习题四解答
1. 下列给出的数列，哪些是随机变量的分布律，并说明理由。 （1）5
,4,3,2,1,0,15
==i i p i ；
（2）()3,2,1,0,6
52
=-=i i p i ；
（3）5,4,3,2,4
1==i p i ； （4）5,4,3,2,1,25
1=+=
i i p i 。
解 要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证i p 是否满足下列二个条件：其一条件为 ,2,1,0=≥i p i ，其二条件为1=∑i
i p 。
依据上面的说明可得（1）中的数列为随机变量的分布律；（2）中的数列不是随机变量的分布律，因为06
46
953<-
=-=
p ；（3）中的数列为随机变量的分
布律；（4）中的数列不是随机变量的分布律，这是因为∑=≠=
5
1
125
20i i p 。
2. 试确定常数c ，使()()4,3,2,1,0,2
===i c i X P i
成为某个随机变量
X 的分布
律，并求：()2≤X P ；??
?
??<
<252
1X P 。 解 要使
i
c 2
成为某个随机变量的分布律，必须有12
4
=∑
=i i
c ，
由此解得31
16=c ；
（2） ()()()()2102=+=+==≤X P X P X P X P 31
28
412113116=??? ??++=
（3）()()21252
1=+==???
??<
12 41213116= ??? ??+=。 3. 一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2这样的 数字。从这袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X 的分布律与分布函数。 解 X 可能取的值为-3，1，2，且()()()6 12,2 11,3 13= == == -=X P X P X P ， 即X 的分布律为 X 的分布函数 0 3- ()()x X P x F ≤== 31 13<≤-x 6 5 21<≤x 1 2≥x 4. 一袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4，5，从中随机地取3个，以X 表示取出的3个球中最大号码，写出X 的分布律和分布函数。 解 依题意X 可能取到的值为3，4，5，事件{}3=X 表示随机取出的 3个球 的最大号码为3，则另两个球的只能为1号，2号，即()10 13513= ??? ? ??= =X P ；事件 {}4=X 表示随机取出的3个球的最大号码为4，因此另外2个球可在1、2、3号 球中任选，此时()10 3352314= ??? ? ??? ??? ???= =X P ；同理可得()10 6352415= ??? ? ??? ??? ???= =X P 。 X 的分布律为 X 的分布函数为 0 3 ()= x F 101 4 3<≤x 10 4 54<≤x 1 5≥x 5. 在相同条件下独立地进行5次射击，每次射击时击中目标的概率为0.6，求击中目标的次数X 的分布律。 解 依题意X 服从参数6.0,5==p n 的二项分布，因此，其分布律 ()5,,1,0,4 .06.055 =??? ? ??==-k k k X P k k ， 6. 时，各件产品被抽到的可能性相等。在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数X 的分布律。 （1） 每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品； （2） 每次取出的产品都不放回这批产品中； （3） 每次取出一件产品后总是放回一件正品。 解 （1）设事件 ,2,1,=i A i 表示第i 次抽到的产品为正品，依题意， ,,,1n A A 相互独立，且() ,2,1,13 10== i A P i 而 ()()()() () ,2,1,13 101331 1 111=? ? ? ??====---k A P A P A P A A A P k X P k k k k k 即X 服从参数 13 10= p 的几何分布。 （2）由于每次取出的产品不再放回，因此，X 可能取到的值为1，2，3，4， ()()()(). 286 110 111213101234,143 511 121310233, 26512131032,13 101= ??????= == ????= ==? ?= ===X P X P X P X P X 的分布律为 （3）X ()()()(). 2197 613 13131234,2197 7213 131312233, 169 3313131132,13 101= ????= == ????= == ??= ===X P X P X P X P 所求X 处。 7. 设随机变量()p B X ,6~，已知()()51===X P X P ，求p 与()2=X P 的值。 解 由于()p B X ,6~，因此()()6,,1,0,1666 =-??? ? ??==-k p p k X P k k 。 由此可算得 ()()()(),165,1615 5 p p X P p p X P -==-== 即 ()(),161655 p p p p -=- 解得2 1= p ； 此时，()641521!25 621212626 2 62=?? ? ????= ? ? ? ????? ?????? ??==-X P 。 8. 掷一枚均匀的硬币4次，设随机变量X 表示出现国徽的次数，求X 的分 布函数。 解 一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率为 2 1，因此X 服从 2 1,4= =p n 的二项分布，即 ()4,3,2,1,0,212144=? ? ? ????? ?????? ??==-k k k X P k k 由此可得X 的分布函数 0， 0 161， 10<≤x ()= x F 165， 2 1<≤x 1611， 32<≤x 16 15， 4 3<≤x 1， 4≥x 9. 某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量X 服从参数4=λ的泊松分布，问在月初进货时，要进多少才能以99%的概率充分满足顾客的需要？ 解 设至少要进n 件物品，由题意n 应满足 ()(), 99.0,99.01≥≤<-≤n X P n X P 即 ()99 .0! 4 11 4 <=-≤∑ -=-n k k e k n X P ()99 .0! 4 4 ≥=≤∑ =-n k k e k n X P 查泊松分布表可求得 9=n 。 10. 有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001，在某天该段时间内有1000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率。 解 设X 为1000辆汽车中出事故的次数，依题意，X 服从0001 .0,1000==p n 的二项分布，即()0001 .0,1000~B X ，由于n 较大，p 较小，因此也可以近似地认 为X 服从1.00001.01000=?==np λ的泊松分布，即()1.0~P X ，所求概率为 ()()() . 004679.0090484 .0904837.01! 11.0! 01.0110121 .01 1 .00 =--=- - ≈=-=-=≥--e e X P X P X P 11. 某试验的成功概率为0.75，失败概率为0.25，若以X 表示试验者获得首次成功所进行的试验次数，写出X 的分布律。 解 设事件i A 表示第i 次试验成功，则()75.0=i A P ，且 ,,,1n A A 相互独立。随机变量X 取k 意味着前1-k 次试验未成功，但第k 次试验成功，因此有 ()()()() ()75 .025 .01 1111---====k k k k k A P A P A P A A A P k X P ()=x f x 2， A x <<0 0， 其他， 试求：（1）常数A ；（2）X 的分布函数。 解 （1）()x f 成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件，其一为 ()0 ≥x f ；其二为()?+∞ ∞-=1dx x f ，因此有?=A xdx 012，解得1±=A ，其中1-=A 舍去， 即取1=A 。 （2）分布函数 ()()()?∞-=≤=x dx x f x X P x F = ??????+++∞-∞-∞-x x x dx xdx dx xdx dx dx 10 1 00 0020200 1 100 ≥<≤ 1 2 x 1 100 ≥<≤ <<-∞=-x Ae x f x ,，求：（1）系数A ； （2）()10<< X P ； （3）X 的分布函数。 解 （1）系数A 必须满足?+∞ ∞--=1dx Ae x ，由于x e -为偶函数，所以 ???+∞ ∞ -+∞ +∞ ---===1220 dx Ae dx Ae dx Ae x x x 解得2 1= A ； （2）()()1 1 1 12 12 12 110----= ==<< ??e dx e dx e X P x x ； （3）()()?∞-=x dx x f x F = ???-∞ --∞--+x x x x x dx e dx e dx e 0 02 12 121 ≥ = ? ? ?-∞ -∞-+ x x x x x dx e dx e dx e 0 2 12 121 ≥ = () x x e e --+ 12 12 121 ≥ = x x e e -- 2 112 1 ≥ 14. 证明：函数 ()=x f 22 c x e c x - <≥x x （c 为正的常数） 为某个随机变量X 的密度函数。 证 由于()0≥x f ，且()120 22 222 2 2 =-=??? ? ??- -==+∞ -∞ +- ∞ +∞ -∞ +∞ -- ???c x c x c x e c x d e dx e c x dx x f ， 因此()x f 满足密度函数的二个条件，由此可得()x f 为某个随机变量的密度函数。 15. 求出与密度函数 ()=x f 25.05.0x e 2 200 >≤<≤x x x 对应的分布函数()x F 的表达式。 解 当0≤x 时，()()??∞-∞-===x x x x e dx e dx x f x F 5.05.0 当2 0≤< x 时，()()???∞-∞-+=+==0025.05.025.05.0x dx dx e dx x f x F x x x 当2>x 时，()15.05.0025.05.00 22 0=+=++=???∞-x x dx dx dx e x F 综合有 ()=x F , 1,25.05.0, 5.0x e x + . 2;20; 0≥≤≤≤x x x 16. 设随机变量X 在()6,1上服从均匀分布，求方程012 =++Xt t 有实根的概 率。 解 X 的密度函数为 ()=x f ,5 1 61< ,0 其他. 方程012=++Xt t 有实根的充分必要条件为0 42 ≥-X ，即42≥X ，因此所求得概 率为 ( ) ()()()?= +=≥+-≤=≥-≤=≥62 2 5 45 1 022224dx X P X P X X P X P 或。 17. 设某药品的有效期X 以天计，其概率密度为 ()=x f () ,10020000 3 +x >x ; 0， 其他. 求：(1) X 的分布函数；(2) 至少有200天有效期的概率。 解 (1) ()()?∞-=x dx x f x F = () ,10020000 , 00 3 dx x x ?+ . 0; 0≥ = (), 10010000 1,02 +- x . 0; 0≥ (2)()()()() 91 10020010000 11200120012002 =??? ? ? ?+- -=-=≤-=>F X P X P 。 18. 设随机变量X 的分布函数为 ()=x F (), 11, 0x e x -+- 0>≤x x 求X 的密度函数，并计算()1≤X P 和()2>X P 。 解 由分布函数()x F 与密度函数()x f 的关系，可得在()x f 的一切连续点处有 ()()x F x f '=，因此 ()=x f , 0, x xe - 其他 0>x 所求概率()()()1 1 2111111---=+-==≤e e F X P ； ()()()()( )2 2 3211121212--=+--=-=≤-=>e e F X P X P 。 19. 设随机变量X 的分布函数为()+∞ <<-∞+= x x B A x F ,arctan ，求(1) 常数 B A ,；(2)()1 随机变量X 的密度函数。 解：(1)要使() x F 成为随机变量X 的分布函数，必须满足 ()()1lim ,0lim ==+∞ →-∞ →x F x F x x ，即 ()()1a r c t a n lim arctan lim =+ =++∞ →-∞ →x B A x B A x x 计算后得 12 2 =+ =- B A B A π π 解得 π 1 21= = B A 另外，可验证当π 1 ,2 1= =B A 时，()x x F arctan 1 2 1π + = 也满足分布函数其余的 几条性质。 （2） ()()()()11111--=<<-= ()?? ? ???-+-+ = 1arctan 1211arctan 1 2 1ππ 2 4141πππππ=??? ??-?-?= （3）X 的密度函数 ()()( ) +∞ <<-∞+= '=x x x F x f ,11 2 π。 20. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（单位：min ）服从5 1= λ 的指数 分布，其密度函数为()=x f , 515 x e - 其他 >x ，某顾客在窗口等待服务，若超 过10min ，他就离开。 （1）设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率； （2）设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中至多有一次未等到服务的概率。 解 （1）设随机变量X 表示某顾客在银行的窗口等待服务的时间，依题意X 服从5 1=λ 的指数分布，且顾客等待时间超过10min 就离开，因此，顾客未等到服 务就离开的概率为 ()?∞ +-- ==≥10 2 5 5 110e dx e X P x ； （2）设Y 表示某顾客五次去银行未等到服务的次数，则Y 服从2 ,5-==e p n 的二项分布，所求概率为 ()()() ()() () ()() 4 22 4 225 202141115105101-------+=-??? ? ??+-???? ??==+==≤e e e e e e Y P Y P Y P 21. 设X 服从()1,0N ，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）()2.2 （2）()176>X P ；（3）()78.0- P ； （4）()55.1 .02.22.2=Φ= （2）()()()0392.09608.0176.1176.1176.1=-=Φ-=≤-=>X P X P ； （3）()()()2177.07823.0178.0178.078.0=-=Φ-=-Φ=- （4）()()()()55.155.155.155.155.1-Φ-Φ=<<-= P ()()()()8788 .019394.02155.1255.1155.1=-?=-Φ=Φ--Φ= （5）()()()[]15.2215.215.2-Φ-=≤-=>X P X P ()()0124.09938.0125.222=-=Φ-=。 22. 设X 服从()16,1-N ，借助于标准正态分布的分布函数表计算： （1）()44.2 P 。 解 当( )2 ,~σ μN X 时，()? ? ? ??-Φ-??? ??-Φ=≤≤σμσμa b b X a P ，借助于该性质， 再查标准正态分布函数表可求得 （1）()()8051 .086.04144.244.2=Φ=??? ??+Φ= P ； （2）()()125 .01415.115.1-Φ-=?? ? ??+-Φ-=->X P ()()()5498.0125.0125 .011=Φ=Φ--=； （3）()()()3264 .06736.0145.0145.0418.28.2=-=Φ-=-Φ=??? ??+-Φ=- P ； （4）()()()75.025.14144144-Φ-Φ=?? ? ??+-Φ-??? ??+Φ= P ()()6678 .07734.018944.075.0125.1=+-=Φ+-Φ=； （5）()()()175.041541225-Φ-Φ=??? ? ?+-Φ-??? ??+Φ=<< -X P ()()9321.018413.07734.01175.0=+-=+Φ-Φ=； （6）()()()? ?? ?? ???? ??+Φ-??? ??+Φ-=≤≤-=≤--=>-410412*********X P X P X P ()()8253.05987.07724.0125.075.01=+-=Φ+Φ-=。 23. 某厂生产的滚珠直径服从正态分布()01.0,05.2N ，合格品的规格规定为 2 .02±，求该厂滚珠的合格率。 解 所求得概率为 ()()()()()927 .09938.019332.05.215.15.25.11.005.28.11.005.22.22.022.02=+-=Φ+-Φ=-Φ-Φ=? ? ? ??-Φ-??? ??-Φ=+≤≤-X P 24. 某人上班所需的时间()100,30~N X （单位：min ） 已知上班时间为8：30，他每天7：50出门，求：（1）某天迟到的概率；（2）一周（以5天计）最多迟到 一次的概率。 解 （1）由题意知某人路上所花时间超过40分钟，他就迟到了，因此所求概率为 ()()1587 .08413.0111103040140=-=Φ-=?? ? ??-Φ-=>X P ； （2）记Y 为5天中某人迟到的次数，则Y 服从1587.0,5==p n 的二项分布，5天中最多迟到一次的概率为 ()()()()8192 .08413.01587.0158413.01587 .01514 5 0=???? ? ??+???? ? ??=≤Y P 。 中北大学概率统计习题册第四章完整答案 (详解) 1. 填空 1）设~(,)X B n p ,则EX =np ，DX = npq 。 2）设~()X P λ,则EX =λ， DX =λ。 3）设~()X E λ,则EX = 1λ ，DX = 2 1 λ。 4）设[]~,X U a b ,则EX = 2 a b +，DX = () 2 12 b a -。 5)设2~(,)X N μσ,则EX =μ， DX =2σ。 6）设(,)~(1,1;2,9;0.5)X Y N ,则 EX =1，DX = 1 ，EY = 2，DY = 9 ，(,)Cov X Y = 1.5 。 7）已知螺钉的重量服从()250, 2.5N ，则100个螺钉总重量服从分布()5000, 625N 。 2. 已知在一定工序下，生产某种产品的次品率0.001。今在同一工序下，独立生产5000件这种产品，求至少有2件次品的概率。 解：设X 表示5000件产品中的次品数，则 ()~5000,0.001X B 。 50000.0015λ=?=，则 ()()()2100P X P X P X ≥=-=-= 5000499910.99950000.0010.999=--?? 0155 5510!1! e e --≈--10.006740.033690.95957=--= 注：实际上 5000499910.99950.9990.95964--?= 3. 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的泊松分布，问在月初进货时应至少进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.999。 解：设进货数件数为N ，当月销售需求为X ，则由题意知()~7X P ，且 {}7 07e 0.999! k N k P X N k -=≤=≥∑ 查泊松分布的数值表，可得16N ≥. 4 . 地下铁道列车的运行间隔时间为五分钟，一个旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望与方差。 解：设旅客在地铁进站之前的X 时刻到达，即旅客候车时间也为X ；其数学期望和 分别为()~[0,5]X U ， 52EX = ；2512 DX =。 5.设(){ }3.02010,,10~2=< 概率论与数理统计习题 第四章 随机变量的数字特征 习题4-1 某产品的次品率为，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1个，就去调整设备，以X 表示一天中调整设备的次数，试求)(X E （设诸产品是否为次品是相互独立的）. 解：设表示一次抽检的10件产品的次品数为ξ P =P （调整设备）=P (ξ>1)=1－P (ξ≤1)= 1－[P (ξ=0)+ P (ξ=1)] 查二项分布表 1－=. 因此X 表示一天调整设备的次数时X ～B (4, . P (X =0)=??? ? ??04×× =. P (X =1)=???? ??14××=, P (X =2)= ???? ??24××=. P (X =3)=???? ??34××=, P (X =4)= ??? ? ??44××=. 从而 E (X )=np =4×= 习题4-2 设随机变量X 的分布律为Λ,2,1,323)1(1==???? ??-=+j j X P j j j ,说明X 的数学期望不存在. 解： 由于 1 11 1133322(1) ((1))3j j j j j j j j j P X j j j j ∞ ∞∞++===-=-==∑∑∑，而级数1 12j j ∞ =∑发散，故级数1 11 33(1) ((1))j j j j j P X j j ∞ ++=-=-∑不绝对收敛，由数学期望的定义知，X 的数学期望不存在. 习题X -2 0 2 k p 求)53(),(),(2 2 +X E X E X E . 解 E (X )=(-2)+0+2= 由关于随机变量函数的数学期望的定理，知 E (X 2)=(-2)2+02+22= E (3X 2+5)=[3 (-2)2+5]+[3 02+5]+[3 22 +5] = 如利用数学期望的性质，则有 E (3X 2+5)=3E (X 2)+5=3+5= 概率论第4章习题参考解答 1. 若每次射击中靶的概率为0.7, 求射击10炮, 命中3炮的概率, 至少命中3炮的概率, 最可能命中几炮. 解: 设ξ为射击10炮命中的炮数, 则ξ~B (10,0.7), 命中3炮的概率为 =??==733 103.07.0}3{C P ξ0.0090 至少命中3炮的概率, 为1减去命中不到3炮的概率, 为 =??-=<-=≥∑=-2 010103.07.01}3{1}3{i i i i C P P ξξ0.9984 因np +p =10×0.7+0.7=7.7不是整数, 因此最可能命中[7.7]=7炮. 2. 在一定条件下生产某种产品的废品率为0.01, 求生产10件产品中废品数不超过2个的概率. 解: 设ξ为10件产品中的废品数, 则ξ~B (10,0.01), 则废品数不超过2个的概率为 =??=≤∑=-2 0101099.001.0}2{i i i i C P ξ0.9999 3. 某车间有20部同型号机床, 每部机床开动的概率为0.8, 若假定各机床是否开动彼此独立, 每部机床开动时所消耗的电能为15个单位, 求这个车间消耗电能不少于270个单位的概率. 解: 设每时刻机床开动的数目为ξ, 则ξ~B (20,0.8), 假设这个车间消耗的电能为η个单位, 则η=15ξ, 因此 2061.02.08.0}18{}15 270 {}27015{}270{20 18 2020=??==≥=≥ =≥=≥∑=-i i i i C P P P P ξξξη 4. 从一批废品率为0.1的产品中, 重复抽取20个进行检查, 求这20个产品中废品率不 大于0.15的概率. 解: 设这20个产品中的废品数为ξ, 则ξ~B (20,0.1), 假设这20个产品中的废品率为η, 则η=ξ/20. 因此 ∑=-??=≤=≤=≤3 20209.01.0}3{}15.020 { }15.0{i i i i C P P P ξξ η=0.867 5. 生产某种产品的废品率为0.1, 抽取20件产品, 初步检查已发现有2件废品, 问这20 件中, 废品不少于3件的概率. 解: 设ξ为这20件产品中的废品数, 则ξ~B (20,0.1), 又通过检查已经知道ξ定不少于2件的条件, 则要求的是条件概率 } 2{} 23{}2|3{≥≥?≥= ≥≥ξξξξξP P P 因事件}3{}2{≥?≥ξξ, 因此2}23{≥=≥?≥ξξξ 因此 概率论与数理统计统计课后习题答案-总主编-邹庭荣-主编-程述汉-舒兴明-第四章 第四章习题解答 1．设随机变量X ～B （30， 6 1），则E （X ）＝( D ). A.6 1 ； B. 65； C.6 25； D.5. 1 ()3056 E X np ==?= 2．已知随机变量X 和Y 相互独立，且它们分别在区间[-1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则E (XY )=（ A ）. A. 3； B. 6； C. 10； D. 12. ()1()3E X E Y == 因为随机变量X 和Y 相互独立所以()()()3E XY E X E Y == 3．设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则X 2的数学期望E (X 2)＝____18.4______． (10,0.4)()4() 2.4X B E X D X ==: 22()(())()18.4E X E X D X =+= 4．某射手有3发子弹，射一次命中的概率为3 2，如果命中了就停止射击，否则一直射到子弹用尽．设表示X 耗用的子弹数．求E （X ）. 解： X 1 2 3 P 2/3 2/9 1/9 22113()233999 E X = +?+?= 5．设X 的概率密度函数为 , 01()2,120,x x f x x x ≤≤?? =-<≤??? 其它 求2() ,().E X E X 解：12 20 1 ()()(2)1E X xf x dx x dx x x dx +∞-∞ ==+-=? ??, 12 22320 1 7 ()()(2)6 E X x f x dx x dx x x dx +∞ -∞ ==+-= ? ??. 概率论第四章习题解答 1（1）在下列句子中随机地取一个单词，以X 表示取到的单词所饮食的字母个数，写出X 的分布律并求数学期望()E X 。 “THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT ” （2）在上述句子的30个字母中随机地取一个字母，以Y 表示取到的字母所在单词所包含的字母数，写出Y 的分布律并求()E Y （3）一人掷骰子，如得6点则掷第二次，此时得分为6加第二次得到的点数；否则得分为第一次得到的点数，且不能再掷，求得分X 的分布律。 解 （1）在所给的句子中任取一个单词，则其所包含的字母数，即随机变量X 的取值为：2,3,4，9，其分布律为 所 以 151115()234988884 E X =?+?+?+?=。 （2）因为Y 的取值为2,3，4，9 当2Y =时，包含的字母为“O ”，“N ”，故 1 21 {2}3015 C P Y == =； 当3Y =时，包含的3个字母的单词共有5个，故 当4Y =时，包含的4个字母的单词只有1个，故 当9Y =时，包含的9个字母的单词只有1个，故 112314673 ()234915215103015 E Y =? +?+?+?== 。 （3）若第一次得到6点，则可以掷第二次，那么他的得分为：X ＝7,8，9,10，11,12； 若第一次得到的不是6点，则他的得分为1,2，3,4，5。由此得X 的取值为： 1，2，3，4，5，7，8，9，10，11，12。 2 某产品的次品率为，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如果发现其中的次品多于1，就去调整设备。以X 表示一天中调整设备的次数，试求()E X 。（设诸产品是否为次品是相互独立的。） 解 （1）求每次检验时产品出现次品的概率 因为每次抽取0件产品进行检验，且产品是否为次品是相互独立的，因而可以看作是进行10次独立的贝努利试验，而该产品的次品率为，设出现次品的件数为 Y ，则(10,0.1)Y B :，于是有 1010{}(0.1)(0.9)k k k P Y k C -== （2 ）一次检验中不需要调整设备的概率 则需要调整设备的概率 {1}1{}10.73610.2639P Y P Y >=-≤=-= （3）求一天中调整设备的次数X 的分布律 习题4-1 1. 设随机变量X 求()E X ；E (2－3 X ); 2()E X ；2(35)E X +. 解 由定义和数学期望的性质知 2.03.023.004.0)2()(-=?+?+?-=X E ; (23)23()23(0.2) 2.6E X E X -=-=-?-=; 8.23.023.004.0)2()(2222=?+?+?-=X E ; 4.1358.235)(3)53(22=+?=+=+X E X E . 2. 设随机变量X 的概率密度为 ,0,()0, 0.x e x f x x -?>?=???≤ 求X e Z X Y 22-==和的数学期望. 解 ()(2)2()22x E Y E X E X x x ∞ -====?e d , 220 1 ()()3 X x x E Z E e e e dx ∞ ---==?= ?. 3. 游客乘电梯从底层到电视塔顶观光, 电梯于每个整点的第5分钟、第25分钟和第 55分钟从底层起行. 假设一游客在早八点的第X 分钟到达底层侯梯处, 且X 在区间[0, 60] 上服从均匀分布. 求该游客等候电梯时间的数学期望. 解已知X 在[0,60]上服从均匀分布, 其概率密度为 1 ,060,()600, .x f x =?????≤≤其它 记Y 为游客等候电梯的时间,则 5,05,25,525,()55,2555,65, 5560. X X X X Y g X X X X X -<-<==-<- 第四章 大数定律与中心极限定理 4.1 设D(x)为退化分布： D(x)=?? ?≤>, 0,00 ,1x x 讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数？ (1){D(x+n)}; （2）{D(x+ n 1)}; (3){D(x-n 1 )}，其中n=1,2,…。 解：（1）（2）不是；（3）是。 4.2 设分布函数列Fn(x)如下定义： Fn(x)=?? ?????>≤<-+-≤n x n x n n n x n x ,1 ,2 ,0 问F(x)=∞ →n lim Fn(x)是分布函数吗？ 解：不是。 4.3 设分布函数列{ Fn(x)}弱收敛于分布函数F(x)，且F(x)为连续函数，则{Fn(x)}在(∞∞-,)上一致收敛于F(x)。 证：对任意的ε>0,取M 充分大，使有 1-F(x)<ε，；M x ≥? F(x)<ε, ；M x ≤? 对上述取定的M ，因为F(x)在[-M ，M]上一致连续，故可取它的k 分点：x 1=M 概率论习题解答(第4章) 第4章习题答案 三、解答题 1. 设随机变量X 的分布律为 求)(X E ，)(2 X E ，)53(+X E ． 解：E (X ) = ∑∞ =1 i i xp = ()2-4.0?+03.0?+23.0?= -0.2 E (X 2 ) = ∑∞ =1 2 i i p x = 44.0?+ 03.0?+ 43.0?= 2.8 E (3 X +5) =3 E (X ) +5 =3()2.0-?+5 = 4.4 2. 同时掷八颗骰子，求八颗骰子所掷出的点数和的数学期望． 解：记掷1颗骰子所掷出的点数为X i ，则X i 的分布律为 6 ,,2,1,6/1}{Λ===i i X P 记掷8颗骰子所掷出的点数为X ，同时掷8颗骰子，相当于作了8次独立重复的试验， E (X i ) =1/6×(1+2+3+4+5+6)=21/6 E (X ) =8×21/3=28 3. 某图书馆的读者借阅甲种图书的概率为p 1，借阅乙种图书的概率为p 2，设每人借阅甲乙 {}k X == λ λ-e k k ! ，k = 1,2,... 又P {}5=X =P {}6=X , 所以 λ λ λλ--= e e ! 6!56 5 解得 6=λ，所以 E (X ) = 6. 6. 设随机变量 X 的分布律为 ,,4,3,2,1,6 }{2 2Λ--== =k k k X P π问X 的数学期望是否存在？ 解：因为级数∑∑∑∞ =+∞ =+∞ =+-=-=?-1 1 2 1 211 221 1 )1(6)6)1(()6) 1((k k k k k k k k k k πππ， 而 ∑∞ =11k k 发散，所以X 的数学期望不存在. 7. 某城市一天的用电量X （十万度计）是一个随机变量，其概率密度为 ?????>=-.0 ,0,9 1)(3 /其它x xe x f x 求一天的平均耗电量． 解：E (X ) =??? ∞ -∞ -∞∞ -==0 3/20 3/9191)(dx e x dx xe x dx x f x x x =6. 8. 设某种家电的寿命X （以年计）是一个随机变量，其分布函数为 ?????>-=.0 , 5,25 1)(2 其它x x x F 求这种家电的平均寿命E (X )． 习题四 1 1．设随机变量X 的分布律为 2 X -1 0 1 2 k p 0.1 0.2 0.3 p 求p ，)(X E ，)12(-X E . 3 答案：4.0=p ，1)(=X E ，1)12(=-X E ； 4 2.设随机变量X 的分布律为 5 X -1 0 1 p 1p 2p 3p 且已知1.0)(=X E ,9.0)(2=X E ,求1p ，2p ，3p . 6 【解】因1231P P P ++=……①, 7 又12331()(1)010.1E X P P P P P =-++=-=……②, 8 2222 12313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+=……③ 9 由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.P P P === 10 3.设随机变量X 的概率密度为 11 =)(x f ?? ? ??≤≤-<≤.,0,21,2,10,其它x x x x 12 求)(X E ，)(X D . 13 【解】1 2 20 1 ()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞ -∞ ==+-? ?? 14 2 1 3 32011 1.33x x x ?? ??=+-=??????? ? 15 1 2 2 2 3 20 1 7 ()()d d (2)d 6 E X x f x x x x x x x +∞ -∞ ==+-= ? ?? 16 故 221 ()()[()].6D X E X E X =-= 17 4.设随机变量X 的概率密度为 18 ???? ?<≥=-. 0, 0,0,e )(2 2x x cx x f x k 19 求(1)c ；（2）)(X E ；（3）)(X D . 20 【解】(1) 由22 2 0()d e d 12k x c f x x cx x k +∞ +∞ --∞ == =? ?得2 2c k =. 21 (2) 22 20 ()()d()2e d k x E X xf x x x k x x +∞ +∞ --∞ ==? ? 22 22 220 π2e d .k x k x x +∞ -== ? 23 (3) 22 2 2 222 1()()d()2e .k x E X x f x x x k x k +∞ +∞ --∞ ==? ? 24 故 2 22221π4π ()()[()].24D X E X E X k k k ?-=-=-= ?? 25 习题四 1．设随机变量X 的分布律为 求p 答案：4.0=p ，1)(=X E ，1)12(=-X E ； 2.且已知1.0)(=X E ,9.0)(2 =X E ,求1p ，2p ，3p . 【解】因1231P P P ++=……①, 又12331()(1)010.1E X P P P P P =-++=-=……②, 2222 12313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+=……③ 由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.P P P === 3.设随机变量X 的概率密度为 =)(x f ?? ? ??≤≤-<≤.,0,21,2, 10,其它x x x x 求)(X E ，)(X D . 【解】1 2 2 1 ()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞ -∞ = =+-? ?? 2 1 3 32011 1.33x x x ?? ??=+-=??????? ? 12 22320 1 7 ()()d d (2)d 6 E X x f x x x x x x x +∞ -∞ ==+-= ? ?? 故 2 2 1()()[()].6 D X E X E X =-= 4.设随机变量X 的概率密度为 ???? ?<≥=-. 0, 0,0,e )(2 2x x cx x f x k 求(1)c ；（2）)(X E ；（3）)(X D . 【解】(1) 由 22 2 ()d e d 12k x c f x x cx x k +∞ +∞ --∞ == =? ?得22c k =. (2) 22 20 ()()d()2e d k x E X xf x x x k x x +∞ +∞ --∞ = =? ? 22 2 20 2e d 2k x k x x k +∞ -== ? (3) 22 2 2 22 2 1()()d()2e .k x E X x f x x x k x k +∞ +∞--∞ = =? ? 故 2 22 2214π()()[()].24D X E X E X k k k ?-=-=-= ?? 5. 过单位圆上一点P 作任意弦PA ，PA 与直径PB 的夹角θ服从区间?? ? ??-2,2ππ上的均匀分布，求弦PA 的长度的数学期望. 解：弦PA 的长为随机变量X ，由任意θ的密度函数为 π θπθθθθπθπ πθπ π4 1cos 2)cos 2(cos 2cos ,02 2,1)(22 = =====?????≤≤-=?-d E EX PB X PA p 故其他 6．设X 服从柯西分布，其密度函数为 +∞<<-∞+= x x x f ,) 1(1 )(2 π 问)(X E 是否存在？ 解：因为 ∞=+? +∞ ∞ -dx x x 2 11 1 π 所以EX 不存在。 7.一汽车需要通过三个设置红绿灯路口的一段路，每个路口出现什么信号灯是相互独立的，且红绿两种信号显示时间相同，以X 表示该汽车首次遇到红灯前已经通过路口的个数，求?? ? ??+X E 11. 答案： 96 67 8．设随机变量X 服从区间??? ?? - 21,21上的均匀分布，求)sin(X Y π=的数学期望与方差. 《概率论与数理统计》习题及答案 第 四 章 1．一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字1,2,2,3，今从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以,X Y 分别表示第一次，第二次取出的球上的标号，求(,)X Y 的分布列.解(,)X Y 的分布列为 其中(1,1)(1)(1|1)0P X Y P X P Y X ======= 余者类推。 2．将一枚硬币连掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出(,)X Y 的分布列及边缘分布列。解一枚硬币连掷三次相当于三重贝努里试验，故 1~(3, ).2X B 331 ()(),0,1,2,32 k P X k C k ===，于是(,)X Y 的分布列和边缘分布为 01013818i p ? 其中(0,1)(0)(1|0)0P X Y P X P Y X =======， 13 313(1,1)(1)(1|1)()128 P X Y P X P Y X C =======?=， 余者类推。 3．设(,)X Y 的概率密度为 又（1）{(,)|1,3}D x y x y =<<；（2）{(,)|3}D x y x y =+<。求{(,)}P X Y D ∈ 解（1）1 3 21 {(,)}(6)8P x y D x y dxdxy ∈ = --? =32 1 (6)8 x x y dxdy --- = )落在圆222 ()x y r r R +≤<内的概率. 解（1）222 23 20 1(R x y R C R dxdy C R C r drd ππθ+≤==-??? ? 33 3233R R C R C πππ??=-=??? ?， ∴3 3 C R π=. （2）设2 2 2 {(,)|}D x y x y r =+≤，所求概率为 322 3 23232133r r r Rr R R R πππ???? =-=-?????? ?? . 5．已知随机变量X 和Y 的联合概率密度为 求X 和Y 的联合分布函数. 解1设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则 解2由联合密度可见，,X Y 独立，边缘密度分别为 边缘分布函数分别为(),()X Y F x F y ，则 设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则 6．设二维随机变量(,)X Y 在区域:0D x <<求边缘概率密度。 解(,)X Y 的概率密度为 关于X 和Y 的密度为 第四章概率论习题__奇数.doc 1 某批产品共有M 件，其中正品N 件（0N M ≤≤）。从整批产品中随机的进行有放回抽样，每次抽取一件，记录产品是正品还是次品后放回，抽取了n 次（1n ≥）。试求这n 次中抽到正品的平均次数。 解 每次抽到正品的概率为： N M ，放回抽取，抽取n 次，抽到正品的平均次数为：N n M 3设随机变量X 的概率密度为()() 21,1f x x R x π=∈+ ，这时称X 服从标准柯西分布。试证X 的数学期望不存在。 解 由于： 202 1()2ln(1)|(1)x x f x dx dx x x ππ +∞ +∞ +∞ -∞ ==+=+∞+? ? 所以X 的数学期望不存在。 5 直线上一质点在时刻0从原点出发每经过一个单位时间向左或者向右移动一个单位，若每次移动是相互独立的，并且向右移动的概率为p （01p <<）。n η表示到时刻n 为止质点向右移动的次数，n S 表示在时刻n 时质点的位置，1n ≥。求n η与n S 的期望。 解 每次向右移动的概率为p ，到时刻n 为止质点向右移动的平均次数，即n η的期望为： ()n E np η= 时刻n 质点的位置n S 的期望为：()(1)(21)n E S np n p n p =--=- 7 某信号时间长短T （以秒计）满足：{}()112 t t P T t e e -->= +，0t ≥。用两种方法求出()E T 。 解 方法 1：由于(0)1P T ≥=，所以T 为非负随机变量。于是有： 13()(1())()(1)24 t t E T F t dt P T t dt e e dt +∞+∞ +∞ --=-=>=+=?? ? 方法二：由于(0)1P T ≥=，所以，可以求出T 的概率函数： 0,0 ()1(12),02 t t t f t e e t -- 概率论 数字特征与特征函数 2、袋中有k 号的球k 只，n k ,,2,1 =，从中摸出一球，求所得号码的数学期望。 3、随机变量μ取非负整数值0≥n 的概率为!/n AB p n n =，已知a E =μ，试决定A 与B 。 7、袋中有n 张卡片，记号码1,2,…,n,从中有放回地抽出k 张卡片来，求所得号码之和μ的数学期望及方差。 9、试证：若取非负整数值的随机变量ξ的数学期望存在，则∑∞ =≥= 1 }{k k P E ξξ。 11、若随机变量ξ服从拉普拉斯分布，其密度函数为,,21)(| |∞<<∞-=--x e x p x λ μλ 0>λ。试求 ξE ，ξD 。 13、若21,ξξ相互独立，均服从),(2 σa N ，试证π σξξ+ =a E ),max (21。 17、甲袋中有a 只白球b 只黑球，乙袋中装有α只白球β只黑球，现从甲袋中摸出()c c a b ≤+只球放 入乙袋中，求从乙袋中再摸一球而为白球的概率。 20、现有n 个袋子，各装有a 只白球b 只黑球，先从第一个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第 二个袋子中，再从第二个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第三个袋子中，照这样办法依次摸下去，最后从第n 个袋子中摸出一球并记下颜色，若在这n 次摸球中所摸得的白球总数为n S ，求 n S 。 21、在物理实验中，为测量某物体的重量，通常要重复测量多次，最后再把测量记录的平均值作为该体 质重量，试说明这样做的道理。 24、若ξ的密度函数是偶函数，且2 E ξ<∞，试证ξ与ξ不相关，但它们不相互独立。 25、若,ξη的密度函数为22 221,1 (,)0,1 x y p x y x y π?+≤?=??+>?，试证：ξ与η不相关，但它们不独立。 27、若ξ与η都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立。 26、若,U aX b V cY d =+=+，试证,U V 的相关系数等于,X Y 的相关系数。 28、若123,,ξξξ是三个随机变量，试讨论（1）123,,ξξξ两两不相关； 第四章 数字特征与特征函数 1、设μ是事件A 在n 次独立试验中的出现次数，在每次试验中p A P =)(，再设随机变量η视μ取偶 数或奇数而取数值0及1，试求ηE 及ηD 。 2、袋中有k 号的球k 只，n k ,,2,1 =，从中摸出一球，求所得号码的数学期望。 3、随机变量μ取非负整数值0≥n 的概率为 !/n AB p n n =，已知a E =μ，试决定A 与B 。 4、袋中有n 张卡片，记号码1,2,…,n,从中有放回地抽出k 张卡片来，求所得号码之和μ的数学期望及方差。 5、试证：若取非负整数值的随机变量ξ的数学期望存在，则∑∞ =≥=1 }{k k P E ξξ 。 6、若随机变量ξ服从拉普拉斯分布，其密度函数为,,21)(| |∞<<∞-=--x e x p x λμλ 0>λ。试求 ξE ，ξD 。 7、若21,ξξ相互独立，均服从),(2σa N ，试证π σξξ+ =a E ),max(21。 8、甲袋中有a 只白球b 只黑球，乙袋中装有α只白球β只黑球，现从甲袋中摸出()c c a b ≤+只球放 入乙袋中，求从乙袋中再摸一球而为白球的概率。 9、现有n 个袋子，各装有a 只白球b 只黑球，先从第一个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第 二个袋子中，再从第二个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第三个袋子中，照这样办法依次摸下去，最后从第n 个袋子中摸出一球并记下颜色，若在这n 次摸球中所摸得的白球总数为n S ，求 n S 。 10、在物理实验中，为测量某物体的重量，通常要重复测量多次，最后再把测量记录的平均值作为该体 质重量，试说明这样做的道理。 11、若ξ的密度函数是偶函数，且2 E ξ <∞，试证ξ与ξ不相关，但它们不相互独立。 12、若,ξη的密度函数为22 221,1 (,)0,1x y p x y x y π?+≤?=??+>? ，试证：ξ与η不相关，但它们不独立。 13、若ξ与η都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立。 14、若,U aX b V cY d =+=+，试证,U V 的相关系数等于,X Y 的相关系数。 第4章 随机变量的数字特征 一、选择题 1．设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量3X-2Y 的方差是 (A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 44 2．若随机变量X 和Y 的协方差(),0Cov X Y =，则以下结论正确的是（ ） (A) X 与Y 相互独立 (B) D(X+Y)=DX+DY(C) D(X-Y)=DX-DY (D) D(XY)=DXDY 3．设随机变量X 和Y 相互独立，且()()22 1122,,,X N Y N μσμσ， 则2Z X Y =+（ ） (A) ()221212,2N μμσσ++ (B) () 22 1212,N μμσσ++ (C) () 2212122,4N μμσσ++ (D) ()2212122,4N μμσσ-- 4．设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则随机变量ξ=X+Y 与η=X-Y 不相关的充要条件为 (A) EX=EY (B) E(X 2)- (EX)2= E(Y 2)- (EY)2 (C) E(X 2)= E(Y 2) (D) E(X 2)+(EX)2= E(Y 2)+ (EY)2 5．设X 、Y 是两个相互独立的随机变量且都服从于()0,1N ，则()max ,Z X Y =的数学 期望()E Z =（ ） (A) (B) 0 (C) (D) 6．设X 、Y 是相互独立且在()0,θ上服从于均匀分布的随机变量，则()min ,E X Y =????（ ） (A) 2θ (B) θ (C) 3θ (D) 4 θ 7．设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于0，则D(X+Y)=DX+DY 是X 和Y （ ） (A) 不相关的充分条件，但不是必要条件 (B) 独立的充分条件，但不是必要条件 (C) 不相关的充分必要条件 (D) 独立的充分必要条件 8．若离散型随机变量X 的分布列为(){ }()112 1,2, 2n n n P X n =-?==， 则()E X =（ ） (A) 2 (B) 0 (C) ln2 (D) 不存在 9．将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则X 和Y 的相关系数等于 （A ）－1 （B ）0 （C ）2 1 （D ）1 1. 填空 1）设~(,)X B n p ,则EX =np ，DX = npq 。 2）设~()X P λ,则EX =λ，DX =λ。 3）设~()X E λ,则EX = 1 λ，DX =21λ。 4）设[]~,X U a b ,则EX = 2 a b +，DX = () 2 12 b a -。 5)设2 ~(,)X N μσ,则EX = μ，DX =2σ。 6）设(,)~(1,1;2,9;0.5)X Y N ,则EX =1， DX = 1 ，EY = 2，DY = 9 ， (,)Cov X Y = 。 7）已知螺钉的重量服从()250, 2.5N ，则100个螺钉总重量服从分布()5000, 625N 。 2. 已知在一定工序下，生产某种产品的次品率。今在同一工序下，独立生产5000件这种产品，求至少有2件次品的概率。 解：设X 表示5000件产品中的次品数，则 ()~5000,0.001X B 。50000.0015λ=?=， 则 ()()()2100P X P X P X ≥=-=-= 50004999 10.99950000.0010.999=--?? 01 55 5510!1! e e --≈- -10.006740.033690.95957=--= 注：实际上 5000499910.99950.9990.95964--?= 3. 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的泊松分布，问在月初进货时应至少进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为。 解：设进货数件数为N ，当月销售需求为X ，则由题意知()~7X P ，且 {}7 07e 0.999! k N k P X N k -=≤=≥∑ 查泊松分布的数值表，可得16N ≥. 4 . 地下铁道列车的运行间隔时间为五分钟，一个旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望与方差。 解：设旅客在地铁进站之前的X 时刻到达，即旅客候车时间也为X ；其数学期望和 分别 为()~[0,5]X U ，52EX = ；25 12 DX =。 5.设( ){}3.02010,,10~2 =< 概率统计第四章综合作业 班级： 姓名： 学号 （A ） 1、设离散型随机变量X 服从参数为2的泊松（ Poisson ）分布，求随机变量23-=X Z 的期望与方差. 2、已知随机变量X 服从二项分布，且4.2)(=X E ，44.1)(=X D ， 求二项分布的参数p n ,的值. 3、设X 服从均值为3的指数分布，求： ]2[X E ，]2[X D ； 4、设)4 ,1(~N X ,)9 ,2(~N Y ，且X 与Y 独立，132++=Y X Z ，求Z 的分布密度. 5、设???? ??-12/1312/112/103/12~X ，求2(25)E X +，2(25)D X +. 6、设)4 ,4(~ππ- U X ，求： 3()E X ，3()D X . 7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且已知 1)]2)(1[(=--X X E 求λ. 8、设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，求2X 的数学期望. 9、设两个相互独立的随机变量X 与Y 的方差分别为4和2，求随机变量Y X 23-的方差 . （B ） 1、设随机变量X 具有密度函数 ???????<≤-≤<=. ,0,21, 2,10)(,其他x x x x x f 求)(),(X D X E . 2、设随机变量的X 概率密度为，+∞<<∞-=-X e x f x ,2 1)( 求X 的数学期望和方差. 3、设）（Y X ,的概率密度为 ???≤≤≤=其他. ,0 , 10 ,12),(2x y y y x f 求)(),(),(XY E Y E X E . 4、 设二元随机变量）（Y X ,有密度函数 ?????<<<<--=其他. 0, 10,102),(,,y x y x y x f 求相关系数XY ρ. 习题四 求 E (X ), E (X ), E (2X+3). 1 1 1 1 1 【解】(1) E(X)=(-1) 1 2 ; 8 2 8 4 2 2 2 1 2 1 2 1 2〔5 (2) E(X 2) =(-1) 2 - 02 — 12 - 22 ; 8 2 8 4 4 1 (3) E(2X 3) =2E(X) 3 = 2 — 3 = 4 2 2?已知100个产品中有10个次品，求任意取出的 5个产品中的次品数的数学期望、方差 【解】设任取出的5个产品中的次品数为 X ，则X 的分布律为 故 E(X)= 0.583 0 0. 34 0 1 0.070 2 0. 007 3 -0.501, 5 2 D(X)八[X i -E(X)] P i=Q =(0 -0.501)2 0.583 (1-0.501)2 0.340 ：：；■…川(5 - 0.501)2 0 = 0.432. 3?设随机变量X 的分布律为 且已知 E (X )=0.1,E(X )=0.9,求 P 1, P 2, P 3. 【解】因R +P 2+F 3=1……①， 又 E(X)=(—1)R +0畀十1^ = P 3 —P =0.1 ……②， E(X 2) =(—1)2 勒 +02电+12匪=只+巳=0.9…… 由①②③联立解得 P =O.4,P 2 =0.1,P 3=0.5. 4.袋中有N 只球，其中的白球数 X 为一随机变量，已知 E (X ) =n ,问从袋中任取1球为白 球的概率是多少？ 【解】记A=｛从袋中任取1球为白球｝，则 N P(A)全概率公式' P{A|X 二 k}_P{X =k} 7 N k 1 N P{X =k} kP{X = k} 7 N N k 」 1 n = N ￡(X ^N 5?设随机变量X 的概率密度为 x, 0 乞 x ：： 1, f (x )=」2 —x,1 兰x 兰2, 0,其他. 求 E (X ), D (X ). -be 1 2 2 xf (x)dx = ° x dx 亠 I x(2「x)dx 2 - - 2 1 3 2 2 E(X ) x f (x)dx x dx 亠 I x (2-x)dx = 0 1 D (X)=E(X 2) — [E(X)]2 T X ，Y , Z 相互独立，且 E (X )=5，E ( Y ) =11，E (Z )=8，求下列随机变量 (1) U=2X+3Y+1 ； (2) V=YZ -4X. 【解】(1) E[U ] = E(2X +3Y+1) = 2E(X)+3E(Y)+1 =2 5 3 11 1 = 44. (2) E[V] =E[YZ _4X] =E[YZ] _4E(X) 因Y,Z 独立E(Y) _E(Z) -4E(X) =11 8-4 5 = 68. 7?设随机变量 X ，Y 相互独立，且 E( X )=E ( Y )=3 ,D ( X )=12，D ( Y )=16,求 E ( 3X - 2Y )， D (2X -3Y ). 【解】(1) E(3X -2Y) =3E(X)-2E(Y) =3 3-2 3 =3. 2 2 (2) D(2X -3Y) =2 D(X) (-3) DY = 4 12 9 16=192. 8?设随机变量(X ，Y )的概率密度为 【解】E(X) 故 6?设随机变量 的数学期望? 第4章 数字特征与特征函数 2、袋中有k 号的球k 只，n k ,,2,1 =，从中摸出一球，求所得号码的数学期望。 3、随机变量μ取非负整数值0≥n 的概率为!/n AB p n n =，已知a E =μ，试决定A 与B 。 7、袋中有n 张卡片，记号码1,2,…,n,从中有放回地抽出k 张卡片来，求所得号码之和μ的数学期望 及方差。 9、试证：若取非负整数值的随机变量ξ的数学期望存在，则∑∞ =≥= 1}{k k P E ξ ξ。 11、若随机变量ξ服从拉普拉斯分布，其密度函数为,,21)(| |∞<<∞-= --x e x p x λ μλ 0>λ。试求 ξE ，ξD 。 13、若21,ξξ相互独立，均服从),(2σa N ，试证π σξξ+ =a E ),max(21。 17、甲袋中有a 只白球b 只黑球，乙袋中装有α只白球β只黑球，现从甲袋中摸出()c c a b ≤+只球放 入乙袋中，求从乙袋中再摸一球而为白球的概率。 20、现有n 个袋子，各装有a 只白球b 只黑球，先从第一个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第 二个袋子中，再从第二个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第三个袋子中，照这样办法依次摸下去，最后从第n 个袋子中摸出一球并记下颜色，若在这n 次摸球中所摸得的白球总数为n S ，求 n S 。 21、在物理实验中，为测量某物体的重量，通常要重复测量多次，最后再把测量记录的平均值作为该体 质重量，试说明这样做的道理。 24、若ξ的密度函数是偶函数，且2 E ξ<∞，试证ξ与ξ不相关，但它们不相互独立。 25、若,ξη的密度函数为2 2 2 2 1, 1(,)0,1 x y p x y x y π ?+≤?=??+>? ，试证：ξ与η不相关，但它们不独立。 27、若ξ与η都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立。 26、若,U aX b V cY d =+=+，试证,U V 的相关系数等于,X Y 的相关系数。 28、若123,,ξξξ是三个随机变量，试讨论（1）123,,ξξξ两两不相关；中北大学概率统计习题册第四章完整答案(详解)资料
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