2018 年人教版八年级下《平行四边形》期末专题培优复习含答案
平行四边形培优复习试卷
一、选择题：
1、下列命题中，是真命题的是（）
A.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.两条对角线相等的四边形是矩形
C.两条对角线互相垂直的四边形是菱形
D.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
2、下列说法：
①四边相等的四边形一定是菱形；②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形；
③对角线相等的四边形一定是矩形；④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形
分成面积相等的两部分. 其中正确的有()
A.4 个
B.3个
C.2个
D.1个
3、如图，为测量池塘边A、 B 两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得 OA、 OB的中点分别是点 D、 E，且 DE=14米，则 A、 B 间的距离是（）
A.18 米
B.24米
C.28米
D.30米
4、如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点 E，使 AE=AC，则∠ BCE的度数是（）
A.22.5 °
B.25°
C.23°
D.20°
5、在△ ABC中，点 D、E、 F 分别在 BC、AB、 CA上，且 DE∥CA，DF∥BA，则下列三种说法：
①如果∠ BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形
②如果 AD平分∠ BAC，那么四边形AEDF是菱形
③如果 AD⊥BC 且 AB=AC，那么四边形AEDF是菱形
其中正确的有（）
A.3 个
B.2个
C.1个
D.0个
6、如图，正方形ABCD中， AE=AB，直线 DE交 BC于点 F，则∠ BEF=（）
A.45°
B.30°
C.60°
D.55°
7、平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别是A（ m， n）， B（﹣ 2， 1），C（﹣ m，﹣ n），则点 D 的坐标是（）
A. （2，﹣ 1）
B.（﹣2，﹣1）
C.（﹣1，2）
D.（﹣1，﹣2）
8、如图，在 ?ABCD中，对角线AC与 BD交于点 O，若增加一个条件，使?ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是()
A.AB＝ AD
B.AC⊥BD
C.AC＝BD
D.∠BAC＝∠ DAC
9、如图，四边形 ABCD四边的中点分别为 E、 F、 G、 H，对角线 AC与 BD相交于点 O，若四边形EFGH的面积是 3，则四边形 ABCD的面积是 ( )
A.3
B.6
C.9
D.12
10、如图，把边长为 3 的正方形ABCD绕点 A 顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边 BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是（）
A. B.6 C. D.
11、如，将n 个都 2 的正方形按如所示放，点A1， A2，?A n分是正方形的中心，
n 个正方形重叠部分的面之和是（）
A.n
B.n 1
C.（）n﹣1
D.n
12、如，分以直角△ ABC 的斜 AB，直角 AC向△ ABC 外作等△ ABD 和等△ ACE， F AB的中点， DE
与 AB交于点 G， EF 与 AC交于点 H，∠ ACB=90°，∠ BAC=30°. 出如下：
①E F⊥AC；②四形 ADFE菱形；③ AD=4AG；④ 4FH=BD；
其中正确的是（）
A. ①②③
B. ①②④
C.①③④
D.②③④
二、填空 :
13、如，在□ABCD中， CE⊥AB， E 垂足，若∠ A＝ 122°，∠ BCE＝°.
14、已知菱形的两条角分2cm， 3cm，它的面是cm2.
15、如， ?ABCD的角 AC，BD相交于点 O，点 E， F 分是段 AO， BO的中点，若
AC+BD=24cm，△ OAB的周是 18cm， EF=______cm.
16、如，四形ABCD是菱形， O是两条角的交点，O点的三条直将菱形分成阴影和空
白部分 . 当菱形的两条角的分 6 和 8 ，阴影部分的面.
17、如，已知△ ABC 的周1，分接AB，BC， CA各的中点得△A1B1C1，再接
A1B1， B1C1， C1A1的中点得△A2B2C2，??，延下去，最后得△A n B n C n.那么△A n B n C n的周等于.
18、如，正方形 ABCD的 1， AC， BD是角 . 将△ DCB着点 D 旋 45°得到△ DGH， HG交 AB于点 E，接 DE交 AC于点 F，接 FG.
下列：①四形AEGF是菱形②△ AED≌△ GED③∠ DFG=112.5°④BC+FG=1.5
其中正确的是.
三、解答 :
19、如，在四形ABCD中， AB=CD， BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分E， F.
（1）求：△ ABE≌△ CDF；
（2）若 AC与 BD交于点 O，求： AO=CO.
20、如图，在 ?ABCD中， BC=2AB=4，点 E、 F 分别是 BC、 AD的中点 .
（1）求证：△ ABE≌△ CDF；
（2）当四边形 AECF为菱形时，求出该菱形的面积 .
21、如图，△ ABC 的中线 AD、 BE、 CF 相交于点G，H、 I 分别是 BG、CG的中点 .
（ 1）求证：四边形EFHI 是平行四边形；
（ 2）①当 AD与 BC满足条件时，四边形EFHI 是矩形；
②当 AD与 BC满足条件时，四边形EFHI 是菱形 .
22、如图，已知四边形ABCD的对角线 AC与 BD相交于点 O，且，、分别是、
的中点，分别交、于点、. 你能说出与的大小关系并加以证明吗?
23、四边形 ABCD为正方形，点 E 为线段 AC上一点，连接 DE，过点 E 作 EF⊥DE，交射线 BC于点F，以 DE、 EF为邻边作矩形 DEFG，连接 CG.
(1)如图 1，求证：矩形 DEFG是正方形；
(2)若 AB=2， CE=，求 CG的长度；
(3)当线段 DE与正方形 ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠ EFC 的度数 .
参考答案
1、A
2、C
3、C
4、A.
5、A
6、A
7、A.
8、C
9、B
10、A
11、B
12、C
13、32；
14、答案为： 3.
15、答案为： 3.
16、12
17、
18、①②③；
19、证明：（ 1）∵ BF=DE，∴ BF﹣EF=DE﹣EF，即BE=DF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠ AEB=∠CFD=90°，∵ AB=CD，∴ Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）；
（2）连接 AC，交 BD于点 O，∵△ ABE≌△ CDF，∴∠ ABE=∠CDF，∴
AB∥CD，∵AB=CD，∴四边形 ABCD是平行四边形，∴ AO=CO.
20、1）证明：∵在?ABCD中， AB=CD，∴ BC=AD，∠ ABC=∠CDA.
又∵ BE=EC=BC， AF=DF= AD，∴ BE=DF∴△. ABE≌△ CDF.
（ 2）解：∵四边形AECF为菱形时，∴ AE=EC.
又∵点 E 是边 BC的中点，∴ BE=EC，即BE=AE.又 BC=2AB=4，∴ AB=BC=BE，
∴AB=BE=AE，即△ ABE 为等边三角形，?ABCD的 BC边上的高为 2×sin60 °=，
∴菱形 AECF的面积为2.
21、（ 1）证明：∵ BE， CF 是△ ABC的中线，∴ EF 是△ ABC的中位线，∴ EF∥BC 且 EF=BC.
∵H、 I 分别是 BG、 CG的中点，∴ HI 是△ BCG的中位线，∴ HI∥BC 且 HI=BC，
∴E F∥HI 且 EF=HI.∴四边形 EFHI 是平行四边形 .
（2）解：①当 AD与 BC满足条件 AD⊥BC 时，四边形 EFHI 是矩形；理由如下：
同（ 1）得： FH是△ ABG的中位线，∴ FH∥AG， FH=AG，∴ FH∥AD，
∵E F∥BC，AD⊥BC，∴ EF⊥FH，∴∠ EFH=90°，
∵四边形EFHI 是平行四边形，∴四边形EFHI 是矩形；故答案为： AD⊥BC；
②当 AD与 BC满足条件BC= AD时，四边形EFHI 是菱形；理由如下：
∵△ ABC的中线 AD、 BE、 CF相交于点 G，∴ AG=AD，
∵B C= AD，∴ AG=BC，∵ FH= AG，EF= BC，∴ FH=EF，
又∵四边形EFHI 是平行四边形，∴四边形EFHI 是菱形；故答案为：BC=AD.
22、OE=OF；
23、(1) 证明 ( 略 );(2) CG=; (3)120° 或30°.
E D F C B A 三角形培优训练专题 【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 【常见辅助线的作法有以下几种】 1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。 7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。 1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围. 2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.
第一讲二次根式专题复习 一、知识要点 1、二次根式的概念：一般地，形如 a 的式子叫做二次根式. 注意：这里被开方数 a 可以是数，也可以是单项式，多项式，分式等代数式. 2 、二次根式 a 有意义：，二次根式无意义：. 3、二次根式的性质： ( 1) a . ( 2 ) a = .( 3 ) a2. 4 、乘法法则： a. b ab (a 0,b 0), 即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 要点诠释： ( 1) 在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中 a 、 b 都必须是非负数；( 在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). ( 2 ) 该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：a1 a2 a3 a n a1 a2 a3 a n (a1 0,a2 0, a n 0); 若二次根式相乘的结果能写成a2的形式，则应化简，如16 4 . 5、除法法则：a b a( a≥0，b>0)．即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除. ( 1 )在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数 a 、 b 的取值范围应特别注意， a 0， b 0，因为b在分 母上，故 b 不能为0. ( 2 ) 运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号. 6 、最简二次根式 概念：①被开方数不含. ②被开方数中不含的二次根式．要点诠释： ( 1 )被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； ( 2 )根号下不含分母，分母中不含根号. 两者必须同时满足. 分母有理化：把分母中的根号化去的方法叫做分母有理化. 分母有理化的依据是分式的基本性质和二次根式的性质公式( a)2a(a 0) 有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就称这两个代数式互为有理化因式。一般常见的互为有理化因式有如下几种类型： ① m a 与；② a b 与；③ a b 与；④ m a n b 与. 7 、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的相同, 这些二次根式就称为同类二次根式. 说明：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 22 8、互为有理化因式：互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式(a b)(a b) a2b2，同时它
八年级数学培优练习题及答案大全 1．如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN．若AB=?14，?AC=19，则MN的长为． A． B．2.C．D．3.2.如图，在周长为20cm的□ABCD 中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE 的周长为 4cm 6cm8cm 10cm AE O B C A F M DQ 3题 o B C N 3、如图，在平行四边形 ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45，且
AE+AF=ABCD的周长是 4、如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD，BC 的中点，把BC向上翻折，使点C恰好落在MN上的Ｆ点处，BQ为折痕，则∠FBQ＝ A 0° B 5° C 0° D 15° 5、如图所示,在正方形ABCD中,点E、F、G、H均在其内部，且DE＝EF＝FG＝GH＝HB＝2,∠E=∠F=∠G=∠H=60°,则正方形ABCD的边长为 A. B.2 C. D.32 6、如图是一块长、宽、高分别是6cm、4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从顶点A出发，沿长方体的表面爬到和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是． 7、已知一组数据10，10，x，8的众数与它的平均数相等，则这组数的中位数是． 8、如图OA、AB分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中s和t分别表示运动 路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：①射线BA表示甲的路程与时间的函数关系；②甲的速度比乙快1.5米/秒；③甲让乙先跑12米；④秒钟后，甲超过了乙，其中正确的说法是。
人教版八年级数学上册期末试卷培优测试卷 一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．（1）问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，先证明 △ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是； （2）探索延伸： 如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点， 且∠EAF＝1 2 ∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）结论应用： 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O 之间夹角∠EOF=70°，试求此时两舰艇之间的距离． （4）能力提高： 如图4，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且 ∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，试求出MN的长． 【答案】（1）EF＝BE＋FD；（2）EF＝BE＋FD仍然成立；（3）210；（4）MN10．【解析】 试题分析：（1）由△AEF≌△AGF，得EF=GF，又由BE=DG，得 EF=GF=DF+DG=DF+BE；（2）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG，再证△AEF≌△AGF，得EF=FG，即可得到答案；（3）连接EF，延长AE，BF相交于点C，根据探索延伸可得EF=AE+FB，即可计算出EF的长度；（4）在△ABC外侧作
相似三角形培优专题讲义 知识点一：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那 么就说这两条线段的比是AB:CD ＝m ：n 例：已知线段AB=2.5m,线段CD=400cm ，求线段AB 与CD 的比。 2.比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ），那么，这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段 比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。） 例：b,a,d,c 是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d 的长度。 （2）比例性质 1.基本性质: bc ad d c b a =?= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： c d a b d c b a =?= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=???=??， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么 b a n f d b m e c a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．
`新人教版八年级数学下册辅导资料（01） 姓名：________ 得分：_____ 一、知识点梳理： 1、二次根式的定义. 一般地，式子 a （a ≥0）叫做二次根式，a 叫做被开方数。两个非负数：（1）a ≥0 ；（2） a ≥0 2、二次根式的性质： （1）.()0≥a a 是一个________ 数 ； （2） () =2 a __________（a ≥0） （3）()() () ?? ? ???=?==0_______0_______ 0_______2a a a a a 3、二次根式的乘除： 积的算术平方根的性质： )0,0(≥≥?=b a b a ab ，二次根式乘法法则： __________=?b a （a ≥0,b ≥0） 商的算术平方根的性质： b a b a =).0,0(>≥b a 二次根式除法法则：)0,0(>≥= b a b a b a 1．被开方数不含分母； 4、最简二次根式 2．分母中不含根号； 3. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 分母有理化：是指把分母中的根号化去，达到化去分母中的根号的目的． 二、典型例题： 例1：当x 是怎样实数时，下列各式在实数范围内有意义？ ⑴ 2-x ⑵ x x -+2) 1(0 ⑶13-+-x x ⑷12+x （5） 1 2 -+x x
小结： 代数式有意义应考虑以下三个方面：（1）二次根式的被开方数为非负数。（2）分式的分母不为0.（3）零指数幂、负整数指数幂的底数不能为0 例2：化简： （1）|21|)22(2-+- （2）|3 254|)3253(2-+- 例3： (1)已知y=x -3+62-x +5，求 x y 的值． (2) 已知01442=-+++-y x y y ，求xy 的值．
八年级下“勇攀高峰”第1期（2015年3月）命题人：张志欣 一．选择题（共7小题） 1．如果关于x的不等式（a+2）x＞a+2的解集为x＜1，那么a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜0 C．a＞﹣2 D．a＜﹣2 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（） A．B．C．D． 3．已知不等式组的解集是x＞5，则m的取值范围是（） A．m＞5 B．m≥5 C．m＜5 D．m≤5 4．已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（） A．B． C．D． 5．阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为=ad﹣bc，例如 =1×4﹣2×3=﹣2，如果＞0，则x的解集是（） A．x＞1 B．x＜﹣1 C．x＞3 D．x＜﹣3 6．如图，直线y=﹣x+2与y=ax+b（a≠0且a，b为常数） 的交点坐标为（3，﹣1），则关于x的不等式 ﹣x+2≥ax+b的解集为（） A．x≥﹣1 B．x≥3 C．x≤﹣1 D．x≤3 7．已知关于x的不等式组有且只有1个整数解，则a的取值范围是（）A．a＞0 B．0≤a＜1 C．0＜a≤1 D．a≤1 二．填空题（共5小题） 8．不等式组的最小整数解是． 9．已知不等式组的解集为x＞3，则a的取值范围是．
10．已知不等式3x﹣a≤0的解集为x≤5，则a的值为． 11．如果1＜x＜2，则（x﹣1）（x﹣2）0．（填写“＞”、“＜”或“=”） 三．解答题（共5小题） 12．代数式的值不大于的值，求x的取值范围． 13．解不等式组：14．解不等式组，并求其整数解．15. 某电器商场销售A、B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元，商 场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元． （1）求商场销售A、B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润=销售价格﹣进货价格）（2）商场准备用不多于2500元的资金购进A、B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？
数学八年级上册全册全套试卷（培优篇）（Word版含解析） 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．如图，平面内有五个点，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画_____个三角形． 【答案】10 【解析】 【分析】 以平面内的五个点为顶点画三角形，根据三角形的定义，我们在平面中依次选取三个点画出图形即可解答. 【详解】 解：如图所示，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画10个三角形， 故答案为：10． 【点睛】 本题考查的是几何图形的个数，我们根据三角形的定义，在画图的时候要注意按照一定的顺序，保证不重复不遗漏. 2．如图，△AEF是直角三角形，∠AEF=900，B为AE上一点，BG⊥AE于点B，GF∥BE，且AD＝BD＝BF，∠BFG＝60０，则∠AFG的度数是___________。 【答案】20° 【解析】 根据平行线的性质，可知∠A=∠AFG，∠EBF=∠BFG＝60０，然后根据等腰三角形的性质，可知∠BDF=2∠A，∠A+∠AFB=3∠A=∠EBF，因此可得∠AFG=20°. 故答案为：20°.
3．直角三角形中,一个锐角等于另一个锐角的2倍,则较小的锐角是_______． 【答案】30° 【解析】 【分析】 设较小的锐角是x,然后根据直角三角形两锐角互余列出方程求解即可. 【详解】 设较小的锐角是x，则另一个锐角是2x， 由题意得，x＋2x＝90°， 解得x＝30°， 即此三角形中最小的角是30°. 故答案为：30°. 【点睛】 本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握该知识点是本题解题的关键. 4．如图是小李绘制的某大桥断裂的现场草图，若∠1＝38°，∠2＝23°，则桥面断裂处夹角∠BCD＝__________. 【答案】119° 【解析】 【分析】 连接BD，构△BCD根据对顶角相等和三角形内角和定理即可求出∠BCD的度数. 【详解】 如图所示，连接BD， ∵∠4=∠1=38°，∠3=∠2=23°， ∴∠BCD=180°-∠4-∠3=180°-38°-23°=119°. 故答案为：119°. 【点睛】 本题考查了对顶角的性质与三角形内角和定理. 连接BD，构△BCD是解题的关键. 5．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB的度数为_____．
八年级数学压轴题 期末复习试卷（培优篇）（Word 版 含解析） 一、压轴题 1．如图1所示，直线:5L y mx m =+与x 轴负半轴，y 轴正半轴分别交于A 、B 两点． （1）当OA OB =时，求点A 坐标及直线L 的解析式． （2）在（1）的条件下，如图2所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM OQ ⊥于M ，BN OQ ⊥于N ，若17AM =，求BN 的长． （3）当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角OBF ?和等腰直角ABE ?，连接EF 交y 轴于P 点，如图3.问：当点B 在y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由． 2．（1）在等边三角形ABC 中， ①如图①，D ，E 分别是边AC ，AB 上的点且AE=CD ，BD 与EC 交于点F ，则∠BFE 的度数是 度； ②如图②，D ，E 分别是边AC ，BA 延长线上的点且AE=CD ，BD 与EC 的延长线交于点F ，此时∠BFE 的度数是 度； （2）如图③，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB 是锐角，点O 是AC 边的垂直平分线与BC 的交点，点D ，E 分别在AC ，OA 的延长线上，AE=CD ，BD 与EC 的延长线交于点F ，若∠ACB=α，求∠BFE 的大小．（用含α的代数式表示）． 3．（1）问题发现． 如图1，ACB ?和DCE ?均为等边三角形，点A 、D 、E 均在同一直线上，连接BE ．
①求证：ADC BEC ??≌． ②求AEB ∠的度数． ③线段AD 、BE 之间的数量关系为__________． （2）拓展探究． 如图2，ACB ?和DCE ?均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=?，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为DCE ?中DE 边上的高，连接BE ． ①请判断AEB ∠的度数为____________． ②线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系为________．（直接写出结论，不需证明） 4．学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL ”）后，我们继续对“两个三角形满足两边的其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． （初步思考） 我们不妨将问题用符号语言表示为：在△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，然后，对∠B 进行分类，可分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． （深入探究） 第一种情况：当∠B 是直角时，△ABC ≌△DEF ． （1）如图①，在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ＝90°，根据______，可以知道Rt △ABC ≌Rt △DEF ． 第二种情况：当∠B 是钝角时，△ABC ≌△DEF ． （2）如图②，在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，且∠B 、∠E 都是钝角．求证：△ABC ≌△DEF ． 第三种情况：当∠B 是锐角时，△ABC 和△DEF 不一定全等． （3）在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，且∠B 、∠E 都是锐角．请你用直
全等三角形专题培优 考试总分： 110 分考试时间： 120 分钟 卷I（选择题） 一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 1.如图为个边长相等的正方形的组合图形，则 A. B. C. D. 2.下列定理中逆定理不存在的是（） A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等 B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等 C.同位角相等，两直线平行 D.全等三角形的对应角相等 3.已知：如图，，，，则不正确的结论是（） A.与互为余角 B. C. D. 4.如图，是的中位线，延长至使，连接，则的值为（） A. B. C. D. 5.如图，在平面直角坐标系中，在轴、轴的正半轴上分别截取、，使；再分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点．若点的坐标为，则与的关系为（）A. B. C. D. 6.如图，是等边三角形，，于点，于点，，则下列结论：①点在的角平分线上；②；③；④．正确的有（） A.个 B.个 C.个 D.个 7.如图，直线、、″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可 供选择的地址有（） A.一处 B.二处 C.三处 D.四处 8.如图，是的角平分线，则等于（） A. B. C. D. 9.已知是的中线，且比的周长大，则与的差为（） A. B. C. D. 10.若一个三角形的两条边与高重合，那么它的三个内角中（） A.都是锐角 B.有一个是直角 C.有一个是钝角 D.不能确定 卷II（非选择题） 二、填空题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 11.问题情境：在中，，，点为边上一点（不与点，重合） ，交直线于点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得
初二数学培优题（一） 1．如图所示，已知△ABC中，点D为BC边上一点，∠1=∠2=∠3，AC=AE，（1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若AE∥BC，且∠E=∠CAD，求∠C的度数． 【分析】（1）由∠1=∠2=∠3，可得∠1+∠DAC=∠DAC+∠2，即∠BAC=∠DAE，又∠1+∠B=∠ADE+∠3，则可得∠B=∠ADE，已知AC=AE，即可证得：△ABC≌△ADE； （2）由题意可得，∠ADB=∠ABD=4x，在△ABD中，可得x+4x+4x=180°，解答处即可； 【解答】解：（1）∵∠1=∠2=∠3， ∴∠1+∠DAC=∠DAC+∠2，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）即∠BAC=∠DAE， 又∵∠1+∠B=∠ADE+∠3，则可得∠B=∠ADE， 在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE（AAS）； （2）∵AE∥BC， ∴∠E=∠3，∠DAE=∠ADB，∠2=∠C， 又∵∠3=∠2=∠1，令∠E=x， 则有：∠DAE=3x+x=4x=∠ADB， 又∵由（1）得AD=AB，∠E=∠C， ∴∠ABD=4x，
∴在△ABD中有：x+4x+4x=180°， ∴x=20°， ∴∠E=∠C=20°． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，判定三角形全等是证明线段或角相等的重要方式，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 2．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC． （1）证明：BC=DE； （2）若AC=12，CE经过点D，求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）求出∠BAC=∠EAD，根据SAS推出△ABC≌△ADE，利用全等三角形的性质证明即可； （2）由△ABC≌△ADE，推出四边形ABCD的面积=三角形ACE的面积，即可得出答案； 【解答】（1）解：∵∠BAD=∠CAE=90°， ∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD， ∴∠BAC=∠EAD． 在△ABC和△ADE中，
八年级上册东莞数学期末试卷培优测试卷 一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．(1)如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系． 小明同学探究的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论， 他的结论是（直接写结论，不需证明）； (2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF是∠BAD的二分之一，上述结论是否仍然成立，并说明理由． (3)如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF=45°，直接写出三角形DEF的周长． 【答案】（1）EF=BE+DF．（2）成立，理由见解析；（3）10. 【解析】 【分析】 （1）如图1，延长FD到G，使得DG=DC,先证△ABE≌△ADG，得到AE=AG， ∠BAE=∠DAG，进一步根据题意得∠EAF=∠GAF，再证明△AEF≌△AGF，得到EF=FG，最后运用线段的和差证明即可. (2)如图2，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，证得△ABE≌△ADG，得到AE=AG， ∠BAE=∠DAG，再结合题意得到∠EAF=∠GAF，再证明△AEF≌△AGF，得到EF=FG，最后运用线段的和差证明即可. （3）如图3，延长DC到点G，截取CG=AE，连接BG，先证△AEB≌△CGB，得到BE=BG，∠ABE=∠CBG，结合已知条件得∴∠CBF+∠CBG=45°，再证明△EBF≌△GBF，得到 EF=FG，最后求三角形的周长即可. 【详解】 解答：（1）解：如图1，延长FD到G，使得DG=DC
相似三角形培优专题1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D． 求证：(1)△ACD∽△ABC； (2)AC2＝AD?AB； (3)CD2＝AD?DB． A 证明：(1)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠CDA＝90°＝∠ACB， ∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC. (2)∵△ACD∽△ABC， ∴AC AD AB AC =， ∴AC2＝AD?AB； (3)∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°， ∵∠ACB＝90° ∴∠A+∠B＝90° ∴∠ACD＝∠B ∴△ACD∽△BCD， ∴CD AD BD CD =， ∴CD2＝AD?DB．
2．如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证： (1)△ACP∽△PDB， (2)CD2＝AC?BD． 证明：(1)∵△PCD是等边三角形， ∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°， ∴∠ACP＝∠PDB＝120°， ∵∠APB＝120°， ∴∠APC+∠BPD＝60°， ∵∠CAP+∠APC＝60° ∴∠BPD＝∠CAP， ∴△ACP∽△PDB； (2)由(1)得△ACP∽△PDB， ∴， ∵△PCD是等边三角形， ∴PC＝PD＝CD， ∴， ∴CD2＝AC?BD．
3. 如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知△ABC 的边BC＝15，高AH＝10， (1)求证：△ADG∽△ABC； (2)求这个正方形的边长和面积． 解：(1)∵四边形形DEFG是正方形， ∴DG∥BC ∴△ADG∽△ABC； (2) 如图，高AH交DG于M，设正方形DEFG的边长为x，则DE＝MH＝x， ∴AM＝AH﹣MH＝10﹣x， ∵ADG∽△ABC， ∴DG AM BC AH =， ∴ 10 1510 x x - =， ∴x＝6， ∴x2＝36． 答：正方形DEFG的边长和面积分别为6，36．
数学八年级上册 全册全套试卷培优测试卷 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．如图，C 在直线BE 上，∠=?,∠A m ABC 与ACE ∠的角平分线交于点1A ，则 1A =_____?；若再作11A BE A CE ∠∠、的平分线，交于点2A ；再作22A BE A CE ∠∠、的 平分线，交于点3A ；依此类推，10A ∠= _________?． 【答案】（2m ） （1024 m ） 【解析】 【分析】 根据“角平分线定义”和“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”求出规律，直接利用规律解题． 【详解】 解：∵∠A 1=∠A 1CE-∠A 1BC=12∠ACE-12∠ABC=12（∠ACE-∠ABC ）=12∠A=2 m ° ． 依此类推∠A 2=224m m ??=，∠A 3=328m m ??=，…，∠A 10=1021024 m m ?? =． 故答案为：()2m ；()1024 m ． 【点睛】 此题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及角平分线的定义，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和． 2．如图，在△ABC 中，∠B=50°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC =_______°. 【答案】65 【解析】 如图，∵AE 平分∠DAC ，CE 平分∠ACF ，
∴∠1= 12∠DAC ，∠2=1 2 ∠ACF ， ∴∠1+∠2=1 2 （∠DAC+∠ACF ）， 又∵∠DAC+∠ACF=（180°-∠BAC ）+（180°-∠ACB ）=360°-（∠BAC+∠ACB ），且 ∠BAC+∠ACB=180°-∠ABC=180°-50°=130°， ∴∠1+∠2= 1 2 （360°-130°）=115°， ∴在△ACE 中，∠E=180°-（∠1+∠2）=180°-115°=65°. 3．如图，1BA 和1CA 分别是ABC ?的内角平分线和外角平分线，2BA 是1A BD ∠的角平分线， 2CA 是1A CD ∠的角平分线，3BA 是2A BD ∠的角平分线，3CA 是2A CD ∠的角平分线，若1A α∠=，则2018A ∠=_____________ 【答案】2017 2α 【解析】 【分析】 根据角平分线的定义可得∠A 1BC= 12∠ABC ，∠A 1CD=1 2 ∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1，整理即可得解，同理求出∠A 2，可以发现后一个角等于前一个角的1 2 ，根据此规律即可得解． 【详解】 ∵A 1B 是∠ABC 的平分线，A 1C 是∠ACD 的平分线， ∴∠A 1BC= 12∠ABC ，∠A 1CD=1 2 ∠ACD ， 又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1，
八年级数学上册期末试卷培优测试卷 一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．如图，在ABC 中，45ABC ∠=,AD ,BE 分别为BC ,AC 边上的高，连接DE ,过点 D 作DF D E ⊥与点 F ， G 为BE 中点，连接AF ，DG ． （1）如图1，若点F 与点G 重合，求证：AF DF ⊥； （2）如图2，请写出AF 与DG 之间的关系并证明． 【答案】(1)详见解析;(2)AF=2DG,且AF ⊥DG,证明详见解析. 【解析】 【分析】 (1) 利用条件先△DAE ≌△DBF,从而得出△FDE 是等腰直角三角形,再证明△AEF 是等腰直角三角形,即可. (2) 延长DG 至点M,使GM=DG,交AF 于点H,连接BM, 先证明△BGM ≌△EGD,再证明△BDM ≌△DAF 即可推出. 【详解】 解:（1）证明:设BE 与AD 交于点H..如图， ∵AD,BE 分别为BC,AC 边上的高, ∴∠BEA=∠ADB=90°. ∵∠ABC=45°, ∴△ABD 是等腰直角三角形. ∴AD=BD. ∵∠AHE=∠BHD, ∴∠DAC=∠DBH. ∵∠ADB=∠FDE=90°, ∴∠ADE=∠BDF. ∴△DAE ≌△DBF.
∴BF=AE,DF=DE. ∴△FDE是等腰直角三角形. ∴∠DFE=45°. ∵G为BE中点, ∴BF=EF. ∴AE=EF. ∴△AEF是等腰直角三角形. ∴∠AFE=45°. ∴∠AFD=90°,即AF⊥DF. （2）AF=2DG,且AF⊥DG.理由:延长DG至点M,使GM=DG,交AF于点H,连接BM, ∵点G为BE的中点,BG=GE. ∵∠BGM∠EGD, ∴△BGM≌△EGD. ∴∠MBE=∠FED=45°,BM=DE. ∴∠MBE=∠EFD,BM=DF. ∵∠DAC=∠DBE, ∴∠MBD=∠MBE+∠DBE=45°+∠DBE. ∵∠EFD=45°=∠DBE+∠BDF, ∴∠BDF=45°-∠DBE. ∵∠ADE=∠BDF, ∴∠ADF=90°-∠BDF=45°+∠DBE=∠MBD. ∵BD=AD, ∴△BDM≌△DAF. ∴DM=AF=2DG,∠FAD=∠BDM. ∵∠BDM+∠MDA=90°, ∴∠MDA+∠FAD=90°. ∴∠AHD=90°. ∴AF⊥DG. ∴AF=2DG,且AF⊥DG 【点睛】 本题考查三角形全等的判定和性质,关键在于灵活运用性质. 2．已知：平面直角坐标系中，点A（a，b）的坐标满足|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0．
9、等腰三角形【知识精读】 （－）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 （二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 【分类解析】 例1. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC 延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。 分析：欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，所以想到连结BD，证 1∠ABC，而由CE＝CD，BD＝ED。因为△ABC是等边三角形，∠DBE＝ 2 1∠ACB，所以∠1＝∠E，从而问题得证。 又可证∠E＝ 2 证明：因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点
第十六章 分式 测试1 从分数到分式 学习要求 掌握分式的概念，能求出分式有意义，分式值为0、为1的条件． 课堂学习检测 一、填空题 1．用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成的形式，如果除式B 中，该分式的分式． 2．把下列各式写成分式的形式： （1）5÷为. （2）（3x ＋2y ）÷（x －3y ）为. 3．甲每小时做x 个零件，做90个零件所用的时间，可用式子表示成小时． 4．n 公顷麦田共收小麦m 吨，平均每公顷的产量可用式子表示成吨． 5．轮船在静水中每小时走a 千米，水流速度是b 千米／时，轮船在逆流中航行s 千米所需要的时间可用式子表示成小时． 6．当x ＝时，分式 1 3-x x 没有意义． 7．当x ＝时，分式1 1 2--x x 的值为0． 8．分式 y x ，当字母x 、y 满足时，值为1；当字母x ，y 满足时值为－1． 二、选择题 9．使得分式 1 +a a 有意义的a 的取值范围是（ ） A ．a ≠0 B ．a ≠1 C ．a ≠－1 D ．a ＋1＞0 10．下列判断错误．． 的是（ ） A ．当32 =/x 时，分式2 31-+x x 有意义 B ．当a ≠b 时，分式2 2b a ab -有意义 C ．当2 1- =x 时，分式x x 41 2+值为0 D ．当x ≠y 时，分式x y y x --2 2有意义 11．使分式 5 +x x 值为0的x 值是（ ） A ．0 B ．5 C ．－5 D ．x ≠－5 12．当x ＜0时， x x | |的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．不确定 13．x 为任何实数时，下列分式中一定有意义的是（ ) A ．x x 12+ B ． 1 1 2--x x C ． 1 1 +-x x D ． 1 1 2+-x x
八年级数学上册全册全套试卷培优测试卷 一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．已知,如图A 在x 轴负半轴上，B （0，-4），点E （-6,4）在射线BA 上， (1) 求证：点A 为BE 的中点 (2) 在y 轴正半轴上有一点F, 使 ∠FEA=45°，求点F 的坐标. (3) 如图，点M 、N 分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上，MN=NB=MA ，点I 为△MON 的内角平分线的交点，AI 、BI 分别交y 轴正半轴、x 轴正半轴于P 、Q 两点, IH⊥ON 于H, 记△POQ 的周长为C△POQ.求证：C△POQ=2 HI. 【答案】（1）证明见解析；（2）22 (0,)7 F ；（3）证明见解析. 【解析】 试题分析：（1）过E 点作EG ⊥x 轴于G ，根据B 、E 点的坐标，可证明△AEG ≌△ABO ，从而根据全等三角形的性质得证； （2）过A 作AD⊥AE 交EF 延长线于D ，过D 作DK ⊥x 轴于K ，然后根据全等三角形的判定得到△AEG ≌△DAK ，进而求出D 点的坐标，然后设F 坐标为（0，y ），根据S 梯形EGKD =S 梯形 EGOF +S 梯形FOKD 可求出F 的坐标； （3）连接MI 、NI ，根据全等三角形的判定SAS 证得△MIN ≌△MIA ，从而得到∠MIN=∠MIA 和∠MIN=∠NIB ，由角平分线的性质，求得∠AIB=135°×3-360°=45°再连接OI ，作IS⊥OM 于S, 再次证明△HIP ≌△SIC 和△QIP ≌△QIC ，得到C △POQ 周长. 试题解析：（1）过E 点作EG⊥x 轴于G ， ∵B （0，-4），E （-6,4），∴OB=EG=4， 在△AEG 和△ABO 中，
八年级数学上册期末试卷培优测试卷 一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．（1）已知△ABC是等腰三角形，其底边是BC,点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC=∠DCE,若∠A等于60°（如图①）.求证：EB=AD； （2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 试题分析：（1）作DF∥BC交AC于F，由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，证明△ABC是等边三角形，得出∠ABC=∠ACB=60°，证出△ADF是等边三角形，∠DFC=120°，得出AD=DF，由已知条件得出∠FDC=∠DEC，ED=CD，由AAS证明 △DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论； （2）作DF∥BC交AC的延长线于F，同（1）证出△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论. 试题解析：（1）证明：如图，作DF∥BC交AC于F， 则△ADF为等边三角形 ∴AD=DF，又∵∠DEC=∠DCB， ∠DEC+∠EDB=60°， ∠DCB+∠DCF=60°， ∴ ∠EDB=∠DCA ，DE=CD， 在△DEB和△CDF中， 120 EBD DFC EDB DCF DE CD ， ， ∠=∠=? ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴△DEB≌△CDF， ∴BD=DF， ∴BE=AD . (2).EB=AD成立；
理由如下：作DF ∥BC 交AC 的延长线于F ，如图所示： 同（1）得：AD=DF ，∠FDC=∠ECD ，∠FDC=∠DEC ，ED=CD ， 又∵∠DBE=∠DFC=60°， ∴△DBE ≌△CFD （AAS ）， ∴EB=DF ， ∴EB=AD. 点睛：此题主要考查了三角形的综合，考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，综合性强，有一定的难度，证明三角形全等是解决问题的关键. 2．如图①，在ABC 中，90BAC ∠=?，AB AC =，AE 是过A 点的一条直线，且 B 、 C 在AE 的异侧，B D A E ⊥于D ，CE AE ⊥于E . （1）求证：BD DE CE =+. （2）若将直线AE 绕点A 旋转到图②的位置时（BD CE <），其余条件不变，问BD 与 DE 、CE 的关系如何？请予以证明. 【答案】（1）见解析；（2）BD=DE-CE ，理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据已知利用AAS 判定△ABD ≌△CAE 从而得到BD=AE ，AD=CE ，因为AE=AD+DE ，所以BD=DE+CE ； （2）根据已知利用AAS 判定△ABD ≌△CAE 从而得到BD=AE ，AD=CE ，因为AD+AE=BD+CE ，所以BD=DE-CE ． 【详解】 解：（1）∵∠BAC=90°，BD ⊥AE ，CE ⊥AE ， ∴∠BDA=∠AEC=90°， ∵∠ABD+∠BAE=90°，∠CAE+∠BAE=90° ∴∠ABD=∠CAE ，
等腰三角形专题练习题 等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一般三角形的性质，同时，还具有自身的特殊性，这些特殊性使它比一般三角形应用更加广泛．等腰三角形的性质和判定为证明两个角相等和两条线段相等提供了依据．等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在直线是它的对称轴，对于某些含有（或隐含）等腰三角形条件的问题，可以作等腰三角形底边上的高或构建等腰三角形、等边三角形找到解决问题的途径． 例1如图1-1，△ABC中，AB=BC，M、N为BC边上两点，且∠BAM=∠CAN，MN=AN，求∠MAC的度数． 练习1 1．如图1-2，已知△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAE=30°，则∠DEC等于（）．A．7．5° B．10° C．12.5° D．18° 1-2 2．如图1-3，AA′、BB′分别是△ABC的外角∠EAB和∠CBD的平分线，且AA′=AB=B′B，A′、B、C在一直线上，则∠ACB的度数是多少？ 1-3
3．如图1-4，等腰三角形ABC中，AB=BC，∠A=20°．D是AB边上的点，且AD=BC，?连结CD，则∠BDC=________． 1-4 例2 如图1-5，D是等边三角形ABC的AB边延长线上一点，BD?的垂直平分线HE?交AC 延长线于点E，那么CE与AD相等吗？试说明理由． 练习2 1．已知如图1-6，在△ABC中，AB=CD，D是AB上一点，DE⊥BC，E为垂足，ED?的延长线交CA的延长线于点F，判断AD与AF相等吗？ 1-6 1-7 1-8 2．如图1-7，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是△ABC内一点，且∠DAC=∠DCA=15°，则BD与BA的大小关系是（） A．BD>BA B．BD
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