Excel回归分析结果的详细阐释

Excel回归分析结果的详细阐释

利用Excel的数据分析进行回归，可以得到一系列的统计参量。下面以连续10年积雪深度和灌溉面积序列（图1）为例给予详细的说明。

图1 连续10年的最大积雪深度与灌溉面积（1971－1980）

回归结果摘要（Summary Output）如下（图2）：

图2 利用数据分析工具得到的回归结果

第一部分：回归统计表

这一部分给出了相关系数、测定系数、校正测定系数、标准误差和样本数目如下（表1）：

表1 回归统计表

逐行说明如下：

Multiple 对应的数据是相关系数(correlation coefficient)，即R=0.989416。 R Square 对应的数值为测定系数(determination coefficient)，或称拟合优度(goodness of fit)，它是相关系数的平方，即有R 2=0.9894162=0.978944。

Adjusted 对应的是校正测定系数(adjusted determination coefficient)，计算公式为

1

)

1)(1(12-----=m n R n R a

式中n 为样本数，m 为变量数，R 2为测定系数。对于本例，n =10，m =1，R 2=0.978944，代入上式得

976312.01

110)

978944.01)(110(1=-----

=a R

标准误差（standard error ）对应的即所谓标准误差，计算公式为

SSe 1

1

--=

m n s

这里SSe 为剩余平方和，可以从下面的方差分析表中读出，即有SSe=16.10676，代入上式可得

418924.110676.16*1

1101

=--=

s

最后一行的观测值对应的是样本数目，即有n =10。

第二部分，方差分析表

方差分析部分包括自由度、误差平方和、均方差、F 值、P 值等（表2）。

表2 方差分析表（ANOVA ）

逐列、分行说明如下：

第一列df 对应的是自由度（degree of freedom ），第一行是回归自由度dfr ，等于变量数目，即dfr=m ；第二行为残差自由度dfe ，等于样本数目减去变量数目再减1，即有dfe=n -m -1；第三行为总自由度dft ，等于样本数目减1，即有dft=n -1。对于本例，m =1，n =10，因此，dfr=1，dfe=n -m -1=8，dft=n -1=9。

第二列SS 对应的是误差平方和，或称变差。第一行为回归平方和或称回归变差SSr ，即有

8542.748)?(SSr 1

2=-=∑=n

i i i y y

它表征的是因变量的预测值对其平均值的总偏差。

第二行为剩余平方和（也称残差平方和）或称剩余变差SSe ，即有

10676.16)?(SSe 1

2=-=∑=n

i i i y

y

它表征的是因变量对其预测值的总偏差，这个数值越大，意味着拟合的效果越差。上述的y 的标准误差即由SSe 给出。

第三行为总平方和或

称总变差SSt ，即有

它表示的是因变量对其平均值的总偏差。容易验证748.8542+16.10676=764.961，即有

SSt SSe SSr =+

而测定系数就是回归平方和在总平方和中所占的比重，即有

978944.0961

.7648542

.748SSt SSr 2===

R 显然这个数值越大，拟合的效果也就越好。

第四列MS 对应的是均方差，它是误差平方和除以相应的自由度得到的商。第一行为回归均方差MSr ，即有

8542.7481

8542

.748dfr SSr MSr ===

第二行为剩余均方差MSe ，即有

013345.28

10676

.16dfe SSe MSe ===

显然这个数值越小，拟合的效果也就越好。

第四列对应的是F 值，用于线性关系的判定。对于一元线性回归，F 值的计算公式为

2222

1dfe )

1(1

1

R

R R m n R F -=---=

式中R 2=0.978944，dfe=10-1-1=8，因此

9453.371978944

.01978944

.0*8=-=

F

第五列Significance F 对应的是在显著性水平下的F α临界值，其实等于P 值，即弃真概率。所谓“弃真概率”即模型为假的概率，显然1-P 便是模型为真的概率。可见，P 值越小越好。对于本例，P =0.0000000542<0.0001，故置信度达到99.99%以上。

第三部分，回归参数表

回归参数表包括回归模型的截距、斜率及其有关的检验参数（表3）。

表3 回归参数表

第一列Coefficients 对应的模型的回归系数，包括截距a =2.356437929和斜率b =1.812921065，由此可以建立回归模型

i i x y

8129.13564.2?+= 或

961

.764)(SSr 1

2=-=∑

=n

i i i y y

i i i x y ε++=8129.13564.2

第二列为回归系数的标准误差（用a s ?或b s ?表示），误差值越小，表明参数的精确度越高。这个参数较少使用，

只是在一些特别的场合出现。例如L. Benguigui 等人在When and where is a city fractal ?一文中将斜率对应的标准误差值作为分形演化的标准，建议采用0.04作为分维判定的统计指标（参见EPB2000）。

不常使用标准误差的原因在于：其统计信息已经包含在后述的t 检验中。

第三列t Stat 对应的是统计量t 值，用于对模型参数的检验，需要查表才能决定。t 值是回归系数与其标准误差的比值，即有

a a s a t ?=

，b b s

b t ?=

根据表3中的数据容易算出：

289167.1827876

.1356438

.2==

a t ，28588.19094002.0812921.1==

b t 对于一元线性回归，t 值可用相关系数或测定系数计算，公式如下

1

12

---=

m n R

R t

将R=0.989416、n =10、m =1代入上式得到

28588.191

110989416.01989416.02

=---=

t

对于一元线性回归，F 值与t 值都与相关系数R 等价，因此，相关系数检验就已包含了这部分信息。但是，对于多元线性回归，t 检验就不可缺省了。

第四列P value 对应的是参数的P 值（双侧）。当P<0.05时，可以认为模型在α=0.05的水平上显著，或者置信度达到95%；当P <0.01时，可以认为模型在α=0.01的水平上显著，或者置信度达到99%；当P <0.001时，可以认为模型在α=0.001的水平上显著，或者置信度达到99.9%。对于本例，P=0.0000000542<0.0001，故可认为在α=0.0001的水平上显著，或者置信度达到99.99%。P 值检验与t 值检验是等价的，但P 值不用查表，显然要方便得多。

最后几列给出的回归系数以95%为置信区间的上限和下限。可以看出，在α=0.05的显著水平上，截距的变化上限和下限为-1.85865和6.57153，即有

57153.685865.1≤≤-a

斜率的变化极限则为1.59615和2.02969，即有

02969.259615.1≤≤b

第四部分，残差输出结果

这一部分为选择输出内容，如果在“回归”分析选项框中没有选中有关内容，则输出结果不会给出这部分结果。

残差输出中包括观测值序号（第一列，用i 表示），因变量的预测值（第二列，用i y ?表示），残差（residuals ，

第三列，用e i 表示）以及标准残差（表4）。

表4 残差输出结果

预测值是用回归模型

i i x y

8129.13564.2?+= 计算的结果，式中x i 即原始数据的中的自变量。从图1可见，x 1=15.2，代入上式，得

118129.13564.2?x y

+=91284.292.15*8129.13564.2=+= 其余依此类推。

残差e i 的计算公式为

i i i y

y e ?-= 从图1可见，y 1=28.6，代入上式，得到

31284.191284.296.28?111-=-=-=y

y e 其余依此类推。

标准残差即残差的数据标准化结果，借助均值命令average 和标准差命令stdev 容易验证，残差的算术平均值为0，标准差为1.337774。利用求平均值命令standardize(残差的单元格范围，均值，标准差)立即算出表4中的结果。当然，也可以利用数据标准化公式

)

var(*i i i z z z z -=

i

i z

z σ-=

逐一计算。将残差平方再求和，便得到残差平方和即剩余平方和，即有

10676.16)?(1

21

2

=-==∑∑==n

i i i n i i y

y e SSe 利用Excel 的求平方和命令sumsq 容易验证上述结果。

以最大积雪深度x i 为自变量，以残差e i 为因变量，作散点图，可得残差图（图3）。残差点列的分布越是没有趋势（没有规则，即越是随机），回归的结果就越是可靠。

用最大积雪深度x i 为自变量，用灌溉面积y i 及其预测值i y ?为因变量，作散点图，可得线性拟合图（图4）。

图3 残差图

图4 线性拟合图

第五部分，概率输出结果

在选项输出中，还有一个概率输出（Probability Output）表（表5）。第一列是按等差数列设计的百分比排位，第二列则是原始数据因变量的自下而上排序（即从小到大）——选中图1中的第三列（C列）数据，用鼠标点击自下而上排序按钮，立即得到表5中的第二列数值。当然，也可以沿着主菜单的“数据(D)→排序(S)”路径，打开数据排序选项框，进行数据排序。

用表5中的数据作散点图，可以得到Excel所谓的正态概率图（图5）。

表5 概率输出表

图5 正态概率图

【几点说明】

第一，多元线性回归与一元线性回归结果相似，只是变量数目m≠1，F值和t值等统计量与R值也不再等价,因而不能直接从相关系数计算出来。

第二，利用SPSS给出的结果与Excel也大同小异。当然，SPSS可以给出更多的统计量，如DW值。在表示方法上，SPSS也有一些不同，例如P Value（P值）用 Sig.（显著性）表征，因为二者等价。只要

能够读懂Excel的回归摘要，就可以读懂SPSS回归输出结果的大部分内容。

更多相关资料，请参考https://www.doczj.com/doc/0411702377.html,