2020届吉林省延边州高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图画出的是某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）
A．25 3
π
B．
26
3
π
C．
22
3
π
D．
23
3
π
2．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的,a b分别为63，36，则输出的a=（）
A．3 B．6 C．9 D．18
3．若点(,0)
A t与曲线e x
y=上点P的距离的最小值为3t的值为（）
A．
ln2
4
3
-
B．
ln2
4
2
-
C．
ln3
3
3
+
D．
ln3
3
2
+
4．已知23
()sin sin sin
f x m x x x
=+-，其中[0,]
xπ
∈，则下列说法错误
．．的是（）
A．函数()
f x可能有两个零点B．函数()
f x可能有三个零点
C．函数()
f x可能有四个零点D．函数()
f x可能有六个零点
5．设等差数列{}n a的前n项和为n S，且满足20162017
0,0
S S
><，对任意正整数n，都有
n k
a a
≥，则k 的值为（）
A．1007 B．1008 C．1009 D．1010
6．设函数()()21
2
log ,0,log ,0.x x f x x x >??
=?--,则实数的a 取值范围是( )
A ．()()1,00,1-?
B ．()(),11,-∞-?+∞
C ．
()()1,01,-?+∞ D ．()(),10,1-∞-?
7．在三棱锥
中，
和
是有公共斜边的等腰直角三角形，若三棱锥的外接球的半
径为2，球心为，且三棱锥的体积为
，则直线
与平面
所成角的正弦值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．若关于x 的方程2(sin cos )cos2x x x m ++=在区间[
)0,π上有两个根1x ，2x ，且124
x x π
-≥，则实
数m 的取值范围是( )
A ．[)0,2
B ．[]0,2
C ．21????
D ．)
21??
9．已知函数2,(),x x a
f x x x a
?≥=?-
A ．(),0-∞
B ．()0,∞+
C ．
(),1-∞
D ．
()1,+∞
10．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若
65a 9a 11=，则119
S
S =（ ） A ．1
B ．1-
C ．2
D ．1
2
11．已知向量a r ，b r
满足4a =r ，b r 在a r 上投影为2-，则3a b -r r 的最小值为( )
A ．12
B ．10
C 10
D ．2
12．已知函数()221,1
ln 2,1x ax x f x x a x ?-++≤=?+>?
，给出下列命题，其中正确命题的个数为
①当01a <<时，()()f x -∞+∞在，
上单调递增； ②当1a >时，存在不相等的两个实数12x x 和，使()()12f x f x =； ③当0a <时，()f x 有3个零点．
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知58a b =，2A B =，则cos B =_________.
14．在中，，，AC=2，设点满足，，，若，
则
____________.
15．已知ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin sin 4sin C B A +=.若2a =，则当cos A 取得最小值时，ABC ?的外接圆的半径为__________．
16．一组数据共40个，分为6组，第1组到第4组的频数分别为10,5,7,6，第5组的频率为0.1，则第6组的频数为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数
()1
f x x x =+-.若
()1
f x m ≥-恒成立，求实数m 的最大值；记(1)中的m 最
大值为M ，正实数a ，满足22
a b M +=，证明: 2a b ab +≥.
18．（12分）如图,已知四棱锥P ABCD -的底面为菱形,120BCD ∠=o AP BP =.
求证：PC AB ⊥；若4PC =，42PD =，
3
cos 4PCB ∠=
，求二面
角B PC D --的余弦值.
19．（12分）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>过点
3? ??，焦距长23求椭圆C 的标准方程；设不垂直于坐标轴的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P 、Q ，点()
4,0N .设O 为坐标原点，且ONP ONQ ∠=∠.
证明：动直线PQ 经过定点.
20．（12分）某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试，每位同学彼此独立的从,,,A B C D 四所高校中选2所.求甲、乙、丙三名同学都选D 高校的概率；若甲必选A ，记X 为甲、乙、丙三名同学中选D 校的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望. 21．（12分）已知数列
{}n a 为等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，25852,25a a a S +==.数列{}n b 为等比
数列且
2
112150,,n b b a b a a >==.求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；记34
(2log 3)n n n
c b a =
+g ，其前n 项和为
n T ，求证：
4
3n T ≥
.
22．（10分）已知在各项均为正数的等比数列{}n a 中，112212,2.n n n n n n a a a a a a a ++++==+求数列{}n a 的
通项公式；若
2log n n n
b a a =+，求数列
{}n b 的前2n 项和2n
T
.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．A 2．C 3．D 4．D 5．C 6．C 7．D 8．A 9．B 10．A 11．B 12．C
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．45
14．
15．815
16．8
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17． (1)2；(2)详见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据绝对值解不等式求出f （x ）的最小值为1，从而得出|m ﹣1|≤1，得出m 的范围； （2）两边平方，使用作差法证明． 【详解】
(1)由()2101
01211
x x f x x x x -+≤??
=<
得()1min f x =，要使()1f x m ≥-恒成立，只要11m ≥-， 即02m ≤≤，实数m 的最大值为2；
(2)由(1)知222a b +=，又222a b ab +≥ 故1ab ≤，
()
2
222222424a b a b a b ab a b +-=++-
()()222242121ab a b ab ab =+-=--+，
01ab <≤Q ，()()()2
22421210a b a b ab ab ∴+-=--+≥ 2a b ab ∴+≥.
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法，不等式的证明，属于中档题． 18．（1）见解析；（2）27
7
-. 【解析】 【分析】
（1）设AB 中点为E ，由题易得，PAB ?与CAB ?为共用相同底边AB 的等腰三角形，由三线合一，证得AB PCE ⊥平面，由此证明PC AB ⊥.
（2）由题可推导出，PE 、CE 和AB 两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法求出二面角B PC D --的余弦值. 【详解】
（1）设AB 中点为E ，连接
，
依题意，
，
为等边三角形 ；
； 平面
又PE CE E ?=Q ,AB ∴⊥平面PCE ，
(2)由（1）知：，
，,
,
在
中，，由余弦定理得，
，
由（1）知，，，
又
，
平面
，
以E 为坐标原点，以向量
分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系 ，则
，
，
，
设是平面的一个法向量，令， 设
是平面
的一个法向量
，令
，
设二面角的平面角为，则
又
二面角为钝角
二面角的余弦值为 【点睛】
本题考查线线垂直的证明，考查二面角余弦值的求法，考查空间中线线、线面和面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.
19．（I ）2
214
x y +=；
（II ）见解析 【解析】 【分析】
（I ）利用待定系数法可求椭圆的标准方程. （II ）设直线l 的方程为(0)y kx b k =+≠，联立22
44
y kx b
x y =+??
+=?，消去y 后利用韦达定理化简0PN QN k k +=，从而得到b k =-即直线过()1,0.
【详解】
（I ）由题意知c =又因为
221314a b +=，即2213134b b
+=+，解得21b =，24a =. 故椭圆C 的标准方程是2
214
x y +=.
（II ）设直线l 的方程为(0)y kx b k =+≠，联立22
44
y kx b
x y =+??
+=?，消去y 得， ()2
2
21484k x
kbx b +++40-=，()221641k b ?=-+.
设()11,P x kx b +，()11,Q x kx b +，则122814kb x x k +=-+，2122
44
14b x x k -=
+.
于是114PN QN kx b k k x ++=
+-()()()
121222112(4)8444kx x k b x x b
kx b x x x --+-+=---. 由ONP ONC ∠=∠知，0PN QN k k +=. 即()
12122(4)kx x k b x x --+22
44
8214b b k k
--=-+28(4)814kb k b b k ---+ 32222
883281414k k k b kb k k
--=+++80b -=，得b k =-，()2
16310k ?=+>. 故动直线l 的方程为y kx k =-，过定点()1,0. 【点睛】
求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有
1212
,x x x x +或
1212
,y y y y +，最
后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可解定点、定值、最值问题. 20．（1）
18；（2）4
3
. 【解析】 【分析】
（1）利用组合知识，由古典概型概率公式可得结果；（2）求出甲同学选中D 高校的概率与乙、丙同学选中D 高校的概率，判断X 所有可能的取值为0,1,2,3，根据互斥事件的概率公式与独立事件概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得X 的数学期望. 【详解】
（1）设“甲、乙、丙三名同学都选D 高校”为事件M ，则
()111333222
4441
8
C C C P M C C C ==. （2）甲同学选中
D 高校的概率为：1=
3
P 甲， 乙、丙同学选中D 高校的概率为：1
32
41=2
C P P C ==乙丙， X 所有可能的取值为0,1,2,3，
∴，有()2
111011326P X ????==--= ???????； ()2
2
11115
1112323212
P X ??????==?-+-??= ? ? ???????；
()1111111111
2=111=3223223223
P X ??????=??-+?-?+-?? ? ? ???????；
()1111
332212
P X ==??=;
∴X 的分布列为
∴()01236123123
E X =?+?+?+?=.
【点睛】
本题主要考查互斥事件的概率公式、独立事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期
望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.
21．（1）21n a n =- 13n n b -=； （2）详见解析.
【解析】 【分析】
（1）由题列关于1a d ，的方程组即可求n a 2n 1=-，由2215b a a ，=得q ，进而求得n b ；（2）将n c 变形为
()()n 4
11c 22n 12n 12n 12n 1??=
=- ?+--+??，裂项相消求和得n 1T 212n 1?
?=- ?+??
，由n T 单调性即可证明.
【详解】
（1）设公差为d ，则由25852a a a ,S 25+==
得()112a 354d
5a 252d d
?+=?
???+
=??
,解得1a 12d =??=?，所以n a 2n 1=-. 设{}n b 的公比q ， 因为15a 1,a 9==，由2
215b a a =且n b 0>， 解得q 3=，所以n 1
n b 3-=。
（2）()()()n 3n n 441
1c 22log b 3?a 2n 12n 12n 12n 1??=
==- ?++--+??
，
n 111111T 21213352n 12n 12n 1???
?=-+-++-=- ? ?-++????
L ，
易知n T 随着n 的增大而增大，所以n 114T T 2133
?
?≥=-=
???
.
【点睛】
本题考查等差数列通项公式，等比数列性质，裂项求和，熟记等差等比通项及性质，准确求和是关键，是中档题
22．（1）2n
n a =；（2）21222 2.n n n +++-
【解析】 【分析】
（1）将12212n n n n n n a a a a a a ++++=+改写为基本量的形式，得到方程2
20q q --=，求解得到q ，从而得到2n
n a =；（2）利用分组求和的方式，将n b 的前2n 项和变为等比数列2n 的前2n 项和与等差数列n 的前
2n 项和的形式，求解得到结果.
【详解】
（1）设等比数列{}n a 的公比为(0)q q > 又因为12212n n n n n n a a a a a a ++++=+
所以11111111112n n n n n n a q a q a q a q a q a q +-+-?=?+?
又因为10a ≠，所以2
20q q --=
所以1q =-（舍），2q =
又12a =，所以1222n n n a -=?=
（2）据（1）求解知，2n n a =，所以2log 2n
n n n b a a n =+=+
所以21234212n n n T b b b b b b -=++++++L
()()123422222212342n n =+++++++++++L L
()()
221221*********
2
n n n n n n +-+=
+
=++-- 【点睛】
本题考查等比数列通项公式求解、分组求和法求解数列前n 项和的问题，关键在于能够根据数列通项的形
式，确定求和时所采用的具体方法. 高考模拟数学试卷
数 学（理科）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．全卷满分150分，时间120分钟． 第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、已知全集U R =，集合[)
2,5A =，
()()
U ,12,B =-∞+∞U e，则A B =I （ ）
A ．
()2,5 B ．()1,2 C ．{}2 D ．?
2、设复数
21i
z i -=
+，则z 的共轭复数为（ ）
A ．1322i -
B ．
1322i + C ．13i - D ．13i + 3、已知
3
tan 5α=-
，则sin 2α=（ ）
A ．1517
B ．1517-
C ．8
17-
D ．817
4、已知随机变量X 服从正态分布
()
5,4N ，且
()()
4k k P X >=P X <-，则k 的值为（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
5、已知函数()()sin 2f x x ?=+（?π<）的图象向左平移6π个单位后得到
()cos 26g x x π??=+ ?
??，则?的值为（ ）
A ．23π-
B ．3π-
C ．3π
D ．23π
6、在如下程序框图中，输入()()
0sin 21f x x =+，若输出的
()
i f x 是
()
82sin 21x +，则程序框图中的判
断框应填入（ ）
A ．6i ≤
B ．7i ≤
C ．8i ≤
D ．9i ≤
7、已知抛物线的方程为22y px =（0p >），过抛物线上一点()
,2p p M 和抛物线的焦点F 作直线l 交
抛物线于另一点N ，则
F :F N M =
（ ）
A ．1:2
B ．1:3
C ．1:2
D ．1:3
8、若实数x ，y 满足
31
x y -≤≤，则
2x y
z x y +=
+的最小值为（ ）
A ．53
B ．2
C ．3
5 D ．12