2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验
试卷
理科数学（问卷）
(卷面分值：150分考试时间：120分钟）
第I 卷（选择题共60分）
一、选择题：共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合A= {x|| x| >1}，B = {x|x =R ，则m 的值可以是 A. -1 B.O C 1 D. 2 2. b R A. (1，2) B. (2，-i ) C.(2,1) D.(1，-2) 3. “a ＞0”是“20a a +≥”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 函数22()log (1),()log (1)f x x g x x =+=-，则f （x ）－g （x ） 是 A.奇函数 B.偶函数 C.既不是奇函数又不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 5. 已知函数0,0 (),0x x f x e x ≤?=?>? ，则使函数g （x ）＝f （x ）＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是 A.[0,1) B.(,1)-∞ C 、(,1](2,)-∞?+∞ D. (,0](1,)-∞?+∞ 6. 设n S 为等差数列{n a }的前n 项和，若1321,5,36k k a a S S +==-=，则k 的值为 A.8 B. 7 C. 6 D.5 7. 函数()2sin()(0,0)f x x ω?ω?π=+>≤≤的部分图象如图所示，其 中A ，B 两点之间的距离为5，则f(x )的递增区间是 A.［6k －1,6k ＋2］（k ∈Z ） B.［6k －4,6k －1］（k ∈Z ） C.［3k －1,4k ＋2］（k ∈Z ） D.［3k －4,3k －1］（k ∈Z ） 8. 执行右边的程序框图，若输出的S 是127，则条件①可以为 A 、n≤5 B 、n≤6 C 、n≤7 D 、n≤8 9. 如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 是AB 的三等分点，G 、H 是 CD 的三等分点，M 、N 分别是BC 、EH 的中点，则四棱锥A 1 -FMGN 的 侧视图为 三角形(含边界与内部）.若点（x ，y ) ∈ D ,则x + y 的最小值为 A. -1 B.0 C. 1 D.3 11.如图，椭圆的中心在坐标原点0，顶点分别是A 1, A 2, B 1, B 2，焦点分别为F 1 ,F 2，延长B 1F 2 与A 2B 2交于P 点，若为钝角，则此椭 圆的离心率的取值范围为 12. 中，若，则 第II 卷（非选择题共90分） 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作 答.第22题?第24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分. 13. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.根据 收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程 表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为______ . 14. 如图，单位正方体A BCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 在平面A 1BC 1上，则三棱 锥P-A CD 1的体积 为______ 15. 点A(x ，y)在单位圆上从出发，沿逆时针方向做匀速圆 周运动，每12秒运动一周.则经过时间t 后，y 关于t 的函数解析式 为______ 16. 设A 、B 为在双曲线上两点，O 为坐标原点.若OA 丄OB,则ΔAOB 面 积的最小值为______ 三、解答题：第17?21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演 算步骤. . 17. (本小题满分12分） 已知数列{a n }、{b n }分别是首项均为2的各项均为正数的等比数列和等差数列，且 (I) 求数列{a n }、{b n }的通项公式； (II )求使n b a <0.001成立的最小的n 值. 18. (本小题满分12分） PM2. 5是指大气中直径小于或等于2. 5微米的颗粒物，也称为 可人肺颗粒物.我国PM2. 5标准采用世卫组织设定的最宽限 值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级； 在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在 75微克/立方米以上空气质量为超标. 某市环保局从市区2012年全年每天的PM2.5监测数据中 随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶） (I)从这15天的数据中任取3天的数据，记表示其中空气质量达到一级的天数ξ，求的ξ分布列； (II) 以这15天的PM2. 5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年(按360天计算）中大约有多少天的空气质量达到一级. 19. (本小题满分12分） 在正四棱锥V - A BCD 中，P ，Q 分别为棱VB ，VD 的中点， 点 M 在边 BC 上，且 BM: BC = 1 ： 3，A B = ，V A = 6. (I )求证CQ 丄A P; (I I )求二面角B -A P -M 的余弦值. 20. (本小题满分12分） 已知点F( 1，0)， 与直线4x+3y + 1 ＝0相切，动圆M 与 及y 轴都相切. (I )求点M 的轨迹C 的方程； (II )过点F 任作直线l ，交曲线C 于A ，B 两点，由点A ，B 分别向各引一条切线，切 点 分别为P ，Q ，记 .求证sin sin αβ+是定值. 21. (本小题满分12分） (I)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的句线与X轴平行，求函数f(x)的单调区间； (II)若对一切正数x，都有恒成立，求a的取值集合. 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图，AB是的直径，AC是弦，直线CE和切于点C，AD 丄CE，垂足为D. (I) 求证:AC平分； (II) 若A B=4A D，求的大小. 23. (本题满分10分)选修4 －4：坐标系与参数方程 将圆上各点的纵坐标压缩至原来的，所得曲线记作C;将直线3x-2y-8=0 绕原点逆时针旋转90°所得直线记作l. (I)求直线l与曲线C的方程； (II)求C 上的点到直线l 的最大距离. 24. (本题满分10分)选修4 - 5 ：不等式选讲 设函数， . (I ) 求证 ； (II)若成立，求x 的取值范围. 参考答案 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分. 1.选D.【解析】11x x >?>或1x <-，由A B =R ，得1m >． 2.选C.【解析】122+=-i i i ，其共轭复数为2+i ，即2+=+a bi i ，所以2,1==a b . 3.选A.【解析】0a >?20a a +≥；反之2 0a a +≥?0,1a a ≥≤-或，不能推出0a >． 4.选A.【解析】()()f x g x -的定义域为()1,1-记()F x =()()f x g x -2 1log 1x x +=-，则 ()F x -=21log 1x x -+1 21log 1x x -+?? = ? -?? 2 1log 1x x +=--()F x =-，故()()f x g x -是奇函数. 5.选D.【解析】函数()()g x f x x m =+-的零点就是方程()f x x m +=的根，作出 (), 0(),0 x x x h x f x x e x x ≤?=+=?+>?的图象，观察它与直线y m =的交点，得知当0m ≤时， 或1m >时有交点，即函数()()g x f x x m =+-有零点. 6.选A.【解析】由11a =，35a =，解得2d =，再由：221 k k k k S S a a +++-=+ 12(21)4436a k d k =++=+=，解得8k =. 7.选B.【解析】5,4A B AB y y =-=，所以3A B x x -=，即 32 T =，所以26T π ω = =， 3 π ω= 由()2sin 3f x x π ???=+ ???过点()2,2-，即22sin 23π???+=- ??? ，0?π≤≤， 解得56 π?= ，函数为()52sin 3 6f x x ππ?? =+ ? ?? ，由5222362k x k ππππππ-≤+≤+， 解得 6461k x k -≤≤-，故函数单调递增区间为[]()64,61k k k --∈Z . 8.选B.【解析】依题意21122221+=++++=- n n S ，有121127+-=n ，故6=n . 9.选C.【解析】（略）. 10.选B.【解析】双曲线的渐近线为12 y x =±，抛物线的准线为2x =，设z x y =+，当直线 过点()0,0O 时，min 0=z . 11.选D.【解析】易知直线22B A 的方程为0bx ay ab +-=，直线12B F 的方程为 0bx cy bc --=，联立可得()2,b a c ac P a c a c -?? ?++??，又()()21,0,0,A a B b -， ∴122,ac ab PB a c a c --??= ?++?? ，()()2,a a c b a c PA a c a c ---??= ?++?? ， ∵12B PA ∠为钝角∴210PA PB ?< ，即()()() () 2 2 22 220a c a c ab a c a c a c ---+<++， 化简得2b ac <，22a c ac -<，故2 10c c a a ?? +-> ??? ，即210e e +-> ，e > 或 e < 01e << 1< 12.选B.【解析】设ABC ?中， ,,a b c 分别是,,A B C ∠∠∠所对的边，由 ( ) 235CA CB AB AB +?= 得235 CA AB CB AB AB ?+?= 即()2 3cos cos 5 bc A ac B c π-+= ，∴3cos cos 5 a B b A c -= ∴2 2 2 2 2 2 3225 a c b b c a a b c ac bc +-+-? -? = ，即22 2 35 a b c -= ， ∴ 2 22 22 2 2 2 222222 223 tan sin cos 2543tan sin cos 52a c b c c A A B a a c b ac b c a B B A b b c a c c bc +-++-= ?=?===+-+--+. 二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分. 13.填68．【解析】设遮住部分的数据为m ，10+20+30+40+50 305 =x =， 由?0.67+54.9y =x 过()x,y 得0.6730+54.9=75?y = ∴ 62++75+81+89 =755 m ，故68=m . 14.填 16 ．【解析】平面11A BC ∥平面1ACD ，∴P 到平面1ACD 的距离等于平面11A BC 与平面 1ACD 间的距离，等于113 B D = 1 111sin 602 ACD S AD CD ?= ??= ， ∴三棱锥1P ACD - 的体积为113 6 = . 15.填sin 6 3y t ππ?? =+ ??? ． 【解析】03 xOA π ∠=，点A 每秒旋转 212 6 ππ = ，所以秒旋转 6 t π ， 06 A OA t π ∠= ，6 3 xOA t π π ∠= + ，则sin y xOA =∠sin 6 3t ππ?? =+ ??? . 16.填 222 2 a b b a -．【解析】设直线OA 的方程为y kx =，则直线OB 的方程为1y x k =- ， 则点()11,A x y 满足22221 y kx x y a b =???-=??故22222 22 11222222 ,a b a b k x y b a k b a k ==--， ∴()2 2 2 2 2211222 1k a b OA x y b a k +=+= -，同理()2 2 2 2 222 1k a b OB k b a += -， 故()()2 2 2 2 2 2 22 222 222 11k a b k a b OA OB b a k k b a ++?= ? --() () 44 2 2 2 2 2 2 2 2 1a b k a b a b k = -++? + ∵ () 2 2 2 2 2 1114 12 k k k k =≤++ +（当且仅当1k =±时，取等号） ∴() 4422 2 2 2 4a b OA OB b a ?≥ -，又0b a >>，故12 AOB S OA OB ?= ?的最小值为 222 2 a b b a -. 三、解答题：共6小题，共70分. 17.（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ，依题意()2422226 d q d q +=???? +?=?? 解得212d q =???=??，或538d q =-???=-?? （舍） ∴2 12n n a -?? = ???，2n b n =； …6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得22 212n n b n a a -?? == ??? ， 因为22 10.0010.0012n n b a -?? ?? 22 2 1000n -?>， 所以2210n -≥，即6n ≥，∴最小的n 值为6. …12分 18.（Ⅰ）依据条件，ξ服从超几何分布：其中15,5,3N M n ===，ξ的可能值为0,1,2,3， 其分布列为：()()3510 3 15 0,1,2,3k k C C P k k C ξ-?== =. …6分 （Ⅱ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为5 115 3 P = =， 一年中空气质量达到一级的天数为η，则1~360,3B η?? ?? ? ，∴13601203 E η=? =（天） 所以一年中平均有120天的空气质量达到一级. …12分 19．设正方形ABCD 的中心为O ，N 为AB 的中点，R 为BC 的中点，分别以ON ，OR ， OV 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系， 在Rt VOB ?中，可得OV =， 则(0,,V )0,A ) 0B ， () 0,C ( ) 0,D 0,M ? ??? ,P Q ? ?. 于是() ,0,0,AP AB ?== ? ξ 0 2 3 P 24 91 4591 2091 2 91 0,AM ??= ? ??? CQ = . （Ⅰ）∵0AP CQ ??=?= ? ， ∴CQ AP ⊥ ，即CQ ⊥AP ； …6分 （Ⅱ）设平面BAP 的法向量为()1,,a b c =n ，由00AP AB ??=???=?? 11n n 得300a b b ?--=? ?=? ? 故) 10,1= n ，同理可得平面APM 的法向量为()23,1,0=n ， 设二面角B AP M --的平面角为θ ，则cos θ?= = 1212 n n n n ． …12分 20．（Ⅰ）⊙F 1=，⊙F 的方程为()2 2 11x y -+=， 由题意动圆M 与⊙F 及y 轴都相切，分以下情况： （1）动圆M 与⊙F 及y 轴都相切，但切点不是原点的情况： 作MH ⊥y 轴于H ，则1MF MH -=，即1MF MH =+，则MF MN =（N 是过M 作直线1x =-的垂线的垂足），则点M 的轨迹是以F 为焦点，1x =-为准线的 抛物线． ∴点M 的轨迹C 的方程为()2 40y x x =≠； （2）动圆M 与⊙F 及y 轴都相切且仅切于原点的情况： 此时点M 的轨迹C 的方程为0(0,1)y x =≠； …6分 （Ⅱ）对于（Ⅰ）中（1）的情况： 当不与x 轴垂直时，直线的方程为()1y k x =-，由()2 14y k x y x =-??? =??得 ()2 2 2 2 240k x k x k -++=，设()()1122,,,A x y B x y ，则2 12122 24,1k x x x x k ++= = ∴121111sin sin 1 1 AF BF x x αβ+= + = + ++12121212122211 11 x x x x x x x x x x ++++= = =++++++， 当与x 轴垂直时，也可得sin sin 1αβ+=， 对于（Ⅰ）中（2）的情况不符合题意（即作直线，交C 于一个点或无数个点，而非两 个交点）. 综上，有sin sin 1αβ+=． …12分 21．（Ⅰ）∵()11f x ax '= -， ∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率为()111k f a '== -， 依题意 110a -=，故1a =，∴()ln f x x x =-，()11f x x '= -， 当01x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；所以函数()f x 的单调增区间为()0,1，减区间为()1,+∞； …6分 （Ⅱ）若0a <，因为此时对一切()0,1x ∈，都有 ln 0x a >，10x -<，所以 ln 1x x a >-， 与题意矛盾，又0a ≠，故0a >，由()11f x ax '= -，令()0f x '=，得1x a = . 当10x a << 时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当1x a > 时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；所以()f x 在1 x a = 处取得最大值 111ln a a a - ，故对x + ?∈R ，()1f x ≤-恒 成立，当且仅当对a + ?∈R ， 111ln 1a a a -≤-恒成立． 令 1t a =，()ln g t t t t =-，0t >. 则()ln g t t '=，当01t <<时，()0g t '<，函数()g t 单调递减；当1t >时，()0g t '>，函数()g t 单调递增；所以()g t 在1t =处取得最小值1-，因此，当且仅当11a =， 即1a =时， 111ln 1a a a -≤-成立． 故a 的取值集合为{}1． …12分 22．（Ⅰ）连接BC ，∵AB 是O 的直径，∴90∠=?ACB . ∴90∠+∠=?B CAB ∵⊥AD CE ，∴90∠+∠=?ACD DAC ， ∵AC 是弦，且直线CE 和O 切于点C ， ∴∠=∠ACD B ∴∠=∠DAC CAB ，即AC 平分∠BAD ； …5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知?? ABC ACD ，∴ =AC AD AB AC ，由此得2 =?AC AB AD . ∵4=AB AD ，∴22 442=??=AC AD AD =AD AC AD ，于是60∠=?DAC ， 故∠BAD 的大小为120?． …10分 23．（Ⅰ）设曲线C 上任一点为(),x y ，则(),2x y 在圆224x y +=上， 于是()2 2 24x y +=即 2 2 14 x y +=. 直线3280x y --=的极坐标方程为3cos 2sin 80ρθρθ--=，将其记作0l ， 设直线上任一点为(),ρθ，则点(),90ρθ-?在0l 上， 于是()()3cos 902sin 9080ρθρθ-?--?-=，即：3sin 2cos 80ρθρθ+-= 故直线的方程为2380x y +-= …5分 （Ⅱ）设曲线C 上任一点为()2cos ,sin M ??， 它到直线的距离为d 其中0?满足：0043cos ,sin 5 5 ??== . ∴当0??π-=时，max d = …10分 24．（Ⅰ）()12(1)(2)1f x x x x x =-+-≥---=． …5分 2= =≥， 成立，需且只需122x x -+-≥， 即1122x x x x x x ≥??-+-≥?，解得12x ≤，或5 2x ≥ 故x 的取值范围是15,,22 ???? -∞+∞ ???? ? ? ? . …10分 以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分．
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