§3.3.1二元一次不等式（组）与
平面区域（1）
学习目标
1．了解二元一次不等式的几何意义和什么是边界，会用二元一次不等式组表示平面区域； 2．经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力.
学习过程
一、课前准备
复习1：一元二次不等式的定义_______________二元一次不等式定义________________________二元一次不等式组的定义_____________________
复习2：解下列不等式：
（1）210x -+>； （2）22320
41590
x x x x ?+-≥??-+>?? .
二、新课导学 ※ 学习探究
探究1：一元一次不等式（组）的解集可以表示为数轴上的区间，例如，30
40x x +>??-
为 . 那么，在直角坐标系，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形呢？
探究2：你能研究：二元一次不等式6x y -<的解集所表示的图形吗？（怎样分析和定边界？）
从特殊到一般：
先研究具体的二元一次不等式6x y -<的解集所表示的图形.
如图：在平面直角坐标系，x -y =6表示一条直线.
平面所有的点被直线分成三类：
第一类：在直线x -y =6上的点；
第二类：在直线x -y =6左上方的区域的点；
第三类：在直线x-y=6右下方的区域的点.
设点1(,)P x y 是直线x-y=6上的点，选取点2(,)A x y ，使它的坐标满足不等式6x y -<，
横坐标x -3 -2 -1 0 1 2 3 点P 的纵坐标1y 点A 的纵坐标2y
并思考：
当点A 与点P 有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？_______________ 根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式6x y -<有什么关系？______________ 直线x-y=6右下方点的坐标呢？
在平面直角坐标系中，以二元一次不等式6x y -<的解为坐标的点都在直线x-y=6的_____；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式6x y -<.
因此，在平面直角坐标系中，不
等式6x y -<表示直线x-y=6左上
方的平面区域；如图: 类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图: 直线叫做这两个区域的边界
结论：
1. 二元一次不等式0Ax By c ++>在平面直角坐标系中表示直线0Ax By c ++=某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
2. 不等式中仅>或<不包括 ；但含“≤”“≥”包括 ； 同侧同号，异侧异号.
※ 典型例题
例1画出不等式44x y +<表示的平面区域.
分析：先画 ___________（用 线表示），再取 _______判断区域，即可画出．
归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法.特殊地，当0C ≠时，常把原点作为此特殊点.
变式：画出不等式240x y -+-≤表示的平面区域. 例2用平面区域表示不等式组312
2y x x y <-+??
的解集
归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
变式1：画出不等式(21)(4)0x y x y ++-+<表示的平面区域.
变式2：由直线20x y ++=，210x y ++=和210x y ++=围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为 .
※ 动手试试
练1. 不等式260x y -+>表示的区域在直线260x y -+=的 __
练2. 画出不等式组360
20x y x y -+≥??-+
表示的平面区域.
三、总结提升 ※ 学习小结
由于对在直线0Ax By C ++=同一侧的所有点(,x y )，把它的坐标（,x y )代入Ax By C ++，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点00(,)x y ，从00Ax By C ++的正负即可判断0Ax By C ++>表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）
※ 知识拓展
含绝对值不等式表示的平面区域的作法：
（1）去绝对值符号，从而把含绝对值的不等式转化为普通的二元一次不等式． （2）一般采用分象限讨论去绝对值符号． （3）采用对称性可避免绝对值的讨论． （4）在方程()0f x y =或不等式()0f x y >中，若将x y 换成()()x y --，方程或不等式不变，则这个方程或不等式所表示的图形就关于()y x 轴对称．
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1. 不等式260
x y
-+>表示的区域在直线260
x y
-+=的（）.
A．右上方 B．右下方 C．左上方 D．左下方
2. 不等式3260
x y
+-≤表示的区域是（）.
3.不等式组
360
20
x y
x y
-+≥
?
?
-+<
?
表示的平面区域是（）.
4. 已知点(3,1)
--和(4,6)
-在直线320
x y a
-++=的两侧，则a的取值围是 .
5. 画出
1
1
x
y
≥
?
?
<
?
表示的平面区域为：
课后作业
1. 用平面区域表示不等式组
3
2
326
x
y x
x y
<
?
?
≥
?
?+≥
?
的解集.
2.求不等式组
60
3
x y
x y
x
-+≥
?
?
+≥
?
?≤
?
表示平面区域的面积.
§3.3.1二元一次不等式（组）与
平面区域（2）
1．巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；2．能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件.
复习1：画出不等式2x+y-6＜0表示的平面区域.
复习2：画出不等式组
2312
236
x y
x y
x
+≤
?
?
+>-
?
?≥
?
所示平面区域.
二、新课导学
※典型例题
例1 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每钢板可同时截得三种规格的小钢
今需要三种规格的成品分别为12块、15块、27块，用数学关系式和图形表示上述要求.
例2 一个化肥厂生产甲乙两种混料，生产1车皮甲肥料的主要原料是磷酸盐4t，硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐15t. 现库存磷酸盐10t，硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混料. 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.
※动手试试
练1. 不等式组
(5)()0
03
x y x y
x
-++≥
?
?
≤≤
?
所表示的平面区域是什么图形？
练2. 某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的
分别用数学关系式和图形表示上述限制条件.
三、总结提升 ※ 学习小结
根据实际问题的条件列出约束不等式组与目标函数. 反复的读题，读懂已知条件和问题，边读边摘要，读懂之后可以列出一个表格表达题意. 然后根据题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，完成实际问题向数学模型的转化. ※ 知识拓展
求不等式的整数解即求区域的整点是教学中的难点，它为线性规划中求最优整数解作铺垫. 常有两种处理方法，一种是通过打出网络求整点；另一种是先确定区域点的横坐标的围，确定x 的所有整数值，再代回原不等式组，得出y 的一元一次不等式组，再确定y 的所有整数值，即先固定x ，再用x 制约y .
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 不在326x y +<表示的平面区域的点是（ ）.
A ．（0，0）
B ．（1，1）
C ．（0，2） Ｄ．（2，0）
2. 不等式组50
03x y x -+≥??≤≤?表示的平面区域是一个（ ）.
A ．三角形 Ｂ．直角梯形 Ｃ．梯形 Ｄ．矩形
3. 不等式组13y x x y y
+≤??≥?
表示的区域为Ｄ，点1(0,2)P -，点2(0,0)P ，则（ ）.
A ．12,P D P D ??
B ．12,P D P D ?∈
C ．12,P
D P D ∈? D ．12,P D P D ∈∈ 4. 由直线20,210x y x y ++=++=和210x y ++=的平围成的三角形区域（不包括边界）
用不等式可表示为 .
5. 不等式组438000x y x y ++>??
1. 一个小型家具厂计划生产两种类型的桌子A 和B . 每类桌子都要经过打磨、着色、上漆三道工序.桌子A 需要10min 打磨，6min 着色，6min 上漆；桌子B 需要5min 打磨，12min 着色，9min 上漆.如果一个工人每天打磨和上漆分别至多工作450min ，着色每天至多480min ，请你列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出相应的平面区域.
2. 某服装制造商现有10m 2的棉布料，10 m 2的羊毛料，6 m 2
的丝绸料. 做一条裤子需要棉布
料1 m 2， 2 m 2的羊毛料，1 m 2的丝绸料，一条裙子需要棉布料1 m 2， 1m 2的羊毛料，1 m 2
的丝绸料.一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元. 为了使收益达到最大，需要同时生产这两种服装，请你列出生产这两种服装件数所需要满足的关系式，并画出图形.
§3.3.2 简单的线性规划问题(1)
学习目标
①巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；
.
学习过程
一、课前准备
阅读课本Ｐ８７至Ｐ８８的探究
找出目标函数，线性目标函数，线性规划，可行解，可行域的定义．
二、新课导学
※学习探究
在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，如：
某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
（1）用不等式组表示问题中的限制条件：
设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组：
（2）画出不等式组所表示的平面区域：
注意：在平面区域的必须是整数点．
（3）提出新问题：
进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
（4）尝试解答：
（5）获得结果：
新知：线性规划的有关概念：
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解(,)
x y叫可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
※典型例题
例1 在探究中若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利2万元，问如何安排生产才能获得最大利润？
※ 动手试试
练1. 求2z x y =+的最大值，其中x 、y 满足约束条件11y x x y y ≤??
+≤??≥-?
三、总结提升 ※ 学习小结
用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： （1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）在可行域求目标函数的最优解
※ 知识拓展
寻找整点最优解的方法：
1. 平移找解法：先打网格，描整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应用于充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解.
2. 调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛先出整点最优解.
3. 由于作图有误差，有时仅由图形不一定就能准确而迅速地找到最优解，此时可将数个可
.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 目标函数32z x y =-，将其看成直线方程时，z 的意义是（ ）.
A ．该直线的横截距
B ．该直线的纵截距
C ．该直线的纵截距的一半的相反数
D ．该直线的纵截距的两倍的相反数
2. 已知x 、y 满足约束条件5003x y x y x -+≥??
+≥??≤?
，则
24z x y =+的最小值为（ ）.
A ． 6
B ．-6
C ．10
D ．-10
3. 在如图所示的可行域，目标函数z x ay =+取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值是（ ）.
A. -3
B.3
C. -1
D.1
4. 有5辆6吨汽车和4辆5吨汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为 .
5. 已知点（3，1）和（-4，6）在直线320x y a -+=的两侧，则a 的取值围是 . 1. 在ABC ?中，A （3，-1），B （-1，1），C （1，3），写出ABC ?区域所表示的二元一次不等式组.
2. 求35z x y =+的最大值和最小值，其中x 、y 满足约束条件5315153x y y x x y +≤??
≤+??-≤?.
§3.3.2简单的线性规划问题(2)
1）
学习目标
1. 从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决；
2. 体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题.
学习过程
一、课前准备
复习1：已知变量,x y满足约束条件
43
3525
1
x y
x y
x
-≤-
?
?
+≤
?
?≥
?
，设2
z x y
=+，取点（3，2）可求得8
z=，
取点（5，2）可求得
max
12
z=，取点（1，1）可求得
min
3
z=
取点（0，0）可求得0
z=，取点（3，2）叫做_________
点（0，0）叫做_____________，点（5，2）和点（1，1）__________________
复习2：阅读课本Ｐ８8至Ｐ91
二、新课导学
※学习探究
线性规划在实际中的应用：
线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.
下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：
※典型例题
例1 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg 的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg 脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元. 为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？
例2 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
今需要三种规格的成品分别为12块、15块、27块，各截这两种钢板多少可得所需A、B、C、三种规格成品，且使所用钢板数最少？
变式：第一种钢板为2
2m，各截这两种钢板多少，可得所需三种规格的成1m，第二种为2
品且所用钢板面积最小？
例3 一个化肥厂生产甲乙两种混料，生产1车皮甲肥料的主要原料是磷酸盐4t，硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐15t. 现库存磷酸盐10t，硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混料. 若生1车皮甲种肥料能产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元. 那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？
※动手试试
练1. 某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元. 甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台A、B设备上加工1件甲设备所需工时分别为1h、2h，加工1件乙和设备所需工时分别为2h、1h，A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400h和500h. 如何安排生产可使收入最大？
练2. 某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按40个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生20台.已知生产这些家电产品每台
问每周应生产空调器、彩电、冰箱共多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？（以千元为单位）
三、总结提升
※学习小结
简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示平面区域做出可行域；
（3）在可行域求目标函数的最优解.
※知识拓展
含绝对值不等式所表示的平面区域的作法：
（1）去绝对值，转化为不等式组；
（2）采用分零点讨论或分象限讨论去绝对值；
.
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1. 完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x人，瓦工y人，请工人的约束条件是（）. A．50402000
x y
+= B．50402000
x y
+≤
C．50402000
x y
+≥ D．40502000
x y
+≤
2. 已知,x y满足约束条件
04
03
28
0,0
x
y
x y
x y
≤≤
?
?≤≤
?
?
+≤
?
?≥≥
?
，则25
z x y
=+的最大值为（）.
A．19 B． 18 C．17 D．16
3. 变量,x y满足约束条件
2324
212
2936
0,0
x y
x y
x y
x y
+≥
?
?+≥
?
?
+≥
?
?≥≥
?
则使得32
z x y
=+的值的最小的(,)
x y是（）.
A．（4，5） B．（3，6） C．（9，2）D．（6，4）
4. (2007) 已知实数,x y满足约束条件
240
220
330
x y
x y
x y
-+≥
?
?
+-≥
?
?--≤
?
则目标函数2
z x y
=+的最大值为
______________
5. (2007)设变量,x y满足约束条件
30
23
x y
x y
x
-+≥
?
?
+≥
?
?-≤≤
?
则目标函数2x y
+的最小
值为______________
电视台应某企业之约播放两套连续剧.其中，连续剧甲每次播放时间为80min，其中广告时间为1min，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40min，其中广告时间为1min，收视观众为20万.已知此企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6min广告，而电视台每周只能为该企业提供不多于320min的节目时间.如果你是电视台的制片人，电视台每周播映两套连续剧各多少次，才能获得最高的收视率?
§3.3.2简单的线性规划问题(3)
※ 从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决；
※ 体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题.
一、课前准备
复习1：已知1260,1536,a
a b a b b
<<<<-求及的取值围
复习2：已知41,145a b a b -≤-≤--≤-≤，求9a b -的取值围.
二、新课导学 ※ 学习探究
课本第91页的“阅读与思考”——错在哪里？
若实数x ，y 满足13
11x y x y ≤+≤??-≤-≤?，求4x +2y 的取值围．
错解：由①、②同向相加可求得：
024x ≤≤即 048x ≤≤ ③ 由②得 11y x -≤-≤
将上式与①同向相加得024y ≤≤ ④ ③十④得 04212x y ≤+≤
以上解确吗?为什么? 上述解法中，确定的0≤4x ≤8及0≤2y ≤4是对的，但用x 的最大(小)值及y 的最大(小)值来确定4x 十2y 的最大(小)值却是不合理的．x 取得最大（小）值时，y 并不能同时取得最大（小）值.由于忽略了x 和 y 的相互制约关系，故这种解法不正确．
此例有没有更好的解法?怎样求解?
※典型例题
例1 若实数x，y满足
13
11
x y
x y
≤+≤
?
?
-≤-≤
?
，求4x+2y的取值围．
变式：设2
()
f x ax bx
=+且1(1)2
f
-≤-≤，2(1)4
f
≤≤，求(2)
f-的取值围※动手试试
练1. 设2
z x y
=+，式中变量x、y满足
43
3525
1
x y
x y
x
-≤-
?
?
+≤
?
?≥
?
，求z的最大值与最小值.
练2. 求z x y
=-的最大值、最小值，使x、y满足条件
2
x y
x
y
+≤
?
?
≥
?
?≥
?
.
三、总结提升
※学习小结
1．线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得.
2．线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个．
※知识拓展
求解线性规划规划问题的基本程序：作可行域，画平行线，解方程组，求最值.
目标函数的一般形式为z Ax By C
=++，变形为
1
A C
y x z
B B B
=-+-，所以
1C
z
B B
-可以
看作直线
1
A C
y x z
B B B
=-+-在y轴上的截距.
当0
B>时，1C
z
B B
-最大，z取得最大值，
1C
z
B B
-最小，z取得最小值；
当0
B<时，1C z
B
-最大，z取得最小值，
1C
z
B B
-最小，z取得最大值.
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1. 若0
x≥，0
y≥且1
x y
+≤，则z x y
=-的最大值为（）.
A．-1 B．1 C．2 D．-2
2. 在ABC
?中，三顶点分别为A（2，4），B（-1，2），C（1，0），点(,)
P x y在ABC
?部及其边界上运动，则的取值围为（）.
A．[1，3] B．[-1，3]
C．[-3，1] D．[-3，-1]
3. (2007)若不等式组
50
02
x y
y a
x
-+≥
?
?
≥
?
?≤≤
?
表示的平面区域是一个三角形，则的取值围是（）. A．5
a< B．7
a≥
C．57
a
≤< D．5
a<或7
a≥
4. (2004全国)设x 、y 满足约束条件021x x y x y ≥??
≥??-≤?
，则32z x y =+的最大值是 .
5.（2004） 设x 、y 满足约束条件2438x y x y ≤≤??
≥??+≤?
，则32k x y =-的最大值是 .
(21)(3)0x y x y +--+>表示的平面区域.
2. 甲、乙两个粮库要向A 、B 两镇运送大米，已知甲库可调出100t 大米，乙库可调出80t 大米，A 镇需70t :
10 2. 这两个粮库各运往A 、B 两镇多少t 大米，才能使总运费最省?此时总运费是多少?
3. 最不合理的调运方案是什么?它使国家造成的损失是多少?