人教版八年级数学上册 轴对称解答题专题练习（解析版）
一、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）
1．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=?，45C ∠=?，8AB =，14BC =，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，//EF AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，90EPF ∠=?，PE PF =，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE x =，MN y =．
（1）求边AD 的长；
（2）如图，当点P 在梯形ABCD 内部时，求关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积．
【答案】（1）6；（2）y=－3x+10(1≤x ＜
103)；（2）1769
或32 【解析】
【分析】
（1）如下图，利用等腰直角三角形DHC 可得到HC 的长度，从而得出HB 的长，进而得出AD 的长；
（2）如下图，利用等腰直角三角形的性质，可得PQ 、PR 的长，然后利用EB=PQ+PR 得去x 、y 的函数关系，最后根据图形特点得出取值范围；
（3）存在2种情况，一种是点P 在梯形内，一种是在梯形外，分别根y 的值求出x 的值，然后根据梯形面积求解即可．
【详解】
（1）如下图，过点D 作BC 的垂线，交BC 于点H
∵∠C=45°，DH ⊥BC
∴△DHC 是等腰直角三角形
∵四边形ABCD 是梯形，∠B=90°
∴四边形ABHD 是矩形，∴DH=AB=8
∴HC=8
∴BH=BC －HC=6
∴AD=6
（2）如下图，过点P 作EF 的垂线，交EF 于点Q ，反向延长交BC 于点R ，DH 与EF 交于点G
∵EF ∥AD,∴EF ∥BC
∴∠EFP=∠C=45°
∵EP ⊥PF
∴△EPF 是等腰直角三角形
同理,还可得△NPM 和△DGF 也是等腰直角三角形
∵AE=x
∴DG=x=GF,∴EF=AD+GF=6+x
∵PQ ⊥EF,∴PQ=QE=QF ∴PQ=()162
x + 同理，PR=
12y ∵AB=8，∴EB=8－x
∵EB=QR
∴8－x=
()11622
x y ++ 化简得：y=－3x+10 ∵y ＞0，∴x ＜103
当点N 与点B 重合时，x 可取得最小值
则BC=NM+MC=NM+EF=－3x+10+614x +=，解得x=1
∴1≤x ＜103
（3）情况一：点P 在梯形ABCD 内，即（2）中的图形 ∵MN=2，即y=2，代入（2）中的关系式可得：x=
83=AE
∴188176662339
ABCD S ??=?++?= ???梯形 情况二：点P 在梯形ABCD 外，图形如下：
与（2）相同，可得y=3x －10
则当y=2时，x=4，即AE=4
∴()16644322
ABCD S =
?++?=梯形 【点睛】
本题考查了等腰直角三角形、矩形的性质，难点在于第（2）问中确定x 的取值范围，需要一定的空间想象能力．
2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，点E 是BC 延长线上的一点，且BD ＝DE ．点G 是线段BC 的中点，连结AG ，交BD 于点F ，过点D 作DH ⊥BC ，垂足为H ．
（1）求证：△DCE 为等腰三角形；
（2）若∠CDE ＝22.5°，DC ＝2，求GH 的长；
（3）探究线段CE ，GH 的数量关系并用等式表示，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（22；（3）CE ＝2GH ，理由见解析. 【解析】
【分析】
（1）根据题意可得∠CBD＝1
2
∠ABC＝
1
2
∠ACB，，由BD=DE，可得∠DBC＝∠E＝
1 2∠ACB，根据三角形的外角性质可得∠CDE＝
1
2
∠ACB＝∠E，可证△DCE为等腰三角
形；
（2）根据题意可得CH=DH=1，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质可得BG=GC，BH=HE=2+1，即可求GH的值；
（3）CE=2GH，根据等腰三角形的性可得BG=GC，BH=HE，可得GH＝GC﹣HC＝GC﹣
（HE﹣CE）＝1
2
BC﹣
1
2
BE+CE＝
1
2
CE，即CE=2GH
【详解】
证明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝1
2
∠ABC＝
1
2
∠ACB，
∵BD＝DE，
∴∠DBC＝∠E＝1
2
∠ACB，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠CDE＝1
2
∠ACB＝∠E，
∴CD＝CE，
∴△DCE是等腰三角形
（2）
∵∠CDE＝22.5°，CD＝CE2，∴∠DCH＝45°，且DH⊥BC，
∴∠HDC＝∠DCH＝45°
∴DH＝CH，
∵DH2+CH2＝DC2＝2，
∴DH＝CH＝1，
∵∠ABC＝∠DCH＝45°
∴△ABC是等腰直角三角形，
又∵点G是BC中点
∴AG⊥BC，AG＝GC＝BG，
∵BD＝DE，DH⊥BC
∴BH＝HE＝2+1
∵BH＝BG+GH＝CG+GH＝CH+GH+GH＝2+1∴1+2GH＝2+1
∴GH＝
2 2
（3）CE＝2GH
理由如下：∵AB＝CA，点G是BC的中点，∴BG＝GC，
∵BD＝DE，DH⊥BC，
∴BH＝HE，
∵GH＝GC﹣HC＝GC﹣（HE﹣CE）＝1
2
BC﹣
1
2
BE+CE＝
1
2
CE，
∴CE＝2GH
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.
3．如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动，
（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB＝MC．
（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC （图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．
（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）MB=MC．理由见解析；（3）MB=MC还成立，见解析．【解析】
【分析】
（1）连接AM，根据全等三角形的对应边相等可得AD=AE，AB=AC，全等三角形对应角相等
可得∠BAD=∠CAE，再根据等腰三角形三线合一的性质得到∠MAD=∠MAE，然后利用“边角边”证明△ABM和△ACM全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，根据等腰三角形三线合一的性质得到BD=BE′，然后求出MB∥AE′，再根据两直线平行，内错角相等求出∠MBC=∠CAE，同理求出MC∥A D，根据两直线平行，同位角相等求出∠BCM=∠BAD，然后求出∠MBC=∠BCM，再根据等角对等边即可得证；
（3）延长BM交CE于F，根据两直线平行，内错角相等可得∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，然后利用“角角边”证明△MDB和△MEF全等，根据全等三角形对应边相等可得MB=MF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可．
【详解】
（1）如图（2），连接AM，由已知得△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，AB=AC，∠BAD=∠CAE.
∵MD=ME，
∴∠MAD=∠MAE，
∴∠MAD-∠BAD=∠MAE-∠CAE，
即∠BAM=∠CAM.
在△ABM和△ACM中，
AB=AC，
∠BAM=∠CAM，
AM=AM，
∴△ABM≌△ACM（SAS），
∴MB=MC.
（2）MB=MC．
理由如下：如图（3），延长CM交DB于F，延长BM到G，使得MG=BM，连接CG.
∵CE∥BD，
∴∠MEC=∠MDF，∠MCE=∠MFD.
∵M是ED的中点，
∴MD=ME.
在△MCE和△MFD中，
∠MCE=∠MFD，
∠MEC=∠MDF，
MD=ME，
∴△MCE≌△MFD（AAS）.
∴MF=MC.
∴在△MFB和△MCG中，
MF=MC，
∠FMB=∠CMG，
BM=MG，
∴△MFB≌△MCG（SAS）.
∴FB=GC，∠MFB=∠MCG，
∴CG∥BD，即G、C、E在同一条直线上.∴∠GCB=90°.
在△FBC和△GCB中，
FB=GC，
∠FBC=∠GCB，
BC=CB，
∴△FBC≌△GCB（SAS）.
∴FC=GB.
∴MB=1
2GB=
1
2
FC=MC.
（3）MB=MC还成立．
如图（4），延长BM交CE于F，延长CM到G，使得MG=CM，连接BG.
∵CE∥BD，
∴∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE.
又∵M是DE的中点，
∴MD=ME.
在△MDB和△MEF中，
∠MDB=∠MEF，
∠MBD=∠MFE，
MD=ME，
∴△MDB≌△MEF（AAS），
∴MB=MF.
∵CE∥BD，
∴∠FCM=∠BGM.
在△FCM和△BGM中，
CM=MG，
∠CMF=∠GMB，
MF=MB，
∴△FCM≌△BGM（SAS）.
∴CF=BG，∠FCM=∠BGM.
∴CF//BG，即D、B、G在同一条直线上.在△CFB和△BGC中，
CF=BG，
∠FCB=∠GBC，
CB=BC，
∴△CFB≌△BGC（SAS）.
∴BF=CG.
∴MC=1
2CG=
1
2
BF=MB．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等角对等边的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及三角形的中位线定理，综合性较强，但难度不大，作辅助线构造出等腰三角形或全等三角形是解题的关键．
4．（1）已知△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）
（2）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．
【答案】(1)图形见解析(2) ∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC＝135°－3
4
∠C或∠ABC＝3∠C
或∠ABC＝180°－3∠C或∠ABC＝90°，∠C是小于45°的任意锐角．
【解析】
试题分析：（1）已知角度，要分割成两个等腰三角形，可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理，先计算出可能的角度，或者先从草图中确认可能的情况，及角度，然后画上．
（2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程，可得出角与角之间的关系．
试题解析：(1)如图①②(共有2种不同的分割法)．
(2)设∠ABC＝y，∠C＝x，过点B的直线交边AC于点D.
在△DBC中，
①若∠C是顶角，如图，则∠CBD＝∠CDB＝90°－1
2
x，∠A＝180°－x－y.
故∠ADB＝180°－∠CDB＝90°＋1
2
x＞90°，此时只能有∠A＝∠ABD，
即180°－x－y＝y－
1
90
2
x
??
-
???
，
∴3x＋4y＝540°，∴∠ABC＝135°－3
4
∠C.
②若∠C是底角，
第一种情况：如图，当DB＝DC时，∠DB C＝x.在△ABD中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y－x.
若AB＝AD，则2x＝y－x，此时有y＝3x，
∴∠ABC＝3∠C.
若AB＝BD，则180°－x－y＝2x，此时有3x＋y＝180°，∴∠ABC＝180°－3∠C.
若AD＝BD，则180°－x－y＝y－x，此时有y＝90°，即∠ABC＝90°，∠C为小于45°的任意锐角．
第二种情况：如图，
当BD＝BC时，∠BDC＝x，∠ADB＝180°－x＞90°，此时只能有AD＝
BD，∴∠A＝∠ABD＝1
2
∠BDC＝1
2
∠C＜∠C，这与题设∠C是最小角矛盾．
∴当∠C是底角时，BD＝BC不成立．
综上所述，∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC＝135°－3
4
∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝
180°－3∠C或∠ABC＝90°，∠C是小于45°的任意锐角．
点睛：本题考查了等腰三角形的性质；第（1）问是计算与作图相结合的探索．本问对学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、等腰三角形性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求．第（2）问在第（1）问的基础上，由“特殊”到“一般”，“分类讨论”把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形并结合“方程思想”探究角与角之间的关系．本题不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”、“方程思想”、“转化思想”等数学思想，是一道不可多得的好题．
5．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点 B是 y轴正半轴上一动点，点C、D在 x 正半轴上．
（1）如图，若∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，BD、CE 是△ABC的两条角平分线，且BD、CE交于点F，直接写出CF的长_____．
（2）如图，△ABD是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边△BCQ，连接 QD并
延长，交 y轴于点 P，当点 C运动到什么位置时，满足 PD＝2
3
DC？请求出点C的坐标；
（3）如图，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在 y轴上运动时，求OP的最小值．
【答案】（1）6；（2）C的坐标为（12，0）；（3）3 2 .
【解析】
【分析】
（1）作∠DCH＝10°，CH 交BD 的延长线于H，分别证明△OBD≌△HCD 和△AOB≌△FHC，根据全等三角形的对应边相等解答；
（2）证明△CBA≌△QBD，根据全等三角形的性质得到∠BDQ＝∠BAC＝60°，求出CD，得到答案；
（3）以OA 为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP 交x 轴于点F．证明点P 在直线EF 上运动，根据垂线段最短解答．
【详解】
解：（1）作∠DCH＝10°，CH 交 BD 的延长线于 H，
∵∠BAO＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∴AB＝2OA＝6，
∵∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∵BD 是△ABC 的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD＝40°，
∴∠CBD＝∠DCB，∠OBD＝40°﹣30°＝10°，
∴DB＝DC，
在△OBD 和△HCD 中，
==OBD HCD DB DC ODC HDC ∠∠??=??∠∠?
∴△OBD ≌△HCD （ASA ），
∴OB ＝HC ，
在△AOB 和△FHC 中，
==ABO FCH OB HC AOB FHC ∠∠??=??∠∠?
∴△AOB ≌△FHC （ASA ），
∴CF=AB=6，
故答案为6；
（2）∵△ABD 和△BCQ 是等边三角形，
∴∠ABD ＝∠CBQ ＝60°，
∴∠ABC ＝∠DBQ ，
在△CBA 和△QBD 中，
BA BD ABC DBQ BC BQ =??∠=∠??=?
∴△CBA ≌△QBD （SAS ），
∴∠BDQ ＝∠BAC ＝60°，
∴∠PDO ＝60°，
∴PD ＝2DO ＝6，
∵PD ＝23
DC ， ∴DC ＝9，即 OC ＝OD+CD ＝12，
∴点 C 的坐标为（12，0）；
（3）如图3，以 OA 为对称轴作等边△ADE ，连接 EP ，并延长 EP 交 x 轴于点F ．
由（2）得，△AEP ≌△ADB ，
∴∠AEP ＝∠ADB ＝120°，
∴∠OEF ＝60°，
∴OF ＝OA ＝3，
∴点P 在直线 EF 上运动，当 OP ⊥EF 时，OP 最小，
∴OP ＝12OF ＝32
则OP 的最小值为32
．
【点睛】
本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
6．知识背景：我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在第十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定.在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题.
问题：如图1，ABC 是等腰三角形，90BAC ∠=?，D 是BC 的中点，以AD 为腰作等腰ADE ，且满足90DAE ∠=?，连接CE 并延长交BA 的延长线于点F ，试探究BC 与CF 之间的数量关系.
图1
发现：（1）BC 与CF 之间的数量关系为 .
探究：（2）如图2，当点D 是线段BC 上任意一点（除B 、C 外）时，其他条件不变，试猜想BC 与CF 之间的数量关系，并证明你的结论.
图2
拓展：（3）当点D 在线段BC 的延长线上时，在备用图中补全图形，并直接写出BCF 的形状.
备用图
【答案】（1）BC CF =；（2）BC CF =，证明见解析；（3）画图见解析，等腰直角三角形.
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质即可得BC CF =；
（2）由等腰直角三角形的性质可得()ABD ACE SAS ∴≌，再根据全等三角形的性质及等角对等边即可证明；
（3）作出图形，根据等腰三角形性质易证()ABD ACE SAS ∴≌，进而根据角度的代换，得出结论．
【详解】
解：（1）BC CF =.
∵△ABC 是等腰三角形，且90BAC ∠=?，
AB AC ∴=，45B ACB ∠=∠=?.
90DAE ∠=?，
DAE BAC ∴=∠∠，
DAE DAC BAC DAC ∴∠-∠=∠-∠，
BAD CAE ∴∠=∠.
ADE 是以AD 为腰的等腰三角形，
AD AE ∴=.
在ABD △与ACE △中，AB AC =，BAD CAE ∠=∠，AD AE =，
()ABD ACE SAS ∴≌，
45ACE B ∴∠=∠=?.
45ACB =?∠，
90BCF ACB ACE ∴∠=∠+∠=?，
90B F ∴∠+∠=?，
45F ∴∠=?，
B F ∴∠=∠，
BC CF ∴=.
（2）BC CF =. 证明：ABC 是等腰三角形，且90BAC ∠=?，
AB AC ∴=，45B ACB ∠=∠=?.
90DAE ∠=?，
DAE BAC ∴=∠∠，
DAE DAC BAC DAC ∴∠-∠=∠-∠，
BAD CAE ∴∠=∠.
ADE 是以AD 为腰的等腰三角形，
AD AE ∴=.
在ABD △与ACE △中，AB AC =，BAD CAE ∠=∠，AD AE =，
()ABD ACE SAS ∴≌，
45ACE B ∴∠=∠=?.
45ACB =?∠，
90BCF ACB ACE ∴∠=∠+∠=?， 90B F ∴∠+∠=?，
45F ∴∠=?，
B F ∴∠=∠，
BC CF ∴=.
（3）BCF 是等腰直角三角形.
提示：如图，
ABC 是等腰三角形，90BAC ∠=?，
AB AC ∴=，45B ACB ∠=∠=?.
90DAE ∠=?，
DAE BAC ∴=∠∠，
DAE DAC BAC DAC ∴∠+∠=∠+∠，
BAD CAE ∴∠=∠.
ADE 是以AD 为腰的等腰三角形，
AD AE ∴=.
在ABD △与ACE △中，AB AC =，BAD CAE ∠=∠，AD AE =，
()ABD ACE SAS ∴≌，
45ACE B ∴∠=∠=?.
45ACB =?∠，
90BCF ACB ACE ∴∠=∠+∠=?，
90B BFC ∴∠+∠=?，
45BFC ∴∠=?，
B BF
C ∴∠=∠，
BCF ∴是等腰三角形，
90BCF ∠=?， BCF ∴是等腰直角三角形. 【点睛】
本题考查等腰三角形及全等三角形的性质，熟练运用角度等量代换及等腰三角形的性质是解题的关键．
7．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段．．．．
叫做这个三角形的三分线.
（1）图①是顶角为36?的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，请你在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36?的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）；
（2）图③是顶角为45?的等腰三角形，请你在图③中画出顶角为45?的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数.
（3）ABC 中，30B ∠=?，AD 和DE 是ABC 的三分线，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD BD =，DE CE =，设c x ∠=?，则x 所有可能的值为_________.
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）20或40.
【解析】
【分析】
(1)作底角的平分线，再作底边的平行线，即可得到三分线；
(2)过底角定点作对边的高，形成一个等腰直角三角形和一个直角三角形，然后再构造一个等腰直角三角形，即可.
(3)根据题意，先确定30°角然后确定一边为BA ，一边为BC ，再固定BA 的长，进而确定D 点，分别考虑AD 为等腰三角形的腰和底边，画出示意图，列出关于x 的方程，即可得到答案.
【详解】
（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）①当AD=AE 时，如图4，
∵DE CE =，c x ∠=?，
∴∠EDB=x °，
∴∠ADE=∠AED=2x °，
∵AD BD =，
∴∠BAD=∠B=30°，
∴30+30=2x+x ，
解得：x=20；
②当AD=DE 时，如图5，
∵DE CE =，c x ∠=?，
∴∠EDB=x °，
∴∠DAE=∠AED=2x °，
∵AD BD =，
∴∠BAD=∠B=30°，
∴30+30+2x+x=180，
解得：x=40. ③当AE=DE 时，则∠EAD=∠EDA=1802(90)2
x x -=-， ∴∠ADC=∠EDA+∠EDC=(90-x)+x=90°
又∵∠ADC=30+30=60°，
∴这种情况不存在.
∴x所有可能的值为20或40.
故答案是：20或40
图4 图5
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理的综合应用，分类讨论，画出图形，是解题的关键.
8．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A．点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为2cm/s，点N的速度为3cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动秒后，△AMN是等边三角形？
（2）点M、N在BC边上运动时，运动秒后得到以MN为底边的等腰三角形
△AMN？
（3）M、N同时运动几秒后，△AMN是直角三角形？请说明理由．
【答案】（1）12
5
；（2）
48
5
；（3）点M、N运动3秒或
12
7
秒或10秒或9秒后，
△AMN为直角三角形．
【解析】
【分析】
（1）当AM＝AN时，△MNA是等边三角形．设运动时间为t秒，构建方程即可解决问题；
（2）点M、N在BC边上运动时，满足CM＝BN时，可以得到以MN为底边的等腰三角形△AMN．构建方程即可解决问题；
（3）据题意设点M、N运动t秒后，可得到直角三角形△AMN，分四种情况讨论即可．【详解】
（1）当AM＝AN时，△MNA是等边三角形，设运动时间为t秒
则有：2t＝12﹣3t
解得t＝12 5
故点M、N运动12
5
秒后，△AMN是等边三角形；
（2）点M、N在BC边上运动时，满足CM＝BN时，可以得到以MN为底边的等腰三角形△AMN
则有：2t﹣12＝36﹣3t
解得t＝48 5
故运动48
5
秒后得到以MN为底边的等腰三角形△AMN；
（3）设点M、N运动t秒后，可得到直角三角形△AMN ①当M在AC上，N在AB上，∠ANM＝90°时，如图
∵∠A＝60°
∴∠AMN＝30°
∴AM＝2AN
则有2t＝2（12﹣3t）
∴t＝3；
②当M在AC上，N在AB上，∠AMN＝90°时，如图
∵∠A＝60°
∴∠ANM＝30°
∴2AM＝AN
∴4t＝12﹣3t
∴t＝12
7
；
③当M、N都在BC上，∠ANM＝90°时，如图
CN＝3t﹣24＝6
解得t＝10；
④当M、N都在BC上，∠AMN＝90°时，则N与B重合，M正好处于BC的中点，如图
此时2t＝12+6
解得t＝9；
综上所述，点M、N运动3秒或12
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秒或10秒或9秒后，△AMN为直角三角形．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键.
9．探究题：如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且BC＝5cm，AB＝1cm，点P是线段BC（不与点B、C重合）上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连结AD．
（1）如图1，若BP＝4cm，则CD＝；
（2）如图2，若DP平分∠ADC，试猜测PB和PC的数量关系，并说明理由；
（3）若△PDC是等腰三角形，则CD＝cm．（请直接写出答案）
【答案】（1）4cm；（2）PB＝PC，理由见解析；（3）4
【解析】
【分析】
（1）根据AAS定理证明△ABP≌△PCD，可得BP＝CD；
（2）延长线段AP、DC交于点E，分别证明△DPA≌△DPE、△APB≌△EPC，根据全等三角