物理电磁感应现象的两类情况的专项培优练习题

物理电磁感应现象的两类情况的专项培优练习题

一、电磁感应现象的两类情况

1．如图，在地面上方空间存在着两个水平方向的匀强磁场，磁场的理想边界ef 、gh 、pq 水平，磁感应强度大小均为B ，区域I 的磁场方向垂直纸面向里，区域Ⅱ的磁场方向向外，两个磁场的高度均为L ；将一个质量为m ，电阻为R ，对角线长为2L 的正方形金属线圈从图示位置由静止释放(线圈的d 点与磁场上边界f 等高，线圈平面与磁场垂直)，下落过程中对角线ac 始终保持水平，当对角线ac 刚到达cf 时，线圈恰好受力平衡；当对角线ac 到达h 时，线圈又恰好受力平衡(重力加速度为g ).求：

(1)当线圈的对角线ac 刚到达gf 时的速度大小；

(2)从线圈释放开始到对角线ac 到达gh 边界时，感应电流在线圈中产生的热量为多少?

【答案】(1)1224mgR v B L = (2)322

44

2512m g R Q mgL B L

=- 【解析】 【详解】

(1)设当线圈的对角线ac 刚到达ef 时线圈的速度为1v ，则此时感应电动势为：

112E B Lv =?

感应电流：11E I R

=

由力的平衡得：12BI L mg ?= 解以上各式得：122

4mgR

v B L =

(2)设当线圈的对角线ac 刚到达ef 时线圈的速度为2v ，则此时感应电动势

2222E B Lv =?

感应电流：2

2E I R

=

由力的平衡得：222BI L mg ?=

解以上各式得：222

16mgR

v B L =

设感应电流在线圈中产生的热量为Q ,由能量守恒定律得：

22122

mg L Q mv ?-=

解以上各式得：322

44

2512m g R Q mgL B L

=-

2．如图，垂直于纸面的磁感应强度为B ，边长为 L 、电阻为 R 的单匝方形线圈 ABCD 在外力 F 的作用下向右匀速进入匀强磁场，在线圈进入磁场过程中，求： (1)线圈进入磁场时的速度 v 。 (2)线圈中的电流大小。 (3)AB 边产生的焦耳热。

【答案】(1)22

FR v B L =；(2)F I BL

=；(3)4FL Q = 【解析】 【分析】 【详解】

(1)线圈向右匀速进入匀强磁场，则有

F F BIL ==安

又电路中的电动势为

E BLv =

所以线圈中电流大小为

=

=E BLv

I R R 联立解得

22

FR

v B L =

(2)根据有F F BIL ==安得线圈中的电流大小

F I BL

=

(3)AB 边产生的焦耳热

22(

)4AB F R L Q I R t BL v

==??

将22

FR

v B L =

代入得 4

FL Q =

3．如图所示，足够长且电阻忽略不计的两平行金属导轨固定在倾角为α=30°绝缘斜面上，导轨间距为l =0.5m 。沿导轨方向建立x 轴，虚线EF 与坐标原点O 在一直线上，空间存在

垂直导轨平面的磁场，磁感应强度分布为1

()00.60.8()0T x B x T x -

（取磁感应强度B

垂直斜面向上为正）。现有一质量为10.3m =kg ，边长均为l =0.5m 的U 形框cdef 固定在导轨平面上，c 点（f 点）坐标为x =0。U 形框由金属棒de 和两绝缘棒cd 和ef 组成，棒de 电阻为10.2R =Ω。另有一质量为20.1=m kg ，长为l =0.5m ，电阻为20.2R =Ω的金属棒ab 在离EF 一定距离处获得一沿斜面向下的冲量I 后向下运动。已知金属棒和U 形框与导轨间的动摩擦因数均为3

μ=

。 （1）若金属棒ab 从某处释放，且I =0.4N·s ，求释放瞬间金属棒ab 上感应电流方向和电势差ab U ；

（2）若金属棒ab 从某处释放，同时U 形框解除固定，为使金属棒与U 形框碰撞前U 形框能保持静止，求冲量I 大小应满足的条件。

（3）若金属棒ab 在x =－0.32m 处释放，且I =0.4N·

s ，同时U 形框解除固定，之后金属棒ab 运动到EF 处与U 形框发生完全非弹性碰撞，求金属棒cd 最终静止的坐标。

【答案】（1）感应电流方向从b 到a ；0.1V;（2）0.48N ?s ；（3）2.5m 【解析】 【分析】 【详解】

（1）金属棒获得冲量I 后，速度为

2

4m/s I

v m =

= 根据右手定则，感应电流方向从b 到a ； 切割磁感线产生的电动势为

1E B lv =

其中11B =T ；

金属棒ab 两端的电势差为

1212

0.1V ab B lv

U R R R =

=+

（2）由于ab 棒向下运动时，重力沿斜面的分力与摩擦力等大反向，因此在安培力作用下运动，ab 受到的安培力为

2212212

B l v F m a R R ==+

做加速度减小的减速运动；由左手定则可知，cd 棒受到安培力方向沿轨道向上，大小为

21212

B B l v F R R =+安

其中21T B =；

因此获得冲量一瞬间，cd 棒受到的安培力最大，最容易发生滑动 为使线框静止，此时摩擦力沿斜面向下为最大静摩擦力，大小为

11cos sin m f m g m g μαα==

因此安培力的最大值为12sin m g θ； 可得最大冲量为

()12122

122sin 0.48m m g R R I B B l α+==N·s

（3）当I =0.4N·

s 时，金属棒获得的初速度为04/v m s =，其重力沿斜面分力与摩擦力刚好相等，在安培力作用下做加速度减小的减速，而U 形框在碰撞前始终处于静止； 设到达EF 时速度为1v ，取沿斜面向下为正，由动量定理得

22212012

B l vt

m v m v R R -=-+ 其中0.32m vt x == 解得

12m/s v =

金属棒与U 形线框发生完全非弹性碰撞，由动量守恒得

()11122m v m m v =+

因此碰撞后U 形框速度为

20.5m/s v =

同理：其重力沿斜面的分力与滑动摩擦力等大反向，只受到安培力的作用，当U 形框速度为v 时，其感应电流为

12

de ab B lv B lv

I R R -=

+

其中，de B ，ab B 分别为de 边和ab 边处的磁感应强度，电流方向顺时针，受到总的安培力

为

()22

12

de

ab de ab

B B l v

F B Il B Il R R -=-=+

其中，,0.8cd ab B B kl k -== 由动量定理得

()2412212

0k l vt

m m v R R -=-++ 因此向下运动的距离为

()()1221224

2m m m v R R s k l ++=

=

此时cd 边的坐标为

x =2.5m

4．如图所示，光滑导线框abfede 的abfe 部分水平，efcd 部分与水平面成α角，ae 与ed 、bf 与cf 连接处为小圆弧，匀强磁场仅分布于efcd 所在平面，方向垂直于efcd 平面，线框边ab 、cd 长均为L ，电阻均为2R ，线框其余部分电阻不计。有一根质量为m 、电阻为R 的金属棒MN 平行于ab 放置，让它以初速水平向右运动在到达最高点的过程中，ab 边产生的热量为Q 。求：

(1)金属棒MN 受到的最大安培力的大小； (2)金属棒MN 刚进入磁场时，ab 边的发热功率； (3)金属棒MN 上升的最大高度。

【答案】(1)220A 2B L v F R =；(2)222

08ab B L v P R

=；(3)2082mv Q h mg -=

【解析】 【分析】 【详解】

(1)金属棒MN 刚冲上斜面时，速度最大，所受安培力最大。此时电路中总电阻为

22222R R

R R R R R

?=

+=+总

最大安培力

2200

A 2BLv

B L v F BIL B L R R

===总

由楞次定律知，MN 棒受到的安培力方向沿导轨向下。 (2)金属棒MN 刚进入磁场时，MN 棒中的电流

02BLv E I R R

=

=总 则

024ab BLv I I R

=

=，2ab ab ab P I R = 解得

222

08ab B L v P R

=

(3)当金属棒MN 上升到最大高度的过程中，ab 边、cd 边产生的热量相等，即

cd ab Q Q Q ==

ab 边产生的热量

2·2Q I Rt =

金属棒MN 产生的热量

2(2)MN Q I Rt =

得

2MN Q Q =

ab 边、cd 边及MN 棒上产生的总热量

4Q Q =总

由动能定理

2

01402

mgh Q mv --=-

解得

2082mv Q h mg

-=

5．如图甲所示，两根足够长的光滑平行直导轨固定在水平面上，导轨左侧连接一电容器，一金属棒垂直放在导轨上，且与导轨接触良好。在整个装置中加上垂直于导轨平面的磁场，磁感应强度按图乙所示规律变化。0~t 0内在导体棒上施加外力使导体棒静止不动，t 0时刻撤去外力。已知电容器的电容为C ，两导轨间距为L ，导体棒到导轨左侧的距离为d ，导体棒的质量为m 。求： (1)电容器带电量的最大值； (2)导体棒能够达到的最大速度v m 。

【答案】（1）00CB Ld Q t =；（2）22022

()CB L d

v t m CB L =+（） 【解析】 【分析】 【详解】

（1）电容器两极板的电压

B U Ld t =

电容器的带电量

00

CB t Q CU Ld

=

= （2）电容器放电后剩余的电量

Q CU ''=

U BLv '=

由动量定理得

i BI L t mv ∑?= Q Q I t '-=?

解得

22022

()CB L d v t m CB L =+（）

6．如图1所示，在光滑的水平面上，有一质量m =1kg 、足够长的U 型金属导轨abcd ，间距L =1m 。一电阻值0.5ΩR =的细导体棒MN 垂直于导轨放置，并被固定在水平面上的两立柱挡住，导体棒MN 与导轨间的动摩擦因数0.2μ=，在M 、N 两端接有一理想电压表（图中未画出）。在U 型导轨bc 边右侧存在垂直向下、大小B =0.5T 的匀强磁场（从上向下看）；在两立柱左侧U 型金属导轨内存在方向水平向左，大小为B 的匀强磁场。以U 型导轨bc 边初始位置为原点O 建立坐标x 轴。t =0时，U 型导轨bc 边在外力F 作用下从静止开始运动时，测得电压与时间的关系如图2所示。经过时间t 1=2s ，撤去外力F ，直至U 型导轨静止。已知2s 内外力F 做功W =14.4J 。不计其他电阻，导体棒MN 始终与导轨垂直，忽略导体棒MN 的重力。求：

（1）在2s 内外力F 随时间t 的变化规律；

（2）在整个运动过程中，电路消耗的焦耳热Q ；

（3）在整个运动过程中，U 型导轨bc 边速度与位置坐标x 的函数关系式。

【答案】（1）2 1.2F t =+；（2）12J ；（3）2v x =0≤x ≤4m ）；

6.40.6v x =-324m m 3x ?

?≤< ??

?；v =0（32m 3x ≥）

【解析】 【分析】 【详解】

（1）根据法拉第电磁感应定律可知：

U BLv kt t ===

得到：

2U v t BL

==

根据速度与时间关系可知：

22m/s a =

对U 型金属导轨根据牛顿第二定律有：

F IBL IBL ma μ--=

带入数据整理可以得到：

2 1.2F t =+

（2）由功能关系，有

f W Q W =+

由于忽略导体棒MN 的重力，所以摩擦力为：

A f F μ=

则可以得到：

f

A Q W

W μμ==

则整理可以得到：

(1)f W Q W Q μ=+=+

得到：

Q=12J

（3）设从开始运动到撤去外力F 这段时间为1

2s t

=，这段时间内做匀加速运动；

①1t t …时，根据位移与速度关系可知：

v ==1t t =时根据匀变速运动规律可知该时刻速度和位移为：

14m/s v = 14m x =

②1t t >时，物体做变速运动，由动量定理得到：

1(1)BL q mv mv μ-+?=-

整理可以得到：

2211(1)(1)(4)

6.40.6BL q B L x v v v x m mR

μμ+?+-=-==--

当32

3

x m =

时： 0v =

综合上述，故bc 边速度与位置坐标x 的函数关系如下：

v =0≤x≤4m ）

6.40.6v x =-324m m 3x ?

?≤<

??

? 0v =（32

m 3

x ≥）

7．如图所示，两根粗细均匀的金属棒M N 、，用两根等长的、不可伸长的柔软导线将它们连接成闭合回路，并悬挂在光滑绝缘的水平直杆上，并使两金属棒水平。在M 棒的下方有高为H 、宽度略小于导线间距的有界匀强磁场，磁感应强度为B ，磁场方向垂直纸面向里，此时M 棒在磁场外距上边界高h 处（h

(2)若已知M 棒从静止释放到将要进入磁场的过程中，经历的时间为t ，求该过程中M 棒上产生的焦耳热Q ；

(3)在图2坐标系内，已定性画出从静止释放M 棒，到其离开磁场的过程中“v -t 图像”的部分图线，请你补画出M 棒“从匀速运动结束，到其离开磁场”的图线，并写出两纵坐标a 、b 的值。

【答案】(1)22

22

8Rm g B L ；(2)222222412??- ???Rm g mR t B L B L ；(3)，图见解析，224mgR a B L =，22

mgR

b B L =

【解析】 【分析】 【详解】

（1）由牛顿第二定律得

3mg mg BIL -=

M 棒将要进入磁场上边界时回路的电功率

22

2

22

82Rm g P I R B L

== （2）N 棒产生的感应电动势

2E IR BLv ==

由动量守恒得

(3)4mg mg t BLIt mv --=

通过N 棒的电荷量

2BLh

It q R

==

根据能量守恒得

21

(3)422

mg mg h mv Q -=?+

联立得222222412Rm g mR Q t B L B L ??=- ???（或22322

2244

448Rm g m g R Q t B L B L =

-） （3）对M 棒受力分析

2232B L v

mg mg R

-=

解得22

4mgR

a B L

= 由

2'

322BLv mg mg BL

R

-= 解得22

mgR

b B L

=

8．如图甲所示，在一对平行光滑的金属导轨的上端连接一阻值为R ＝4Ω的定值电阻，两导轨在同一平面内。质量为m ＝0.1kg ，长为L ＝0.1m 的导体棒ab 垂直于导轨，使其从靠近电阻处由静止开始下滑，已知导体棒电阻为r ＝1Ω，整个装置处于垂直于导轨面的匀强磁场中，导体棒下滑过程中加速度a 与速度v 的关系如图乙所示，(g ＝10m/s 2)。求： （1）导轨平面与水平面间夹角θ； （2）磁场的磁感应强度B ；

（3）若靠近电阻处到底端距离为20m ，ab 棒在下滑至底端前速度已达10m/s ，求ab 棒下滑的整个过程中，电阻R 上产生的焦耳热。

【答案】（1）30θ=?；（2）5T B =；（3）4J R Q = 【解析】 【分析】 【详解】

（1）由E BLv =、E

I R r

=

+、F BIL =得安培力 22B L v

F R r

=

+ 根据牛顿第二定律得

sin mg F ma θ-=

代入得

22sin B L v

mg ma R r

θ-=+

整理得

()

22

sin B L a v g m R r θ=-++

由数学知识得知，a -v 图象斜率的大小等于

()

22

B L k m R r =+

纵截距等于

sin g θ

由图象可知图象的纵截距等于5，即

sin 5g θ=

解得

30θ=?

（2）由图象可知图象斜率的大小等于0.5，则有

()

22

0.5B L m R r =+

代入解得

5T B =

（3）ab 棒下滑到底端的整个过程中，根据能量守恒定律得

2

1sin 2

mgx mv Q θ=

+ 得电路中产生的总热量

5J Q =

根据焦耳定律得电阻R 上产生的焦耳热为

4J R R

Q Q R r

=

=+

9．电源是通过非静电力做功把其它形式的能转化为电势能的装置，在不同的电源中，非静电力做功的本领也不相同，物理学中用电动势E 来表明电源的这种特性。在电磁感应现象中，感应电动势分为动生电动势和感生电动势两种。产生感应电动势的那部分导体就相当于“电源”，在“电源”内部非静电力做功将其它形式的能转化为电能。

（1）如图1所示，固定于水平面的U 形金属框架处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为B ，金属框两平行导轨间距为l 。金属棒MN 在外力的作用下，沿框架以速度v 向右做匀速直线运动，运动过程中金属棒始终垂直于两平行导轨并接触良好。已知电子的电荷量为e 。请根据电动势定义，推导金属棒MN 切割磁感线产生的感应电动势E 1；

（2）英国物理学家麦克斯韦认为，变化的磁场会在空间激发感生电场，感生电场与静电场不同，如图2所示它的电场线是一系列同心圆，单个圆上的电场强度大小处处相等，我们把这样的电场称为涡旋电场。在涡旋电场中电场力做功与路径有关，正因为如此，它是一种非静电力。如图3所示在某均匀变化的磁场中，将一个半径为x 的金属圆环置于半径为r 的圆形磁场区域，使金属圆环与磁场边界是相同圆心的同心圆，从圆环的两端点a 、b 引

出两根导线，与阻值为R 的电阻和内阻不计的电流表串接起来，金属圆环的电阻为

2

R ，圆环两端点a 、b 间的距离可忽略不计，除金属圆环外其他部分均在磁场外。已知电子的电荷量为e ，若磁感应强度B 随时间t 的变化关系为B =B 0+kt （k >0且为常量）。 a ．若x ＜r ，求金属圆环上a 、b 两点的电势差U ab ；

b ．若x 与r 大小关系未知，推导金属圆环中自由电子受到的感生电场力2F 与x 的函数关系式，并在图4中定性画出F 2-x 图像。

【答案】（1）见解析（2）a. 2ab 2k πU =3x ； b.2

2 F =

2ker x

；图像见解析 【解析】 【分析】 【详解】

（1）金属棒MN 向右切割磁感线时，棒中的电子受到沿棒向下的洛仑兹力，是这个力充当了非静电力。非静电力的大小

1F Bev =

从N 到M 非静电力做功为

=W Bevl 非

由电动势定义可得

1W E Blv q

=

=非

（2）a.由01B B kt =+可得

B

k t

?=? 根据法拉第电磁感应定律

2B S

E kS t t ?Φ??=

==?? 因为x r <，所以

2=πS x

根据闭合电路欧姆定律得

2

/2

E I R R =

+

ab U I R =?

联立解得

2

2π=3

ab k x U b.在很短的时间内电子的位移为s ?，非静电力对电子做的功为2F s ? 电子沿着金属圆环运动一周，非静电力做的功

222πW F s F x ?=∑=非

根据电动势定义

2W E e

=

非

当x r <时，联立解得

22

kex

F =

当x r >时，磁通量有效面积为

2S r π=

联立解得

2

2ker 2F x

= 由自由电子受到的感生电场力2F 与x 的函数关系式 可得F 2-x 图像

10．如图所示，宽度L ＝0.5 m 的光滑金属框架MNPQ 固定于水平面内，并处在磁感应强度大小B ＝0.4 T ，方向竖直向下的匀强磁场中，框架的电阻非均匀分布．将质量m ＝0.1 kg ，电阻可忽略的金属棒ab 放置在框架上，并与框架接触良好．以P 为坐标原点，PQ 方向为

x 轴正方向建立坐标．金属棒从0x 1?m ＝

处以0v 2?m /s ＝的初速度，沿x 轴负方向做2a 2?m /s ＝的匀减速直线运动，运动中金属棒仅受安培力作用．求：

(1)金属棒ab 运动0.5 m ，框架产生的焦耳热Q ；

(2)框架中aNPb 部分的电阻R 随金属棒ab 的位置x 变化的函数关系；

(3)为求金属棒ab 沿x 轴负方向运动0.4 s 过程中通过ab 的电荷量q ，某同学解法为：先算出经过0.4 s 金属棒的运动距离x ，以及0.4 s 时回路内的电阻R ，然后代入BLx

q R R

?Φ＝＝求解．指出该同学解法的错误之处，并用正确的方法解出结果．

【答案】(1)0.1 J (2)R ＝(3)0.4C 【解析】 【分析】 【详解】

(1)金属棒仅受安培力作用，其大小

0.120.2?F ma N ?＝＝＝

金属棒运动0.5 m ，框架中产生的焦耳热等于克服安培力做的功

所以0.20.50.1?

Q Fx J ＝＝＝?. (2)金属棒所受安培力为

F BIL ＝

E BLv I R R ＝＝所以22B L R

F ma v

＝＝

由于棒做匀减速直线运动v

所以R ===(3)错误之处是把0.4 s 时回路内的电阻R 代入BLx

q R

＝进行计算． 正确的解法是q It ＝ 因为F BIL ma ＝＝

所以ma 0.12

q t 0.40.4?C BL 0.40.5

???＝

＝＝ 【点睛】

电磁感应中的功能关系是通过安培力做功量度外界的能量转化成电能．找两个物理量之间的关系是通过物理规律一步一步实现的．用公式进行计算时，如果计算的是过程量，我们要看这个量有没有发生改变．

11．如图所示，两电阻不计的足够长光滑平行金属导轨与水平面夹角θ，导轨间距l ，所在平面的正方形区域abcd 内存在有界匀强磁场，磁感应强度为B ，方向垂直斜面向上．将甲乙两电阻阻值相同、质量均为m 的相同金属杆如图放置在导轨上，甲金属杆处在磁场的上边界，甲乙相距l .静止释放两金属杆的同时，在甲金属杆上施加一个沿着导轨的外力F ，使甲金属杆在运动过程中始终做沿导轨向下的匀加速直线运动，加速度大小.sin g θ.

(1)乙金属杆刚进入磁场时，发现乙金属杆作匀速运动，则甲乙的电阻R 各为多少？ (2)）以刚释放时t =0，写出从开始到甲金属杆离开磁场，外力F 随时间t 的变化关系，并说明F 的方向．

(3)乙金属杆在磁场中运动时，乙金属杆中的电功率多少？

(4)若从开始释放到乙金属杆离开磁场，乙金属杆中共产生热量Q ，试求此过程中外力F 对甲做的功．

【答案】（1）222sin B l gl R θ

=（222sin gl θ（3222sin gl θ（4）

2sin Q mgl θ－

【解析】 【分析】 【详解】

（1）由于甲乙加速度相同，当乙进入磁场时，甲刚出磁场：乙进入磁场时

2sin v gl θ=

受力平衡有：22222sin sin 2B l gl B l v mg R θ

θ==

解得：

222sin B l gl R θ

=

； （2）甲在磁场用运动时，外力F 始终等于安培力: 2A Blv

F F BIl Bl R

===， 速度为：

sin v g t θ=

可得：

22sin 2sin A Blg t F Bl R gl θθ

==，

F 沿导轨向下

（3）乙金属杆在磁场中运动时，乙金属杆中的电功率为：

2

222

22sin Blv P I R R R gl θ??===

???

； （4）乙进入磁场前匀加速运动中，甲乙发出相同热量，设为Q 1，

此过程中甲一直在磁场中，外力F 始终等于安培力，则有：F 12W W Q ==安 乙在磁场中运动发出热量Q 2， 利用动能定理：2sin 20mgl Q θ=－ 可得：

2sin 2

mgl Q θ

=

， 由于甲出磁场以后，外力F 为零，可得：

F 2sin W Q mgl θ=－。

12．如图所示，水平面上有一个高为d 的木块，木块与水平面间的动摩擦因数为μ=0.1．由均匀金属材料制成的边长为2d 、有一定电阻的正方形单匝线框，竖直固定在木块上表面，它们的总质量为m ．在木块右侧有两处相邻的边长均为2d 的正方形区域，正方形底边离水平面高度为2d ．两区域各有一水平方向的匀强磁场穿过，其中一个方向垂直于纸面向里，另一个方向垂直于纸面向外，区域Ⅱ中的磁感应强度为区域Ⅰ中的3倍．木块在水平外力作用下匀速通过这两个磁场区域．已知当线框右边MN 刚进入Ⅰ区时，外力大小恰好为0320

F g m =

，此时M 点电势高于N 点，M 、N 两点电势差U MN =U ．试求：

（1）区域Ⅰ中磁感应强度的方向怎样？

（2）线框右边MN 在Ⅰ区运动过程中通过线框任一横截面的电量q ． （3）MN 刚到达Ⅱ区正中间时，拉力的大小F ． （4）MN 在Ⅱ区运动过程中拉力做的功W ．

【答案】（1）向外 （2）340mgd q U = （3）

4750mg （4）47

25

mgd 【解析】 【详解】

（1）因为线框从左向右匀速通过这两个磁场区域，所以拉力方向向右，安培力方向向左。 因为M 点电势高于N 点，由右手定制可判断区域Ⅰ中磁感应强度的方向向外。 （2）设线框的总电阻为R ，磁场Ⅰ区的磁感强度为B ，线框右边MN 在Ⅰ区运动过程中有一半长度切割磁感线产生感应电动势，有

Bdv I R R

ε

=

=

，33

44U I R Bdv =?=

线框右边MN 在Ⅰ区运动过程中，木块与线框受力平衡，有

0A F F mg μ--=

解得

31

0.12020

A F BId mg mg mg ==

-= 通过线框任一横截面的电量q 为q It =，其中2d

t v

= 联立以上各式，解得

340mgd

q U

=

（3）MN 刚到达Ⅱ区正中间时，流过线框的电流为

34'4Bdv Bdv Bdv

I I R R

+=

== 线框左、右两条边均受到向左的安培力作用，总的安培力大小为

4

''3'165

A A F BI d BI d F mg =+==

由于线框上边各有一半处在磁场Ⅰ区、Ⅱ区中，所以分别受到向上与向下的安培力作用，此时木块受到的支持力N 为

7

3''85

A N mg BI d BI d mg F mg =+-=+=

木块与线框组成的系统受力平衡，因此拉力F 为

4747

'55050

A F F N mg mg mg μ=+=+=

（4）随着MN 在磁场Ⅱ区的运动，木块受到的支持力N x 随发生的位移x 而变化，有

3''(2)2'4'x N mg BI x BI d x mg BI d BI x =+--=-+

由于N x 随位移x 线性变化，因此MN 在Ⅱ区运动过程中木块受到的平均支持力为

4'27

2'2'25

BI d N mg BI d mg BI d mg ?=-+

=+= 此过程中拉力做的功W 为

4747

'222255025

A W F d N d mg d mg d mgd μ=?+?=?+?=

13．一种可测速的跑步机的测速原理如图所示。该机底面固定有间距为L 、宽度为d 的平行金属电极。电极间充满磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里的匀强磁场，左侧与电压表和电阻R 相连接。绝缘橡胶带上每隔距离d 就嵌入一个电阻为r 的平行细金属条，跑步过程中，绝缘橡胶带跟随脚步一起运动，金属条和电极之间接触良好且任意时刻仅有一根金属条处于磁场中。现在测出t 时间内电压表读数为恒为U ，设人与跑步机间无相对滑动，求：

（1）判断电阻R 的电流方向；

（2）该人跑步过程中，是否匀速？给出定性判断理由；

（3）求t 时间内的平均跑步速度；

（4）若跑步过程中，人体消耗的能量有20%用于克服磁场力做功，求t 时间内人体消耗的能量。

【答案】(1)电阻R 的电流方向向下；(2)是匀速；(3)R r v U BLR +=；(4)2

5()R r t

E UR += 【解析】 【分析】 【详解】

(1)由题意且根据右手定则可知，流经电阻R 的电流方向向下； (2)(3)金属条做切割磁感线运动产生的电动势大小为E BLv =， 回路中的电流大小为E

I R r

=

+， 伏特表的示数为U IR =， 解得

R r

v U BLR

+=

由于伏特表示数恒定，所以速度也恒定，说明该人跑步过程中，是匀速；速度为

R r

v U BLR

+=

(4)金属条中的电流为

I r

BLv

R =

+ 金属条受的安培力大小为

A F BIL =

时间t 内金属条克服安培力做功为

22222

()A B L v t R r U t

W F vt R r R +===

+ 所以t 时间内人体消耗的能量

22

5()0.2W R r U t

E R

+==

14．如图所示，两平行光滑的金属导轨MN 、PQ 固定在水平面上，相距为L ，处于竖直向下的磁场中，整个磁场由n 个宽度皆为x0的条形匀强磁场区域1、2、3、…n 组成，从左

向右依次排列，磁感应强度的大小分别为B、2B、3B、…nB，两导轨左端MP间接入电阻R，一质量为m的金属棒ab垂直于MN、PQ放在水平导轨上，与导轨电接触良好，不计导轨和金属棒的电阻。

（1）对导体棒ab施加水平向右的力，使其从图示位置开始运动并穿过n个磁场区，求导体棒穿越磁场区1的过程中，通过电阻R的电荷量q。

（2）对导体棒ab施加水平向右的恒力F0，让它从磁场1左侧边界处开始运动，当向右运

动距离为时做匀速运动，求棒通过磁场区1所用的时间t。

（3）对导体棒ab施加水平向右的恒定拉力F1，让它从距离磁场区1左侧x=x0的位置由静止开始做匀加速运动，当棒ab进入磁场区1时开始做匀速运动，此后在不同的磁场区施加不同的水平拉力，使棒ab保持该匀速运动穿过整个磁场区，求棒ab通过第i磁场区时的水平拉力Fi和棒ab通过整个磁场区过程中回路产生的电热Q。

【答案】⑴；⑵；⑶

【解析】

试题分析:⑴电路中产生的感应电动势。通过电阻的电荷量。导体棒穿过1区过程。解得

（2）棒匀速运动的速度为v，则

设棒在前x0/2距离运动的时间为t1，则

由动量定律：F0 t1-BqL=mv；解得：

设棒在后x0/2匀速运动的时间为t2，则

所以棒通过区域1所用的总时间：

（3）进入1区时拉力为，速度，则有。

解得；。进入i区时的拉力。