第5章 点的复合运动分析
5－1 曲柄OA 在图示瞬时以ω0绕轴O 转动，并带动直角曲杆O 1BC 在图示平面内运动。若d 为已知，试求曲杆O 1BC 的角速度。
解：1、运动分析：动点：A ，动系：曲杆O 1BC ，牵连运动：定轴转动，相对运动：直线，绝对运动：圆周运动。
2、速度分析：r e a v v v += 0a 2ωl v =；0e a 2ωl v v == 01e 1
ωω==A
O v BC O （顺时针）
5－2 图示曲柄滑杆机构中、滑杆上有圆弧滑道，其半径cm 10=R ，圆心O 1在导杆BC 上。曲柄长cm 10=OA ，以匀角速rad/s 4πω=绕O 轴转动。当机构在图示位置时，曲柄与水平线交角 30=φ。求此时滑杆CB 的速度。
解：1、运动分析：动点：A ，动系：BC ，牵连运动：平移，相对运动：圆周运动，绝对运动：圆周运动。
2、速度分析：r e a v v v +=
πω401a =?=A O v cm/s ； 12640a e ====πv v v BC cm/s
5－3 图示刨床的加速机构由两平行轴O 和O 1、曲柄OA 和滑道摇杆O 1B 组成。曲柄OA 的末端与滑块铰接，滑块可沿摇杆O 1B 上的滑道滑动。已知曲柄OA 长r 并以等角速度ω转动，两轴间的距离是OO 1 = d 。试求滑块滑道中的相对运动方程，以及摇杆的转动方程。 解：分析几何关系：A 点坐标 d t r x +=ω?cos cos 1 （1） t r x ω?sin sin 1= （2） （1）、（2）两式求平方，相加，再开方，得： 1．相对运动方程
t
rd r d t r d t rd t r x ωωωωcos 2sin cos 2cos 2
2
222221++=+++=
将（1）、（2）式相除，得： 2．摇杆转动方程： d
t r t
r +=
ωω?cos sin tan
d
t r t r +=ωω?cos sin arctan
5－4 曲柄摇杆机构如图所示。已知：曲柄O 1A 以匀角速度ω1绕轴O 1转动，O 1A = R ，O 1O 2 =b ，O 2O = L 。试求当O 1A 水平位置时，杆BC 的速度。
解：1、A 点：动点：A ，动系：杆O 2A ，牵连运动：定
轴转动，相对运动：直线，绝对运动：圆周运动。
1a R v A ；2
21222a e R b R R b R v v A A 2、B 点：动点：B ，动系：杆O 2A ，牵连运动：定轴转动，相对运动：直线，绝对运动：直线。
C 习题5-4图
习题5-1图
A
习题5-3图
r
a
(d)
(c)
r
2212
22e
e R
b b LR A O B O v v A B 2
12
22e
a b
LR b R b v v v B B BC
5－5 如图示，小环M 套在两个半径为r 的圆环上，令圆环O '固定，圆环O 绕其圆周上一点A 以匀角速度ω转动，求当A 、O 、O '位于同一直线时小环M 的速度。
解：1、运动分析：动点：M ，动系：圆环O ，牵连运
动：定轴转动，相对运动：圆周运动，绝对运动：圆周运动。
2、速度分析：r e a v v v += ωr v 3e =
ωr v v v M =?==30tan e a
5－6 图a 、b 所示两种情形下，物块B 均以速度B υ、加速度a B 沿水平直线向左作平移，从而推动杆OA 绕点O 作定轴转动，OA = r ，?= 40°。试问若应用点的复合运动方法求解杆OA 的角速度与角加速度，其计算方案与步骤应当怎样？将两种情况下的速度与加速度分量标注在图上，并写出计算表达式。 解：（a ）：
1、运动分析：动点：C （B 上）；动系：OA ；绝对运动：直线；相对运动：直线；牵连运动：定轴转动。
2、v 分析（图c ） r e v v v B
（1）
sin
e B v v OC
v OC v B OA
sin e （2）
cos
r B v v 3、a 分析（图d ）
C r t
e n e a a a a a B （3）
（3）向a C 向投影，得
C t e sin a a a B
其中OC
v v a B OA
2sin 22
r C
C t
e sin
a a a B OC
a OA t
e
（b ）：
1、运动分析：动点：A （OA 上）；动系：B ；绝对运动：圆周运动；相对运动：直线；牵连运动：平移。
2、v 分析（图e ） r e a v v v +=
A
v A v 习题5—5图
习题5—6图
(f)
a
υ(a)
15
C
(b)
?
sin a B
v v =
?
ωsin a r v OA v B
OA =
=
3、a 分析（图f ） r e t a
n a
a a a a +=+ 上式向a e 向投影，得
e t a n a sin cos a a a =+??
?
222a n a
sin r v r v a B
=
= ??sin /)cos (n a t a a a a B -=
r a OA a OA t a
t a
==α
5－7 图示圆环绕O 点以角速度ω= 4 rad/s 、角加速度α= 2 rad/s 2转动。圆环上的套管A 在图示瞬时相对圆环有速度5m/s ，速度数值的增长率8m/s 2。试求套管A 的绝对速度和加速度。
解：1、运动分析：动点：A ，动系：圆环，牵连运动：定轴转动，相对运动：圆周运动，绝对运动：平面曲线。 2、速度：（图a ）
??=?=15cos 2215cos 2r OA
?=??=?=15cos 16415cos 4e ωOA v 5r =v m/s
3.2015cos 2r e 2r 2
e a =?++=v v v v v m/s
3、加速度：（图b ）
C t r n r t e n e n
a t a a a a a a a a ++++=+
?-?+?+=15sin 15cos 15cos t r C n r n e n a a a a a a （1） ?+?+?+=15sin 15sin 15cos n r C t r t e t a a a a a a （2 ?????
?
??????=?===??====?=??=?=15cos 88
4054222515cos 64415cos 4t e t
r r C 22r n r
22n e αωωOA a a v a r v a OA a 代入（1）
46.11015sin 815cos 5.116n a =?-?=a m/s 2
代入（2）
04.2915sin 5.5215cos 16t a =?+?=a m/s 2
114)()(2t a 2n a a =+=a a a m/s 2
5－8 图示偏心凸轮的偏心距OC = e ，轮半径r =e 3。凸轮以匀角速0ω绕O 轴转动。设某瞬时OC 与CA 成直角。试求此瞬时从动杆AB 的速度和加速度。
解：1．动点：A （AB 上），动系：轮O ，绝对运动：直线，相对运动：圆周，牵连运动：定轴转动。
习题5—7图
e υ(a)
(b)
2．r e a v v v +=（图a ）
0e 2ωe v =，0e a 33230tan ωe v v =
?=（↑），0a r 3
3
42ωe v v ==
3．C t r n r e a a a a a a （图b ）
向n r a 投影，得
C n r e a 30cos 30cos
a a a a
cos30C n r e a a a a a )23(322r 02r 2
e v e
v e )33423
316(322002020 e e e =2
092 e （↓）
5－9 如图所示机构，O 1A =O 2B ＝r ＝10cm ，O 1O 2 ＝AB ＝20cm 。在图示位置时，O 1A 杆的角速度ω＝1 rad/s ，角加速度α＝0．5rad ／s 2，O l A 与EF 两杆位于同一水平线上。EF 杆的E 端与三角形板BCD 的BD 边相接触。求图示瞬时EF 杆的加速度。
解：1．运动分析：动点：E （EF 上），动系：轮
BCD ，绝对运动：直线，相对运动：直线，牵连运动：平移。
2．加速度分析：t e n e r a a a a a ++= 沿BC 垂直方向投影：
?-?=?30cos 30sin 30cos n e
t
e
a a a a
11.7103
5
30tan n e
t e
a -=-=-?=a a a cm/s
2
5－10 摇杆OC 绕O 轴往复摆动，通过套在其上的套筒A 带动铅直杆AB 上下运动。已知l = 30cm ，当θ = 30° 时，ω = 2 rad/s ，α = 3 rad/s 2，转向如图所示，试求机构在图示位置时，杆AB 的速度和加速度。
解：1．运动分析：动点：A ，动系：杆OC ，绝对运动：直线，相对运动：直线，牵连运动：定轴转动。 2．速度分析（图a ）
r e a v v v +=
3
120cos e =?
=θωl v cm/s 80cos e a ===θ
v
v v AB
cm/s
习题5—9图
C 习题5—10图
C （a ）
（b ）
4030tan e r =?=v v cm/s
3．加速度分析（图b ）：C t e n e r a a a a a a +++= 沿a C 方向投影：t e C a 30cos a a a -=?
76.64)30cos 2(3
2r a =?-=
=l
v a a AB αωcm/s
2
5－11 如图所示圆盘上C 点铰接一个套筒，套在摇杆AB 上,从而带动摇杆运动。已知：R =0.2m ，h = 0.4m ，在图示位置时 ?=60θ，ω0=4rad/s ，20s rad/2=α。试求该瞬时，摇杆AB 的角速度和角加速度。
解：1．运动分析：动点：C ，动系：杆AB ，绝对运动：圆周运动，相对运动：直线，牵连运动：定轴转动。
2．速度分析（图a ） r e a v v v += 8.00a ==R v ωm/s 0e =v 0=AB ω
3．加速度分析（图b ） t e r n a t a a a a a +=+
沿n
a a 方向投影：2.320t e n a ===R a a ωm/s 2 ；2t e rad/s 24.93
2.02
.3sin ===θαh a AB （逆时针）
5－12 在图示机构中，已知O 1A = OB = r = 250mm ，且AB = O 1O ；连杆O 1A 以匀角速度ω = 2 rad/s 绕轴O 1转动，当φ = 60° 时，摆杆CE 处于铅垂位置，且CD = 500mm 。求此时摆杆CE 的角速度和角加速度。
解：1．运动分析：动点：D ，动系：杆CE ，绝对运动：圆周运动，相对运动：直线，牵连运动：定轴转动。
2．速度分析（图a ） r e a v v v += 501a =?==A O v v A ωcm/s
325sin a e ==?v v cm/s ；866.02
3
e CD v CE rad/s 25cos a r v v cm/s
3．加速度分析（图b ）：C t e n e r a a a a a a
习题5－11图
（a ）
习题5－12图
习题16-13图
(a) (b)
沿a C 方向投影：t e C a cos a a a
7.63255022
60cos r 2C a t e
v r
a a a CE cm/s 2 ；2t e rad/s 134.050
7.6 CD a CE
5－13 图示为偏心凸轮－顶板机构。凸轮以等角速度ω绕点O 转动，其半径为R ，偏心距OC = e ，图示瞬时?= 30°。试求顶板的速度和加速度。
解：1．动点：轮心C ，动系：AB 、平移，绝对运动：图周，相对运动：直线。 2．图（a ）：r e a v v v += ωe v =e
ω?e v v v AB 2
3
cos a e =
==（↑） 3．图（b ）：r e a a a a +=
22a e 2
130sin sin ωω?e e a a a AB =?===（↓）
5－14 平面机构如图所示。已知：O 1A =O 2B =R =30cm ，AB =O 1O 2，O 1A 按规律24
2
t π?=绕
轴O 1转动，动点M 沿平板上的直槽(θ =60? )运动，BM = 2t +t 3 ，式中φ以rad 计，BM 以cm 计，t 以s 计。试求 t = 2s 时动点的速度和加速度。
解：1．运动分析：动点：M ，动系：平
板，绝对运动：未知，相对运动：直线，牵连运动：平移。t = 2s 时：
?==306π? rad ，6π?ω== rad/s ， 12
πα= rad/s 2 2．速度分析（图a ） r e a v v v += 14322r =+=t v cm/s
πω5e ===R v v A cm/s ；
7.29145r e a =+=+==πv v v v M cm/s
3．加速度分析（图b ）：t e n e r a a a a a a ++==M
πα5.2t e ==R a cm/s 2 ；22n e 6
5πω==R a cm/s 2 ；126r ==t a cm/s 2
22.86
52
n e ===πa a Mx cm/s 2 ；85.19125.2r t
e =+=+=πa a a My cm/s 2
5－15 半径为R 的圆轮，以匀角速度ω0绕O 轴沿逆时针转动，并带动AB 杆绕A 轴
B
B 习题5－14图
转动。在图示瞬时，OC 与铅直线的夹角为60?，AB 杆水平，圆轮与AB 杆的接触点D 距A 为3R 。求此时AB 杆的角加速度。
解：1．运动分析：动点：C ，
动系：杆AB ，绝对运动：圆周运
动，相对运动：直线，牵连运动：定轴转动。
2．速度分析（图a ） r e a v v v += e 0a v R v ==ω
2
20e ωω==R v AB
0r =v
3．加速度分析（图b ）
t e n
e r a a a a a ++=
沿铅垂方向投影：?
-?=?30sin 30cos 60cos n e t e a a a a R R R a a a 202
02
0n e
a t
e
23)2(31)(30tan ωωω=+=+?=；20t e 43ωα==CA a AB
5－16 曲柄 O 1M 1以匀角速度ω1=3 rad ／s 绕 O 1轴沿逆时针转动。T 形构件作水平往复运动，M 2为该构件上固连的销钉。槽杆O 2E 绕O 2轴摆动。已知O 1M 1＝r ＝20cm ，l ＝30 cm 。当机构运动到如图所示位置时，θ＝φ=30?，求此时O
E 杆的角加速度。
解：1．运动分析：动点：M 1，动系：杆AB ，绝对运动：圆周运动，相对运动：直线，
牵连运动：平移。
速度分析（图a ）：r1e1a1v v v +=
6011a ==ωr v cm/s ；30sin 1a 1e ==θv v cm/s
加速度分析（图b ）： e1r1a1a a a +=
沿铅垂方向投影：3902
3cos 211a 1e ===r a a ωθ cm/s 2
2．运动分析：动点：M 2
，动系：杆O 2E ，绝对运动：直线，相对运动：直线，牵连运动：定轴转动。
速度分析（图a ）：r2e2a2v v v +=
301e 2a ==v v cm/s ；315cos 2a 2e ==?v v cm/s ；
15sin 2a 2r ==
?v v cm/s ；75.0cos 2e 2
==?ωl
v E O rad/s 加速度分析（图b ）： 2C t
e2n e2r2a2a a a a a +++=
习题5－16图
（a ）
（b ）
习题5－15图
沿a C 方向投影：C t 2e 2a cos a a a +-=-?；5.15775.015213530cos 2C 1e t 2e =??+=+?=a a a cm/s 2
55.460
35.157cos t
2e 2
===?αl a E O rad/s 2
1. 图示的曲柄滑道机构中，曲柄长OA =10cm ,绕O 轴转动。当?=30°时，其角速度ω=1rad/s ，角加速度α=1rad/s 2，求导杆BC 的加速度和滑块A 在滑道中的相对加速度。 解 取滑块A 为动点，动坐标系固连于导杆上。 切向加速度a a τ和法向加速度a a n ，其大小分别为 a a τ=OA ·ε=10cm/s 2 a a n =OA ·ω2=10cm/s 2 牵连运动为平动的加速度合成定理为 a a = a a τ+ a a n = a e + a r 将上式各矢量分别投影在x 轴和y 轴上，解得 a r ==3.66cm/s 2 a e =13.66cm/s 2 a e 即为导杆在此瞬时的平动加速度。 2. 滚压机构的滚子沿水平地面作纯滚动。已知曲柄OA 长r ，以匀角速度ω转动。连杆AB 长r L 3=, 滚子半径为R 。求图示位置滚子的角速度和角加速度。 解 （1）分析运动，先选AB 杆为研究对象 （2）根据瞬心法求v B 先找到速度瞬心C v B = ωr 3 3 2 （3）利用加速度公式求a B n BA t BA A B a a a a ρρρρ++= ωAB = v A /AC = rω/3r = ω/3
a BA n = ABωAB 2= 3rω2/9 a B = 2 rω2/9 （4）再取滚子为研究对象，求ωB 和αB ωB = v B /R = ωr R 33 2 αB = dωB /dt =1/R ·dv B /dt = a B /R = 2 rω2/9R 3. 图示的四连杆机构中，O 1A =r , AB =O 2B =3r ,曲柄以等角速度ω1绕O 1轴转动。在图示位置时，O 1A ⊥AB ,∠O 2BA =60°。求此瞬时杆O 2B 的角速度ω2和角加速度2α。 解 （1）先计算杆O 2B 的角速度 杆O 1A 和O 2B 作定轴转动，连杆AB 作平面运动。过A 、B 两点作A v ρ、B v ρ 的垂线，其交点C 就是连杆AB 的瞬心。 根据瞬心法或者速度投影法可以求得 ο30cos B A v v = 于是 ωr v v A B 3 230 cos = =ο
第四章 点的运动和刚体基本运动 习题解答 4-1 图示曲线规尺的杆长200==AB OA mm ，50====AE AC DE CD mm 。杆OA 绕O 轴转动的规律为t 5 π?= rad ，并且当运动开始时，角 0=?，求尺上D 点的运动方程和轨迹。 解： 已知t π?2.0=，故点D 的运动方程为 m m 2.0cos 200D t x π= m m 2.0sin 100D t y π= 消去时间t 得到点D 的轨迹方程为 11002002 222=+D D y x （椭圆） 4-2 图示AB 杆长l ，以t ω?=的规律绕B 点转动， ω为常量。而与杆连接的滑块B 以t b a s ωsin +=的规 律沿水平线作谐振动，a 、b 为常量。求A 点的轨迹。 解： 采用直角坐标法，取图示直角坐标系O xy , 则A 点位置坐标为?sin l s x += ，?cos l y -=，即 ()t l b a x ωsin ++= t l y ωcos -=. 消去时间t 得A 点轨迹方程为： 2 2 2 2()1()x a y b l l -+=+.（椭圆） 4-3 套筒A 由绕过定滑轮B 的绳索牵引而沿导轨上升，滑 轮中心到导轨的距离为l ，如图所示。设绳索以等速0v 拉下，忽略滑轮尺寸。求套筒A 的速度和加速度与距离x 的关系式。 解：设0=t 时，绳上C 点位于B 处，在瞬时t ,到达图示位置 则 =++= +t v l x BC AB 022常量，将上式求导，得到管套 A 的速度和加速度为 2 20d d l x x v t x v A +-==， 32 20d d x l v t v a A A -==， 负号表示A A a v ,的实际方向与x 轴相反。 4-4 如图所示，半径为R 的圆形凸轮可绕O 轴转动，带动顶杆BC 作铅垂直线运动。设凸轮圆心在A 点，偏心距e =OA ，t ω?=，其中ω为常量。试求顶杆上B 点的运动方程、速度和加速度。 解：以O 点为原点建立坐标系，由余弦定理可得 2222cos AB OA OB OA OB t ω=+-?? 其中OA=e ，AB=R ，设B y =OB 代入上式 题 4-1图 题4-2图 题4-3图
第六章点的合成运动 一、是非题 1、不论牵连运动的何种运动，点的速度合成定理v a=v e+v r皆成立。（） 2、在点的合成运动中，动点的绝对加速度总是等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。（） 3、当牵连运动为平动时，相对加速度等于相对速度对时间的一阶导数。（） 4、用合成运动的方法分析点的运动时，若牵连角速度ωe≠0，相对速度υr≠0，则一定有不为零的科氏加速度。（） 5、若将动坐标取在作定轴转动的刚体上，则刚体内沿平行于转动轴的直线运动的动点，其加速度一定等于牵连加速度和相对加速度的矢量和。（） 6、刚体作定轴转动，动点M在刚体内沿平行于转动轴的直线运动，若取刚体为动坐标系，则任一瞬时动点的牵连加速度都是相等的。（） 7、当牵连运动定轴转动时一定有科氏加速度。（） 8、如果考虑地球自转，则在地球上的任何地方运动的物体（视为质点），都有科氏加速度。（） 二、选择题 1、长L的直杆OA，以角速度ω绕O轴转动，杆的A端铰 接一个半径为r的圆盘，圆盘相对于直杆以角速度ωr，绕A轴 转动。今以圆盘边缘上的一点M为动点，OA为动坐标，当AM 垂直OA时，点M的相对速度为。 ①υr=Lωr，方向沿AM； ②υr=r（ωr－ω），方向垂直AM，指向左下方； ③υr=r（L2+r2）1/2ωr，方向垂直OM，指向右下方； ④υr=rωr，方向垂直AM，指向在左下方。 2、直角三角形板ABC，一边长L，以匀角速度ω绕B轴转动，点M以S=Lt的规律自A向C运动，当t=1秒时，点M的相对加速度的大小α r= ；牵连加速度的大小αe = ；科氏 加速度的大小αk = 。方向均需在图中画出。 ①Lω2； ②0； ③3Lω2；
2 v v e =1 v v =AB r v v =0 450 45 v r =N 竞赛资料 点的合成运动习题解 [习题7-1]汽车A 以h km v /401=沿直线道路行驶，汽车B 以h km v /2402=沿另一叉道行驶。求在B 车上观察到的Ａ车的速度。 解： 动点：A 车。 动系：固连于B 车的坐标系。 静系：固连地面的坐标系。 绝对运动：动点A 相对于地面的运动。 相对运动：动点A 相对于B 车的运动。 牵连运动：在动系中，动点与动系的重合点， 即牵连点相对于静系（地面）的运动。当Ａ、 Ｂ两车相遇时，即它们之间的距离趋近于０时， Ａ、Ｂ相重合，Ｂ车相对于地面的速度就是 牵连速度。2v v e =。由速度合成定理得： → →→ +=r e v v v 。用作图法求得： h km v v AB r /40== （↑） 故，Ｂ车上的人观察到Ａ车的速度为h km v v AB r /40==，方向如图所示。 [习题7-2]由西向东流的河，宽1000m ，流速为s ，小船自南岸某点出发渡至北岸，设小船相对于水流的划速为1m/s 。问：（1）若划速保持与河岸垂直，船在北岸的何处靠岸？渡河时间需多久？（2）若欲使船在北岸上正对出发点处靠岸，划船时应取什么方向？渡河时间需多久？ 解：（１） 动点：船。 动系：固连在流水上。 静系：固连在岸上。 绝对运动：岸上的人看到的船的运动。 相对运动：船上的有看到的船的运动。 牵连运动：与船相重合的水体的运动。 绝对速度：未知待求，如图所示的v 。 相对速度：s m v r /1=，方向如图所示。 牵连速度：s m v e /5.0=，方向如图所示。 由速度合成定理得：
10.1 一质量为10kg 的小球置于倾斜 30的光滑斜面上，并用平行于斜面的软绳拉住如图示。求当斜面以3/g 的加速度向左运动时，绳子中的拉力以及斜面上的压力，并问当斜面的加速度达到多大时绳子中的拉力为零？ 解：小球：∑=F a m x ' ：T 30sin 30cos F mg ma +-=- ，N 71.20T =F y '： 30cos 30sin N mg F ma -=，N 20.101N =F 令第一式中得0T =F ，解得： 2m/s 66.530cos /30sin == g a 10.2 一重20N 的小方块放于绕铅垂轴转动的水平圆台上如图示，m 1=r ，今圆台从静止开始以20.5rad/s 的匀角加速度转动。设方块与台面间的静摩擦因数为0.25，问经过多少时间后，方块开始在台面上滑动？又问当s 2=t 时，方块与台面间的摩擦力多大？ 解：方块：∑=F a m ，向三轴投影得 x F ma =τ，y n F ma =，mg F =N 其中α=τr a ， r t r a 22n )(α=ω=。因此有 4 22y 2x 1t r m F F F α+α=+= （1） 滑动时将fmg fF F ==N 代入式（1），解得s 10.3=t ； 将s 2=t 代入式（1），解得N 28.2=F 。 10.3 游乐场一圆柱形旋转厅如图示，游客背对墙而立，当旋转厅达到一定角速度时，让地板下降。求保证游客（允许视为质点）不往下掉落的最小角速度。设人和墙之间的静摩擦因数3.0s =f 。
解：游客：∑=F a m ，向 x 、y 轴投影得 N 2F r m =ω，N fF mg F == 由上二式解得rad/s 56.2/==ωfr g 10.4 一质量为1kg 的小球A 被限制在两滑槽内运动，如图示。若两滑槽的运动规律分别为t y 2cos 0=和t x 2sin 20=（其中，t 以s 计，0x ，0y 以cm 计），试求在任意时刻小球A 所受到的作用力。 解：设 )cm (2sin 2A t x =，)cm (2cos A t y =， 则有 )cm/s (2sin 82A x t x a -== ，)cm/s (2cos 42A y t y a -== 根据牛顿定律，小球A 受到得作用力为： )N )(2cos 2sin 2(04.0j i a F t t m +-==∑ 10.5 支撑缆车的铁索成悬链线状如图示，相对（Oxy ）坐标系的轨迹方程为 ax a e e a y cosh )(2ax -ax =+=（单位为m ） 若缆车以5m/s 的速度沿铁索前进，缆车和乘客总重量为kN 5.2，试以x 表示缆车作用于铁索的正压力。假定缆车不影响铁索的形状。 解：由铁索轨迹方程ax a y ch =可得 ax a dx dy sh /2=，ax a dx y d ch /322= 其中10=a 。根据几何关系有 ax a dx dy sh /tg 2==β，22)sh (1/1cos ax a +=β ax a ax a dx y d dx dy ch /])sh (1[)//(])/(1[32/322222/32+=+=ρ （m ） 对缆绳列写牛顿定律沿N F 方向的投影式：
运动学重要知识点 一、刚体的简单运动知识点总结 1.刚体运动的最简单形式为平行移动和绕定轴转动。 2.刚体平行移动。 ·刚体内任一直线段在运动过程中，始终与它的最初位置平行，此种运动称为刚体平行移动，或平移。 ·刚体作平移时，刚体内各点的轨迹形状完全相同，各点的轨迹可能是直线，也可能是曲线。 ·刚体作平移时，在同一瞬时刚体内各点的速度和加速度大小、方向都相同。 3.刚体绕定轴转动。 ?刚体运动时，其中有两点保持不动，此运动称为刚体绕定轴转动，或转动。 ?刚体的转动方程φ=f(t)表示刚体的位置随时间的变化规律。 ?角速度ω表示刚体转动快慢程度和转向，是代数量，。角速度也可 以用矢量表示，。 ?角加速度表示角速度对时间的变化率，是代数量，，当α与ω同号时，刚体作匀加速转动；当α与ω异号时，刚体作匀减速转动。角加速度 也可以用矢量表示，。 ?绕定轴转动刚体上点的速度、加速度与角速度、角加速度的关系： 。 速度、加速度的代数值为。 ?传动比。
一、点的运动合成知识点总结 1.点的绝对运动为点的牵连运动和相对运动的合成结果。 ?绝对运动：动点相对于定参考系的运动； ?相对运动：动点相对于动参考系的运动； ? 牵连运动：动参考系相对于定参考系的运动。 2.点的速度合成定理。 ?绝对速度：动点相对于定参考系运动的速度； ?相对速度：动点相对于动参考系运动的速度； ?牵连速度：动参考系上与动点相重合的那一点相对于定参考系运动的速度。 3.点的加速度合成定理。 ?绝对加速度：动点相对于定参考系运动的加速度； ?相对加速度：动点相对于动参考系运动的加速度； ?牵连加速度：动参考系上与动点相重合的那一点相对于定参考系运动的加速度； ?科氏加速度：牵连运动为转动时，牵连运动和相对运动相互影响而出现的一项附加的加速度。 ?当动参考系作平移或= 0 ，或与平行时， = 0 。 该部分知识点常见问题有
第五章思考题 5.1虚功原理中的“虚功”二字作何解释？用虚功原理理解平衡问题，有何优点和缺点？ 5.2 为什么在拉格朗日方程中，a θ不包含约束反作用力？又广义坐标与广义力的含义如何？我们根据什么关系由一个量的量纲定出另一个量的量纲? 5.3广义动量a p 和广义速度a q 是不是只相差一个乘数m ？为什么a p 比a q 更富有意义？ 5.4既然 a q T ??是广义动量，那么根据动量定理，??? ? ????αq T dt d 是否应等于广义力a θ？为什么在拉格朗日方程()14.3.5式中多出了a q T ??项？你能说出它的物理意义和所代表的物理量吗？ 5.5为什么在拉格朗日方程只适用于完整系？如为不完整系，能否由式()13.3.5得出式 ()14.3.5？ 5.6平衡位置附近的小振动的性质，由什么来决定？为什么22s 个常数只有2s 个是独立的？ 5.7什么叫简正坐标？怎样去找？它的数目和力学体系的自由度之间有何关系又每一简正坐标将作怎样的运动？ 5.8多自由度力学体系如果还有阻尼力，那么它们在平衡位置附近的运动和无阻尼时有何不同？能否列出它们的微分方程？ 5.9 dL 和L d 有何区别？ a q L ??和a q L ??有何区别？ 5.10哈密顿正则方程能适用于不完整系吗？为什么？能适用于非保守系吗？为什么？ 5.11哈密顿函数在什么情况下是整数？在什么情况下是总能量？试祥加讨论，有无是总能量而不为常数的情况？ 5.12何谓泊松括号与泊松定理？泊松定理在实际上的功用如何？ 5.13哈密顿原理是用什么方法运动规律的？为什么变分符号δ可置于积分号内也可移到
理论力学名校考研真题详解，益星学习网可免费下载题库 目录 第1章静力学公理和物体的受力分析 1.1 重点与难点解析 1.2 名校考研真题与期末考试真题详解 1.3 名校期末考试真题详解 第2章平面会交力系与平面力偶系 2.1 重点与难点解析 2.2 名校考研真题详解 第3章平面任意力系 3.1 重点与难点解析 3.2 名校考研真题详解 3.3 名校期末考试真题详解 第4章空间力系 4.1 重点与难点解析 4.2 名校考研真题详解 4.3 名校期末考试真题详解 第5章摩擦 5.1 重点与难点解析 5.2 名校考研真题详解 5.3 名校期末考试真题详解 第6章点的运动学 6.1 重点与难点解析 6.2 名校考研真题详解 6.3 名校期末考试真题详解 第7章刚体的简单运动 7.1 重点与难点解析 7.2 名校考研真题详解 7.3 名校期末考试真题详解 第8章点的合成运动 8.1 重点与难点解析 8.2 名校考研真题详解 8.3 名校期末考试真题详解 第9章刚体的平面运动 9.1 重点与难点解析 9.2 名校考研真题详解 9.3 名校期末考试真题详解 第10章质点动力学的基本方程 10.1 重点与难点解析 10.2 名校考研真题详解 10.3 名校期末考试真题详解
第11章动量定理 11.1 重点与难点解析 11.2 名校考研真题详解 11.3 名校期末考试真题详解 第12章动量矩定理 12.1 重点与难点解析 12.2 名校考研真题详解 12.3 名校期末考试真题详解 第13章动能定理 13.1 重点与难点解析 13.2 名校考研真题详解 13.3 名校期末考试真题详解 第14章达朗贝尔原理（动静法） 14.1 重点与难点解析 14.2 名校考研真题详解 14.3 名校期末考试真题详解 第15章虚位移原理 15.1 重点与难点解析 15.2 名校考研真题详解 15.3 名校期末考试真题详解 第16章非惯性系中的质点动力学 16.1 重点与难点解析 16.2 名校考研真题详解 第17章碰撞 17.1 重点与难点解析 17.2 名校考研真题详解 17.3 名校期末考试真题详解 第18章分析力学基础 18.1 重点与难点解析 18.2 名校考研真题详解 18.3 名校期末考试真题详解 第19章机械振动基础 19.1 重点与难点解析 19.2 名校考研真题详解 19.3 名校期末考试真题详解 附录部分院校考研真题与答案 附录1 天津大学2008年《理论力学》考研试题与答案 附录2 北京航空航天大学2007年《理论力学》考研试题与答案 附录3 北京航空航天大学2009年《力学基础》考研试题与答案 附录4 哈尔滨工业大学2007年《理论力学》考研试题与答案 附录5 浙江大学2007年《理论力学》考研试题与答案 附录6 哈尔滨工程大学2009-2010学年第1学期《理论力学》期末考试试题与答案附录7 重庆大学2005-2006学年《理论力学》期末考试试题与答案 附录8 河海大学2003-2004学年第1学期《理论力学》期末考试试题与答案
第五章运动学基础 一、是非题 1．已知直角坐标描述的点的运动方程为X=f1（t），y=f2（t），z=f3（t），则任一瞬时点的速度、加速度即可确定。（）2．一动点如果在某瞬时的法向加速度等于零，而其切向加速度不等于零，尚不能决定该点是作直线运动还是作曲线运动。（）3．切向加速度只表示速度方向的变化率，而与速度的大小无关。（）4．由于加速度a永远位于轨迹上动点处的密切面内，故a在副法线上的投影恒等于零。（）5．在自然坐标系中，如果速度υ=常数，则加速度α=0。（）6．在刚体运动过程中，若其上有一条直线始终平行于它的初始位置，这种刚体的运动就是平动。（）7．刚体平动时，若刚体上任一点的运动已知，则其它各点的运动随之确定。（）8．若刚体内各点均作圆周运动，则此刚体的运动必是定轴转动。（）9．定轴转动刚体上点的速度可以用矢积表示为v=w×r，其中w是刚体的角速度矢 量，r是从定轴上任一点引出的矢径。（） 10、在任意初始条件下，刚体不受力的作用、则应保持静止或作等速直线平动。（） 二、选择题 1、已知某点的运动方程为S=a+bt2（S以米计,t以秒计，a、b为常数），则点的轨迹。 ①是直线；②是曲线；③不能确定。 2、一动点作平面曲线运动，若其速率不变，则其速度矢量与加速度矢量。 ①平行；②垂直；③夹角随时间变化。 3、刚体作定轴转动时，切向加速度为，法向加速度为。 ①r×ε②ε×r ③ω×v④v×ω 4、杆OA绕固定轴O转动，某瞬时杆端A点的加速度 α分别如图（a）、（b）、（c）所示。则该瞬时的角速度为零， 的角加速度为零。 ①图（a）系统；②图（b）系统；③图（c）系统。
质点动力学的基本方程 知识总结 1.牛顿三定律适用于惯性参考系。 质点具有惯性，以其质量度量； 作用于质点的力与其加速度成比例； 作用与反作用力等值、反向、共线，分别作用于两个物体上。 2.质点动力学的基本方程。 质点动力学的基本方程为，应用时取投影形式。 3.质点动力学可分为两类基本问题。 质点动力学可分为两类基本问题： （1）. 已知质点的运动，求作用于质点的力； （2）. 已知作用于质点的力，求质点的运动。 求解第一类问题，需先求得质点的加速度；求解第二类问题，一般是积分的过程。质点的运动规律不仅决定于作用力，也与质点的运动初始条件有关，这两类的综合问题称为混合问题。 动量定理 知识点总结 1.牛顿三定律适用于惯性参考系。 质点具有惯性，以其质量度量； 作用于质点的力与其加速度成比例； 作用与反作用力等值、反向、共线，分别作用于两个物体上。 2.质点动力学的基本方程。 质点动力学的基本方程为，应用时取投影形式。 3.质点动力学可分为两类基本问题。 质点动力学可分为两类基本问题： （1）. 已知质点的运动，求作用于质点的力； （2）. 已知作用于质点的力，求质点的运动。
求解第一类问题，需先求得质点的加速度；求解第二类问题，一般是积分的过程。质点的运动规律不仅决定于作用力，也与质点的运动初始条件有关，这两类的综合问题称为混合问题。 常见问题 问题一在动力学中质心意义重大。质点系动量，它只取决于质点系质量及质心速度。 问题二质心加速度取决于外力主失，而与各力作用点无关，这一点需特别注意。 动量矩定理 知识点总结 1.动量矩。 质点对点O 的动量矩是矢量。 质点系对点O 的动量矩是矢量。 若z 轴通过点O ，则质点系对于z 轴的动量矩为 。 若 C 为质点系的质心，对任一点O 有。 2.动量矩定理。 对于定点O 和定轴z 有 若 C 为质心，C z 轴通过质心，有
习题7-1图 O υ (a) υ υ (b) 习题7-3图 第7章 点的复合运动 7-1 图示车A 沿半径R 的圆弧轨道运动，其速度为v A 。车B 沿直线轨道行驶，其速度为v B 。试问坐在车A 中的观察者所看到车B 的相对速度v B /A ，与坐在车B 中的观察者看到车A 的相对速度v A /B ，是否有B A A B //v v -=？（试用矢量三角形加以分析。） 答：B A A B //v v -≠ 1．以A 为动系，B 为动点，此时绝对运动：直线；相对运动：平面曲线；牵连运动：定轴转动。 为了定量举例，设R OB 3=，v v v B A ==，则v v 3e = ∴ ?? ?? ==6021/θv v A B 2．以B 为动系，A 为动点。牵连运动为：平移；绝对运动：圆周运动；相对运动：平面曲线。 此时? ?????==4522/θv v B A ∴ B A A B //v v -≠ 7-3 图示记录装置中的鼓轮以等角速度0ω转动，鼓轮的半径为r 。自动记录笔连接在沿铅垂方向并按)sin(1t a y ω=规律运动的构件上。试求记录笔在纸带上所画曲线的方程。 解：t r x 0ω= （1） )sin(1t a y ω= （2） 由（1） 0ωr x t = 代入（2），得 )sin(01r x a y ωω= 7-5 图示铰接四边形机构中，O 1A = O 2B = 100mm ，O 1O 2 = AB ，杆O 1A 以等角速度ω= 2rad/s 绕轴O 1转动。AB 杆上有一套筒C ，此套筒与杆CD 相铰接，机构的各部件都在同一铅垂面内。试求当?= ?60，CD 杆的速度和加速度。 解：1．动点：C （CD 上），动系：AB ，绝对：直线，相对：直线，牵连：平移。 2．r e a v v v +=（图a ） v e = v A 01.021 21.0cos e a =? ?==?v v m/s （↑） 3． r e a a a a +=（图b ） 4.021.02 2e =?==ωr a m/s 2 346.030cos e a =?=a a m/s 2（↑）
习 题 5-1 如图5-13所示，偏心轮半径为R ，绕轴O 转动，转角t ω?=（ω为常量），偏心距e OC =，偏心轮带动顶杆AB 沿铅垂直线作往复运动。试求顶杆的运动方程和速度。 图5-13 )(cos )sin(222t e R t e y ωω-+ = ) (cos 2)2sin()[cos(2 2 2 t e R t e t e y v ωωωω-+== 5-2 梯子的一端A 放在水平地面上，另一端B 靠在竖直的墙上，如图5-14所示。梯子保持在竖直平面内沿墙滑下。已知点A 的速度为常值v 0，M 为梯子上的一点，设MA = l ， MB = h 。试求当梯子与墙的夹角为θ时，试点M 速度和加速度 的大小。 图5-14 A M x h l h h x += =θsin θcos l y M = 0cos v h l h x h l h h x A M +=+== θθ 得 θ θ cos )(0h l v += θθθθθt a n ) (c o s )(s i n s i n 0 0h l lv h l v l l y M +-=+?-=-= 0=M x θ θθθθ322 002 020cos )(cos )(sec )(sec )(h l lv h l v h l lv h l lv y M +- =+?+-=+-=
θ 3220 cos )(h l lv a M += 5-3 已知杆OA 与铅直线夹角6/πt =?（ 以 rad 计， t 以s 计），小环M 套在杆OA 、CD 上，如图5-15所示。铰O 至水平杆CD 的距离h =400 mm 。试求t = 1 s 时，小环M 的速度和加速度。 图5-15 ?tan h x M = ??? 22sec 6 π 400sec ?== h x M ???????s i n s e c 9 π200s i n s e c 6π3π400)s i n s e c 2(6π400323 3=??=??= M x 当s 1=t 时6 π=? mm/s 3.2799π 800346π400)6π(sec 6π4002==?== M v 223232mm/s 8.168327π80021)32(9π200)6πsin()6π(sec 9π200==??=??=M a 5-4 点M 以匀速u 在直管OA 内运动，直管OA 又按t ω?=规律绕O 转动，如图5-16所示。当t = 0时，M 在点O 处，试求在任一瞬时点M 的速度和加速度的大小。 图5-16 )cos(t ut x ω= )sin(t ut y ω= )sin()cos(t t u t u x ωωω-= )cos()sin(t t u t u y ωωω+=
第5章 点的复合运动分析 5－1 曲柄OA 在图示瞬时以ω0绕轴O 转动，并带动直角曲杆O 1BC 在图示平面内运动。若d 为已知，试求曲杆O 1BC 的角速度。 解：1、运动分析：动点：A ，动系：曲杆O 1BC ，牵连运动：定轴转动，相对运动：直线，绝对运动：圆周运动。 2、速度分析：r e a v v v += 0a 2ωl v =；0e a 2ωl v v == 01e 1 ωω==A O v BC O （顺时针） 5－2 图示曲柄滑杆机构中、滑杆上有圆弧滑道，其半径cm 10=R ，圆心O 1在导杆BC 上。曲柄长cm 10=OA ，以匀角速rad/s 4πω=绕O 轴转动。当机构在图示位置时，曲柄与水平线交角 30=φ。求此时滑杆CB 的速度。 解：1、运动分析：动点：A ，动系：BC ，牵连运动：平移，相对运动：圆周运动，绝对运动：圆周运动。 2、速度分析：r e a v v v += πω401a =?=A O v cm/s ； 12640a e ====πv v v BC cm/s 5－3 图示刨床的加速机构由两平行轴O 和O 1、曲柄OA 和滑道摇杆O 1B 组成。曲柄OA 的末端与滑块铰接，滑块可沿摇杆O 1B 上的滑道滑动。已知曲柄OA 长r 并以等角速度ω转动，两轴间的距离是OO 1 = d 。试求滑块滑道中的相对运动方程，以及摇杆的转动方程。 解：分析几何关系：A 点坐标 d t r x +=ω?cos cos 1 （1） t r x ω?sin sin 1= （2） （1）、（2）两式求平方，相加，再开方，得： 1．相对运动方程 t rd r d t r d t rd t r x ωωωωcos 2sin cos 2cos 2 2 222221++=+++= 将（1）、（2）式相除，得： 2．摇杆转动方程： d t r t r += ωω?cos sin tan d t r t r +=ωω?cos sin arctan 5－4 曲柄摇杆机构如图所示。已知：曲柄O 1A 以匀角速度ω1绕轴O 1转动，O 1A = R ，O 1O 2 =b ，O 2O = L 。试求当O 1A 水平位置时，杆BC 的速度。 解：1、A 点：动点：A ，动系：杆O 2A ，牵连运动：定 轴转动，相对运动：直线，绝对运动：圆周运动。 1a ωR v A =；2 21222a e R b R R b R v v A A +=+=ω 2、B 点：动点：B ，动系：杆O 2A ，牵连运动：定轴 转动，相对运动：直线，绝对运动：直线。 C 习题5-4图 习题5-1图 A 习题5-3图
第八章 作业解答参考 8-1 椭圆规尺AB 由曲柄OC 带动，曲柄以角速度ω 0绕O 轴 匀速转动，如图所示。如OC = BC = AC = r ，并取C 为基点，求椭圆规尺AB 的平面运动方程。 解：依题意取C 为基点，将规尺AB 的平面运动分解为随基 点C 的平移和绕基点C 的定轴转动。 ∵ OC = BC = AC = r ∴ ∠CBO = ∠COB 设 ∠CBO = φ，则：φ= ω0 t 因此，规尺AB 的平面运动方程为： 000cos sin C C x r t y r t t ωω?ω===，， 8-5 如图所示，在筛动机构中，筛子的摆动是由曲柄连杆 机构所带动。已知曲柄OA 的转速 n OA = 40 r /min ，OA = 0.3 m 。当筛子BC 运动到与点O 在同一水平线上时， ∠BAO = 90°，求此瞬时筛子BC 的速度。 解：由题意可知，此机构中的OA 杆作定轴转动、AB 杆作 平面运动、筛子BC 作平移运动；以B 点的速度v B 代替 筛子BC 的运动速度，当筛子BC 运动到与点O 在同一 水平线上时，A 、B 两点的速度分析如右下图所示， 其中v B 与CB 间的夹角为30°、与AB 延长线间的夹角 为60°，且： ()π4πrad/s 303 n ω= = （逆转） ()()0.4π m/s A OA v OA ω=?= 由速度投影定理可得：cos60A B v v =? ∴ ()()0.8π 2.51 m/s cos60A B v v ==≈? 即：当筛子BC 运动到与点O 在同一水平线上时，筛子BC 的运动速度为2.51 m/s ，方向与 水平方向成30°夹角指向左上方。 8-11 使砂轮高速转动的装置如图所示，杆O 1O 2 绕O 1 轴转动，转 速为n 4，O 2 处用铰链接一半径为r 2 的活动齿轮Ⅱ，杆O 1O 2 转 动时轮Ⅱ在半径为r 3 的固定内齿轮上滚动，并使半径为r 1 的
第七章作业 1、已知：如图所示，点 M 在平面Ox ' y '中运动，运动方程为：x' =40(1-cos t)mm , y' =40sin t mm，式中t 以 s 计，x ' 和 y ' 以 mm 计。平面Ox ' y ' 又绕垂直于该平面的O 轴转动，转动方程为 φ=t rad ，式中角 φ 为动坐标系的 x '轴与定坐标系的 x 轴间的交角。试求：点 M 的相对轨迹和绝对轨迹。 2 、已知：在图 a 和 b 所示的两种机构中，己知= a =200mm ， =3rad/s 。 试求：图示位置时杆 A 的角速度。 3、已知：绕轴O 转动的圆盘及直杆OA 上均有一导槽，两导槽间有一活动销子M ，如图所示， b =0.lm 。设在图示位置时，圆盘及直杆的角速度分别为 =9rad/s 和=3rad/s 。试求：此瞬时销子 M 的速度。
4、已知：图示偏心轮摇杆机构中，摇杆 A 借助弹簧压在半径为 R 的偏心轮 C 上。偏心轮C 绕轴 O 往复摆动，从而带动摇杆绕轴 摆动。设 OC ⊥O时，轮 C 的角速度为ω，角加速度为零，θ =。试求：此时摇杆 A 的角速度 和角加速度 。 5、已知：小车沿水平方向向右作加速运动，其加速度 。在小车上有一轮绕 O 轴转动，轮的半径 r =0.2m ，转动的规律为 。试求：当 t =1s 时，轮缘上点 A 绝对加速度。 6、已知：图示直角曲杆OBC 以匀角速度ω=0.5rad/s 绕 O 轴转动，使套在其上的小环 M 沿固定直杆 OA 滑动， OB =0.1m ， OB 与BC 垂直。 试求：当 φ =时，小环 M 的速度和加速度。
一、判断题： 1. 在自然坐标系中，如果速度v = 常数，则加速度a = 0。（ ） 2、在分析点的合成运动时，动点的绝对速度一定不能恒等于零。( ) 3、对于平动刚体，任一瞬时，各点速度大小相等而方向可以不同。( ) 4、在刚体运动过程中，若刚体内任一平面始终与某固定平面平行，则这种运动就是刚体的平面运动。( ) 5、加速度 d d v t 的大小为d d v t 。（ ） 6、点的法向加速度与速度大小的改变率无关。 ( ) 7、速度瞬心的速度为零，加速度也为零。 （ ） 8、火车在北半球上自东向西行驶，两条铁轨的磨损程度是相同的。( ) 9、平动刚体上各点运动状态完全相同。( ) 10、某瞬时动点的加速度等于零，则其速度可能为零。( ) 11、不论点作什么运动，点的位移始终是一个矢量。( ) 12、某动点如果在某瞬时法向加速度为零，而切向加速度不为零，则该点一定做直线运动。（ ） 13、在研究点的合成运动时，所选动点必须相对地球有运动（ ） 14、已知自然法描述的点的运动方程为S=f(t)，则任意瞬时点的速度、加速度即可确定。（ ） 15、科氏加速度的大小等于相对速度与牵连角速度之大小的乘积的两倍。 （ ） 16、作平面运动的平面图形可以同时存在两个或两个以上的速度瞬时中心。( ) 17、在自然坐标系中，如果速度v = 常数，则加速度0a 。 （ ） 18、在有摩擦的情况下，全约束力与法向约束力之间的夹角称为摩擦角。（ ） 19、在分析点的合成运动时，动点的绝对速度一定不能恒等于零。( ) 20、若动系的牵连运动为定轴转动，则肯定存在哥氏加速度C a 。( ) 21、在直角坐标系中，如果一点的速度v 在三个坐标上的投影均为常数，其加速度a 必然为零。（） 22、刚体平行移动时，其上各点的轨迹一定是相互平行的直线。 二.填空题 1.点M 沿螺旋线自外向内运动，如图所示。它走过的弧长与时间的一次方成正比。试分析它的加速度越来越__________(填大或小) 2．图所示平板绕AB 轴以匀角速度ω定轴转动，动点 运动方程
第8章 点的合成运动 8-1 如图 8-1 所示，光点 M 沿 y 轴作谐振动，其运动 方程为 x = 0， y = a cos(kt +β) 如将点 M 投影到感光记录纸上，此纸以等速v e 向左运动。求点 M 在记录纸上的轨迹。 解 动系O 'x ' y '固结在纸上，点 M 的相对运动 方程 x '= v e t ， y '= a cos(kt + β) 消去t 得点 M 在记录纸上 的轨迹方程 k y '= a cos( x '+β) v e 8-2 如图 8-2 所示，点 M 在平面Ox ' y '中运动，图 8-1 运动方程为 x '= 40(1? cos t ) ， y '= 40sin t 式中t 以 s 计，x '和 y '以 mm 计。平面Ox ' y '又绕垂直于该平面的轴O 转动，转动方程为 ?= t rad ，式中角?为动系的 x '轴与定系的 x 轴间的交角。求点 M 的相对轨迹和绝对轨迹。 解 由点 M 的相对运动方程可改写为 ? x ' ? ??? 40 ?1??? = ?cos t y ' = sin t 40 上2式两边平方后相加，得点 M 的相对轨迹方程 (x '?40)2 + y '2 =1600图 8-2由题得点 M 的坐标变换关系式
x = x 'cos ?? y 'sin ?y = x 'sin ?+ y 'cos ? 将?= t 和相对运动方程代入，消去t 得点M 的绝对轨迹方程 (x + 40)2 + y 2 =1600 8-3 水流在水轮机工作轮入口处的绝对速度v a =15 m/s ，并与直径成β= 60° 角，如图 8-3a 所示，工作轮的半径R = 2 m ，转速n = 30 r/min 。为避 免水流与工作轮叶片相冲击，叶片应恰当地安装，以使水流对工作轮的相对速度与叶片相切。求在工作轮外缘处水流对工作轮的相对速度的大小方向。 x ′ (a) (b) 图 8-3 解 水轮机工作轮入口处的 1 滴水为动点 M ，动系固结于工作轮，定系固结于机架/ 地面（一般定系可不别说明，默认为固结于机架，下同）；牵连运动为定轴转动，相对运动与叶片曲面相切，速度分析如图 8-3b 所示，设θ为v r 与 x '轴的夹角。点 M 的牵连速度 n π v e = R ω= 2× = 6.283 m/s 30 方向与y ' 轴平行。由图 8-3b , ′ v