极限的论证计算，其一般方法可归纳如下 1、 直接用定义()等δεε--,N 证明极限 例、试证明01
lim
=∞→n
n 证：要使ε<-01n
，只须ε
1
>n ，故
0>?ε，11
+??
?
???=?εN ，N n >?，有ε<-01
n 2、 适当放大，然后用定义或定理求极限或证明极限
例、证明：0!
lim =∞→n a n
n ，0>a 证：已知0>a 是一个常数 ?∴正整数k ，使得k a ≤
()ε
k
n
n
!1!!0! ，ε
!1
k a n k +> 1!,01+????
????=?>?∴+εεk a N k ，当N n >时，有 ε<-0!
n a n
3、用两边夹定理在判定极限存在的同时求出极限 例、求()()
n
n n n 264212531lim ??-??∞
→ 解：
()()()()n n n n n 212264212753264212531?-??-??=??-?? ()()()()n
n n n n n 41
125312642211253264?-????=?-??>
∴ ()()n n n 41
2642125312
>???
? ????-??
两边开n 2次方： ()()121
21412642125311222→?=>??-??>n n n n
n
n n n
由两边夹：()()
1264212531lim =??-??∞
→n
n n n
4、 利用等价性原理把求一般极限的问题化为无穷小量的极限问
题
例、设0≠→l S n ()∞→n ，0>p 为常数，求证：p
p
n l S →()∞→n
证：00→-≤-≤l S l S n n ，得 l S n →()∞→n 记 n n l S α+=，其中 0→n α()∞→n
再记n n l S α+=()n n
l l
l βα+=???
? ?
?+=11，其中0→=l n n αβ()∞→n 则有()p n p
p
n l S β+=1。 若取定自然数p K >，则当1 n p n K n βββ+≤+≤-111 ()()()K n p p n p n p K n p l S l l βββ+≤=+≤-111 由两边夹得证。 5、 通过分子有理化或分子分母同时有理化将表达式变形使之易 求极限 例、求极限() 1sin lim 2+∞ →n n π 解：() 1sin lim 2+∞→n n π=() πππn n n n -++∞ →1sin lim 2 =()() ππn n n n -+-∞ →1sin 1lim 2 =()01sin 1lim 2 2 =++-∞ →π ππn n n n 6、 换变量后利用复合函数求极限法则求极限 例、求极限() x x K x 1 1lim 10 -+→，其中K 是自然数 解：令 ()111-+=K x y 当1 +≤+≤-1111，所以00→?→y x 利用复合函数求极限法则可得 () x x K x 1 1lim 10 -+→()()K y y K K Ky y y y K y K y 112 1 lim 1 1lim 20 = ++-+ =-+=→→ 7、 进行恒等变形化成已知极限进行计算 例、2122sin 21lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ???==-→→→x x x x x x x x x 8、用等价无穷小量进行变量替换后求极限 例、求极限2 cos 1cos 1lim 0x x x --→ 解：x cos 1-～221x ，2cos 1x -～2 221??? ???x ()0→x 2cos 1cos 1lim 0x x x --→422121lim 2 2 0=? ? ? ???=→x x x 9、利用存在性定理确定极限的存在性并求极限 例、2 11n n n x x x += +， ,2,1=n ，01>=a x 证明：n n x ∞ →lim 存在，并求此极限。 证明：0>n x 211n n n x x x += +22 12=?≥n n x x 022212 1≤-=-+=-+n n n n n n n x x x x x x x ，n n x x ≤+1 且 2≥n x ，∴n n x ∞ →lim 存在 令 =l n n x ∞ →lim ，有 2 1l l l +=，22=l ，2=l 10、利用海涅定理解决极限问题 例、试证明函数()x x f 1sin =当0→x 时极限不存在 证：取02 21→+ = π πn x n ，021 →= π n y n ()∞→n 而 ()1=n x f ，()0=n y f ，得证 11、把求极限问题化为导数问题计算 例、求极限() x x K x 1 1lim 10-+→，其中K 是自然数 解：()x x K x 1 1lim 10 -+→1'1 =??? ? ??=x x K K 1= 12、利用洛必达法则求极限 例、()π π --→x x tgx 202 lim 解：令=A ()π π --→x x tgx 202 lim ln ln =A ()ππ--→x x tgx 202 lim ()π π --→=x x tgx 20 2 ln lim ()tgx x x ln 2lim 02 ππ-=-→() 1 2 2ln lim --→-=ππ x tgx x ()tgx x x x 2 20 2 22sec lim --→--=ππ ()21cos sin 221lim 2 02-=-??? ??-=-→x x x x ππ02sin 24lim 2 02=? ? ? ??-??? ??--→x x x πππ 所以()1lim 0202 ===--→e A tgx x x π π 13、把求极限的表达式化为积分和的形式，用定积分进行计算 例、设n n n S n 21 2111+ ++++= ，求n n S ∞→lim 解：n n n S n 21 2111+++++= n i n n i +?=∑=1111，n n S ∞→lim 2ln 1110=+=?dx x 14、利用第一积分中值定理处理定积分的极限问题 例、求?+∞→1 01lim dx x x n n 解：由第一积分中值定理 ? ?+= +1 1 011 1dx x dx x x n n n ξ1 1 11+?+= n n ξ，()10≤≤n ξ 所以?+∞→1 01lim dx x x n n 0= 15、利用收敛级数的必要条件求极限 例、求! lim n x n n ∞→ 解：已知指数函数的幂级数展开式∑∞ ==0! n n x n x e 对于一切R x ∈收敛 而收敛级数的一般项趋于0，故得! lim n x n n ∞→0= 16、用带有皮亚诺余项的泰勒展开式求函数或序列的极限 例、?? ??? ???? ? ?+-∞ →x x x x 11ln lim 2 解：??? ??+-x x x 11ln 2 ??????????? ??+??? ???--=22 2101211x x x x x 2 2112 1x x o ??? ??-= 原式2 1 = 17、利用柯西收敛准则处理极限问题 例、用Cauchy 收敛准则证明111 13521 n x n =++++-无极限. 证: 取010,05 N ε=>?>,任取,n N p n >=,有 211 11 .2123 414144 n p n n n n n x x x x n n n n n ε+-=-= +++ ≥>=>++-- 故由Cauchy 收敛准则知,{}n x 为发散数列. （注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。请预览后才下载，期待您的好评与关注！）
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