压轴题：动点问题以及绝对值问题总结
一、填空题
1.数轴上两点间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值.例：点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，则A、B两点间的距离表示为AB＝|a﹣b|.
根据以上知识解题：
（1）数轴上表示3和5两点之间的距离是________，数轴上表示2和－5两点之间的距离是________.
（2）在数轴上表示数x的点与﹣2的点距离是3，那么x＝________.
（3）如果x表示一个有理数，那么|x+4|+|x﹣2|的最小值是________.
（4）如果x表示一个有理数，当x=________时，|x+3|+|x﹣6|=11.
2.阅读下列内容：
数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作|a﹣b|，如|3﹣5|表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，|3+5|＝|3﹣（﹣5）|表示数轴上表示数3的点与表示数﹣5的点的距离，|a﹣3|表示数轴上表示数a的点与表示数3的点的距离.
根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在答题卡相应位置，不写过程）
（1）若|x﹣1|=|x+1|，则x=________，若|x﹣2|＝|x+1|，则x=________；
（2）若|x﹣2|+|x+1|=3，则x的取值范围是________；
（3）若|x﹣2|+|x+1|=5，则x的值是________；
（4）若|x﹣2|﹣|x+1|=3，则x能取到的最大值是________.
二、综合题
3.
（1）在数轴上标出数﹣4.5，﹣2，1，3.5所对应的点A，B，C，D；
（2）C，D两点间距离=________；B，C两点间距离=________；
（3）数轴上有两点M，N，点M对应的数为a，点N对应的数为b，那么M，N两点之间的距离=________；
（4）若动点P，Q分别从点B，C同时出发，沿数轴负方向运动；已知点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，问①t为何值时P，Q两点重合？②t为何值时P，Q两点之间的距离为1？
4.如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是18，8，﹣10．
（1）填空：AB=________，BC=________；
（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位
长度和5个单位长度的速度向左运动．试探索：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由．
（3）现有动点P、Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动；当点P移动到B点时，点Q才从A点出发，并以每秒3个单位长度的速度向左移动，且当点P 到达C点时，点Q就停止移动．设点P移动的时间为t秒，试用含t的代数式表示P、Q两点间的距离．
5.已知a是最大的负整数，与互为相反数，在数轴上，所对应的点分别为A，B，C，点P为该数轴上一动点，其对应的数为x.
（1）a=________，b=________，c=________；
（2）化简：；
（3）三个点在数轴上运动，其中点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点B与点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，试求几秒后B点到点A、点C的距离相等?
6.已知A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，且|2b+20|+|a-0|=0，P是数轴上的一个动点，0为原点。
（1）在数轴上标出A、B的位置，并求出A、B之间的距离。
（2）已知线段OB上有点C且|BC|=6，求C点对应的数。
（3）在(2)的条件下，当数轴上有点P满足PB=2PC时，求P点对应的数。
7.已知数轴上的A、B两点分别对应的数字为a、b，且a、b满足|4a－b|＋(a－4)2＝0.
（1）直接写出a、b的值；
（2）P从A出发，以每秒3个长度的速速延数轴正方向运动，当PA＝PB时，求P运动的时间和P表示的数；
（3）数轴上还有一点C对应的数为36，若点P从A出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，同时，Q从B点出发，以每秒1个长度的速度向正方向运动，点P运动到C点立立即返回再沿数轴向左运动.当PQ＝10时，求P点对应的数.
8.根据下面给出的数轴，解答下面的问题：
（1）观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是：________；
（2）若将数轴折叠，使得A点与－3表示的点重合，则B点与数________表示的点重合；（3）若数轴上M、N两点所表示的数是-30、70，一只电子蚂蚁P从M出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q从N出发，以3个单位长度/秒的速度向左运动，经过多长时间，两只蚂蚁相距20个单位长度？并写出此时P、Q所在的位置.
9.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）表示﹣3和2两点之间的距离是________；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|.
如果|a+2|＝3，那么a＝________；
（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为________；
（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是________；
（4）当a＝________时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是________.
10.已知数轴上三点A，O，B对应的数分别为﹣5，0，1，点M为数轴上任意一点，其对应的数为x.
请回答问题：
（1）A、B两点间的距离是________，若点M到点A、点B的距离相等，那么x的值是________；（2）若点A先沿着数轴向右移动6个单位长度，再向左移动4个单位长度后所对应的数字是________；
（3）当x为何值时，点M到点A、点B的距离之和是8；
（4）如果点M以每秒3个单位长度的速度从点O向左运动时，点A和点B分别以每秒1个单位长度和每秒4个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，那么几秒种后点M 运动到点A、点B之间，且点M到点A、点B的距离相等？
11.数轴上两个质点A．B所对应的数为?8、4，A．B两点各自以一定的速度在数轴上运动，且A点的运动速度为2个单位/秒。
（1）点A．B两点同时出发相向而行，在4秒后相遇，求B点的运动速度；
（2）A、B两点以(1)中的速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒钟时两者相距6个单位长度；
（3）A、B两点以(1)中的速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发作同方向的运动，且在运动过程中，始终有CA=2CB，若干秒钟后，C停留在?10处，求此时B 点的位置?
12.
阅读下面材料：
点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．
当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；
当A，B两点都不在原点时，
①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；
②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；
③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|；
综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．
回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；
②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是，如果|AB|=2，那么x为；
③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是．
④解方程|x+1|+|x﹣2|=5．
13.已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为-20，B点对应的数为80.
（1）请写出AB的中点M对应的数.
（2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，
①你知道经过几秒两只电子蚂蚁相遇?
②点C对应的数是多少?
③经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度?
14.如图，在数轴上点表示的数为20，点表示的数为-40，动点从点出发以每秒
5个单位长度的速度沿负方向运动，动点从原点出发以每秒4个单位长度的速度沿负方向运动，动点从点出发以每秒8个单位的速度先沿正方向运动，到达原点后立即按原速反方向运动，三点同时出发，出发时间为（秒）.
（1）点在数轴上所表示的数分别为：________，________；
（2）当两点重合时，求此时点在数轴上所表示的数；
15.我们知道：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|.所以式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离.
根据上述材料，直接下列问题答案：
（1）|5﹣（﹣2）|的值为________；
（2）若|x﹣3|＝1，则x的值为________；
（3）若|x﹣3|＝|x+1|，则x的值为________；
（4）若|x﹣3|+|x+1|＝7，则x的值为________.
16.己知有理数在数轴上所对应的点分别是三点，且满足：①多项式
是关于的二次三项式：②
（1）请在图1的数轴上描出三点，并直接写出三数之间的大小关系(用“<”连接) ；
（2）点为数轴上点右侧一点，且点到点的距离是到点距离的2倍，求点
在数轴上所对应的有理数；
（3）点在数轴上以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点和点在数轴上分别以每秒个单位长度和4个单位长度的速度向右运动(其中)，若在整个运动的过程中，点到点的距离与点到点的距离差始终不变，求的值.
17.阅读材料：我们知道：点A.B在数轴上分别表示有理数a、b，A.B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A.B两点之间的距离AB=|a-b|.所以式子|x?3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离.
根据上述材料，解答下列问题：
（1）若|x?3|=4，则x=________；
（2）式子|x?3|=|x+1|，则x=________；
（3）若|x?3|+|x+1|=9，借助数轴求x的值.
18.阅读材料：在数轴上表示两个数的点之间的距离可以表示为，比如表示3的点与-2的点之间的距离表示为；可以表示数的点与表示
数1的点之间的距离与表示数的点与表示数-2的点之间的距离的和，根据上述材料，回答下列问题：
（1）解方程
（2）的最小值是________.
（3）的最小值是________此时的值为________.
（4）拓展推广：如图所示：当表示数的点在点和点之间(包含点和点)时，表示数的点与点的距离与表示数的点和点的距离之和最小，且最小值为3，即
的最小值是3，且此时的取值范围为-2≤x≤1
已知数满足则的最小值是________最大值是________.
（5）当的最小值是4.5时，求出的值及对应的值或取值范围.
19.如图，在数轴上，点A表示﹣5，点B表示10．动点P从点A出发，沿数轴正方向以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，动点Q从点B出发，沿数轴负方向以每秒2个单位的
速度匀速运动，设运动时间为t秒：
（1）当t为________秒时，P、Q两点相遇，求出相遇点所对应的数________；
（2）当t为何值时，P、Q两点的距离为3个单位长度，并求出此时点P对应的数．
20.已知，数轴上点A和点B所对应的数分别为，点P为数轴上一动点，其对应的数为．
（1）填空：________ ，________ ．
（2）若点P到点A、点B 的距离相等，求点P 对应的数.
（3）现在点A、点B分别以2 个单位长度/秒和0.5 个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P以3 个单位长度/秒的速度同时从原点向左运动．当点A与点B之间的距离为2个单位长度时，求点P所对应的数是多少？
21.如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB＝10.动点P从点O出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒.
（1）写出数轴上点B表示的数；当t＝3时，OP＝________
（2）动点R从点B出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P，R同时出发，问点R运动多少秒时追上点P？
（3）动点R从点B出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P，R同时出发，问点R运动多少秒时PR相距2个单位长度？
答案解析部分
一、填空题
1.【答案】（1）2；7
（2））1或-5
（3）6
（4）7或-4
2.【答案】（1）0；
（2）-1≤x≤2
（3）-2或3
（4）-1
二、综合题
3.【答案】（1）解：如图所示：
（2）2.5；3
（3）|a-b|
（4）解：①依题意有2t﹣t=3，
解得t=3.
故t为3秒时P，Q两点重合；
②依题意有
2t﹣t=3﹣1，
解得t=2；
或2t﹣t=3+1，
解得t=4.
故t为2秒或3秒时P，Q两点之间的距离为1.
4.【答案】（1）10；18
（2）解：答：不变．
∵经过t秒后，A、B、C三点所对应的数分别是18+t，8﹣2t，﹣10﹣5t，
∴BC=（8﹣2t）﹣（﹣10﹣5t）= 3t+18，AB=（18+t）﹣（8﹣2t）=3t+10，
∴BC﹣AB=（3t+18）﹣（3t+10）=8．
∴BC﹣AB的值不会随着时间t的变化而改变
（3）解：①当0＜t≤10时，点Q还在点A处，P、Q两点所对应的数分别是18﹣t，18 ∴PQ═t，②当t>10时，P、Q两点所对应的数分别是18﹣t，18﹣3（t﹣10）
由18﹣3（t﹣10）﹣（18﹣t）=0 解得t=15
当10＜t≤15时，点Q在点P的右边，∴PQ=[18﹣3（t﹣10）]﹣（18﹣t）=30﹣2t，
当15＜t≤28时，点P在点Q的右边，∴PQ=18﹣t﹣[18﹣3（t﹣10）]=2t－30．
5.【答案】（1）-1；1；5
（2）解：由，
（3）解：由对应的数分别为：，
设运动时间为，则后A对应的数为：，B对应的数为：，C对应的数为：，
则：，
，
，
即运动，B点到点A、点C的距离相等.
6.【答案】（1）解：画数轴略
依题意得
解得
所以点A表示20，点B表示-10
A、B两点间的距离为AB=|20-(-10)|=30
（2）解：设C点表示的数为x，则x<0
因为|BC|=6
所以|x-（-10）|=6
即x+10=6
解得x=-4
所以C点对应的数为-4；
（3）解：设P点对应的数为y
则PB=|y-（-10）|
PC=|y-（-4）|
因为PB=2PC
所以|y-（-10）|=2|y-（-4）|
所以y+10=2（y+4）或y+10=-2（y+4 ）
解得y=2或y=-6 ……10分
所以P点对应的数为2或-6
7.【答案】（1）解：∵|4a－b|＋(a－4)2＝0.
∴4a-b=0,a-4=0,解得a=4，b=16，
（2）解：设运动的时间为t，所以P点表示的数为4+3t，
∵PA＝PB
∴P为AB中点，
故P点表示的数为10，
则4+3t=10，
解得t=2，
即P运动的时间为2秒，P表示的数为10；
（3）解：设运动的时间为t，由题意得①点P向C运动时，P点表示的数为4+3t,Q点表示的数为16+t,
∵PQ＝10，∴
解得t=1或11，
t=1时，P点表示的数为4+3=7，符合题意，
t=11时，P表示的数为37＞32不符合题意，舍去；
②点P向C运动时，P点表示的数为32-3（t- ）=60-3t,Q点表示的数为16+t,
∵PQ＝10，∴
解得t= 或，
t= 时，P点表示的数为60-3× = ＞32，不符合题意，舍去；
t= 时，P表示的数为60-3× = ＜32符合题意
综上，P点对应的数是7或时，PQ＝10.
8.【答案】（1）-3或5
（2）0.5
（3）解：设时间为t秒，
则点P表示的数为-30+2t，点Q表示的数为70-3t，
若点P在点Q左侧，
70-3t-（-30+2t）=20，
解得：t=16，
此时点P表示2，点Q表示22；
若点P在点Q右侧，
-30+2t-（70-3t）=20，
解得：t=24，
此时点P表示18，点Q表示-2.
9.【答案】（1）5；﹣5或1
（2）6
（3）12
（4）1；7
10.【答案】（1）6；﹣2
（2）﹣3
（3）解：根据题意得：|x﹣（﹣5）|+|x﹣1|=8，
解得：x=﹣6或2；
∴当x为=﹣6或2时，点M到点A、点B的距离之和是8；
（4）解：设运动t分钟时，点M对应的数是﹣3t，点A对应的数是﹣5﹣t，点B对应的数是1﹣4t.
当点A和点B在点M两侧时，有两种情况.
情况1：如果点A在点B左侧，MA=﹣3t﹣（﹣5﹣t）=5﹣2t.MB=（1﹣4t）﹣（﹣3t）=1﹣t.
因为MA=MB，所以5﹣2t=1﹣t，
解得t=4.此时点A对应的数是﹣9，点B对应的数是﹣15，点A在点B右侧，不符合题意，舍去.
情况2：如果点A在点B右侧，MA=3t﹣t﹣5=2t﹣5，MB=﹣3t﹣（1﹣4t）=t﹣1.
因为MA=MB，所以2t﹣5=t﹣1，
解得t=4.
此时点A对应的数是﹣9，点B对应的数是﹣15，点A在点B右侧，符合题意.
综上所述，三点同时出发，4秒钟时点M到点A，点B的距离相等.
11.【答案】（1）解：设B点的运动速度为x个单位/秒，A.B两点同时出发相向而行，他们的时间均为4秒，
则有：，
解得x=1，
所以B点的运动速度为1个单位/秒
（2）解：设经过时间为t.
则B在A的前方，B点经过的路程?A点经过的路程=6，则
2t?t=6，解得t=6
A在B的前方，A点经过的路程?B点经过的路程=6，则
2t?t=12+6，解得t=18
（3）解：设点C的速度为y个单位/秒，运动时间为t，始终有CA=2CB，
即：
解得y=
当C停留在?10处,所用时间为：秒
B的位置为
12.【答案】解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2﹣5|=3；
数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是|﹣2﹣（﹣5）|=3；
数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是|1﹣（﹣3）|=4
②数轴上x与-1的两点间的距离为|x-（-1）|=|x+1|，如果|AB|=2，则x+1=±2，解得x=1或-3.
③根据题意得x+1≥0且x-2≤0，则-1≤x≤2；
④解方程|x+1|+|x﹣2|=5．
当x+1＞0，x-2＞0，则（x+1）+（x-2）=5，解得x=3
当x+1＜0，x-2＜0，则-（x+1）-（x-2）=5，解得x=-2
当x+1与x-2异号，则等式不成立.
所以答案为：3或-2.
13.【答案】（1）解：M点的数值为：；
（2）解：①设所用时间为t，依题意得：
3t﹢2t=100，
解得：t=20；
②依题意得：点C位置为：80-2t=80-2×20=40；
③设所用时间为x，依题意得：
3x+2x=100-15或3x+2x=100+15，
解得：x=17或x=23；
∴当x=17或x=23时，两个电子蚂蚁再数轴上相距15个单位长度.
14.【答案】（1）20-5t；-4t
（2）解：时，点所表示的数为；时，点做表示的数为.
解得：，
当时，；
当时，.
此时点在数轴上所表示的数为或-30
15.【答案】（1）7
（2）2或4
（3）1
（4）﹣2.5或4.5
16.【答案】（1）解：∵多项式是关于的二次三项式，
∴＝2，a－2≠0,
∴a＝﹣2，
∵（b－1）2＋＝0，
∴b－1＝0，c－5＝0，
∴b＝1，c＝5，
∴a，b，c三数之间的大小关系为a＜b＜c，
如图，在图1数轴上描出A、B、C三点位置.
故答案为：a＜b＜c.
（2）解：设点P在数轴上所对应的有理数为x，
由题意得，x+2=2（x-5），
解得：x=12，
∴点P在数轴上所对应的有理数是12
（3）解：设运动时间为t，此时A对应的数为（-2-t）；B对应的数为（1+mt）；C对应的数为（5+4t）.
根据题意得，[（1+mt）-（-2-t）]-[（5+4t）-（1+mt）]=[1-（-2）]-（5-1），
解得：m=
17.【答案】（1）7或-1
（2）1
（3）|x?3|+|x+1|=9
数轴上3和-1之间的距离为4，满足方程的对应点在-1的左边，或者在3的右边;
若在-1的左边，则x=-3.5.
若在3的右边，则x=5.5
所以，原方程的解为x=-3.5.或者x=-3.5.
故x的值为-3.5或5.5
18.【答案】（1）解：解
x+2=1或x+2=-1
解得x=-1或x=-3
（2）8
（3）5；0
（4）-9；8
（5）解：如图，当a＞0时，∵的最小值是4.5
∴a=4.5-1=3.5，此时x=0
当a＜-1时，∵的最小值是4.5
∴a=0-4.5=-4.5, 此时x=-1.
19.【答案】（1）5；0
（2）解：若P、Q两点相遇前距离为3，则有
t+2t+3=10-(-5)，
解得：t=4，
此时P点对应的数为：-5+t=-5+4=-1；
若P、Q两点相遇后距离为3，则有
t+2t-3=10-(-5)，
解得：t=6，
此时P点对应的数为：-5+t=-5+6=1；
综上可知，当t为4或6时，P，Q两点的距离为3个单位长度，此时点P对应的数分别为-1或1.
20.【答案】（1）-1；3
（2）解：依题可得：
PA=|x+1|，PB=|3-x|，
∵点P到点A、点B的距离相等，
∴PA=PB，
即|x+1|=|3-x|，
解得：x=1，
∴点P对应的数为1.
（3）解：∵点A、点B 速度分别以2 个单位长度/秒、0.5 个单位长度/秒的速度同时向右运动，
∴A点对应的数为2t-1，
点B对应的数为3+0.5t，
①当点A在点B左边时，
∵AB=2，
∴（3+0.5t）-（2t-1）=2，
解得：t=，
∵点P以3 个单位长度/秒的速度同时从原点向左运动，
∴×3=4，
∴P点对应的数为：-4.
②当点A在点B右边时，
∵AB=2，
∴（2t-1）-（3+0.5t）=2，
解得：t=4，
∵点P以3 个单位长度/秒的速度同时从原点向左运动，
∴4×3=12，
∴P点对应的数为：-12.
21.【答案】（1）18
（2）解：设点R运动x秒时，在点C处追上点P，则OC=6x，BC=8x，∵BC－OC=OB，∴8x －6x=4，解得：x=2，∴点R运动2秒时，在点C处追上点P
（3）解：设点R运动x秒时，PR=2.分两种情况：一种情况是当点R在点P的左侧时，8x=4+6x －2即x=1；另一种情况是当点R在点P的右侧时，8x=4+6x