昆明理工大学数值分析考试题
（07）
一．填空（每空3分，共30分）
1． 设A 0.231x =是真值0.229T x =的近似值，则A x 有 位有效数字。
2． 若74()631f x x x x =+++，则017[2,2,...2]f = ，018[2,2,...2]f = 。 3． A=1031??
?
?-??
,则1
A = ；
A ∞
= ；
2
A =
2()cond A = 。
4． 求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是 。
5．设105%x
=±
，则求函数()f x =的相对误差限为 。
6．A=2101202a a ?? ? ? ???
,为使其可分解为T
L L （L 为下三角阵，主对角线元素>0），a 的取值范
围应为 。
7．用最小二乘法拟合三点A(0,1),B(1,3),C(2,2)的直线是 。 （注意：以上填空题答案标明题号答在答题纸上，答在试卷上的不给予评分。）
二．推导与计算
（一）对下表构造f(x)的不超过3次的插值多项式，并建立插值误差公式。（12分）
（二）已知()x x =Φ和()x 'Φ满足∣()x 'Φ-3∣<1。请利用()x Φ构造一个收敛的简单迭代函数()x ψ，使1(),0,1,......k k x x k +=ψ=收敛。（8分）
（三）利用复化梯形公式计算2
1
x I e dx -=?，使其误差限为60.510-?，应将区间[0，1]
等份。（8分）
（四）设A= 1001005a b b a ??????????
，detA ≠0，推导用a ，b 表示解方程组AX=f 的Seidel(G-S) 迭代法收敛的充分必要条件。（10分）
（五）确定节点及系数，建立如下 GAUSS 型求积公式
1
11220
()()dx A f x A f x ≈+?
。（10分）
（六）对微分方程初值问题'00(,)
()y f x y y x y ?=?=?
（１） 用数值积分法推导如下数值算法：
1111(4)3
n n n n n h
y y f f f +-+-=+
++，其中(,)i i i f f x y =，(1,,1)i n n n =-+。（8分）
（２） 试构造形如
1011011(),n n n n n y a y a y h b f b f +--=+++ 的线形二步显格式差分格式，其中111(,),(,)n
n n n n n f f x y f f x y ---==。试确定系数0101,,,a a b b ，使
差分格式的阶尽可能高，写出其局部截断误差主项，并指明方法是多少阶。（14分）
（考试时间2小时30分钟）
（08）
一、填空（每空3分，共30分）
1．若开平方查6位函数表，则当x=30
的误差限为 。 2．若01()1,(1),n n n n f x a x a =+≠则f[x ,x ,...x ]= 。 3．若
332
,01()1(1)(1)(1),132x x S x x a x b x c x ?≤≤?
=?-+-+-+≤≤??是3次样条函数，则 a= ，b= ，c= 。
4．A=1222?? ???
,则‖A ‖1= ；‖A ‖2= ；Cond 2(A)= 。
5．考虑用复化梯形公式计算2
1
0x e dx -?，要使误差小于60.510-?，那么[0，
1]应分为 个子区间。
6．2()(5)x x a x Φ=+-,要使迭代法()x x =Φ
局部收敛到x *=
，即在邻
域1|5|<-x 时，则a 的取值范围是 。
二、计算与推导
1、用追赶法解三对角方程组Ax b =，其中
2100121001210012A -????--?
?=??--??-??，1000b ????
??=??????
。 （12分）
请确定其形如y at b
=+的拟合函数。（13分）
3、确定系数，建立如下 GAUSS 型求积公式
1
11220
()()dx A f x A f x =+?
。（13分）
4、证明用Gauss-seidel 迭代法求解下列方程组
123
302102
142
1
21x x x -???
?
?
???????=????????????-??????
时，对任意的初始向量都收敛；若要求*()410k x x -∞
-，需要迭代几次（推导时请统一取初始迭代向量
(0)(000)T x =）？（13分）
5、试用数值积分法或Taylor 展开法推导求解初值微分问题 '0
(,
),()y f x y y x a ==的如下中点公式： 21
1
2(,
)
n n n n y y h f x y +++=+及其局部截断误差。（14分） 6、试推导(,)b d
a
c
f x y dydx ??
的复化Simpson 数值求积公式。
（5分）
（考试时间2个半小时）
（09）
一、（填空(每空3分,共36分)
1．3232
,01()21,12
x x x S x x bx cx x ?+≤≤=?++-≤≤?是以0，1，2为节点的三次样条函数， 则b= ，c= 。
2．设3()421f x x x =+-，则差商[0,1,2,3]f = ，[0,1,2,3,4]f = 。
3．函数32()3245f x x x x =+-+在[-1，1]上的最佳2次逼近多项式是 ，最佳2次平方逼近多项式是 。 4．1221a A +??
=?
?
??
，当a 满足条件 时，A 可作 LU 分解；当a 满足 条件 时，A 可作 T
A L L =?分解；
5
．111
122221*********
A ??--???
?
--?=????
，则A ∞= ，2()cond A = 。
6．求方程cos x x =根的newton 迭代格式是 。 7．用显式Euler 法求解'
80,(0)1y y y =-=，要使数值计算是稳定的，应使 步长0 二、计算与推导 一、计算函数3 ()sin()f x n x =在* 0.0001x =附近的函数值。当n=100时，试计算在相对误 差意义下* ()f x 的条件数，并估计满足*(())0.1%r f x ε=时自变量的相对误差限和绝对误差限。（12分） 二、有复化梯形，复化simpson 公式求积分 1 x e dx ? 的近似值时，需要有多少个节点，才能 保证近似值具有6位有效数字。（12分） 四、确定求解一阶常微分初值问题的如下多步法 11211 ()(3)()2 n n n n n n y y y y h f f αα+--++--= ++中的α值，使方法是四阶的。（12分） 五、用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合于下列数据（小数点后保留5 六、对下列线性方程组231231232212100.5231 x x x x x x x x --=?? -+-=??--+=? ，（1）构造一定常迭代数值求解公式，并证 明你构造的迭代格式是收敛的；(2)记精确解向量为* X ，若取初始迭代向量(0)(000)T X =, 要使*() 310K X X --≤，请估计需要多少次迭代计算。（14分） （考试时间2个半小时） （10） 一、填空（每空2分，共24分） 1．近似数490.00的有效数字有 位，其相对误差限为 。 2．设74()431f x x x x =+++，则017[2,2,......2]f = ，018[2,2,......2]f = 。 3．设4()2,[1,1]f x x x =∈-，()f x 的三次最佳一致逼近多项式为 。 4．1234A ?? =? ?-?? ，1A = ，A ∞= ，2A = 。 5．210121012A -????=-????-?? ，其条件数2()Cond A = 。 6．2101202A a a ????=?????? ，为使分解T A L L =?成立（L 是对角线元素为正的下三角阵），a 的取 值范围应是 。 7．给定方程组121 122 ,x ax b a ax x b -=??-+=?为实数。当a 满足 且02ω 时，SOR 迭代法收 敛。 8．对于初值问题/ 2 100()2,(0)1y y x x y =--+=，要使用欧拉法求解的数值计算稳定，应限定步长h 的范围是 。 二、推导计算 （15分） （小数点后至少保留5位）。（15分） 3．确定高斯型求积公式 01 1010 ()()(),(0,1)f x d x A f x A f x x x ≈+ ∈? 的节点01,x x 及积分系数01,A A 。（15分） 书内 三、证明 1.在线性方程组AX b =中，111a a A a a a a ?? ??=??????。证明当112 a -时高斯-塞德尔法收敛， 而雅可比法只在11 22a - 时才收敛。（10分） 2.给定初值02 0,x a ≠以及迭代公式 1(2) ,(0,1,2 0 k k k x x a x k a +=-=≠ 证明该迭代公式是二阶收敛的。（7分） 3.试证明线性二步法 212(1)[(3)(31)]4 n n n n n h y b y by b f b f ++++--=+++ 当1b ≠-时，方法是二阶，当1b =-时，方法是三阶的。（14分） （12） 一、填空题（每空2分，共40分） 1．设* 0.231x =是真值0.228x =的近似值，则*x 有 位有效数字，* x 的相对误差限为 。 3. 过点)0,2(),0,1(-和)3,1(的二次拉格朗日插值函数为)(2x L = ， 并 计算=)0(2L 。 4．设 32()3245f x x x x =+-+在 [] 1,1-上的最佳二次逼近多项式 为 ，最佳二次平方逼近多项式为 。 5．高斯求积公式 )()()(1101 0x f A x f A dx x f x +≈? 的系数0A = ， 1A = ，节点0x = ，1x = 。 6．方程组b Ax =，,U L D A --=建立迭代公式f Bx x k k +=+)()1(，写出雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的迭代矩阵，=Jacobi B ， =-Seidel Gauss B 。 7 ．0 0100A ??? =? ???，其条件数2()Cond A = 。 8．设?? ? ???=2113A ， 计算矩阵A 的范数，1||||A = ， 2||||A = 。 9．求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是 。 10．对矩阵??? ? ? ??=513252321A 作LU 分解，其L=________________， U= ________________ 二、计算题（每题10分，共50分） 1. 求一个次数不高于4次的多项式P (x ), 使它满 足:1)1(,0)0(,0)0('===p p p ,1)1(,'=p ,1)2(=p 并写出其余项表达式（要求有推导过程）。 2. 若用复合梯形公式计算积分dx e x ? 1 ，问区间[0, 1]应分成多少等分才能使截断误差不 超过 5102 1 -?? 若改用复合辛普森公式，要达到同样的精度区间[0, 1]应该分成多少等份? 由下表数据，用复合辛普森公式计算该积分的近似值。 3. 线性方程组b Ax =，其中???? ??????=18.04.08.014.04.04.01A ，T b ]3,2,1[=，（1）建立雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的分量形式。（2）问雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法都收敛吗 ? 4. 已知如下实验数据4,,1,0),,( =i y x i i , 用最小二乘法求形如x a a y 10+=的经验公式，并计算最小二乘法的误差。 5. 用改进的欧拉公式(预估-校正方法)，解初值问题 0)0(,10022=+=y y x dx ，取步长,1.0=h 计算到2.0=x （保留到小数点后四位）。 三、证明题（共10分） 1． 如果 A 是对称正定矩阵，则A 可唯一地写成T LL A =，其中L 是具有正对角元的下三角阵。 （考试时间2个半小时） 07答案 填空 1．2 2．6；0 3．4；4； 4．1() 1() n n n n n x f x x x f x +-=-'- 5．n 005.0 6．33<<-a 7．1322 y x = + 一、 推导与计算 （一） 方法1先确定2次插值()(0)[0,1](0)[0,1,2](0)(1)N x f f x f x x =+-+-- 再设该Hermit 插值为3()()(0)(1)(3)H x N x k x x x =+--- 将导数要求代入即可确定k 值（略） 得：323()2631H x x x x =-+-+ {方法2直接设323()H x ax bx cx d =+++ 将插值要求代入得方程组? ?? ???? （略） 解得各待定系数 得323()2631H x x x x =-+-+} 推导余项： 根据条件要求 设余项2 3()()()()(1)(2)R x f x H x K x x x x =-=--构造关于t 的辅助函数 23()()()()(1)(2)t f t H t K x t t t ?=---- 其是充分光滑的，且满足(0)(1)(2)()0,(1)0x ?????'===== 故有4个零点 反复运用Roll 定理，有(4)(4)()()()4f K x ?ξξξ=-?！ （0，2） (4)(4) 2() ()4() ()(1)(2),(0,2)0,1,2 4f K x f R x x x x x ξξξ?= =--?！ 故且依赖于和节点！ （二）()3()31 (()3) 2 x x x x x x x x x ???=-=-=--由可得即 - - 故设1 ()(()3)2 x x x ?ψ=- - 111()31 22 ()n n x x x ?+''ψ= -=ψ因(x)故迭代格式是收敛的 - （三）令2610110 []()10,122n R f h f h n η---''=- ≤?= 其中 解得31.73610.h -? -（略） - 1 578h n n = =将代入取整即得 故需将区间578等分。 （四）G-S 迭代阵2001010010050050G a ab b B b a b ab ?? -??? ? ??=-??????-???? 令2 3det()()0100G ab I B λλλ-=- = 迭代收敛的充要条件是需100 3) (ab B G = ρ 解出既3 100< ab （五）方法101()()()[0,1]x x x x x ω=--设为 则有10 10 ()0()0x dx x dx ?=??? ?=???? 整理得010*******()35 111 ()3 57x x x x x x x x ?-+=-????-+=-?? 解出0111 (3(377 x x = -=+ 又该公式应对()1,f x x =准确成立，代入有 01 001122 3A A A x A x =+???=+?? 解之得01 11A A ? =????=?? - 故可构造出Gauss 积分公式为。。。。。 {方法2直接用代数精度验证法列方程组求解 方程组 每个待定系数 } 积分公式 （六）（1）将' (,)y f x y =两边同时在区间11[,]n n x x -+上积分得 1 1 11()()(,)n n x n n x y x y x f x y dx +-+--=? 右边用积分的Simpson 公式展开得 1 1 (,)n n x x f x y dx +-≈? （略） 将()i y x 用相应数值值i y 代替 既推出公式1111(4)3 n n n n n h y y f f f +-+-=+ ++ （2）方法1因前提是11(),()n n n n y y x y y x --== 故利用Tarlor 公式 24(4) 11()()()()()()234() n n n n n n n h h h y x y x y x h y x y x y x x ξξ++'''''''''=++++ 10110111321011011114411()()((,())(,()))........ ()()()()()()(3)() 23()()43n n n n n n n n n n n y a y x a y x h b f x y x b f x y x a h a a y x a b b hy x b h y x a b y x a h b h y y ?η+---=+++=''''''=++-+++-+-++-！ ！！ 考察局部截断误差111()n n n R y x y +++=-，使 444(4) 4111()()()()443n a h b h h R y y y O h ξ?η+''''''=+-=！！！ 可得 011011 11111 12231 a a a b b a b a b +=??-++=?? ?-=??-+=?? 解之得01011114,5,4,245(42) n n n n n a a b b y y y h f f +--=-====-+++。故所给格式为 444 (4)52()()()443h h h y y y ξ?η''''''+-其局部截断误差的主项为，其是3阶方法。！！！ {方法2直接套课本中公式，但此时 01100110,2,,,02a a b b k ααβββ======而 令01230C C C C ====列方程组 可解出各系数。 4(4)4(4) 8()()3n n h y x h y x = 4其局部截断误差的主项为C ，其是3阶方法。！ （09） 一、填空(每空3分,共36分) 1. b= -2 ，c= 3 。 2. [0,1,2,3]f = 4 ，[0,1,2,3,4]f = 0 . 3. 2724()5P x x x =-+,2911 255()2P x x x =-+ 4. 1a ≠- 5. A ∞= 2 ，2()cond A = 1 6. 1cos 1sin k k k k k x x x x x +-=- + 7. 0 140 。 二、解** * (()) (())() r r r f x Cond f x x εε≈ /33()()tan()xf x n x f x n x == 取n=100,则6* * 10(())170.3tan(100) r x Cond f x ?=≈ 由要求知要求*0.1(())100r f x ε=时 则自变量的相对误差限 ***5 ()(())/(()) 0.57810 r r r x f x Cond f x εε-=≈? 绝对误差限 *** 9 ()()0.57810 r x x x εε-=?≈? 三．解(),0,1x f x e a b === 用复化梯形时，即要求2 // 41 ()()1012 2 n h R f f ξ-=≤ ? 由此解得应取 214 个节点 用复化 Simpson 时,即要求 4 (4 ) 41 ( )( ) 10 1802 2 n b a h R f f ξ - -??=?≤? ??? 由此解得应取9个节点。 四．（该题是课本---清华第4版372页的例题） 正确展开1n T +正确合并同阶项为3项。求出519,()n T O h α+== 五．解 按题意，所求拟合函数应形如2()p x ax bx =+ 其最小二乘拟合误差平方和为3 2 220 ()i i i i ax bx y δ ==+-∑ 为使其达到最小，应令 22 () 0()0 a b δδ??=??????=???。 代入数据后得出3010017.210035455a b a b +=??+=?。解出a,b ，即得所求 拟合函数为2 ()0.949680.112903p x x x =- 。最小二乘拟合误差20.00523δ=或20.0046δ=。 六． （10） 一、填空(每空2分) (1)5 0.005 0.0000102; (2)4 0; (3)2 124 x - (4)6 7 15+; (5)3+; (6)(a ∈; (7)1a ; (8)00.02h 二、推导计算 1.解：(待定参数法):根据节点条件及多项式性质,设所求函数为 ()(0)[0,1](0)[0,1,2](0)(1)(0)(1)(2)H x f f x f x x A x x x =+-+--+--- 代入导数条件,求出A=1 3()1H x x ∴=+ 设余项为2 ()()()()(1)(2)R x f x H x K x x x x =-=-- 当[1,2] x ∈且不同于0,1,2时,构造关于变量t 的函数 2 ()()()()(1)(2)g t f t H t K x t t t =----- 此函数是充分光滑的,且有零点:0,1,2,x(1是2重零点)- 在4个零点的3个区间上反复运用Rolle 定理，可知至少有一倚赖于0，1，2，x 的点ξ，使 (4)(4) (4) () ()()4!()0()4! f g f K x K x ξξξ=-=?= 于是 (4)2() ()()()(1)(2),(0,2)4! f R x f x H x x x x ξξ=-=--∈ [本题H(x)的推出也可以用 [1]重节点的差商表方法；[2]直接设为3次多项式一般式，代入条件建立方程组求出。 2．解：由过原点条件,可知拟合函数形如: 2()y x ax bx =+ 故需按最小二乘法定义来推导。 设最小二乘拟合误差为2 3 2 [()] i i i y x y δ== -∑ 要使其为极小，必需符合 23 2 23 2202()02()0 i i i i i i i i i i ax bx y x a ax bx y x b δδ==??=+-=??????=+-=???∑∑ 可得法方程3010017.210035455a b ?????? =? ??????????? -解之得a=0.94968,b=-0.112903 2()0.949680.112903y x x x =- 2 3 20 [()] 0.0052260.0046i i i y x y δ==-=∑或 3．解：设01()()()x x x x x ω=--为区间[0，1] 的正交多项式， 于是应有 ()0 ()0 x dx x xdx ?=???=??? 积分展开并令0101 ,x x v x x u +==解相应方程组得510,219u v == 由韦达定理，知01,x x 是方程2 1050921 x x -+=的根。 于是可求出010.821162 0.289949 x x =?? =? 再由此积分公式对()1,()f x f x x ==精确成立得 01 00011 2325A A xdx A x A x ?==+????==+???? 解之得010.3891110.277556A A =??=? [本题也可利用Gauss 代数 精度要求展开，直接解一个4元非线性方程组。 三、证明 1．证 A 是一对称阵 我们令其顺序主子式 2 21101a a a ???==-? ? ?? ，32 3det 1230A a a ?==+ - 联立解之得 112 a - 此条件下，A 对称正定，G-S 法收敛。 对Jacbi 法，求出其迭代阵为 000a a J a a a a --????=--????--?? 令2det()()(2)0I J a a λλλ-=-+= 于是可知，当()21J a ρ=，即1 1 2 2 a - 时，雅可比法才收敛。 2．（a ）即1 ()f x a x =-，其牛顿迭代格式为1(2),(0,1,2....,0)k k k x x ax k a +=-=≠ (b)显然，迭代函数为()(2)x x ax ?=- 11()a a ?= 1 ()x a ?∴即是的不动点。 容易求出：///11a a ? ?≠（）=0,()=-2a 0 所以该迭代公式是二阶收敛的 3.证 此方法的局部截断误差 //2(2)(1)()()[(3)(2)(31)()]4 n n n n n n h T y x h b y x h by x b y x h b y x +=++-+--++++ 将其各项函数在n x 处泰勒展开并合并同类项得 3///4(4)52137 (1)()()()()3824 n n n T b h y x b h y x O h +=-+--+-于是，当1b ≠-时 3///4 21(1)()()3n n T b h y x O h +=-++，方法是2阶的； 当1b =-时 4(4)5237 ()()()824 n n T b h y x O h +=-+，方法是3阶的。 （12） 一填空题（每空2分，共40分） 1. 2 0.025或0.0216 2. 3 0 3. )2)(1(2 3 -+- x x ，3 4. 2 754 x x -+ 2119255x x -+ 5. 0.28 0.39 0.29 0.82 6. U L D H U L D H S G J 11)(),(----=+= 7. 1 8. | A ||1 = 3_，2 3 16299||||2++= A 9. 1() 1'() k k k k k x f x x x f x +-=- - 10. ????? ??-=153012001L ，??? ? ? ??--=240041032 1U 二、计算题（每空10分，共50分） 1．求一个次数不高于4次的多项式P (x ),使它满足:P (0) =0，P’(0) =0，P (1) =1，P’(1) =1，P (2) =1，并写出其余项表达式。 解：由题意 P (x ) = x 2(ax 2 + b x + c )，由插值条件得方程组 1 )24(412341 =++=+++=++c b a c b a c b a 求解，得 a =1/4，b= – 3/2 ，c =9/4。所以 )4 9 2341()(22+-=x x x x P 插值余项为)2()1()(! 51)(22) 5(--= x x x f x R ξ 2． 若用复合梯形公式计算积分dx e x ? 1 ，问区间[0, 1]应分成多少等分才能使截断误差不 超过 5102 1 -?？若改用复合辛普森公式，要达到同样的精度区间[0, 1]应该分成多少等分？由下表数据用复合辛普森公式计算该积分。 解：由于x e x f =)(，则x e x f x f ==)()() 4(' '在区间[0,1]上为单调增函数，b-a=1， 设区间分成n 等分，则h=1/n., 故对复合梯形公式，要求 ≤-- =|)(12|)(''2ηf h a b f R T 52102 1 )1(121-?≤e n ，)1,0(∈η 即52 106 ?≥ e n ，85.212≥n ，因此n=213，即将区间[0,1]分成213等分时，用复合梯形计算，截断误差不超过5 102 1-?。 若用复合辛普森公式，则要求 ≤?? ? ??--=|)(2180|)(() 42 ηf h a b f R S 544 1021)1(21801-?≤?e n ，)1,0(∈η 4410144 ?≥ e n ，7066.3≥n ，因此n=4，即将区间[0,1]分成8等分时，用复合梯形计算，截断误差不超过5 1021-?。 = ++=∑-=++1 40 12 14)]()(4)([6)(k k k k x f x f x f h h S 7125.1))()(4)()()(4)((6 5 .0432210=+++++x f x f x f x f x f x f 3. 线性方程组b Ax =，其中???? ??????=18.04.08.014.04.04.01A ，T b ]3,2,1[=，（1）建立Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。（2）问Jacobi 迭代和Gausse-Seidel 迭代法都熟收 敛吗？ 解： （1） Jacobi 迭代法的分量形式 ?????=--=--=--=+++ ,2,1,0,) 8.04.03()8.04.02()4.04.01()(2)(1)1(3 ) (3)(1)1(2 )(3)(2)1(1k x x x x x x x x x k k k k k k k k k ，)0(x 为任意初始值。 Gauss-Seidel 迭代法的分量形式 ?????=--=--=--=++++++ ,2,1,0,) 8.04.03()8.04.02() 4.04.01()1(2)1(1)1(3 ) (3)1(1)1(2 )(3)(2)1(1k x x x x x x x x x k k k k k k k k k ，)0(x 为任意初始值。 (2) Jacobi 迭代法的迭代矩阵 ??? ? ? ??------=+=-08.04.08.004.04.04.00 )(1U L D B J 昆明理工大学工科研究生《数值分析》上机实验 学院：材料科学与工程学院 专业：材料物理与化学 学号：2011230024 姓名: 郑录 任课教师：胡杰 P277-E1 1.已知矩阵A= 10787 7565 86109 75910 ?? ?? ?? ?? ?? ??,B= 23456 44567 03678 00289 00010 ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ,错误！未找到引用源。 = 11/21/31/41/51/6 1/21/31/41/51/61/7 1/31/41/51/61/71/8 1/41/51/61/71/81/9 1/51/61/71/81/91/10 1/61/71/81/91/101/11?????????????????? （1）用MA TLAB函数“eig”求矩阵全部特征值。 （2）用基本QR算法求全部特征值（可用MA TLAB函数“qr”实现矩阵的QR分解）。解：MA TLAB程序如下： 求矩阵A的特征值： clear; A=[10 7 8 7;7 5 6 5;8 6 10 9;7 5 9 10]; E=eig(A) 输出结果： 求矩阵B的特征值： clear; B=[2 3 4 5 6;4 4 5 6 7;0 3 6 7 8;0 0 2 8 9;0 0 0 1 0]; E=eig(B) 输出结果： 求矩阵错误！未找到引用源。的特征值： clear; 错误！未找到引用源。=[1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6; 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7; 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8; 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9;1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10; 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10 1/11]; E=eig(错误！未找到引用源。) 输出结果： （2）A= 10 7877565861097 5 9 10 第一步：A0=hess(A);[Q0,R0]=qr(A0);A1=R0*Q0 返回得到： 第二部：[Q1,R1]=qr(A1);A2=R1*Q1 期末考试试卷（A 卷） 2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、判断题（每小题2分，共10分） 1. 用计算机求 1000 1000 1 1 n n =∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。 （ ） 2. 为了减少误差,进行计算。 （ ） 3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。 （ ） 4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。（ ） 5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有 关，与常数项无关。 （ ） 二、填空题（每空2分，共36分） 1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________. 2. 设1010021,5,1301A x -????????=-=-????????-???? 则1A =_____，2x =______，Ax ∞ =_____. 3. 已知5 3 ()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= . 4. 为使求积公式 1 1231 ()()(0)33 f x dx A f A f A f -≈- ++? 的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。 5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 . 6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1) ()(0,1,2,)k k X MX N k +=+=产 生的向量序列{ }() k X 收敛的充分必要条件是 . 7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩 注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考北师大网络教育——数值分析——期末考试卷与答案 一．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。 2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。 3.设110111011A -????=--????-??，233x ?? ??=?? ???? ，则1A ＝ ，1x = 。 4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。 二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？ 2. 什么是不动点迭代法？()x ?满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ?的不动点？ 3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥ ，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。 三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件： i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y ' 3 并估计误差。（10分） 四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1 01 1I dx x =+? 。（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组： 注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 12325610413191963630 x x x -?????? ??????-=?????? ??????----?????? （10分） 七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组1231231 23202324 812231530 x x x x x x x x x ++=?? ++=??-+=? 的迭代格式，并 判断其是否收敛？（10分） 八．就初值问题0(0)y y y y λ'=??=?考察欧拉显式格式的收敛性。（10分） 昆理工大校教字…2014?47号 昆明理工大学研究生学业奖学金 评选及管理办法（试行） 第一章总则 第一条为激励研究生勤奋学习、潜心科研、勇于创新、积极进取，在全面实行研究生教育收费制度的情况下更好地支持研究生顺利完成学业，根据?财政部国家发展改革委教育部关于完善研究生教育投入机制的意见?（财教…2013?19号）、?财政部教育部关于印发?研究生学业奖学金管理暂行办法?的通知?（财教…2013?219 号）及?云南省财政厅云南省教育厅关于印发云南省研究生学业奖学金助学金管理三个暂行办法的通知?（云财教…2013?369 号）文件精神，结合我校实际情况，制定本办法。 第二条本办法所称研究生是指我校纳入全省研究生招生计划的全日制博士、硕士研究生。获得奖励的研究生须具有中华人民共和国国籍。 第三条研究生学业奖学金评定按照公平、公正、公开的原则，根据研究生的学业表现逐年评定，实行动态管理。 第四条学校可根据经费筹措情况、收费标准、学业成绩、科研成果、社会服务等因素，对研究生学业奖学金的等级、标准及覆盖面做动态调整。 第二章参评条件及资格 第五条昆明理工大学研究生学业奖学金适用于2014级及以后入学，学制内在籍在读的全日制博士、硕士研究生。单独命题考试录取考生、破格录取考生及享受少数民族照顾政策录取考生不参与新生硕士研究生学业奖学金评选。 第六条参评研究生学业奖学金的基本条件： 1．热爱社会主义祖国，拥护中国共产党的领导； 2．遵守宪法和法律，遵守高等学校规章制度； 3．诚实守信，道德品质优良； 4．积极参与科学研究和社会实践。 第七条硕博连读学生根据当年所修课程的层次阶段确定身份参与学业奖学金的申报。在修读硕士课程阶段按照硕士研究生身份申报学业奖学金；进入修读博士研究生课程阶段按照博士研究生身份申报学业奖学金。 第八条有以下情形之一的，不具有研究生学业奖学金获奖资格： 1.违反国家法律法规者； 2.在提交的申请资料中，提供不实信息或隐瞒不利信息者； 3.考试作弊者； 昆明理工大学—数值分析各年考试题及答 案 昆明理工大学数值分析考试题 （07） 一．填空（每空3分，共30分） 1．设A 0.231 x =是真值 0.229 T x =的近似值，则 A x 有 位有效数字。 2．若74()631f x x x x =+++，则017[2,2,...2]f = ，018[2,2,...2]f = 。 3．A=1031????-?? ,则1A = ；A ∞= ；2A = 2()cond A = 。 4．求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是 。 5．设105%x =± ，则求函数()f x = 。 6．A=2101202a a ?? ? ? ??? ,为使其可分解为T L L g （L 为下三角阵，主对角线元素>0）， a 的取值范围应为 。 7．用最小二乘法拟合三点A(0,1),B(1,3),C(2,2)的直线是 。 （注意：以上填空题答案标明题号答在答题纸上，答在试卷上的不给予评分。） 二．推导与计算 （一）对下表构造f(x)的不超过3次的插值多项式，并建立插值误差公式。（12分） （二）已知()x x =Φ和()x 'Φ满足∣()x 'Φ-3∣<1。请利用()x Φ构造一个收敛的简单迭代函数()x ψ，使1(),0,1,......k k x x k +=ψ=收敛。（8分） （三）利用复化梯形公式计算2 1 0x I e dx -=?，使其误差限为60.510-?，应将区间 [0，1] 等份。 （8分） （四）设A= 1001005a b b a ?? ???? ???? ，detA ≠0，推导用a ，b 表示解方程组AX=f 的Seidel(G-S) 迭代法收敛的充分必要条件。（10分） （五）确定节点及系数，建立如下 GAUSS 型求积公式 1 11220 ()()A f x A f x ≈+? 。（10分） （六）对微分方程初值问题'00(,) ()y f x y y x y ?=?=? （１）用数值积分法推导如下数值算法：1111(4)3 n n n n n h y y f f f +-+-=+++， 其中(,)i i i f f x y =，(1,,1)i n n n =-+。（8分） （２）试构造形如 1011011(),n n n n n y a y a y h b f b f +--=+++ 的线形二步显格式差 分格式，其中111(,),(,)n n n n n n f f x y f f x y ---==。试确定系数 0101,,,a a b b ，使差分格式的阶尽可能高，写出其局部截断误差主项，并 指明方法是多少阶。（14分） 数值分析期末考试复习题及其答案 1. 已知325413.0,325413* 2* 1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知,n=6 5.01021 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620* 21021,6,0,10325413.0-?=-=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?????=001A 220 - ???? ?440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=001A A T 420 ?? ?? ? -420?????001 220 - ?????440=?????001 080 ???? ?3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A 3. 设3 2 )()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的Newton 迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （k=0,1……）产生的序列{}k x 收敛于2 解： ①Newton 迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组Ax=b ，其中：? ??=1 3A ??? 22，??????-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（k=0,1……）求解Ax=b ，问取什么实数α，可使迭代收 敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --? ??--=-=ααααα21231A I B 2分 其特征方程为 0) 21(2)31(=----= -αλα ααλλB I 2分 即，解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意，须使1)( 昆明理工大学教务处 昆理工大教务办字…2014?78号 关于做好昆明理工大学2015年推荐优秀 应届本科毕业生免试攻读研究生工作的通知 各学院： 根据《教育部办公厅关于进一步完善推荐优秀应届本科毕业生免试攻读研究生工作的通知》（教学厅…2014?5号）、《关于下达2015年推荐优秀应届本科毕业生免试攻读研究生名额的通知》（教学司…2014?号）等文件精神和我校2015年所获得的推免总名额情况，现将推免名额的分配及相关要求通知如下。请各学院根据《昆明理工大学推荐优秀应届本科毕业生免试攻读硕士学位研究生实施办法（修订）》（昆理工大校教字…2010?34号）、《昆明理工大学优秀应届本科毕业生免试攻读研究生推荐工作的补充规定（试行）》（昆理工大教务办字…2014?71号）等文件及本通知的相关要求，认真做好推荐工作。 一、我校推荐名额的分配 根据教育部高校学生司文件精神，2015年下达的推免生 名额不再区分学术学位和专业学位，今年我校共获得推免名额220个。经学校推免生遴选工作领导小组研究确定，留出复合型人才推荐名额20个，另外根据《昆明理工大学推荐优秀应届本科毕业生免试攻读硕士学位研究生实施办法》的相关规定，分配2个作为国家重点学科点推荐名额，分配8个作为一级学科博士点推荐名额，余下可分配的推荐名额共190个。 根据研究生院提供的各学院学位点数和教务处、城市学院提供的各学院2015届毕业生数，按下列办法计算确定各学院的推免生名额： 1、学位点基数名额：以可分配的推免名额190的50%即95为分子，以研究生院认定并经学校推免生遴选工作领导小组确定的全校学位点总数205个为分母，计算出每个学位点应得的份额，再乘以各学院的学位点总数，并执行“四舍五入”的原则，小数点后保留两位，得出各学院的学位点基数名额。 2、应届本科毕业生基数名额：以余下推免名额95为分子，以全校2015届本科毕业生总数6977为分母，计算出每个本科毕业生应得的份额，再乘以各学院本科毕业生总数，并执行“四舍五入”的原则，小数点后保留两位，得到各学院的应届本科毕业生基数名额。 3、各学院总名额＝（学位点基数名额+应届本科毕业生基数名额）“四舍五入”取整。（“四舍五入”取整后总名额超出或不足时将进行适当调整。） 据此，各学院推免生名额分配如下： 070102 计算数学 计算数学也叫做数值计算方法或数值分析。主要内容包括代数方程、线性代数方程组、微分方程的数值数值逼近问题，矩阵特征值的求法，最优化计算问题，概率统计计算问题等等，还包括解的存在性、唯一性差分析等理论问题。我们知道五次及五次以上的代数方程不存在求根公式，因此，要求出五次以上的高次代一般只能求它的近似解，求近似解的方法就是数值分析的方法。对于一般的超越方程，如对数方程、三角方采用数值分析的办法。怎样找出比较简洁、误差比较小、花费时间比较少的计算方法是数值分析的主要课题的办法中，常用的办法之一是迭代法，也叫做逐次逼近法。迭代法的计算是比较简单的，是比较容易进行的以用来求解线性方程组的解。求方程组的近似解也要选择适当的迭代公式，使得收敛速度快，近似误差小。 在线性代数方程组的解法中，常用的有塞德尔迭代法、共轭斜量法、超松弛迭代法等等。此外，一些比消去法，如高斯法、追赶法等等，在利用计算机的条件下也可以得到广泛的应用。在计算方法中，数值逼近本方法。数值逼近也叫近似代替，就是用简单的函数去代替比较复杂的函数，或者代替不能用解析表达式表值逼近的基本方法是插值法。 初等数学里的三角函数表，对数表中的修正值，就是根据插值法制成的。在遇到求微分和积分的时候，的函数去近似代替所给的函数，以便容易求到和求积分，也是计算方法的一个主要内容。微分方程的数值解法。常微分方程的数值解法由欧拉法、预测校正法等。偏微分方程的初值问题或边值问题，目前常用的是有限元素法等。有限差分法的基本思想是用离散的、只含有限个未知数的差分方程去代替连续变量的微分方程求出差分方程的解法作为求偏微分方程的近似解。有限元素法是近代才发展起来的，它是以变分原理和剖分的方法。在解决椭圆形方程边值问题上得到了广泛的应用。目前，有许多人正在研究用有限元素法来解双曲方程。计算数学的内容十分丰富，它在科学技术中正发挥着越来越大的作用。 排名学校名称等级 1 北京大学A+ 2 浙江大学 A+ 3 吉林大学A+ 4 大连理工大学A+ 5 西安交通大学A 北京大学：http:https://www.doczj.com/doc/0a16218650.html,/NewsSpecialDetailsInfo.aspx?SID=4 浙江大学：http:https://www.doczj.com/doc/0a16218650.html,/NewsSpecialDetailsInfo.aspx?SID=21847 吉林大学：http:https://www.doczj.com/doc/0a16218650.html,/NewsSpecialDetailsInfo.aspx?SID=5506 大连理工大学：http:https://www.doczj.com/doc/0a16218650.html,/NewsSpecialDetailsInfo.aspx?SID=4388 西安交通大学：http:https://www.doczj.com/doc/0a16218650.html,/NewsSpecialDetailsInfo.aspx?SID=18285 昆理工大校字…2009?95号 昆明理工大学关于印发 《科研项目分类与认定办法（试行）》的通知 各院、部、处、室、馆、中心及直属部门： 《昆明理工大学科研项目分类与认定办法》（试行）已经2009年11月11日第十七次校长办公会研究通过。现印发给你们，请认真遵照执行。 二○○九年十一月十六日 昆明理工大学 科研项目分类与认定办法（试行） 第一章总则 第一条为充分发挥科研在支撑学校学科建设和高水平大学建设中的重要作用，统一我校科研项目类别，规范科研项目管理，为全校教职工的学术业绩量化提供科学依据，特制定本办法。 第二条本办法适用于学校科研项目的分类、认定、定级与管理。依据本办法规范和认定的科研项目，作为学校与学院专业技术人员绩效考核、人才培养与学科建设、研究生导师评聘等的重要依据。 第二章科研项目的定义与分类 第三条本办法所称科研项目，是指以学校名义承担、经学校科技处认定、由学校教职工负责的基础研究、应用研究、技术开发及转让、咨询服务等自然科学与人文社会科学领域的各类政府科技计划、企事业单位委托项目和国际组织资助项目。 第四条本办法将科研项目按项目来源、技术难度和研究经费，分为“国家级（A级）”、“省部级（B级）”、“地厅级（C级）”三个级别，每一个级别又分为“重大”、“重点”和“一般”三种类型（A1-A3、B1-B3、C1-C3）。未进入上述三级九类的项目，为其它项目（D类）。 第五条国家级（A级）科研项目包括：国家重点基础研究发展计划（973）项目，国家高新技术研究发展计划（863）项目，国家科技支撑计划项目，国际合作等科技部其它项目，国家发改委高技术产业化项目、重大产业技术开发项目，国家自然科学基金（NSFC）各类项目，国家社会科学基金项目，国家其它部委（局）项目；联合国及国际组织资助项目，企业重大科技攻关项目与重大技术转移项目；国家自然科学基金创新研究群体科学基金项目、杰出青年基金项目，教育部人才项目（长江学者和创新团队发展计划、新世纪优秀人才支持计划、全国优秀博士学位论文作者专项资金），云南省高端科技人才引进项目；国家实验室，国家重点实验室，国家工程研究中心，国家工程实验室，国家工程技术研究中心等。 第六条省部级（B级）科研项目包括：教育部各类项目，国家其他部委（局）和行业协会项目，司法部国家法治与法学理论研究项目；省应用基础研究计划项目，省科技创新强省计划项目（工业与高新、农业、国际合作、省校合作）、重点新产品开发计划和社会事业发展专项计划项目，省发改委高新技术产业化项目、重大产业技术开发项目，省哲学社会科学规划课题，其他厅局科技专项项目；联合国及外国政府国际基金资助项目，企事业单位委托项目，校企业预研基金项目；省创新人才团队项目，省人才引培工程项目（中青年学术和技术带头人后备人才、技术创新后备人才项目）；校高端人才引进计划项目，校创新团队项目等。教育部工程技术研究中心、教育部重点实验室，省发改委工程中心，省科技厅重点实验室、工程技术研究中心项目，昆明市重点实验 昆明理工大学数值分析考试题 （07） 一．填空（每空3分，共30分） 1． 设A 0.231x =是真值0.229T x =的近似值，则A x 有 位有效数字。 2． 若74()631f x x x x =+++，则017[2,2,...2]f = ，018[2,2,...2]f = 。 3． A=1031?? ? ?-?? ,则1 A = ； A ∞ = ； 2 A = 2()cond A = 。 4． 求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是 。 5．设105%x =± ，则求函数()f x =的相对误差限为 。 6．A=2101202a a ?? ? ? ??? ,为使其可分解为T L L （L 为下三角阵，主对角线元素>0），a 的取值范 围应为 。 7．用最小二乘法拟合三点A(0,1),B(1,3),C(2,2)的直线是 。 （注意：以上填空题答案标明题号答在答题纸上，答在试卷上的不给予评分。） 二．推导与计算 （一）对下表构造f(x)的不超过3次的插值多项式，并建立插值误差公式。（12分） （二）已知()x x =Φ和()x 'Φ满足∣()x 'Φ-3∣<1。请利用()x Φ构造一个收敛的简单迭代函数()x ψ，使1(),0,1,......k k x x k +=ψ=收敛。（8分） （三）利用复化梯形公式计算2 1 x I e dx -=?，使其误差限为60.510-?，应将区间[0，1] 等份。（8分） （四）设A= 1001005a b b a ?????????? ，detA ≠0，推导用a ，b 表示解方程组AX=f 的Seidel(G-S) 迭代法收敛的充分必要条件。（10分） （五）确定节点及系数，建立如下 GAUSS 型求积公式 1 11220 ()()dx A f x A f x ≈+? 。（10分） （六）对微分方程初值问题'00(,) ()y f x y y x y ?=?=? （１） 用数值积分法推导如下数值算法： 1111(4)3 n n n n n h y y f f f +-+-=+ ++，其中(,)i i i f f x y =，(1,,1)i n n n =-+。（8分） （２） 试构造形如 1011011(),n n n n n y a y a y h b f b f +--=+++ 的线形二步显格式差分格式，其中111(,),(,)n n n n n n f f x y f f x y ---==。试确定系数0101,,,a a b b ，使 差分格式的阶尽可能高，写出其局部截断误差主项，并指明方法是多少阶。（14分） （考试时间2小时30分钟） 昆明理工大学文件 昆理工大校教字〔2012〕20号 昆明理工大学关于印发 《大学生创新创业训练计划项目管理 办法（试行）》的通知 各院、部、处、室、馆、中心及直属部门： 《昆明理工大学大学生创新创业训练计划项目管理办法（试行）》已经学校2012年第六次校长办公会研究通过，现印发给你们，请遵照执行。 二O—二年五月八日 昆明理工大学 大学生创新创业训练计划项目管理办法（试行） 第一章总则 第一条根据《教育部财政部关于“十二五”期间实施“高等学校本科教学质量与教学改革工程”的意见》（教高函〔2011 〕6 号）和《云南省教育厅转发教育部关于做好“本科教学工程” 国家级大学生创新创业训练计划实施工作的通知》（云教函〔2012 〕84 号）精神，“十二五”期间，教育部实施国家级大学生创新创业训练计划。国家级大学生创新创业训练计划是“十一五”期间实施“高等学校本科教学质量与教学改革工程”中“国家大学生创新性实验计划” 工作的延续与深化。为进一步深入实施我校“大学生创新创业训练计划”项目（以下简称创新项目），构建创新人才培养体系，加强大学生自主创新兴趣和能力培养，特制定本管理办法。 第二条国家级大学生创新创业训练计划包括创新训练计划项目、创业训练项目和创业实践项目三类。参与创新训练项目的学生，在导师指导下，自主完成创新性研究项目设计、研究条件的准备和项目的实施、数据处理与分析、报告撰写、成果（学术）交流等工作。参与创业训练项目的学生团队在导师指导下，通过编制商业计划书、开展可行性研究、模拟企业运行，进行一定程度的验证试验，撰写创业报告等工作，团队中的每个学生在项目实施过程中承担一项或多项具体的任务。参与创业实践项目的学生团队在学校导师和企业导师的共同指导下，采取前期创新训练项目（或创新性实验）的结果，提出一项具有市场前景的创新性产品或者服务，以此为基础开展创业实践活动。 数值分析模拟试卷1 一、填空（共30分，每空3分） 1 设??? ? ??-=1511A ，则A 的谱半径=)(a ρ______，A 的条件数=________. 2 设 ,2,1,0,,53)(2==+=k kh x x x f k ，则],,[21++n n n x x x f ＝________, ],,[321+++n n n n x x x x f ，＝________. 3 设?????≤≤-++≤≤+=2 1,121 0,)(2 323x cx bx x x x x x S ，是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=________,c=________. 4 设∞=0)]([k k x q 是区间［0，1］上权函数为x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，则 ?=1 )(dx x xq k ________，=)(2 x q ________. 5 设???? ??????=11001a a a a A ，当∈a ________时，必有分解式，其中L 为下三角阵，当 其对角线元素)3,2,1(=i L ii 满足条件________时，这种分解是唯一的. 二、（14分）设4 9,1,41,)(2102 3 === =x x x x x f , （1）试求)(x f 在]4 9,41[上的三次Hermite 插值多项式)(x H 使满足 2,1,0),()(==i x f x H i i ，)()(11x f x H '='. （2）写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式. 三、（14分）设有解方程0cos 2312=+-x x 的迭代公式为n n x x cos 3 2 41+ =+， （1） 证明R x ∈?0均有? ∞ →=x x n x lim （? x 为方程的根）； （2） 取40=x ，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值； （3）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论. 四、(16分) 试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式 有尽可能高的代数精度. 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？ 昆理工大校字〔2009〕95号 昆明理工大学关于印发 《科研项目分类与认定办法（试行）》的通知 各院、部、处、室、馆、中心及直属部门： 《昆明理工大学科研项目分类与认定办法》（试行）已经2009年11月11日第十七次校长办公会研究通过。现印发给你们，请认真遵照执行。 二○○九年十一月十六日 昆明理工大学 科研项目分类与认定办法（试行） 第一章总则 第一条为充分发挥科研在支撑学校学科建设和高水平大学建设中的重要作用，统一我校科研项目类别，规范科研项目管理，为全校教职工的学术业绩量化提供科学依据，特制定本办法。 第二条本办法适用于学校科研项目的分类、认定、定级与管理。依据本办法规范和认定的科研项目，作为学校与学院专业技术人员绩效考核、人才培养与学科建设、研究生导师评聘等的重要依据。 第二章科研项目的定义与分类 第三条本办法所称科研项目，是指以学校名义承担、经学校科技处认定、由学校教职工负责的基础研究、应用研究、技术开发及转让、咨询服务等自然科学与人文社会科学领域的各类政府科技计划、企事业单位委托 项目和国际组织资助项目。 第四条本办法将科研项目按项目来源、技术难度和研究经费，分为“国家级（A级）”、“省部级（B级）”、“地厅级（C级）”三个级别，每一个级别又分为“重大”、“重点”和“一般”三种类型（A1-A3、B1-B3、C1-C3）。未进入上述三级九类的项目，为其它项目（D类）。 第五条国家级（A级）科研项目包括：国家重点基础研究发展计划（973）项目，国家高新技术研究发展计划（863）项目，国家科技支撑计划项目，国际合作等科技部其它项目，国家发改委高技术产业化项目、重大产业技术开发项目，国家自然科学基金（NSFC）各类项目，国家社会科学基金项目，国家其它部委（局）项目；联合国及国际组织资助项目，企业重大科技攻关项目与重大技术转移项目；国家自然科学基金创新研究群体科学基金项目、杰出青年基金项目，教育部人才项目（长江学者和创新团队发展计划、新世纪优秀人才支持计划、全国优秀博士学位论文作者专项资金），云南省高端科技人才引进项目；国家实验室，国家重点实验室，国家工程研究中心，国家工程实验室，国家工程技术研究中心等。 第六条省部级（B级）科研项目包括：教育部各类项目，国家其他部委（局）和行业协会项目，司法部国家法治与法学理论研究项目；省应用基础研究计划项目，省科技创新强省计划项目（工业与高新、农业、国际合作、省校合作）、重点新产品开发计划和社会事业发展专项计划项目，省发改委高新技术产业化项目、重大产业技术开发项目，省哲学社会科学规划课题，其他厅局科技专项项目；联合国及外国政府国际基金资助项目，企事业单位委托项目，校企业预研基金项目；省创新人才团队项目，省人才引培工程项目（中青年学术和技术带头人后备人才、技术创新后备人才项目）；校高端人才引进计划项目，校创新团队项目等。教育部工程技术研究中心、教育部重点实验室，省发改委工程中心，省科技厅重点实验室、工程技术研究中心项目，昆明市重点实验室、工程中心项目，校企科技合作平台项目等。 昆明理工大学2010级硕士研究生考试试卷 （注：考试时间150分钟；所有答案，包括填空题答案一律答在答题纸上，否则不予记分。） 一、 填空（每空2分，共24分） 1．近似数490.00的有效数字有 位，其相对误差限为 。 2．设7 4 ()431f x x x x =+++，则017[2,2,......2]f = ，018 [2,2,......2]f = 。 3．设4()2,[1,1]f x x x =∈-，()f x 的三次最佳一致逼近多项式为 。 4．1234A ??=??-??，1A = ，A ∞= ，2A = 。 5．210121012A -????=-????-?? ，其条件数2()Cond A = 。 6．2101202A a a ????=?????? ，为使分解T A L L =?成立（L 是对角线元素为正的下三角阵），a 的取 值范围应是 。 7．给定方程组121 122 ,x ax b a ax x b -=?? -+=?为实数。当a 满足 且02ω 时，SOR 迭代法收敛。 8．对于初值问题/ 2 100()2,(0)1y y x x y =--+=，要使用欧拉法求解的数值计算稳定，应限定步长h 的范围是 。 二、 推导计算 （15分） （小数点后至少保留5位）。（15分） 3．确定高斯型求积公式 01 1010 ()()(),(0,1)f x d x A f x A f x x x ≈+ ∈? 的节点01,x x 及积分系数01,A A 。（15分） 三、 证明 1． 在线性方程组AX b =中，111a a A a a a a ?? ??=?????? 。证明当112a - 时高斯-塞德尔法 收敛，而雅可比法只在11 22 a - 时才收敛。 （10分） 2． 给定初值02 0, x a ≠以及迭代公式 1(2) ,(0,1,2...., 0) k k k x x a x k a +=-=≠ 证明该迭代公式是二阶收敛的。（7分） 3． 试证明线性二步法 212(1)[(3)(31)]4 n n n n n h y b y by b f b f ++++--=+++ 当1b ≠-时，方法是二阶，当1b =-时，方法是三阶的。（14分） 数值分析2006 — 2007学年第学期考试 课程名称：计算方法 A 卷 考试方式：开卷[] 闭卷[V ] 半开卷[] IV 类 充要条件是a 满足 二、（18分）已知函数表如下 1?设 f(0) = 0, f (1) =16 , f( 2) =46，则 f [0,1]= ,f[0,1,2]二 2 ?设 AJ <2 -3 -1 ，则X ，A := A 1 1 j — 3 ?计算积分 xdx ，取4位有效数字。用梯形公式求得的近似值为 "0.5 （辛普森）公式求得的近似值为 ，用 Spsn 4?设f （x ）二xe x -3，求方程f （x ） =0近似根的牛顿迭代公式是 ，它的收 敛阶是 5 ?要使求积公式 1 1 [f (x)dx 拓一(0) + A , f (x 1)具有2次代数精度，则 捲= _________________ , 0 4 6 ?求解线性方程组 x 1 ax 2 = 4 , 12_3 （其中a 为实数）的高斯一赛德尔迭代格式收敛的 10 11 12 13 In x 2.3026 2.3979 2.4849 2.5649 三、(20分)构造如下插值型求积公式，确定其中的待定系数，使其代数精度尽可能高, 并指出所得公式的代数精度。 2 f (x)dx ： A o f (0) A f (1) A2f(2) o X 2 4 6 8 y 2 11 28 40 五、（14分）为求方程X ’ -X 2 -1 =0在X o =1.5附近的一个根，将方程改写为下列等价 形式，并建立相应的迭代公式: 试问上述两种迭代公式在 x 0 =1.5附近都收敛吗？为什么？说明理由。 （1）X =1 ?丄，迭代公式 X 1 X k 1 = 1 - X k （2） X 2二1 ，迭代公式 X —1 2 （X k ）； X k 1 数值分析期末试题 一、填空题（20102=?分） （1)设??? ? ? ??? ??---=28 3 012 251A ，则=∞ A ______13_______。 （2)对于方程组?? ?=-=-3 4101522121x x x x ，Jacobi 迭代法的迭代矩阵是=J B ?? ? ? ??05.25.20。 （3)3*x 的相对误差约是*x 的相对误差的 3 1倍。 （4）求方程)(x f x =根的牛顿迭代公式是) ('1)(1n n n n n x f x f x x x +-- =+。 （5）设1)(3 -+=x x x f ，则差商=]3,2,1,0[f 1 。 （6）设n n ?矩阵G 的特征值是n λλλ,,,21 ，则矩阵G 的谱半径=)(G ρi n i λ≤≤1max 。 （7）已知?? ? ? ??=1021 A ，则条件数=∞ )(A Cond 9 （8）为了提高数值计算精度，当正数x 充分大时,应将)1ln(2 -- x x 改写为 )1ln(2 ++ -x x 。 （9）n 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为1-n 次。 （10）拟合三点))(,(11x f x ，))(,(22x f x ，))(,(33x f x 的水平直线是)(3 1 3 1 ∑== i i x f y 。 二、（10分）证明：方程组? ?? ??=-+=++=+-1 211 2321321321x x x x x x x x x 使用Jacobi 迭代法求解不收敛性。 证明：Jacobi 迭代法的迭代矩阵为 ???? ? ?????---=05 .05 .01015.05.00J B J B 的特征多项式为 昆明理工大学文件 昆理工大校字〔2017〕65号 昆明理工大学关于印发科技计划（专项）项目经费管理实施细则的通知 各院、部、处、室、馆、中心及直属部门： 《昆明理工大学科技计划（专项）项目经费管理实施细则》已经学校研究通过，现印发给你们，请遵照执行。 2017年5月16日 昆明理工大学科技计划（专项）项目 经费管理实施细则 第一条根据学校制定的科研项目经费管理办法，为规范科技计划（专项）项目经费的预算管理，充分发挥资金的使用效力，特制定此实施细则。 第二条本实施细则所称科技计划项目指国家及地方批准设立的各级各类科技计划项目（含科技平台、团队建设、等项目），科技计划项目应具备项目申请书、计划任务（合同）书、经费预算书。科技专项项目指国家及地方各级政府部门及事业单位委托的专项科研项目。 第三条科技计划（专项）项目经费限于开展项目研究工作使用，分直接费用、间接费用。具体开支按照预算执行。 第四条在预算开支范围内，材料费报销须附供货单位盖章的明细清单，明确材料采购数量、采购价格等，总价超过1.5万元（含1.5万元）以上的材料采购须提供采购合同，总价低于10万元（含10万元）的材料采购合同可由基层学院签订，总价高于10万元的采购合同由实验室管理处或科技处签订。 第五条差旅费的开支标准原则上按国家有关规定和《昆明理工大学差旅费管理办法》执行。 一般情况下，应选择公共交通工具出行，不得自驾车辆出差；受地理环境和当地条件必须租车前往的，报销时须提供租车合同。对于租车所引起的安全事故等一切责任问题，由项目负责人、出差人员以及车辆租赁单位，依据车辆租用合同（协议）相关内容共同承担。 2019年云南昆明理工大学数值分析考研真题 一、判断题：（10题，每题2分，合计20分） 1. 有一种广为流传的观点认为，现代计算机是无所不能的，数学家们已经摆脱了与问题的数值解有关的麻烦，研究新的求解方法已经不再重要了。 （ ） 2. 问题求解的方法越多，越难从中作出合适的选择。 （ ） 3. 我国南宋数学家秦九韶提出的多项式嵌套算法比西方早500多年，该算法能大大减少运算次数。 （ ） 4. 误差的定量分析是一个困难的问题。 （ ） 5. 无论问题是否病态，只要算法稳定都得到好的近似值。 （ ） 6. 高斯求积公式系数都是正数，故计算总是稳定的。 （ ） 7. 求Ax =b 的最速下降法是收敛最快的方法。 （ ） 8. 非线性方程（或方程组）的解通常不唯一。 （ ） 9. 牛顿法是不动点迭代的一个特例。 （ ） 10. 实矩阵的特征值一定是实的。 （ ） 二、填空题：（10题，每题4分，合计40分） 1. 对于定积分105n n x I dx x = +?，采用递推关系115n n I I n -=-对数值稳定性而言是 。 2. 用二分法求方程()55 4.2720f x x x ≡-+=在区间[1 , 1.3]上的根，要使误差不超过10 - 5，二分次数k 至少为 。 3. 已知方程()x x ?=中的函数()x ?满足()31x ?'-<，利用()x ?递推关系构造一个收敛的简单迭代函数()x φ= ，使迭代格式()1k k x x φ+=(k = 0 , 1 , …)收敛。 4. 设序列{}k x 收敛于*x ，*k k e x x =-，当12 lim 0k k k e c e +→∞=≠时，该序列是 收敛的。 一、（8分）用列主元素消去法解下列方程组： ??? ??=++-=+--=+-11 2123454 321321321x x x x x x x x x 二、（10分）依据下列数据构造插值多项式：y(0)=1,y(1)= —2,y '(0)=1, y '(1)=—4 三、（12分）分别用梯形公式和辛普生公式构造 复化的梯形公式、复化的辛普生公式并利用复化的梯形公式、复化的辛普生公式计算下列积分： ? 9 1dx x n=4 四、（10分）证明对任意参数t ，下列龙格－库塔方法是二阶的。 五、（14分）用牛顿法构造求c 公式，并利用牛顿法求115。保留有效数字五位。 六、（10分）方程组AX=B 其中A=????????? ?10101a a a a 试就AX=B 建立雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法，并讨论a 取何值时 迭代收斂。 七、（10分）试确定常数A,B,C,a,使得数值积分公式?-++-≈2 2 ) (}0{)()(a Cf Bf a Af dx x f 有尽可能多的 代数精确度。并求该公式的代数精确度。 八、{6分} 证明： A ≤ 其中A 为矩阵，V 为向量. 第二套 一、（8分）用列主元素消去法解下列方程组： ??? ??=++=+-=+3 2221 43321 32132x x x x x x x x 二、（12分）依据下列数据构造插值多项式：y(0)=y '(0)=0, y(1)=y '(1)= 1,y(2)=1 三、（14分）分别用梯形公式和辛普生公式构造 复化的梯形公式、复化的辛普生公式,并利用复化的梯形公式、 复化的辛普生公式及其下表计算下列积分： ?2 /0 sin πxdx ????? ? ? -+-+=++==++=+1 3121231)1(,)1(() ,(),()(2 hk t y h t x f k thk y th x f k y x f k k k h y y n n n n n n n n数值分析上机作业
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