教 学 内 容
【基础知识】
常考知识点总结：
1、二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
注：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2、二次函数2y ax bx c =++的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项 3、()2
y a x h k =-+的性质：
4、二次函数2y ax bx c =++的性质：
（1） 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a
a ??-- ?
??，；当2b
x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b
x a =-时，y 有最小值
244ac b a -． （2） 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a
a ??-- ???，；当2b
x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a
=-时，y 有最大值
244ac b a -。 5、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一
般来说，有如下几种情况：
（1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
（2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； （3）已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 6、二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系（0a >时）：
常考题型：
题型一：根据图像，判断a 、b 、c 的关系问题。
1、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图1所示，?则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0.其中正确的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
图1 图2 图3
2、小强从如图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）0a <；（2） 1c >；（3）0b >；（4） 0a b c ++>； （5）0a b c -+>；你认为其中正确信息的个数有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
3、已知=次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图3．则下列5个代数式： ac ，a+b+c ，4a －2b+c ， 2a+b ，2a －b 中，其值大于0的个数为（ ） A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
4、二次函数c bx ax y ++=2
的图象如图4所示，则abc ，ac b 42-，c b a ++这3个式子中，
0?> 抛物线与x 轴
有两个交点
二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根
0?= 抛物线与x 轴
只有一个交点
二次三项式的值为非负
一元二次方程有两个相等的实数根
0?< 抛物线与x 轴
无交点
二次三项式的值恒为正
一元二次方程无实数根.
1211O
1
x
y
2
1
-1
O
x
y
值为正数的有 。
5、如图5所示，二次函数()02
≠++=a c bx ax y 的图象经过点()2,1-,且与x 轴交点的横坐标
为1x 、2x ,其中121-<<-x 、102<
ac a b 482>+正确的结论是 。
图6、已知抛物线①a ＜0；②a ＋b ＋c ＞0；③－2a
＞0，则正确的是 。 题型二：比较大小问题。
1、若A （－4，y1），B （－3，y2），C （1，y3）为二次函数y=x 2+4x －5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A ．y1＜y2＜y3
B ．y2＜y1＜y3
C ．y3＜y1＜y2
D ．y3＜y2＜y1 2、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图6所示，若c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则
（ ）
A ．0>M ，0>N ，0>P
B ．0
C ．0>M ，0
D ．0 图6 3、已知抛物线2y ax bx c =++（a ＜0）过A （2-，0）、O （0，0）、B （3-，1y ）、C （3，2y ）四点，则1y 与2y 的大小关系是（ ） A ．1y ＞2y B ．1y 2y = C ．1y ＜2y D ．不能确定 题型三：点坐标及平移问题。 1、二次函数2y ax bx c =++的图像如图1，则点),(c b M 在（ ） A 图1 图2 2、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图2所示，则点(,)ac bc 在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=3的一个根为x=2，且二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为（ ） A ．(2，-3) B ．(2，1) C ．(2，3) D ．(3，2) 4、将抛物线C ：y=x 2+3x-10，将抛物线C 平移到C /。若两条抛物线C,C /关于直线x=1对称，则下列平移方法中正确的是（ ） A ．将抛物线C 向右平移2.5个单位 B ．将抛物线 C 向右平移3个单位 C ．将抛物线C 向右平移5个单位 D ．将抛物线C 向右平移6个单位 5、二次函数2241y x x =--的图象是由22y x bx c =++的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ，c= 。 6、已知二次函数y=ax 2＋bx －3的图象经过点A （2，－3），B （－1，0）． （1）求二次函数的解析式； （2）若要使该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求出应把图象沿y 轴向上平移多少个单位。 题型四：图像和单调性问题。 1、函数y=ax+b 和y=ax 2+bx+c 在同一直角坐标系内的图象大致是（ ） 2、在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能是（ ） P A O E C D 图3 3、已知函数y=-x 2+2x+c 的部分图象如右图3所示,则c=______，当x______时；y 随x 的增大而减小。 4、已知抛物线y=-2（x+3）2+5，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是 。 5、已知二次函数y=x 2+bx+c 中，函数与自变量的部分对应值如下表： （1）求该二次函数的关系式； （2）当x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？ 题型五：面积和三角形问题。 1、如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半径OA 上一点，PC ⊥AB ，点D 是半圆上位于PC 右侧的一点，连接AD 交线段PC 于点E ，且PD ＝PE ． (1)求证：PD 是⊙O 的切线； (2)若⊙O 的半径为4，PC ＝8，设OC ＝x ，PD 2＝y ；求y 关于x 的函数关系式； 2、如图，抛物线2y x bx c =+-经过直线3y x =-与坐标轴的两个交点A 、B ，此抛物线与x 轴 y x … … … … x 1-01234y 1052125 的另一个交点为C，抛物线顶点为D. （1）求此抛物线的解析式； （2）点P为抛物线上的一个动点，求使 APC S ? ： ACD S ? =5 ：4的点P的坐标。 3、二次函数y=ax2＋bx+c的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点 A(1，0)和点B(0，l)． (1)试求a，b所满足的关系式； (2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当△AMC的面积为△ABC面积的1.25倍时，求a的值？ 4、如图，已知抛物线（a≠0）与轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C； (1) 求抛物线的解析式； (2) 设抛物线的对称轴与轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。 3 2+ + =bx ax y x x 5、如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为Q(2,-1)，且与y 轴交于点C(0,3)，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一个动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ． (1)求该抛物线的函数关系式； (2)当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标。 6、如图，抛物线y=-x 2 +2x+3与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点 C ，顶点为 D 。 （1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF DE ∥交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ； ①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？②设BCF △的面积为S ，求S 与m 的函数关系式。 x y D C A O B （第24 题型六：二次函数的应用。 1、某种爆竹点燃后，其上升高度h （米）和时间t （秒）符合关系式201 2 h v t gt =- （0 其中重力加速度g 以10米/秒2计算．这种爆竹点燃后以v 0=20米/秒的初速度上升， （1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？ （2）在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由。 2、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价一元，日销售量将减少20千克。 （1）现要保证每天盈利6000元，同时又要让顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （2）若该商场单纯从经济角度看，那么每千克应涨价多少元，能使商场获利最多？ 3、为迎接建国60周年，某公司设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，其中工艺品的销售单价x（元∕件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示关系；（1）请根据图象直接写出当销售单价定为30元和40元时相应的 日销售量；（2）①试求出y与x之间的函数关系式；②若物价部门规 定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少 时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利 润=销售总价－成本总价）。
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