自主招生试题选讲(清华、北大、交大等)
清华大学、上海交通大学、中国科学技术大学、南京大学、西安交通大学五所顶尖大学自主招生上强强联手,掀开了国内高招史上的新篇章
自主招生试题特点:试题难度高于高考,有的达到竞赛难
度,试题灵活,毫无规律可寻,但各个学校有自己命题风
格。一般说来,各高校对后续性的知识点:如,函数、不等式、排列组合等内容相对占比例稍高。
应试策略:1、注重基础:一般说来,自主招生中,基础题目分数比例大约占60-70%
2、适当拓展知识面,自主招生中,有不少内容是超出教材范围
3、对考生自己所考的院校历届真题争取尽量弄到手,并进行分析。
几个热点问题
方程的根的问题:
1.已知函数,且没有实数根.那么是否有实数根?并证明你的结
论.(08交大)
2.设,试证明对任意实数:
(1)方程总有相同实根;
(2)存在,恒有.(07交大)
3.(06交大)设
(05复旦)在实数范围内求方程:的实数根.
5.(05交大)的三根分别为a,b,c,并且a,b,c是不全为零的有理数,
求a,b,c的值.
6. 解方程:.求方程(n重根)的解.(09交大)
凸函数问题
1. (2009复旦)
如果一个函数f(x)在其定义区间内对任意x,y都满足
,则称这个函数时下凸函数,下列函数
(1)(2)
(3)()
(4)
中是下凸函数的有-------------------。
A.(1)(2) B. (2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4)
2. (06复旦)设x1,x2∈(0,),且x1≠x2,下列不等式中成立的是:(1)
(tanx1+tanx2)>tan; (2) (tanx1+tanx2)
(4) (sinx1+sinx2) A.(1),(3) B.(1),(4) C.(2),(3) D.(2),(4) 3.(09,清华)证明: 柯西不等式 1.(03交大)已知,x+2y=1,则的最小值是. 2. 已知2x+3y+4z=10,求x2+y2+z2的最小值。 3.P为△ABC内一点,它到三边BC、CA、AB的距离分别为,S为△ABC 的面积,求证:.(09南大) 4. 给定正整数n和正常数a,对于满足不等式的所有等差数列a1,a2,a3,…,和式的最大值=_______.(07复旦) A.; B.; C.; D.. 5. (07复旦)当a和b取遍所有实数时,则函数所能达到的最小值为_____________. A.1; B.2; C.3; D.4. 基础题 1. 求的单调区间及极值.(2007年清华) 2.设正三角形边长为,是的中点三角形, 为除去后剩下三个三角形内切圆面积之和. 求.(2007年清华) 3.圆内接四边形ABCD中,AB=1,BC=2,CD=3,DA=4, 求ABCD的外接圆半径.(北大2009) 4.已知一公差为正整数无穷项等差数列,其中有3项:13,25,41. 求证:2009为数列中一项.(2009,北大) 5.求最小正整数,使得为纯虚数,并求出.(06,清华) 6.已知为非负数,,求的最值.(06,清华) 7.已知为等差数列,为等比数列,求的值.(06,清华) 8.比较与的大小并说明理由.(04复旦) 9. 求证:边长为1的正五边形对角线长为(08北大). 10. 四面体ABCD中,AB=CD,AC=BD,AD=BC。 (1)求证:这个四面体的四个面都是锐角三角形。 (2)设底面为BCD,设另外三个面与面BCD所形成的二面角为α,β,γ。 求证:cosα+cosβ+cosγ=1。 11.(09清华)(1)证明: (2)已知x,y,z>0,a,b,c是x,y,z的一个排列。求证:。 12.求所有3项的公差为8的自然数数列,满足各项均为素数。 13.求所有满足 的非直角三角形(这里表示不超过的最大整数) (2009年南京大学自主招生试题) 14.求由正整数组成的集合,使中的元素之和等于元素之积(06,清 华)。 15.的整数部分为A,小数部分为B。 (1)求A,B;(2)求; (3)求。(09,清华) 16.(09复旦).定义全集X的子集AX的特征函数为 这里,表示A在X中的补集。那么, 对A,BX,下列命题中不准确的是. A.AB≤,?X B.,?X c. ,?X D. +,?X 17.(09复旦).半径为R的球内部装4个有相同半径r的小球,则小球半径r的最大可能值是。 A. B. C. D. 中等题 18. 给出一个整系数多项式, 使有一个根为(2009清华) 19..通信工程中常用n元数组表示信息,其中或1,.设,,表示和中相对应的元素不同的个数. (1)问存在多少个5元数组使得; (2)问存在多少个5元数组使得; (3)令,,, 求证:.(08交大) 20.证明:若f(f(x))有唯一不动点,f(x)也有唯一不动点(09交大) 21.已知,△ABC是正三角形,且B、C在双曲线一支上. (1)求证B、C关于直线对称; (2)求△ABC的周长.(07,清华) 22.是否存在实数x,使均为有理数?(09,北大) 23.对于集合,称M为开集,当且仅当,, 使得. 判断集合与是否 为开集,并证明你的结论.(2007年清华)。 25.定义在R上的函数,n=2,3,… (1) 求;(2) 是否存在常数M>0,,有.(05复旦) 26.已知线段长度为,两端均在抛物线上,试求的中点到轴的最短距离 和此时点的坐标.(07交大) 27.有限条抛物线及其内部能否覆盖整个平面?并证明。(抛物线内部指焦点所在的一侧)(09清华) 28.数列满足,且,其中 ①求证:; 2 求证:。 29.(03交大)求证:为最简分式. 30.(04复旦)若存在,使任意(为函数的定义域),都有,则称函数有界.问函数在上是否有界? 31.对于集合,称M为开集,当且仅当,, 使得. 判断集合与是否为开集,并证明你的结论.(2007年清华)。32.已知六边形AC1BA1CB1中AC1=AB1,BC1=BA1,CA1=CB1, ∠A+∠B+∠C=∠A1+∠B1+∠C1 求证:△ABC 面积是六边形AC1BA1CB1的一半(08,北大) 较难题 3.定义闭集合S,若,则,.(1) 举一例,真包含于R的无限闭集合.(2) 求证对任意两个闭集合S1,S2R,存在,但.(03复旦) 4.排球单循坏赛,南方球队比北方球队多9支,南方球队总得分是北方球队的9倍。 求证:冠军是一支南方球队(胜得1分败得0分)(08北大) 35.已知满足:对实数有,且, 求证恒为零.(05清华) (可用以下结论:若,为一常数,那么) 36已知对x,恒成立,求a+b的最大值.(09北大) 37.某次考试共有333名学生做对了1000道题,做对3道及以下为不及格, 道及以上为优秀,考场中每人做题数目不全同奇偶. :不及格者与优秀者哪个多?(09北大) 38. 已知 (08北大) 39。证明:正整数列是常数列的充要条件是其满足性质p: 对数列中任意2n项,存在一种方法将这2n项分为两类(每类n个数),使得两类数之和相等.(09清华) 40.