最短距离问题
摘要：最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题。几何中的最短路线问题是中考热点之一，往往与两点之间线段最短、垂线段最短、轴对称、勾股定理息息相关。
案例问题：
（1）如图：一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，M、N 分别表示位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到什么位置时，到村庄M、N的距离之和最短？理由是？
（2）如图：一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，若村庄M、N在公路AB的同侧，当汽车行驶到什么位置时，到村庄M、N的距离之和最短？请简单证明。
解决问题：
一 建立几何模型：
案例问题（2）可以转化为数学问题：
如图（1），在直线a 同侧有Ａ，Ｂ两点，在直线a 上找一点M ，可使MA+MB 的值最小？
二 几何模型的解决
你可以在a 上找几个点试一试,能发现什么规律?
思路分析：如图2，问题就是要在a 上找一点M ，使AM 与BM 的和最小。设A ′是A 的对称点，本问题也就是要使A ′M 与BM 的和最小。在连接A ′B 的线中，线段A ′B 最短。因此，线段A ′B 与直线a 的交点C 的位置即为所求。
如图3，为了证明点C 的位置即为所求，我们不妨在直线a 上另外任取一点N ，连接AN 、BN 、A ′N 。
因为直线a 是A ，A ′的对称轴，点M,N 在a 上，所以AM= A ′M,AN= A ′N 。
∴AM+BM= A ′M+BM= A ′B 在△A ′BN 中， ∵A ′B ＜A ′N+BN ∴AM+BM ＜AN+BN 即AM+BM 最小。 三 几何模型应用： 两条直线间的对称
题目1 如图，在旷野上，一个人骑马从A 出发，他欲将马引到河a1饮水后再到a2饮水，然后返回A 地，问他应该怎样走才能使总路程最短。
点评：这道题学生拿到时往往无从下手。但只要把握轴对称的性质就能迎刃而解了。作法：过点A 作a1的对称点A ′，作a2的对称点A 〞,连接A ′A 〞交a1、a2于B 、C,连接BC.所经过路线如图5： A-B-C-A,所走的总路程为A ′A 〞。
A
C
第1题图
第2题图
三角形中的对称
题目2 如图,在△ABC 中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D 是BC 边上的中点,E 是AB 边上的一动点,则EC+ED 的最小值是 __
点评：本题只要把点C 、D 看成基本题中的Ａ、Ｂ两镇，把线段AB 看成燃气管道a ，问题就可以迎刃而解了，本题只是改变了题目背景，所考察的知识点并没有改变。 四边形中的对称
题目3 如图，正方形ABCD 的边长为8， M 在DC 上，且DM=2,N 是AC 上的动点，则DN+MN 的最小值为多少？
点评：此题也是运用到正方形是轴对称图形这一特殊性质，点D 关于直线AC 的对称点正好是点B ，最小值为MB ＝10。
圆中的对称
题目4 已知：如图，已知点A 是⊙O 上的一个六等分点，点B 是弧AN 的中点，点P 是半径ON 上的动点，若⊙O 的半径长为1，求AP+BP 的最小值。
第4题图
B
第5题图1 点评：这道题也运用了圆的对称性这一特殊性质。点B 的对称点B ′在圆上，AB ′交ON 于点p ′,由∠AON ﹦60°, ∠B ′ON ﹦30°，∠AOB ′﹦90°，半径长为1可得AB ′﹦2。当点P 运动到点p ′时，此时AP+BP 有最小值为2
立体图形中的对称
题目5 如图1是一个没有上盖的圆柱形食品盒，一只蚂蚁在盒外表面的A 处，它想吃到盒内表面对侧中点B 处的食物，已知盒高h ＝10cm ，底面圆的周长为32cm ，A 距离下底面3cm ．请你帮小蚂蚁算一算，为了吃到食物，它爬行的最短路程为 cm ．
点评：如图2，此题是一道立体图形问题需要转化成平面问题来解决，将圆柱的侧面展开得矩形EFGH,作出点B 关于EH 的对称点B ′,作AC ⊥GH 于点C,连接A B ′。在Rt △A B ′C 中，AC ﹦16, B ′C ﹦12,求得A B ′﹦20，则蚂蚁爬行的最短路程为20cm 。
E
F
G
B ′
A C ·B
H 第5题图2
题目6 长方体问题 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
析：展开图如图所示，
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路线1即为所求。
长、宽、高中，较短的两条边的
和作为一条直角边，最长的边作为另一条直角边， 斜边长即为最短路线长。
通过变式训练既解决了一类问题，又归纳出了最本质的东西，以后学生再碰到类似问题时学生就不会不知所措。同时变式训练培养了学生思维的积极性和深刻性，发展了学生的应变能力。
综上所述，引导学生在熟练掌握书本例题、习题的基础上，进行科学的变式训练，对巩固基础、提高能力有着至关重要的作用。更重要的是，变式训练能培养和发展学生的求异思维、发散思维、逆向思维，进而培养学生全方位、多角
度思考问题的能力，有助于提高学生分析问题、解决问题的能力。
四 几何模型的引申问题
1、 已知：如图，A 、B 两点在直线l 的同侧，点A '与A 关于直线l 对称，连结A B '交l 于P 点，若A B '=a ，（1）求AP+PB ；（2）若点M 是直线l 上异于P 点的任意一点，求证：
AM MB AP PB +?+.
2、 已知：A 、B 两点在直线l 的同侧，试分别画出符合条件的点M 。
（1） 在l 上求作一点M ，使得AM BM
-最小；
A '
M
P
A B
l
A
B
l
（2） 在l 上求作一点M ，使得
AM BM
最大；
（3） 在l 上求作一点M ，使得AM+BM 最小。
3、 如图，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，那么点E 、F 是否关于AD 对称？若对称，请说明理由。
A
B
l
B
l
F
E
D
C
A
B
4、 已知：如图，点12,p p 分别是P 点关于∠ABC 的两边BA 、BC 的对称点，连接12p p ，分别交BA 、BC 边于E 、D 点，若12p p =m ，
（1） 求△PDE 的周长；
（2）若M 是BA 边上异于E 的一点，N 是BC 边上异于D 的一点，求证：△PMN 的周长＞△PDE 的周长。
轴对称在本题中的主要作用是将线段在保证长度不变的情况下改变位置，要注意体会轴对称在这方面的应用。以此作为模型我们可以解决下列求最小值的问题。
5. 如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值是________。
P 1
E
D
C P 2
P
M
N
A
B
分析：首先分解此图形，构建如图5模型，因为E 、B 在直线AC 的同侧，要在AC 上找一点P ，使PE+PB 最小，关键是找出点B 或E 关于AC 的对称点。如图6，由菱形的对称性可知点B 和D 关于AC 对称，连结DE ，此时DE 即为PE+PB 的最小值，
图5 图6 由∠BAD=60°，AB=AD ，AE=BE 知，
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DE =?=
故PE+PB 的最小值为
3。
数学新课程标准告诉我们：教师要充分关注学生的学习过程，遵循学生认知规律，合理组织教学内容，建立科学的训练系统。使学生不仅获得数学基础知识、基本技能，更要获得数学思想和观念，形成良好的数学思维品质。同时每年的中考题也千变万化，为了提高学生的应对能力，除了进行专题训练外，还要多归纳多总结，将一类问题集中呈现给学生。