南昌大学
毕业设计（论文）开题报告题目：均值不等式的巧妙应用
学院：理学院系数学与计算机科学系专业：数学与应用数学
班级：08级数学本科
学号：9008204008
姓名：俞细红
指导老师：黄荣华老师
填表日期： 2011年12月
一．选题的依据及意义：
不等式在数学各个领域和科学技术中都是不可缺少的基本工具，而均值不等式是重中之重。最值问题一直都是高考试题中的一个热点，几乎年年都有所涉及。在解题的过程中，不难发现关于解最大值、最小值的问题绝大多数都可以转化成解不等式问题。使用均值不等式求最值简单，快捷，方便。而且均值不等式为重要不等式的研究提供了重要依据。
二．国内外研究现状及发展趋势（含文献综述）
20世纪90年代以来不等式理论和方法的证明已有了全新的进展，不等式的研究个数已达到6000多个，今后将会有更多的不等式被提出和证明，不等式在各行各业中的应用也将会越来越广泛。
三．本课题研究内容
均值不等式在求最值时的应用，注意问题，以及解决最值容易出现的误区。四．课题研究方案
五．研究目标、主要特色及工作进度
研究目标是均值不等式的应用问题。主要特色是具有总结性，将同一类的问题用一个一般式子表示出来，清晰明了。工作进度：2011年5月查看资料；2011年10月确定论题，并开始查阅相关资料；2011年11月着手写论文；2012年3月完成初稿；2012年4月完成写作。
六．参考文献
[1]陈本平《均值不等式求最值策略》
[2]蓝兴苹《均值不等式的推广与应用》云南民族大学学报
[3]周小红《关于均值不等式的探讨》安徽大学
[4]匡继昌《常用不等式》济南：山东科学技术出版社
NANCHANG UNIVERSITY
学士学位论文
THESIS OF BACHELOR
（2008——2012年）
题目：均值不等式的巧妙应用
学院：理学院系数学与计算机科学系专业：数学与应用数学
班级：08级数学本科班
学号：09008402008
姓名：俞细红
起讫日期：2011年12月～2012年5月
指导教师：黄荣华老师
系分管主任：徐向阳
审核日期：
目录
毕业设计（论文）开题报告 (1)
均值不等式在最值问题中的应用 (5)
一．知识联系 (6)
二．使用均值不等式的条件 (6)
三．应用均值不等式的撒个关键 (7)
四．均值不等式的应用技巧 (8)
五．最值问题中最常用的两种均值不等式的应用 (10)
六．使用均值不等式常见的两个误区 (11)
七．拓展延伸 (12)
八．小结 (14)
九．参考文献 (14)
十．谢词 (14)
均值不等式在最值问题中的应用
摘要：
最值问题一直都是高考试题中的一个热点，几乎年年都有所涉及。同时在解题的过程中，不难发现关于解最大值、最小值的问题绝大多数都可以转化成解不等式问题。以下我将介绍一些均值不等式在最值中的一些巧妙应用。
关键字：均值不等式，最值，应用。
Abstract:
The most value problems have been high examination of a hot, almost every year is involved. At the same time in the process of problem solving, it is not hard to find the maximum and minimum values about solution of the problem most can be tranformed into solution inequality problem.The following I will introduce some mean the most value of inequality in some of the clever application.
Key word:average inequlity, the most value ,applications.
一．知识联系
①、a 1、a 2……a n ∈R+（公式a 1+a 2≥2 a 1 a 2中，a 1、a 2∈R ）
②、在①的限制下，所有“≥”或“≤”中取“=”的充要条件是a 1=a 2=……=a n
二．使用均值不等试的条件
条件一：在所求最值的代数式中，各项都是正数，否则变号转换；
条件二：各变数的和或积要为常数，以确保不等式的一边为定值，否则执行拆项或添项变形； 条件三：各变项必须有相等的可能。 简称：一正，二定，三相等。 例1. 若x.>0，求()x
5x 5x f +
=的最小值。
解：10252x
5x 52x
5x 5==?≥+
∴f （x ）的最小值是10.
变式：若x<0，求()x
5x 5x f +
=的最大值。
解：10-252-x -5x 5-2-x -5x 5--x 5
x 5==?≤??? ?
?
+=+
∴f （x ）的最大值是-10.
小结：①形如()Cx
B Ax x f +
=（同号与
，C
B A 0x ≠）的函数的最值可以用基本不等式求
最值。
②利用基本不等式求最值时，各项都是正数，否则变号转换。
例2. 若2x >3，求的最小值3
-x 2x 2
2+
。
解：()
32233
-x 23-x
2
33
-x 23-x 3
-x 2x 2
2
2
22
2
+=+?
≥++
=+
∴的最小值3
-x 2x 2
2+
是322+。
例3. 求()x 6-3x 3的最大值。
解：()()()89
23212x 6-3x 621x 6-3x 621
x 6-3x 32
2
=??? ??=??
? ??+≤?=
∴()x 6-3x 3的最大值是
89。
小结：①形如()C
Ax
B
Ax
x f n
n
++
=（B>0，0C A x
n
≠+）的函数通过变形后可以用均
值不等式求最值。
②形如()()Cx -B Ax x f =的函数通过变形后可以用均值不等式求最值。
③利用均值不等式求最值时，各变数的和或积要为常数，以确保不等式的一边为定值，否则执行拆项或添项变形
三．应用均值不等式的三个关键
1. 均值不等式有很多变式，选准变式是关键 例4．求函数y=
3
x 7x 22
++的值域。
分析：观察可知y=
3
x 7x 2
2
++可变成3
x 43x 2
2
++
+，因此，我们使用变式
212
221a a 2a a ≥+。
解：
3
x 7x 22
++=
3
x
43x
2
2
+++=3
x 43x 2
2
++
+423
x 43x 22
2
=+?
+≥=4。.
∴y=
3
x 7x 2
2
++的值域为（4，∞+）。
2. 使用均值不等式求最值，定值是关键。
例5. 已知a ，b>0，5b a 32
2=+，求1b a 2
+的最大值。
解：∵()(
)
3263121b a 3311b a
33
11b a 2
2
2
22
2
22=??? ??=???
? ??++≤+?=
+ ∴1b a 2+≤
3。
∴1b a 2
+的最大值为3。
3. 连续使用不等式求最值，等号同时成立是关键。 例6. 已知a>b>0，求()
b -a b 4a 2+
的最小值。
解：∵b （a-b ）≤4a 2a 2b -a b 2
2
2=
??
?
??=??? ??+ ∴()
b -a b 4a 2+
8162a
16a 2a
16a 4
a
4a 2
2
2
2
2
2
==?
≥+
=+
≥
第一个等号成立时，b=a-b ，即a=2b 第二个等号成立时，2
2
a
16a
=
，即a=2
∴当且仅当a=2，b=1时，不等式两个等号同时成立。 ∴()
b -a b 4a 2+
的最小值为8。
小结：1. 两个数的积为定值，则和有最小值；
2. 两个数的和为定值，则积有最大值。
四．均值不等式的应用技巧
1. 平衡系数，实施均拆。
这是最常用的一种技巧，常有均拆整式，均拆分式，均拆幂指数等。 例7. 求函数()0x x
1x 3y 2
>+
=的最小值。
解：3
3
2
2
2
4
93
x
1x 2
3x 2
33
x
1x 2
3x 2
3x
1x 3=?
?
≥+
+
=
+
∴函数()0x x
1x 3y 2
>+
=的最小值为3
4
93
。
例8. 若0 3 +=的最大值。 解：()()()()()()x -1x -1x 22 1x -1x -1x x -1x 1x 2-x x x x 2-x 2 2 2 3 ?= ==+=+ ()()548 32213x -1x -1x 2213 3=? ?? ??=?? ? ??++≤ 当且仅当x= 3 1的时候等号成立。 ∴函数x x 2-x y 23+=的最大值为 54 8。 2. 利用三角换元。 例9. 若a ，b 为正实数，且a+b=1，求?? ? ??+??? ? ? + =b 11a 11y 的最小值。 解：由题可设a=α2sin ，b=α2cos ，?? ? ? ?∈2,0πα， 则y=??? ? ? ?++???? ??++=??? ??+??? ?? +αααααααα22 222 222cos cos sin 1sin cos sin 1cos 11sin 11 =()()()αααααα222222cot tan 451cot tan 24tan 2cot 2?+≥+++=++ =9 当且仅当4 cot tan 2 2 π ααα==，即时等号成立。 即a=b= 2 1时，等号成立。 ∴?? ? ??+??? ??+ =b 11a 11y 的最小值是9。. 3. 利用函数的单调性。 例10. 求函数()R x 4 x 5x y 22 ∈++= 的最小值。 解：令t 4x 2 += ，则有t ≥2 则()2t t 1t 4 x 14x 4 x 5x y 2 2 2 2 ≥+ =+++= ++= ∵当t ≥2时，()04 3t 1-1t y 2 >≥=’ ∴当t ≥2时，y 是增函数 ∴y （t ）≥2 12+ = 2 5 ∴函数()R x 4 x 5x y 2 2 ∈++= 的最小值是 2 5。 4.引入参数，巧渡难关 例11.已知+∈R y x ，，且 1y 5x 1=+ 求p=x+y 的最小值。 解：设t>0，由已知有 01-y 5x 1=+ ∴P ＝x ＋y ???? ??+++=1-y 5 x 1t y x t -t 52t 2t -y t 5y x t x +≥???? ??++??? ? ?+= 当且仅当时等号成立，，即，t 5y t x y t 5y x t x === = 代入 1y 5x 1=+ 中得526t +=，此时( ) 526p 515y 51x +=+ =+=，， ∴P ＝x ＋y 的最小值为526+。 5. 分项拆项，观察等号。 对于函数()() 0x R q p x q px x f )0()(2 2 >∈+ =>∈+ =+ + ，、或，、x R q p x q px x f 的最值，可用“分项拆项法”，再用均值不等式，同时要注意等号。 例12. 已知)2 0[π ，∈x ，求函数()+ =2 sinx -1y sinx -12的最小值。 解：()+ 2 sinx -1sinx -12=()+ 2 sinx -1sinx -11sinx -11 + ()3 2sinx -11sinx -11 sinx -13 ??? ????? ??≥=3 当且仅当()0x 0sinx sinx -11sinx -12 === ，即，即时，等号成立。 ∴函数()+=2 sinx -1y sinx -12的最小值为3。 五．最值问题中最常见的两种均值不等式应用 1. 利用“ab b a R b a 2,≥+∈+ ，”求最值。 利用二元均值不等式求最值，应注意遵循三个条件“一正，二定，三相等”。 例13. 若实数y x 、满足4y x =+，则y x 33+的最小值是？ 解：y x 33+y x 3 32?≥183 23 24 y x ===+ 当且仅当2y x 33y x ===，即时，等号成立 ∴y x 33+的最小值是18。 2. 利用“3 3abc c b a R c b a ≥++∈+ ，、、”求最值。 例14. 已知a 、b 、c +∈R ，且a+b+c=1，求1c 41b 41a 4++++ +的最大值。 解：1c 41b 41a 4++ +++≥3 1c 41b 41a 43+++ 当且仅当c b a 1c 41b 41a 41c 41b 41a 4==+=+=++=+=+即，即 时等号成立 ∵a+b+c=1 ∴3 1c b a = == 此时1c 41b 41a 4+++++213 733 73 73 7==++= ∴1c 41b 41a 4+++++的最大值为21。 小结：以上是最值问题中均值不等式最常用的两种模型，在高中的最值问题中，一般只涉及二元和三元问题，所以只要掌握以上两个均值不等式及其变形，解决高中的最值问题也就没什么问题了。 ①ab b a 2≥+的变式有： ab 2b a 2 2 ≥+； 2 b a ab +≤ ； 2 2b a ab ?? ? ??+≤ ②33abc c b a ≥++的变式有： abc 3c b a 3 3 3 ≥++； 3 c b a ab c 3 33++≤ ； 3 3c b a abc ?? ? ??++≤ 六．使用均值不等式常见的两个误区 误区一：漏掉“一正” 例15. 1-x 1x y + =函数的取值范围。 误解：1 -x 1x +() 311 -x 11-x 2 11 -x 11-x =+≥++= ∴1 -x 1x y +=函数的取值范围是()∞+，3 正解：当x>1时，1 -x 1x + () 311 -x 11-x 2 11 -x 11-x =+≥++ = 当且仅当x=2时，等号成立 ∴[)∞+∈，3y 当x<1时，1 -x 1x + () 1-11 -x 11-x 2 -11 -x 11-x =+≤++ = ∴(]1--y ，∞∈ 综上所述，(][)∞+?∞∈，，31--y 误区二：忽视等号是否取到问题。 例16. 若x ?? ? ?? ?∈2,0π，，求函数sinx 4sinx y + =的最小值。 误解：sinx 4sinx y + =4sinx 4sinx 2=? ≥ ∴函数sinx 4sinx y + =的最小值是4。 正解：?? ? ?? ==x sin 4-1cosx x sin cosx 4- cosx y 2 2‘ ∵x ?? ? ?? ?∈2,0π， ∴0x sin 4 - 1cosx y 2 ≤?? ? ??=‘ ∴函数y 在x ?? ? ?? ?∈2,0π，上是减函数 ∴2 x π = 时函数y 取得最小值，此时541y =+= ∴5y min = 七．拓展延伸： 均值不等式在一类数列收敛证明中的应用 单调有界定理与均值不等式 为方便起见，我们借用三个结论，这里引述如下 定理1（单调有界定理）在实系数中，有界的单调数列必有极限 推论1在实系数中，递增有上界的数列必有极限 推论2在实系数中，递减有下界的数列必有极限 定理2（均值不等式）设n 21x x x ，，， 为n 个正实数，则有 ()n n n x x x x 2121x x n 1≥ +++（其中“=”号成立，当且仅当“n x x x === 21” ） 例17. 证明数列 n n 11??? ? ? + 收敛， n 是正整数 证明： 1 n 1 n n 1n 11n 11n 11n 11++???? ??+??? ??+??? ? ? += ? ?? ? ? + < 1 n 1 n 11n 11++??? ? ? ++??? ??+ n = 1 n 2n ++=1 n 11++ 因为n 11+≠1，故“≠”号不成立。 所以 1 n n n 11+??? ??+<1n 11++ 即n n 11??? ? ? +<1 n 111+??? ??++n 所以数列 n n 11??? ? ? + 为单调递增数列。 又因为 2 n 22 121n 211n 2112 121n 211n 211n 2114 1n 2112 n 22 n 2n 2++ +??? ?? +++??? ??+< ????? ??+??? ??+??? ?? += ? ? ? ? ?? +++ = 2 n 22n 2++=1 因为2 1n 211≠+，所以“=”号不成立。 所以4n 211n 2 ?? ? ? + 即数列 n n 11??? ??+ 对于任何偶数有上界，故对一切正整数n ，数列 n n 11??? ? ? + 有上界。 因此数列 n n 11??? ? ? + 是单调递增且有上界的数列，由推论1知 此数列有极限。 八．总结 1．均值不等式的功能在于“积和互化”，若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用均值不等式；若对于所给的“和式”中各项的“积”为定值，则“和”有最小值；对于所给的“积式”中各项的“和”为定值，则积有最大值。 2．利用均值不等式求函数的最值问题必须具备三个条件： 各项都是正数； 和或积为定值； 各项能取得相等的值 九．参考文献： [1]陈本平 《均值不等式求最值策略》 [2]蓝兴苹《均值不等式的推广与应用》云南民族大学学报 [3]周小红《关于均值不等式的探讨》安徽大学 [4]匡继昌《常用不等式》济南：山东科学技术出版社 十．谢词 感谢黄老师这几个月来的督促和悉心教导，使得我能够顺利的完成这最后的作业，老师辛苦了！谢谢！
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