高中数学基础知识归类——献给高二（5)班学生
数学是理科的支柱，数学基础不好往往影响到理化成绩的提高，因此必须给予足够重视。大家知道，高中数学分为几大板块：一是函数板块，二是三角板块，三是立体几何板块，四是解析几何板块，五是数列板块，六是概率统计板块，七是排列组合板块，八是复数板块，九是不等式板块，十是算法板块。要学好这些知识，首先要重视课堂听讲，要眼睛随着老师转，脑子随着老师想。只有抓好了课堂学习，才能谈得上课后复习。课堂上尽可能多听讲，课后自己再验证，选择一些有特色的问题去探索。要重视基础知识的复习。每一章复习开始前一定要把课本看一遍，定理、公式等概念性的东西记住自不必说，例题的解法也要注意，特别是立体几何，在以前高考中曾多次出现课本上的例题。学完一章或一部分后，要学会归纳总结，掌握规律性的东西，做一些综合题，考前温习一下笔记和自己归纳的东西，将基础知识夯实打牢，注重在基本知识、基本技能和创造性问题的解决上多下功夫。
最后冲刺的诀窍：高考最后两个月要拾遗补缺。抓基础，理清头脑中的知识网络，而不应该去攻难度太大的题。可适当去做一些综合性的题，对自己会很有好处的。如果以前有错题本的话，现在应该看看了；最后一个月复习数学关键是“看”：看练习题，看复习资料。一眼能看出解题思路的，从此不管它；看不出的，就在草稿纸上演算，演算到理清思路为止，并在题前做“#”记号；很难的综合题，则进行正规演算，目的仍是寻找思路，这种题一直做出了结果，就在题前做“*”记号。三五天或一周之后，再回过头来看，有“#”的看一看，一般能看出从何处下手；有“*”的看一看，在草稿纸上演算，知道怎么做再停止。因为这个时候正确与否不重要，重要的是知道该如何下手解这些题，以及需要用哪些知识来解题。
基础知识
一.集合与简易逻辑
1.注意区分集合中元素的形式.如：{|lg }x y x =—函数的定义域；{|lg }y y x =—函数的值域； {(,)|lg }x y y x =—函数图象上的点集.
2.集合的性质： ①任何一个集合A 是它本身的子集,记为A A ?. ②空集是任何集合的子集,记为A ??.
③空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为A B ?,在讨论的时候不要遗忘了A =?的情况 如：}012|{2
=--=x ax x A ,如果A R +=? ,求a 的取值.(答：0a ≤)
④()U U U C A B C A C B = ,()U U U C A B C A C B = ；A B C A B C = （）（）；
A B C A B C = （）（）
. ⑤A B A A B B =?= U U A B C B C A ????U A C B ?=? U C A B R ?= . ⑥A B 元素的个数：()()card A B cardA cardB card A B =+- .
⑦含n 个元素的集合的子集个数为2n ；真子集(非空子集)个数为21n -；非空真子集个数为22n -. 3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。
如：已知函数12)2(24)(2
2
+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ,使 0)(>c f ,求实数p 的取值范围.(答：3
2(3,)-)
4.原命题: p q ?；逆命题: q p ?；否命题: p q ???；逆否命题: q p ???；互为逆否的两 个命题是等价的.如：“βαsin sin ≠”是“βα≠”的 条件.(答：充分非必要条件)
5.若p q ?且q p ≠>,则p 是q 的充分非必要条件(或q 是p 的必要非充分条件或q 的一个充分非必要条件是p 或p 的一个必要非充分条件是q).
6.注意命题p q ?的否定与它的否命题的区别: 命题p q ?的否定是p q ??；否命题是p q ???. 命题“p 或q ”的否定是“p ?且q ?”；“p 且q ”的否定是“p ?或q ?”.
如：“若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是“若a 和b 不都是偶数,则b a +是奇数” 否定是“若a 和b 都是偶数,则b a +是奇数”. 7.常见结论的否定形式
原命题中含有全称量词（或存在量词），命题的否定必有存在量词(或全称量词)
1.①映射f :A B →是：⑴ “一对一或多对一”的对应；⑵集合A 中的元素必有象且A 中不 同元素在B 中可以有相同的象；集合B 中的元素不一定有原象(即象集B ?).
②一一映射f :A B →： ⑴“一对一”的对应；⑵A 中不同元素的象必不同,B 中元素都有原象. 2.函数f : A B →是特殊的映射.特殊在定义域A 和值域B 都是非空数集！据此可知函数图像与x 轴 的垂线至多有一个公共点,但与y 轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.
3.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.
4.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母0≠;偶次根式被开方数非负;对数真数0>,底数0> 且1≠；零指数幂的底数0≠)；实际问题有意义；若()f x 定义域为[,]a b ,复合函数[()]f g x 定义 域由()a g x b ≤≤解出；若[()]f g x 定义域为[,]a b ,则()f x 定义域相当于[,]x a b ∈时()g x 的值域.
5.求值域常用方法: ①配方法(二次函数类)；②逆求法(反函数法)；③换元法(特别注意新元的范围). ④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；
⑤不等式法⑥单调性法；⑦数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域； ⑧判别式法（慎用）：⑨导数法(一般适用于高次多项式函数).
6.求函数解析式的常用方法：⑴待定系数法(已知所求函数的类型)； ⑵代换(配凑)法； ⑶方程的思想----对已知等式进行赋值，从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程组。
7.函数的奇偶性和单调性
⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等； ⑵若()f x 是偶函数,那么()()(||)f x f x f x =-=；定义域含零的奇函数必过原点((0)0f =)； ⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=或
()()
1(()0)f x f x f x -=±≠；
⑷复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个 (如()0f x =定义域关于原点对称即可).
⑸奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性； ⑹确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等. ⑺复合函数单调性由“同增异减”判定. （提醒：求单调区间时注意定义域） 如：函数12
2log (2)y x x =-+的单调递增区间是_____________.(答：(1,2))
8.函数图象的几种常见变换⑴平移变换：左右平移---------“左加右减”（注意是针对x 而言）； 上下平移----“上加下减”(注意是针对()f x 而言).⑵翻折变换：()|()|f x f x →；()(||)f x f x →. ⑶对称变换：①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上. ②证明图像1C 与2C 的对称性,即证1C 上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在2C 上,反之亦然.
③函数()y f x =与()y f x =-的图像关于直线0x =(y 轴)对称；函数()y f x =与函数 ()y f x =-的图像关于直线0y =(x 轴)对称；
④若函数()y f x =对x R ∈时，()()f a x f a x +=-或()(2)f x f a x =-恒成立,则()y f x =图像关 于直线x a =对称；
⑤若()y f x =对x R ∈时,()()f a x f b x +=-恒成立,则()y f x =图像关于直线2
a b x +=对称；
⑥函数()y f a x =+,()y f b x =-的图像关于直线2
b a x -=
对称(由a x b x +=-确定)；
⑦函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于直线2
a b x +=对称；
⑧函数()y f x =,()y A f x =-的图像关于直线2
A y =
对称(由()()
2
f x A f x y +-=
确定)；
⑨函数()y f x =与()y f x =--的图像关于原点成中心对称；函数()y f x =,()y n f m x =-- 的图像关于点22(,)m n
对称；
⑩函数()y f x =与函数1()y f x -=的图像关于直线y x =对称；曲线1C ：(,)0f x y =,关于 y x a =+,y x a =-+的对称曲线2C 的方程为(,)0f y a x a -+=(或(,)0f y a x a -+-+=； 曲线1C ：(,)0f x y =关于点(,)a b 的对称曲线2C 方程为：(2,2)0f a x b y --=.
9.函数的周期性：⑴若()y f x =对x R ∈时()()f x a f x a +=-恒成立,则 ()f x 的周期为2||a ； ⑵若()y f x =是偶函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为2||a ； ⑶若()y f x =奇函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为4||a ；
⑷若()y f x =关于点(,0)a ,(,0)b 对称,则()f x 的周期为2||a b -；
⑸()y f x =的图象关于直线x a =,()x b a b =≠对称,则函数()y f x =的周期为2||a b -； ⑹()y f x =对x R ∈时,()()f x a f x +=-或1()
()f x f x a +=-
,则()y f x =的周期为2||a ；
10.对数：⑴log log n n
a a
b b =(0,1,0,)a a b n R +
>≠>∈；⑵对数恒等式log (0,1,0)a N
a N a a N =>≠>；
⑶log ()log log ;log log log ;log log n a a a a
a a a a M N
M N M N M N M n M ?=+=-=；
1log log a a n
M =；⑷对数换底公式log log log b b a N a
N =
(0,1,0,1)a a b b >≠>≠；
推论：121123log log log 1log log log log n a b c a a a n a n b c a a a a a -??=????= .
(以上120,0,0,1,0,1,0,1,,,0n M N a a b b c c a a a >>>≠>≠>≠> 且12,,n a a a 均不等于1) 11.方程()k f x =有解k D ?∈(D 为()f x 的值域)；()a f x ≥恒成立[()]a f x ?≥最大值, ()a f x ≤恒成立[()]a f x ?≤最小值.
12.恒成立问题的处理方法：⑴分离参数法(最值法)； ⑵转化为一元二次方程根的分布问题；
13.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”： 一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；
14.二次函数解析式的三种形式： ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠；②顶点式：
2()()(0)f x a x h k a =-+≠； ③零点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.
15.一元二次方程实根分布:先画图再研究0?>、轴与区间关系、区间端点函数值符号;
16.复合函数：⑴复合函数定义域求法：若()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域可由 不等式()a g x ≤b ≤解出；若[()]f g x 的定义域为[,]a b ,求()f x 的定义域，相当于[,]x a b ∈时,求 ()g x 的值域；⑵复合函数的单调性由“同增异减”判定.
17.对于反函数,应掌握以下一些结论：⑴定义域上的单调函数必有反函数；⑵奇函数的反函数 也是奇函数；⑶定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；⑷周期函数不存在反函数； ⑸互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性；⑹()y f x =与1()y f x -=互为 反函数,设()f x 的定义域为A ,值域为B ,则有1[()]()f f x x x B -=∈,1[()]()f f x x x A -=∈. 18.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：
()()()0f u g x u h x =+≥(或0≤)()a u b ≤≤()0
()0f a f b ≥???≥?(或()0()0f a f b ≤??≤?)；
19.函数(0,)ax b cx d
y c ad bc ++=≠≠的图像是双曲线：①两渐近线分别直线d c
x =-(由分母为零确定)和
直线a c
y =(由分子、分母中x 的系数确定)；②对称中心是点(,)d a c c
-；③反函数为b dx cx a
y --=；
20.函数(0,0)b x
y ax a b =+>>
：增区间为(,)-∞+∞,
减区间为[-.
如：已知函数12
()ax x f x ++=在区间(2,)-+∞上为增函数,则实数a 的取值范围是_____(答：1
2
(,)+∞).
三.数列
1.由n S 求n a ,1*
1(1)
(2,)n n
n S n a S S n n N -=??=?-≥∈?? 注意验证1a 是否包含在后面n a 的公式中,若不符合要 单独列出.如：数列{}n a 满足11153
4,n n n a S S a ++=+=，求n a (答：{
14(1)
34(2)n n n a n -==?≥).
2.等差数列1{}n n n a a a d -?-=(d 为常数)112(2,*)n n n a a a n n N +-?=+≥∈ 2112
2
(,)(,)n n d
d
a an
b a d b a d S An Bn A B a ?=+==-?=+==-；
3.等差数列的性质： ①()n m a a n m d =+-,m n a a m n
d --=
；
②m n l k m n l k a a a a +=+?+=+(反之不一定成立)；特别地,当2m n p +=时,有2m n p a a a +=； ③若{}n a 、{}n b 是等差数列,则{}n n ka tb +(k 、t 是非零常数)是等差数列；
④等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即 232,,,m m m m m S S S S S -- 仍是等差数列； ⑤等差数列{}n a ,当项数为2n 时,S S nd -=偶奇,1
n n S a S a +=奇偶
；项数为21n -时,
(*)n S S a a n N -==∈偶中奇,21(21)n n S n a -=-,且1
S n S n =-奇偶
；()(21)n n n
n
A a
B b f n f n =?=-.
⑥首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n 项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式
100n n a a +≥??≤?(或100
n n a a +≤??≥?).也可用2n S An Bn =+的二次函数关系来分析.
⑦若,()n m a m a n m n ==≠,则0m n a +=；若,()n m S m S n m n ==≠,则()m n S m n +=-+； 若()m n S S m n =≠,则S m+n =0；S 3m =3(S 2m －S m )；m n m n S S S mnd +=++. 4.等比数列12
1111{}(0)(2,*)n n
n n n n n n a a a q q a a a n n N a a q +--+?=≠?=≥∈?=.
5.等比数列的性质 ①n m
n m a a q
-=
,n q ={}n a 、{}n b 是等比数列，则{}n ka 、{}n n a b 等也是等比数列；
1
sin cos αα
-
-sin cos αα
+ ③11
11
11(1)1111(1)(1)(1)
(1)n n n n q q a a a a a q q q q na q na q S q q q ------==????==??-+≠=≠????
；④m n l k m n l k a a a a +=+?=(反之不一定成 立)；m n m n m n n m S S q S S q S +=+=+. ⑤等比数列中232,,,m m m m m S S S S S -- (注：各项均不为0) 仍是等比数列. ⑥等比数列{}n a 当项数为2n 时,
S S q =偶奇
；项数为21n -时,
1S a S q -=奇偶
.
6.①如果数列{}n a 是等差数列,则数列{}n a A (n a A 总有意义)是等比数列；如果数列{}n a 是等比数列, 则数列{log ||}(0,1)a n a a a >≠是等差数列；
②若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列；
③如果两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列，且新数列的公差 是原两个等差数列公差的最小公倍数；如果一个等差数列和一个等比数列有公共项,那么由他们的 公共项顺次组成的数列是等比数列,由特殊到一般的方法探求其通项；
④三个数成等差的设法：,,a d a a d -+；四个数成等差的设法：3,,,3a d a d a d a d --++； 三个数成等比的设法：,,a
q a aq ；四个数成等比的错误设法：
33
,,,a a
q
q
aq aq (为什么？)
7.数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.
⑵已知n S (即12()n a a a f n +++= )求n a 用作差法：11,(1),(2)n n
n S n a S S n -=?=?-≥?.
⑶已知12()n a a a f n ???= 求n a 用作商法：()(1)(1),(1)
,(2)n f n f n f n a n -=??=?≥??.
⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用迭加法. ⑸已知1()n n
a a
f n +=,求n a 用迭乘法.
⑹已知数列递推式求n a ,用构造法(构造等差、等比数列)：①形如1n n a ka b -=+,1n n n a ka b -=+, 1n n a ka a n b -=+?+(,k b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后, 再求n a .②形如11n n n a ka b
a --+=
的递推数列都可以用 “取倒数法”求通项.
8.数列求和的方法：①公式法：等差数列,等比数列求和公式；②分组求和法；③倒序相加；④错位 相减；⑤分裂通项法.公式：1
2
123(1)n n n ++++=+ ；2
2
2
2
1
6
123(1)(21)n n n n ++++=++ ；
3333
2(1)2
123[]n n n +++++= ；2
135n n ++++= ；常见裂项公式
111(1)
1
n n n
n ++=-
；
1111()
()n n k k n
n k
++=-
；
1
11
1(1)(1)
2(1)
(1)(2)
[
n n n n n n n -++++=-
；
11
(1)!
!
(1)!
n n n
n ++=-
常见放缩公式：2
12=
<
=.
9.“分期付款”、“森林木材”型应用问题
⑴这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算 “年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决. ⑵利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金p 元,每期利 率为r ,则n 期后本利和为：(1)2
(1)(12)(1)()n n n S p r p r p nr p n r +=+++++=+
(等差数列问
题）；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款)p 元,采用分期等 额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分n 期还清.如果每期利
率为r （按复利），那么每期等额还款x 元应满足：
12(1)(1)(1)(1)n n n p r x r x r x r x --+=+++++++ (等比数列问题). 四.三角函数
1.α终边与θ终边相同2()k k Z αθπ?=+∈；α终边与θ终边共线()k k Z αθπ?=+∈；α终边 与θ终边关于x 轴对称()k k Z αθπ?=-+∈；α终边与θ终边关于y 轴对称
2()k k Z απθπ?=-+∈；α终边与θ终边关于原点对称2()k k Z απθπ?=++∈； α终边与θ终边关于角β终边对称22()k k Z αβθπ?=-+∈.
2.弧长公式：||l r θ=；扇形面积公式：2112
2
||S lr r θ==扇形；1弧度(1rad )≈57.3?.
3.三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀：
“一全二正弦,三切四余弦”. 注意： tan15
cot 752?=?=；tan75cot152?=?=+； 4.三角函数同角关系中(八块图)：注意“正、余弦三兄妹
sin cos x x ±、sin cos x x ?”的关系.
如2(sin cos )12sin cos x x x x ±=±等.
5.对于诱导公式,可用“奇变偶不变，符号看象限”概括； (注意：公式中始终视．．．α．为锐角．．．)．
6.角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角 与其倍角或半角、两角与其和差角等变换.
如：()ααββ=+-；2()()ααβαβ=++-；2()()αβαβα=+--；2
2αβ
αβ++=?
；
2
2
2
()()αββααβ+=---等；“1”的变换：221sin cos tan cot 2sin30tan 45x x x x =+=
?=?=?； 7.重要结论：sin cos )a x b x x ?++其中tan b a
?=）；重要公式2
2cos 1sin 2αα-=；2cos α=
1
cos 22
α
+；sin 1cos 2
1cos sin tan
α
ααα
α
-+==
=
2
2
|cos sin |θθ
±.
万能公式：2
2tan 1tan sin 2αα
α+=
；22
1tan 1tan cos2ααα-+=
；2
2tan 1tan tan 2αα
α-=
.
8.正弦型曲线sin()y A x ω?=+的对称轴2
()k x k Z π
π?
ω
+
-=
∈；对称中心(
,0)()k k Z π?
ω
-∈；
余弦型曲线cos()y A x ω?=+的对称轴()k x k Z π?
ω
-=
∈；对称中心2
(
,0)()k k Z π
π?
ω
+-∈；
9.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正、余弦定理，处理三角形内的三角函数问题勿忘三 内角和等于180?,一般用正、余弦定理实施边角互化；正弦定理：sin sin sin 2a b
c A
B
C
R =
==；
余弦定理：222
22
2
2
2
()222cos ,cos 1b c a
b c a
bc
bc
a b c bc A A +-+-=+-=
=
-；
正弦平方差公式：22sin sin sin()sin()A B A B A B -=+-；三角形的内切圆半径2ABC S a b c
r ?++=；
面积公式：1
2
4sin abc R
S ab C ?==
；射影定理：cos cos a b C c B =+.
10.ABC ?中,易得：A B C π++=,①sin sin()A B C =+,cos cos()A B C =-+,tan tan()A B C =-+. ②2
2
sin cos A B C +=,2
2
cos sin
A B C +=,2
2
tan
cot
A B C +=. ③sin sin a b A B A B >?>?>
④锐角ABC ?中,2
A B π
+>
,sin cos ,cos cos A B A B ><,222
a b c +>,类比得钝角ABC ?结论.
⑤tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=.
11.角的范围：异面直线所成角2
(0,]π
；直线与平面所成角2
[0,π
；二面角和两向量的夹角[0,]π；直线
的倾斜角[0,)π；1l 到2l 的角[0,)π；1l 与2l 的夹角2
(0,]π
.注意术语:坡度、仰角、俯角、方位角等.
五.平面向量
1.设11(,)a x y = ,22(,)b x y = . (1)1221//0a b x y x y ?-= ；(2)121200a b a b x x y y ⊥??=?+=
.
2.平面向量基本定理：如果1e 和2e
是同一平面内的两个不共线的向量,那么对该平面内的任一向
量a
,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+ .
3.设11(,)a x y = ,22(,)b x y = ,则1212||||cos a b a b x x y y θ?==+ ；其几何意义是a b ? 等于a
的长度
与b 在a 的方向上的投影的乘积；a
在b 的方向上的投影||cos ||a b a b θ?==
4.三点A 、B 、C 共线AB ? 与AC 共线；与AB 共线的单位向量||AB
AB ±
.
5.平面向量数量积性质：设11(,)a x y = ,22(,)b x y = ,
则cos ||||a b
a b θ?==
；注意:
,a b ?? 为锐角0a b ??> ,,a b 不同向；,a b ?? 为直角0a b ??= ；,a b ?? 为钝角0a b ??<,,a b 不反向.
6.a b ? 同向或有0||||||||||||a b a b a b a b ?+=+≥-=- ；a b ? 反向或有0
||||||||||||a b a b a b a b ?-=+≥-=+ ；a b ?
不共线||||||||||a b a b a b ?-<±<+ .
7.平面向量数量积的坐标表示：⑴若11(,)a x y = ,22(,)b x y = ,则1212a b x x y y ?
=+
；
||AB = ⑵若(,)a x y =
,则222a a a x y =?=+ .
8.熟记平移公式和定比分点公式. ①当点P 在线段21P P 上时,0λ>；当点P 在线段21P P (或12P P )
延长线上时,1λ<-或10λ-<<.②分点坐标公式：若12PP PP λ=
；且111(,)P x y ,(,)P x y 222(,)P x y ； 则121211(1)x x y y x y λλλλλ++++?=??≠-??=??
, 中点坐标公式：
1212
2
2(1)x x y y x y λ++?
=??=??=??. ③1P ,P ,2P 三点共线?存在实数λ、μ使得12OP OP OP λμ=+
且1λμ+=.
9.三角形中向量性质：①AB AC + 过BC 边的中点：||
||
||
||
()(AB AC AB AC
AB AC AB AC +⊥- ；
②13
()0PG PA PB PC GA GB GC G =++?++=?
为ABC ?的重心；
③PA PB PB PC PA PC P ?=?=??
为ABC ?的垂心； ④||||||0BC PA CA PB AB PC P ++=? 为
ABC ?的内心；||
||
()(0)AB AC
AB AC λλ+≠ 所在直线过ABC ?内心. ⑤设1122(,),(,)A x y B x y ,
12
AOB A B B A S x y x y
?=
-. 1||||sin 2
ABC S AB AC A ?=
⑥O 为ABC ?内一点,则0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ???++=
.
10.(,)(,)(,)a h k P x y P x y ='''?????→ 按平移,有x x h y y k '=+??'=+?
(PP a '= )；(,)()()a h k y f x y k f x h ==?????→-=- 按平移
.
六.不等式
1.掌握课本上的几个不等式性质，注意使用条件，另外需要特别注意：
①若0ab >,b a >,则
11a
b
>
.即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变.
②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论. 2.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法,尤其注意 用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法,零点分区间法.
3.掌握重要不等式,(1)均值不等式：若0,
>b a ,
22
11a b a b
++≥≥(当且仅当b a =时
取等号)使用条件：“一正二定三相等 ” 常用的方法为：拆、凑、平方等；(2),,a b c R ∈， 2
2
2
a b c ab bc ca ++≥++(当且仅当a b c ==时,取等号)；(3)公式注意变形如：22
22
2
(
)a b a b ++≥,
22
(
)a b ab +≤；(4)若0,0a b m >>>,则b b m a
a m
++<
(真分数的性质)；
4.含绝对值不等式：,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?+=+≥-=-；,a b 异号或有0 ||||||||||||a b a b a b a b ?-=+≥-=+.
5.证明不等式常用方法：⑴比较法：作差比较：0A B A B -≤?≤.注意：若两个正数作差比较有困
难,可以通过它们的平方差来比较大小；⑵综合法：由因导果；⑶分析法：执果索因.基本步骤：要证… 需证…,只需证…； ⑷反证法：正难则反；⑸放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的
. 放缩法的方法有：①添加或舍去一些项,
||a n >.②将分子或分母放大(
或缩小) ③利用基本不等式,(1)
2
n n ++
<.④利用常用结论：01
11=
<
；
02 2
1
1111111
(1)(1)1
k k k k
k
k k
k k
++---
=
<
<
=
-(程度大)；0
3
1111
11
21
1
(
)k
k k k --+<
=-
(程度小)；
⑹换元法：换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元 代数换元.如：知222x y a +=,可设cos ,sin x a y a θθ==；知221x y +≤,可设cos x r θ=,sin y r θ= (01r ≤≤)；知
221x y a
b
+
=,可设cos ,sin x a y b θθ==；已知
221x y a
b
-
=,可设sec ,tan x a y b θθ==.
⑺最值法,如：()a f x >最大值,则()a f x >恒成立.()a f x <最小值,则a f <七.直线和圆的方程
1.直线的倾斜角α的范围是[0,π）；
2.直线的倾斜角与斜率的变化关系2
tan ()k π
αα=≠(如右图)：
3.直线方程五种形式：⑴点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k 方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线.⑵斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线. ⑶两点式：已知直线经过 111(,)P x y 、222(,)P x y 两点,则直线方程为
1121
21
y y x x y y x x ----=
,它不包括垂直于坐标轴的直线.
⑷截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1x
y a
b
+
=,它不包括垂直于坐标
轴的直线和过原点的直线.⑸一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(,A B 不同时为0)的形式. 提醒：⑴直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢？) ⑵直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等?直线的斜率为1-或直线过 原点；直线两截距互为相反数?直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等? 直线的斜率为1±或直线过原点.
⑶截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形.
4.直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=的位置关系： ⑴平行?12210A B A B -=(斜率)且12210B C B C -≠(在y 轴上截距)；
⑵相交?12210A B A B -≠；(3)重合?12210A B A B -=且12210B C B C -=.
5.直线系方程：①过两直线1l ：1110A x B y C ++=,2l ：2220A x B y C ++=.交点的直线系方程可设 为111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=；②与直线:0l Ax By C ++=平行的直线系方程可设为 0()Ax By m m c ++=≠；③与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线系方程可设为0Bx Ay n -+=.
6.到角和夹角公式：⑴1l 到2l 的角是指直线1l 绕着交点按逆时针方向转到和直线2l 重合所转的角θ, (0,)θπ∈且2112
121tan (1)k k k k k k θ-+=
≠-；
⑵1l 与2l 的夹角是指不大于直角的角2
,(0,]π
θθ∈且2112
121tan |
|(1)k k k k k k θ-+=≠-.
7.点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=
的距离公式d =
两条平行线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=
的距离是d .
8.设三角形ABC ?三顶点11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)C x y ,则重心123123
(,)33
x x x y y y G ++++；
9.有关对称的一些结论
⑴点(,)a b 关于x 轴、y 轴、原点、直线y x =的对称点分别是(,)a b -,(,)a b -,(,)a b --,(,)b a . ⑵曲线(,)0f x y =关于下列点和直线对称的曲线方程为：①点(,)a b ：(2,2)0f a x b y --=； ②x 轴：(,)0f x y -=；③y 轴：(,)0f x y -=；④原点：(,)0f x y --=；⑤直线y x =： (,)0f y x =；⑥直线y x =-：(,)0f y x --=；⑦直线x a =：(2,)0f a x y -=.
10.⑴圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=. ⑵圆的一般方程：
22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->.特别提醒：只有当2240D E F +->时,方程 220x y Dx Ey F ++++=才表示圆心为2
2
(,)D E -
-,
(二元二次方程
220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆0A C ?=≠,且220,40B D E AF =+->).
⑶圆的参数方程：cos sin x a r y b r θ
θ
=+??
=+?(θ为参数),其中圆心为(,)a b ,半径为r .圆的参数方程主要应用是 三角换元：222cos ,sin x y r x r y r θθ+=→==；
222cos ,sin (0x y t x r y r r θθ+=→==≤≤. ⑷以11(,)A x y 、22(,)B x y 为直径的圆的方程1212()()()()0x x x x y y y y --+--=； 11.点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点00(,)P x y 及圆的方程 222()()x a y b r -+-=.①22200()()x a y b r -+->?点P 在圆外；
②22200()()x a y b r -+-
12.圆上一点的切线方程：点00(,)P x y 在圆2
2
2
x y r +=上,则过点P 的切线方程为：2
00x x y y r +=； 过圆2
2
2
()()x a y b r -+-=上一点00(,)P x y 切线方程为2
00()()()()x a x a y b y b r --+--=.
13.过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与x 轴垂直的直线. 14.直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解 决弦长问题.①d r >?相离 ②d r =?相切 ③d r
15.圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系.设两圆的圆心距为d , 两圆的半径分别为,r R ：d R r >+?两圆相离；d R r =+?两圆相外切； ||R r d R r -<<+?两 圆相交；||d R r =-?两圆相内切； ||d R r <-?两圆内含；0d =?两圆同心.
16.过圆1C ：221110x y D x E y F ++++=,2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆(相交弦)系方程 为2222111222()()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=.1λ=-时为两圆相交弦所在直线方程. 17.解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成 直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).
18.求解线性规划问题的步骤是：(1)根据实际问题的约束条件列出不等式；(2)作出可行域,写出目标 函数(判断几何意义)；(3)确定目标函数的最优位置,从而获得最优解. 八.圆锥曲线方程
1.椭圆焦半径公式：设00(,)P x y 为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上任一点,焦点为1(,0)F c -,2(,0)F c ,
则1020,PF a ex PF a ex =+=-(“左加右减”)；
2.双曲线焦半径：设00(,)P x y 为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>上任一点,焦点为1(,0)F c -,2(,0)F c ,
则：⑴当P 点在右支上时,1020||,||PF a ex PF a ex =+=-+；⑵当P 点在左支上时,10||PF a ex =--, 20||PF a ex =-；(e 为离心率).另：双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为22
220x y a b
-=.
3.抛物线焦半径公式：设00(,)P x y 为抛物线22(0)y px p =>上任意一点,F 为焦点,则
02
||p PF x =+
；22(0)y px p =->上任意一点,F 为焦点，则02
||p PF x =-+
.
4.共渐近线b
a y x =±的双曲线标准方程为
2
2
22
x y a b λ-=(λ为参数,0λ≠).
5.两个常见的曲线系方程： ⑴过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是
12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).⑵共焦点的有心圆锥曲线系方程22
221x y a k b k
+=--,其中
22max{,}k a b <.当22min{,}k a b <时,表示椭圆；当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.
6.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB =
或12|AB x x =-
12
]|y y -(弦端点1122(,),(,)A x y B x y ,由方程(,)0y kxc b F x y =+??=?
消去 y 得到02
=++c bx ax ,0?>,k 为斜率). 这里体现了解几中“设而不求”的思想； 7.椭圆、双曲线的通径(最短弦)为2
2b a
,焦准距为2
b
c
p =
,抛物线的通径为2p ,焦准距为p ；
双曲线
22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的焦点到渐近线的距离为b ； 8.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为221Ax By +=(对于椭圆0,0A B >>)；
9.抛物线2
2(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦）为AB ,11(,)A x y 、22(,)B x y ,则有如下结论： ⑴12||AB x x p =++；⑵2
124
p
x x =
,212y y p =-； ⑶112||
||
p
AF BF +=
.
10.椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>左焦点弦12||2()AB a e x x =++,右焦点弦12||2()AB a e x x =-+.
11.对于2
2(0)y px p =≠抛物线上的点的坐标可设为200(,)2y y p ,以简化计算.
12.圆锥曲线中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆22
221x y a b
+=中,
以00(,)P x y 为中点的弦所在直线斜率2020b x k a y =-；在双曲线22
221x y a b -=中,以00(,)P x y 为中点的弦所
在直线斜率2020
b x k a y =；在抛物线22(0)y px p =>中,以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0p
y k =.
13.求轨迹方程的常用方法：
⑴直接法：直接通过建立x 、y 之间的关系，构成(,)0F x y =,是求轨迹的最基本的方法.
⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可. ⑶代入法(相关点法或转移法).
⑷定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程. ⑸交轨法(参数法)：当动点(,)P x y 坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑 将x 、y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程. 14.解析几何与向量综合的有关结论：
⑴给出直线的方向向量(1,)u k = 或(,)u m n = .等于已知直线的斜率k 或n
m
；
⑵给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点；
⑶给出0
=+,等于已知P 是MN 的中点;
⑷给出()AP AQ BP BQ λ+=+
,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线;
⑸给出以下情形之一： ①//； ②存在实数λ,使AB AC λ=
； ③若存在实数,αβ,
且1αβ+=；使OC OA OB αβ=+
,等于已知C B A ,,三点共线.
⑹给出1OA OB
OP λλ
++= ,等于已知P 是AB 的定比分点,λ为定比,即PB AP λ=
⑺给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于已 知AMB ∠是钝角或反向共线,给出0>=?m ,等于已知AMB ∠是锐角或同向共线.
⑻给出||
||
()MA MB
MA MB MP λ+=
,等于已知MP 是AMB ∠的平分线. ⑼在平行四边形ABCD 中,给出0)()(=-?+,等于已知ABCD 是菱形.
⑽在平行四边形ABCD 中,给出||||AB AD AB AD +=-
,等于已知ABCD 是矩形.
⑾在ABC ?中,给出2
2
2
==，等于已知O 是ABC ?的外心(三角形的外心是外接圆 的圆心,是三角形三边垂直平分线的交点).
⑿在ABC ?中,给出=++，等于已知O 是ABC ?的重心(三角形的重心是三角形 三条中线的交点).
⒀在ABC ?中,给出OA OC OC OB OB OA ?=?=?，等于已知O 是ABC ?的垂心(三角形的垂心 是三角形三条高的交点).
⒁在ABC ?中,给出+=OA OP ||
||
()AB AC AB AC λ+ )(+
∈R λ等于已知AP 通过ABC ?的内心.
⒂在ABC ?中,给出0=?+?+?c b a 等于已知O 是ABC ?的内心(三角形内切圆 的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点).
⒃在ABC ?中,给出12
()AD AB AC =+
,等于已知AD 是ABC ?中BC 边的中线.
九.直线、平面、简单几何体
1.从一点O 出发的三条射线OA 、OB 、OC .若AOB AOC ∠=∠,则点A 在平面BOC 上的射影在 BOC ∠的平分线上；
2.立平斜三角余弦公式：(图略)AB 和平面所成的角是1θ,AC 在平面内,AC 和AB 的射影1AB 成2θ, 设3BAC θ∠=,则123cos cos cos θθθ=；
3.异面直线所成角的求法：⑴平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线. ⑵补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在 于容易发现两条异面直线间的关系；
4.直线与平面所成角：过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,是产生线面角的关键.
5.二面角的求法：⑴定义法；⑵三垂线法；⑶垂面法；⑷射影法：利用面积射影公式cos S S θ=射斜 其中θ为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；
6.空间距离的求法：⑴两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线,所以一般先利用垂直作出公垂 线,然后再进行计算.⑵求点到直线的距离,一般用三垂线定理作出垂线再求解.
⑶求点到平面的距离,一是用垂面法,借助面面垂直的性质来作.因此,确定已知面的垂面是关键； 二是不作出公垂线,转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求解.
7.用向量方法求空间角和距离：⑴求异面直线所成的角：设a 、b
分别为异面直线a 、b 的方向向量,
则两异面直线所成的角||
||||
arccos a b a b α??=
.⑵求线面角：设l 是斜线l 的方向向量,n 是平面α的
法向量,则斜线l 与平面α所成的角||
||||
arcsin l n l n α??=
. ⑶求二面角(法一)在α内a l ⊥ ,在β内 b l ⊥ ,其方向如图(略),则二面角l αβ--的平面角||||
arccos a b
a b α??=
.(法二)设1n ,2n 是二面角
l αβ--的两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角l αβ--的平面
角12
12||||
arccos n n n n α??=
.（4)求点面距离：设n
是平面α的法向量,在α内取一点B ,则A 到α的距离
||
|||cos |||
AB n d AB n θ?==
(即AB 在n 方向上投影的绝对值). 8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记为θ,则cos S S θ=侧底.
9.正四面体(设棱长为a )的性质：
①全面积2S =；
②体积312
V =；
③对棱间的距离2
d =；
④相邻面所成二面角1
3arccos α=；
⑤外接球半径4
R =
；
⑥内切球半径12
r =；
⑦正四面体内任一点到各面距离之和为定值3
h =.
10.直角四面体的性质：(直角四面体—三条侧棱两两垂直的四面体).在直角四面体O ABC -
中,,,OA OB OC 两两垂直,令,,OA a OB b OC c ===,则⑴底面三角形ABC 为锐角三角形； ⑵直角顶点O 在底面的射影H 为三角形ABC 的垂心；⑶2
BOC BHC ABC S S S ???= ； ⑷2
2
2
2
AOB BOC COA ABC S S S S ????++=；⑸
1111OH
a
b
c
=
+
+
；⑹外接球半径
R=R 11.已知长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,,αβγ因此有22cos cos αβ+
2cos 1γ+=或222sin sin sin 2αβγ++=；若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成 的角分别为,,αβγ,则有222sin sin sin 1αβγ++=或222cos cos cos 2αβγ++=. 12.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；
13.球的体积公式3
4
3V R π=,表面积公式2
4S R π=；掌握球面上两点A 、B 间的距离求法：
⑴计算线段AB 的长；⑵计算球心角AOB ∠的弧度数；⑶用弧长公式计算劣弧AB 的长. 十.排列组合和概率
1.排列数公式:!!()!
(1)(1)(,,*)m
n n m n m A n n n m m n m n N -=--+=
≤∈ ,当m n =时为全排列!n
n
A n =. 2.组合数公式：(1)(1)()!(1)(2)321
m
m
n
n A n n n m C m n m m m m ?-???--=
=≤?-?-?????,01n
n
n C C ==. 3.组合数性质：m n m n n C C -=；11r r r
n n n C C C -++=.
4.排列组合主要解题方法：①优先法：特殊元素优先或特殊位置优先；②捆绑法(相邻问题)； ③插空法（不相邻问题）；④间接扣除法；(对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件 的所有情况去掉）⑤多排问题单排法;⑥相同元素分组可采用隔板法（适用与指标分配，每部分至 少有一个）；⑦先选后排,先分再排(注意等分分组问题)；⑧涂色问题(先分步考虑至某一步时再分 类).⑨分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组,平均分成n 组问题别忘除以!n .
5.常用性质：!(1)!!n n n n ?=+-；即11n n n n n n nA A A ++=-；1
11(1)r r r r r r n n C C C C r n +++++???+=≤≤；
6.二项式定理： ⑴掌握二项展开式的通项：1(0,1,2,...,)r n r r
r n T C a b r n -+==； ⑵注意第r ＋1项二项式系数与第r ＋1项系数的区别.
7.二项式系数具有下列性质：⑴与首末两端等距离的二项式系数相等；⑵若n 为偶数,中间一项
(第2
1n +项)的二项式系数最大；若n 为奇数,中间两项(第
12
1n -+和
12
1n ++项)的二项式系数最大.
⑶0122n n n n n n C C C C +++???+=；0213
12n n n n n C C C C -++???=++???=.
8.二项式定理应用：近似计算、整除问题、结合放缩法证明与指数有关的不等式、用赋值法求展开式 的某些项的系数的和如()()n f x ax b =+展开式的各项系数和为(1)f ,奇数项系数和为
12
[(1)(1)]f f --,偶数项的系数和为1
2
[(1)(1)]f f +-.
9.等可能事件的概率公式：⑴()n m
P A =
； ⑵互斥事件有一个发生的概率公式为：()P A B +=
()()P A P B +；⑶相互独立事件同时发生的概率公式为()()()P AB P A P B =；⑷独立重复试验
概率公式()(1)k k
n k n n
P k C p p -=-；⑸如果事件A 与B 互斥，那么事件A 与B 、A 与B 及事件 A 与B 也都是互斥事件；⑹如果事件A 、B 相互独立，那么事件A 、B 至少有一个不发生 的概率是1()1()()P AB P A P B -=-；（6）如果事件A 与B 相互独立，那么事件A 与B 至少有 一个发生的概率是1()1()()P A B P A P B -?=-. 十一.概率与统计
1.理解随机变量,离散型随机变量的定义,能够写出离散型随机变量的分布列,由概率的性质可 知,任意离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：⑴0,1,2,i P i ≥= ；⑵121P P ++= .
2.二项分布记作~(,)B n p ξ(,n p 为参数),()k k n k
n
P k C p q ξ-==,记),;(p n k b q p C k
n k k n =-.
3.记住以下重要公式和结论：
⑴期望值1122n n E x p x p x p ξ=++++ .
⑵方差2221122()()()n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-+-+???+-+???.
⑶标准差δξ2();()E a b aE b D a b a D ξξξξ+=++=.
⑷若~(,)B n p ξ(二项分布),则E np ξ=, (1)D npq q p ξ==-. ⑸若~(,)g k p ξ(几何分布),则1p
E ξ=
,q p
D ξ=
.
4.掌握抽样的三种方法：⑴简单随机抽样(包括抽签法和随机数表法)；⑵(理)系统抽样,也叫等距
抽样；⑶分层抽样(按比例抽样),常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形.它们的共同点 都是等概率抽样.对于简单随机抽样的概念中,“每次抽取时的各个个体被抽到的概率相等”.如从 含有N 个个体的总体中,采用随机抽样法,抽取n 个个体,则每个个体第一次被抽到的概率为
1N
,第二次被抽到的概率为
1N
,…,故每个个体被抽到的概率为
n N
,即每个个体入样的概率为
n N
.
5.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法,一般地,样本容量越大,
这种估计就越精确,要求能画出频率分布表和频率分布直方图；⑴学会用样本平均数 121
1
1()n n
i i x n n x x x x =∑=++???+=
去估计总体平均数；⑵会用样本方差2
22121
[()()n
S
x x x x =-+-+
2222
11
1
1
()]()()n
n
n i i i i n n x x x x x nx ==∑∑???+-=-=
-去估计总体方差2
σ及总体标准差；⑶学会用修正的
样本方差*22221211
[()()()]n n S x x x x x x -=
-+-+???+-去估计总体方差2σ,会用*S 去估计σ.
6.
正态总体的概率密度函数：22
()21(),x f x x R μσ--
=∈,式中,μσ是参数,分别表示总体的平均
数与标准差；
7.正态曲线的性质：⑴曲线在x μ=时处于最高点,由这一点向左、向右两边延伸时,曲线逐渐降 低；⑵曲线的对称轴位置由确定；曲线的形状由确定,σ越大,曲线越矮胖；反过来曲线越高瘦. ⑶曲线在x 轴上方，并且关于直线x=μ 对称；
8.利用标准正态分布的分布函数数值表计算一般正态分布2(,)N μσ的概率12()P x x ξ<<,可由变 换
x t μ
σ
-=而得()(
)x F x μ
σ
-=Φ,于是有2112()(
)(
)x x P x x μ
μ
σ
σ
ξ--<<=Φ-Φ.
9.假设检验的基本思想：⑴提出统计假设，确定随机变量服从正态分布2(,)N μσ；⑵确定一
次试验中的取值a 是否落入范围(3,3)μσμσ-+；⑶作出推断：如果(3,3)a μσμσ∈-+,接受统 计假设；如果(3,3)a μσμσ?-+,由于这是小概率事件,就拒绝假设. 十二.导数
1.导数的定义：()f x 在点0x 处的导数记作0
0000
()()
()lim
x x x f x x f x x
y f x =?→+?-?''==.
2.可导与连续的关系：如果函数()y f x =在点0x 处可导,那么函数()y f x =在点0x 处连续,但是
()y f x =在点0x 处连续却不一定可导.
3.函数()f x 在点0x 处有导数,则()f x 的曲线在该点处必有切线,且导数值是该切线的斜率.但函数 ()f x 的曲线在点0x 处有切线,则()f x 在该点处不一定可导.
如()f x =0x =有切线,但不可导. 4.函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是指：曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的斜率, 即曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率是0()f x ',切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-. 5.常见函数的导数公式:0C '=(C 为常数)；1()()n n x nx n Q -'=∈.(sin )cos x x '=；(cos )sin x x '=-； ()ln x x a a a '=；
()x x
e e '=；
1
(log )log a a x
x e '=.1(ln )x
x '=
6.导数的四则运算法则：()u v u v '''±=±；()uv u v uv '''=+；()u u v uv v
v
''-'=
.
7.复合函数的导数：x u x y y u '''=?.
8.导数的应用：
(1)利用导数判断函数的单调性：设函数()y f x =在某个区间内可导,如果()0f x '>,那么()f x 为增 函数；如果()0f x '<,那么()f x 为减函数；如果在某个区间内恒有()0f x '=,那么()f x 为常数；
(2)求可导函数极值的步骤：①求导数)(x f '；②求方程0)(='x f 的根；③列表：检验)(x f '在方程 0)(='x f 根的左右的符号，如果左正右负,那么函数()y f x =在这个根处取得最大值；如果左负 右正,那么函数()y f x =在这个根处取得最小值；
(3)求可导函数最大值与最小值的步骤：①求()y f x =在(,)a b 内的极值；②将()y f x =在各极值点 点的极值与()f a 、()f b 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 十三.复数
1.理解复数、实数、虚数、纯虚数、模的概念和复数的几何表示.
2.熟练掌握与灵活运用以下结论：⑴a bi c di a c +=+?=且(,,,)c d a b c d R =∈；⑵复数是 实数的条件：①0(,)z a bi R b a b R =+∈?=∈；②z R z z ∈?=；③20z R z ∈?≥.
3.复数是纯虚数的条件: ①z a bi =+是纯虚数0a ?=且0(,)b a b R ≠∈； ②z 是纯虚数 0(0)z z z ?+=≠；③z 是纯虚数20z ?<.
4.⑴复数的代数形式：z a bi =+；⑵复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行：设1z a bi =+, 2(,,,)z c di a b c d R =+∈,则12()()z z a c b d i +=+++,12()()()()z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++, 122222
2(0)z ac bd bc ad i z z c d c d +-=+≠++. 5.几个重要的结论：
⑴2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+；⑵22||||z z z z ?==；⑶若z 为虚数,则22||z z ≠. 6.运算律仍然成立：(1) ⑴m n m n z z z +?=； ⑵()m n mn z z =；⑶1212()(,)m m m z z z z m n N ?=∈. 7.注意以下结论：⑴2(1)2i i ±=±；⑵11i i
i +-=,
11i i
i -+=-；⑶1230()n n n n i i i i n N ++++++=∈；
⑷1||11z
z zz z =?=?=
.
十四.注意答题技巧训练
1.技术矫正：考试中时间分配及处理技巧非常重要,有几点需要必须提醒同学们注意： ⑴按序答题,先易后难.一定要选择熟题先做、有把握的题目先做.
⑵不能纠缠在某一题、某一细节上,该跳过去就先跳过去,千万不能感觉自己被卡住,这样会心慌， 影响下面做题的情绪. ⑶避免“回头想”现象,一定要争取一步到位,不要先做一下,等回过头来再想再检查,高考时间较紧 张,也许待会儿根本顾不上再来思考.
⑷做某一选择题时如果没有十足的把握,初步答案或猜估的答案必须先在卷子上做好标记,有时间 再推敲,不要空答案,否则要是时间来不及瞎写答案只能增加错误的概率.
2.规范化提醒：这是取得高分的基本保证.规范化包括：解题过程有必要的文字说明或叙述,注意解完 后再看一下题目,看你的解答是否符合题意,谨防因解题不全或失误,答题或书写不规范而失分.总 之,要吃透题“情”,合理分配时间,做到一准、二快、三规范.特别是要注意解题结果的规范化. ⑴解与解集：方程的结果一般用解表示(除非强调求解集)；不等式、三角方程的结果一般用解集(集 合或区间)表示.三角方程的通解中必须加k Z ∈.在写区间或集合时,要正确地书写圆括号、方括 号或大括号,区间的两端点之间、集合的元素之间用逗号隔开.
⑵带单位的计算题或应用题,最后结果必须带单位,解题结束后一定要写上符合题意的“答”. ⑶分类讨论题,一般要写综合性结论.
⑷任何结果要最简.
如2
1142
2
=
=
等.
⑸排列组合题,无特别声明,要求出数值.
⑹函数问题一般要注明定义域(特别是反函数).
⑺参数方程化普通方程,要考虑消参数过程中最后的限制范围. ⑻轨迹问题：①轨迹与轨迹方程的区别：轨迹方程一般用普通方程表示,轨迹则需要说明图形形状. ②有限制条件的必须注明轨迹中图形的范围或轨迹方程中x 或y 的范围. ⑼分数线要划横线,不用斜线.
3.考前寄语：①先易后难,先熟后生；②一慢一快：审题要慢,做题要快；③不能小题难做,小题大做, 而要小题小做,小题巧做；④我易人易我不大意,我难人难我不畏难；⑤考试不怕题不会,就怕会题 做不对；⑥基础题拿满分,中档题拿足分,难题力争多得分,似曾相识题力争不失分；⑦对数学解题 有困难的考生的建议：立足中下题目,力争高上水平,有时“放弃”是一种策略.