a ?-X 2 ? 3x 在 x :二 2,上恒成立, 设 f x = -x 2 3x ,则 f x - - x- 3 9 I 2丿4 当 X =2时,f X max =2 所以 a 2 在给出的不等式中,如果通过恒等变形不能直接解出参数,则可将两变量分别置于不 等式的两边,即:若 f (a )Z g (x )恒成立,只须求出g (x )max ,则f (a )K g (x )m ax ,然后 解不等式求出参数 a 的取值范围;若f (a )兰g(x)恒成立,只须求出g (x ).,则 f (a )兰g( x m in ,然后解不等式求出参数 a 的取值范围,问题还是转化为函数求最值。 t +1 f t p 3 f t min = f 2 — 4 解:令2二t ,二,1丨■ 10,2所以原不等式可化为: 宀亠1 , 例2、已知x^- ,11时,不等式1 ■ 2X 亠〔a -a 2 4X 0恒成立,求a 的取值范围。 要使上式在t 三i 0,2 1上恒成立,只须求出 在t 0,2 1上的最小值即 可。 t 十1 f t 〒 1 3 a :: 2 2 _a ::-
不等式恒成立问题及能成立问题
例谈不等式恒成立问题和能成立问题的解题策略 ——谈2008年江苏高考数学试卷第14题 摘要:所有问题均可分成三类:恒成立问题、能成立问题和不成立问题。《例谈不等式恒成立问题和能成立问题》介绍了解决不等式恒成立问题和不等式能成立问题常用的直接法、分离参数法、分类讨论法、数形结合法等,采用了等价转化的处理策略。 关键词:分离参数、分类讨论、数形结合、等价转化,换元,求最值。 2008年江苏高考数学试卷第14题是一道很好的恒成立问题:设函数3()31()f x ax x x R =-+∈若对于任意[]1,1x ∈-都有()0f x ≥成立,则实数a 的值为 。解析如下: 析:将()0f x ≥中的,a x 分离,然后求函数的最值。 解:函数3()31()f x ax x x R =-+∈若对于任意[]1,1x ∈-都有()0f x ≥成立,函数3()31()f x ax x x R =-+∈对于任意[)(]1,0,0,10x x x ∈-∈=及其有()0f x ≥都成立。 若[)1,0x ∈-,33213()310f x ax x a x x =-+≥?≤- +,设1t x =则1t ≤- 3232133(1)t t t x x ∴-+=-+≤-,令323(1)y t t t =-+≤-,则'2360y t t =-+< 323(1)y t t t ∴=-+≤-单调递减,32min 1(1)3(1)4t y y =-==--+-=,4a ∴≤(1) 若(]0,1x ∈,33213()310f x ax x a x x =-+≥?≥- +,设1t x =,则1t ≥ 3232133(1)t t t x x ∴-+=-+≥,令323(1)y t t t =-+≥,则'2363(2)y t t t t =-+=--,当12t ≤≤时'0y ≥,323(1)y t t t =-+≥单调递增;当2t >时'0y <,323(1)y t t t =-+≥单调递减,32max 22324t y y ===-+?=,4a ∴≥(2) 若0x =则a R ∈,()0f x ≥成立(3) 由题意知(1)(2)(3)应同时成立4a ∴= 解题中采取了不等式恒成立问题的处理策略: 1、若f(x)≥a 对x ∈D 恒成立,只须f(x)min (x ∈D)≥a 即可。 2、若f(x)≤a 对x ∈D 恒成立,只须f(x)max (x ∈D)≤a 即可。
高考数学:不等式恒成立、能成立、恰成立问题
不等式恒成立、能成立、恰成立问题 一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值: (1)若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >,?()f x 的下界大于A (2)若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界小于A 例1、设f(x)=x2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时,都有f(x)≥a 恒成立,求a 的取值围。 例2、已知(),22x a x x x f ++=对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试数a 的取值围; 例3、R 上的函数()x f 既是奇函数,又是减函数,且当 ??? ??∈2,0πθ时,有()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒 成立,数m 的取值围. 例4、已知函数)0(ln )(44>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --,其中a 、b 为常数.(1)试确定a 、b 的值; (2)讨论函数)(x f 的单调区间; (3)若对任意0>x ,不等式22)(c x f -≥恒成立,求c 的取值围。 2、主参换位法
例5、若不等式a 10x -<对 []1,2x ∈恒成立,数a 的取值围 例6、若对于任意 1a ≤,不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立,数x 的取值围 例7、已知函数323()(1)132a f x x x a x = -+++,其中a 为实数.若不等式2()1f x x x a '--+>对任意(0)a ∈+∞,都成立,数x 的取值围. 3、分离参数法 (1) 将参数与变量分离,即化为 ()()g f x λ≥(或()()g f x λ≤)恒成立的形式; (2) 求()f x 在x D ∈上的最大(或最小)值; (3) 解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ,得λ的取值围。 适用题型:(1) 参数与变量能分离;(2) 函数的最值易求出。 例8、当(1,2)x ∈时,不等式240x mx ++<恒成立,则m 的取值围是 . 例9、已知函数321()33f x ax bx x =+++,其中0a ≠(1)当b a ,满足什么条件时,)(x f 取得极值?(2)已知0>a , 且)(x f 在区间(0,1]上单调递增,试用a 表示出b 的取值围. 4、数形结合 例10 、若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立,则实数a 的取值围是________ 例11、当x ∈(1,2)时,不等式2(1)x -常见不等式恒成立问题的几种求解策略
常见不等式恒成立问题的几种求解策略
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常见不等式恒成立问题的几种求解策略 不等式恒成立问题是近几年高考以及各种考试中经常出现,它综合考查函数、方程和不等式的主要内容,并且与函数的最值、方程的解和参数的取值范围紧密相连,本文结合解题教学实践举例说明几种常见不等式恒成立问题的求解策略,以抛砖引玉。 1 变量转换策略 例1 已知对于任意的a ∈[-1,1],函数f (x )=ax 2+(2a -4)x +3-a >0 恒成立,求x 的取值范围. 解析 本题按常规思路是分a =0时f (x )是一次函数,a ≠0时是二次函数两种情况讨论,不容易求x 的取值范围。因此,我们不能总是把x 看成是变量,把a 看成常参数,我们可以通过变量转换,把a 看成变量,x 看成常参数,这就转化一次函数问题,问题就变得容易求解。令g (a )=(x 2+2x -1)a -4x+3在a ∈[-1,1]时,g (a )>0恒成立,则? ??>>-0)1(0)1(g g ,得133133+-<<--x . 点评 对于含有两个参数,且已知一参数的取值范围,可以通过变量转换,构造以该参数为自变量的函数,利用函数图象求另一参数的取值范围。 2 零点分布策略 例2 已知a ax x x f -++=3)(2,若0)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立,求a 的取值范围. 解析 本题可以考虑f (x )的零点分布情况进行分类讨论,分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间 的右侧三种情况,即Δ≤0或?????????≥≥--≤->?0)2(0)2(220f f a 或?????????≥≥-≥->?0 )2(0)2(220f f a ,即a 的取值范围为[-7,2]. 点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑函数的零点分布情况,要求对应闭区间上函数图象在x 轴的上方或在x 轴上就行了. 3 函数最值策略 例3 已知a ax x x f -++=3)(2,若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立,求a 的取值范围. 解析 本题可以化归为求函数f (x )在闭区间上的最值问题,只要对于任意2)(],2,2[m in ≥-∈x f x .若