古典概型与几何概型
1．【2018年理新课标I卷】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC 的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则
A. p1=p2
B. p1=p3
C. p2=p3
D. p1=p2+p3
【答案】A
【解析】分析：首先设出直角三角形三条边的长度，根据其为直角三角形，从而得到三边的关系，之后应用相应的面积公式求得各个区域的面积，根据其数值大小，确定其关系，再利用面积型几何概型的概率公式确定出p1，p2，p3的关系，从而求得结果.
详解：设，则有，从而可以求得的面积为，黑色部分的面积为
，
其余部分的面积为，所以有，根据面积型几何概型的概率公式，可以得到，故选A.
点睛：该题考查的是面积型几何概型的有关问题，题中需要解决的是概率的大小，根据面积型几何概型的概率公式，将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小，利用相关图形的面积公式求得结果.
2．【2018年理新课标I卷】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是
A. 新农村建设后，种植收入减少
B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【答案】A
详解：设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B 项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的
，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；故选A. 3．【2018年理数全国卷II】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.
详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两
个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不
同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C.
4.【2017课标1，理】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆
中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A．1
4
B．
π
8
C．1
2
D．
π
4
【答案】B
【解析】
【考点】几何概型
5.【2017山东，理8】从分别标有1，2， ，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是
（A）5
18（B）
4
9
（C）
5
9
（D）
7
9
【答案】C
【考点】古典概型
6.【2017江苏，7】 记函数2()6f x x x =+-的定义域为D .在区间[4,5]-上随机取一个数x ,
则x D ∈的概率是 ▲ . 【答案】
59
【考点】几何概型概率
7.（2016年全国I 高考）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间
到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是
（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34
【答案】B
8、（2016年全国II 高考）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为
（A ）
4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n
【答案】C
9.（2016年山东高考）在],[
11－上随机的取一个数k ，则事件“直线kx y =与圆9522=+)(y x －相交”发生的概率为
【答案】
4
3．
10.【2015高考广东，理4】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ） A ．1 B. 2111 C. 2110 D. 21
5
【答案】B ．
【解析】从袋中任取2个球共有215105C =种，其中恰好1个白球1个红球共有1110550C C =种，
所以从袋中任取的2个球恰好1个白球1个红球的概率为
5010
=10521
，故选B ． 11.【2015高考陕西，理11】设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率为（ ）
A ．3142π+
B ．1142π-
C ．11
2π- D ．112π
+
【答案】B
【考点定位】1、复数的模；2、几何概型．
12.【2015高考福建，理13】如图，点A 的坐标为()1,0 ，点C 的坐标为()2,4 ，函数()2
f x x = ，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等
于 ． 【答案】
512
【解析】由已知得阴影部分面积为2
21
75
4433
x dx -
=-
=?
．所以此点取自阴影部分的概率等于5
5
3412
=．
13.【2015江苏高考，5】袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________. 【答案】5
.6
【解析】从4只球中一次随机摸出2只，共有6种摸法，其中两只球颜色相同的只有1种，不同的共有5种，所以其概率为5
.6
【考点定位】古典概型概率
14．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )
A.18
B.38
C.58
D.78
5．D 15．[2014·陕西卷] 从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于．．．
该正方形边长的概率为 ( ) A.15 B.25 C.35 D.4
5
6．C 16．[2014·辽宁卷] 正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1，1)，D(－1，1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图1-3所示．若将—个质点随机投入正方形ABCD 中，则
质点落在图中阴影区域的概率是________．
14.23
17.（2013年高考四川卷（理））节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪
亮相互独立,若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内4秒为间隔闪
亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 （ ）
A ．
14
B ．
12
C ．
34
D ．
78
C
设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x ，y ，由题意可得0≤x ≤4，0≤y ≤4，
它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x ﹣y|≤2，由几何概型可得所求概率为上述两平
面区域的面积之比，
由图可知所求的概率为：=。
故选C
18．（2013年高考上海卷（理））盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意
取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________(结果用最简分数表示)
13
18
. 【解答】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为252913
118
C C -=．
19．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））利用计算机产
生0~1之间的均匀随机数a,则时间“310a ->”发生的概率为________
23
13103a a ->∴>Q a Q 产生0~1之间的均匀随机数1(,1)3a ∴∈1
12313
p -
∴== 20．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））从n 个
正整数1,2,n …中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为
1
14
,则n =________.
8
从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于5的情况有：（1，4），（2，3）共2种情况；
从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数的所有不同取法种数为，由古典概型
概率计算公式得：
从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于5的概率为
p=．
所以，即，解得n=8．