2019-2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.6函数y=Asinωx+φ一课堂检测素养达标新人教A版必修第一册

5.6 函数y＝A sin(ωx＋φ)【素养目标】1．深刻理解五点的取法，特别是作正弦型函数的图象时取的五点．(数学运算)2．从φ、ω、A的变化总结图象．(直观想象)3．能由y＝sin x平移和伸缩变换为y＝A sin(ωx＋φ)及逆向平移和伸缩变换．(逻辑推理) 【学法解读】在本节学习中，借助实例构建三角函数y＝A sin(ωx＋φ)的形式，利用PPT观察φ，A，ω对y＝A sin(ωx＋φ)的图象的影响，学会由y＝sin x如何变化为y＝A sin(ωx＋φ)，提升数学素养中的直观想象．必备知识·探新知基础知识知识点1参数A，ω，φ对函数y＝A sin(ωx＋φ)图象的影响(1)φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响．(2)ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响．(3)A(A>0)对y＝A sin(ωx＋φ)的图象的影响．思考1：(1)如何由y＝f(x)的图象变换得到y＝f(x＋a)的图象？(2)函数y＝sinωx的图象是否可以通过y＝sin x的图象得到？提示：(1)向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度．(2)可以，只要横向“伸”或“缩”1ω倍y＝sin x的图象即可．知识点2 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)中，A ，ω，φ的物理意义(1)简谐运动的振幅就是A ． (2)简谐运动的周期T ＝2πω.(3)简谐运动的频率f ＝1T ＝ω2π.(4)ωx ＋φ称为相位．(5)x ＝0时的相位φ称为初相．思考2：若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中的A <0或ω<0时怎么办？提示：当A <0或φ<0时，应先用诱导公式将x 的系数或三角函数符号前的数化为正数再确定初相φ.知识点3 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质 名称 性质 定义域 R 值域 [－A ，A ] 周期性 T ＝2πω对称中心 (k π－φω，0)(k ∈Z ) 对称轴x ＝k πω＋π－2φ2ω(k ∈Z )__奇偶性__当__φ＝k π(k ∈Z )__时是奇函数当__φ＝k π＋π2(k ∈Z )__时是偶函数__单调性__由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得单调递增区间由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得单调递减区间(2)判断函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调性时，应用了什么数学思想？提示：(1)判断函数的奇偶性，必须先求函数的定义域，若定义域关于原点不对称，则此函数为非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，再根据奇偶函数的定义判断．(2)判断函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调性时，要把ωx ＋φ看作一个整体，应用了“整体代入”的数学思想．基础自测1．下列说法中正确的个数是( A )①y ＝sin3x 的图象向左平移π4个单位所得图象的解析式是y ＝sin(3x ＋π4)．②y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y ＝sin2x . ③y ＝sin x 的图象上所有点的纵坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y ＝12sin x .A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] ①y ＝sin3x 的图象向左平移π4个单位得y ＝sin[3(x ＋π4)]＝sin(3x ＋34π)，故①不正确；②y ＝sin2x 应改为y ＝sin 12x ，故②不正确；③y ＝12sin x 应改为y ＝2sin x ，故③不正确．故选A ．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋1(A >0，ω>0)的最大值为5，则A ＝( C ) A ．5 B ．－5 C ．4D ．－43．为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( A ) A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度4．函数f (x )＝sin(x －π4)的图象的对称轴方程是__x ＝3π4＋k π(k ∈Z )__.5．函数y ＝3sin(12x －π6)的频率为__14π__，相位为__12x －π6__，初相为__－π6__.关键能力·攻重难题型探究题型一 “五点法”作图例1 用“五点法”画函数y ＝2sin(3x ＋π6)的简图．[分析] 列表时，取值要简单(与y ＝sin x 中五点比较)．[解析] 先画函数在一个周期内的图象．令X ＝3x ＋π6，则x ＝13(X －π6)．列表X 0 π2 π 3π2 2π x －π18π9 5π18 4π9 11π18 y2－2描点作图，再将图象左右延伸即可．[归纳提升] 用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的步骤 第一步：列表.ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π x －φω π2ω－φω πω－φω 3π2ω－φω 2πω－φω yA－A第二步：在同一坐标系中描出各点．第三步：用光滑曲线连接这些点，得到一个周期内的图象，再将图象左右延伸即可．【对点练习】❶ 已知f (x )＝2sin(x 2＋π3)．(1)在给定的坐标系内，用“五点法”作出函数f (x )在一个周期内的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)求f (x )的最大值和此时相应的x 的值． [解析] (1)列表：x 2＋π3 0 π2 π 3π2 2π x －2π3π3 4π3 7π3 10π3 f (x )2－2作图：(2)由2k π－π2≤x 2＋π3≤2k π＋π2，得4k π－5π3≤x ≤4k π＋π3，k ∈Z .所以函数f (x )的单调递增区间为[4k π－5π3，4k π＋π3]，k ∈Z .(3)当x 2＋π3＝π2＋2k π，即x ＝π3＋4k π(k ∈Z )时，f (x )max ＝2.题型二 三角函数的图象变换例2 如何由函数y ＝sin x 的图象得到函数y ＝3sin(2x －π3)＋1的图象？[分析] 本题主要考查正弦函数的图象变换，可根据两种变换方式中的一种进行，正确写出平移或伸缩变换的方向、大小即可．[解析] 解法一：y ＝sin x ――――――――→向右平移π3个单位长度y ＝sin(x －π3)――――――――――――――→将各点的横坐标缩短为原来的12纵坐标不变y ＝sin(2x －π3)―――――――――――――→将各点的纵坐标伸长为原来的3倍横坐标不变 y ＝3sin(2x －π3)――――――――→向上平移1个单位长度y ＝3sin(2x －π3)＋1.解法二：y ＝sin x ―――――――――――――→将各点的横坐标缩短为原来的12纵坐标不变y ＝sin2x ―――――――――→向右平移π6个单位长度y ＝sin2(x －π6)―――――――――――――→将各点的纵坐标伸长为原来的3倍横坐标不变y ＝3sin2(x －π6) ＝3sin(2x －π3)――――――――→向上平移1个单位长度y ＝3sin(2x －π3)＋1.[归纳提升] 1.法一是先平移后伸缩；法二是先伸缩后平移．2．两种变换中平移的单位长度是不同的，在应用中一定要区分清楚，以免混乱而失误．弄清平移对象是减少失误的好方法．【对点练习】❷ 将函数y ＝2sin(2x ＋π6)的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( D )A ．y ＝2sin(2x ＋π4)B ．y ＝2sin(2x ＋π3)C ．y ＝2sin(2x －π4)D ．y ＝2sin(2x －π3)[解析] 函数y ＝2sin(2x ＋π6)的周期为π，所以将函数y ＝2sin(2x ＋π6)的图象向右平移π4个单位长度后，得到函数图象对应的解析式为y ＝2sin[2(x －π4)＋π6]＝2sin(2x －π3)．故选D ．题型三 由图象确定函数的解析式例3 (1)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( D )A ．f (x )＝2sin(12x ＋π6)B ．f (x )＝2sin(12x －π6)C ．f (x )＝2sin(2x －π6)D ．f (x )＝2sin(2x ＋π6)(2)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，且A (π2，1)，B (π，－1)，则ω＝__2__，φ＝ __－5π6__.[分析] (1)由图象可以确定最大值为2，周期为π，再利用一个点的坐标求φ. (2)曲线上由A 到B 是周期的12，从而求出ω，再求φ.[解析] (1)由图象可知，A ＝2，T ＝4(5π12－π6)＝π，所以2πω＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x＋φ)，因为图象过点(π6，2)，所以2sin(π3＋φ)＝2，所以sin(π3＋φ)＝1，所以π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，所以φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，因为|φ|<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)根据函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象，且A (π2，1)，B (π，－1)，可得从点A到点B 正好经过了半个周期，即12·2πω＝π－π2，所以ω＝2.再把点A ，B 的坐标代入可得2sin(2×π2＋φ)＝－2sin φ＝1,2sin(2×π＋φ)＝2sin φ＝－1，所以sin φ＝－12，所以φ＝2k π－π6，或φ＝2k π－5π6，k ∈Z .再结合五点法作图，可得φ＝－5π6.[归纳提升] 由图象确立三角函数的解析式时，若设所求解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)，则在观察图象的基础上可按以下规律来确定A ，ω，φ.(1)A ：一般可由图象上的最大值、最小值来确定．(2)ω：因为T ＝2πω，故往往通过求周期T 来确定ω.可通过已知曲线与x 轴的交点来确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T .(3)φ：从“五点法”中的第一个点(－φω，0)(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置．依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系如下： “第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0； “第二点”(即图象曲线的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π； “第四点”(即图象曲线的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”(即图象第二次上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝2π.在用以上方法确定φ的值时，还要注意题目中给出的φ的范围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内．(4)A ，ω，φ三个量中初相φ的确定是一个难点，除使用初始点(－φω，0)外，还可在五点中找两个特殊点列方程组来求解φ.【对点练习】❸ 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( A )A ．y ＝2sin(2x －π6)B ．y ＝2sin(2x －π3)C ．y ＝2sin(2x ＋π6)D ．y ＝2sin(2x ＋π3)[解析] 由图知，A ＝2，周期T ＝2[π3－(－π6)]＝π，所以ω＝2ππ＝2，所以y ＝2sin(2x ＋φ)．因为图象过点(π3，2)，所以2＝2sin(2×π3＋φ)，所以sin(2π3＋φ)＝1，所以2π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )．令k ＝0得φ＝－π6，所以y ＝2sin(2x －π6)．题型四 正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的对称性例4 在函数y ＝2sin(4x ＋2π3)的图象的对称中心中，离原点最近的一个对称中心的坐标是__(π12，0)__.[分析] 利用整体代换法求解．[解析] 设4x ＋2π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π4－π6(k ∈Z )，所以函数y ＝2sin(4x ＋2π3)图象的对称中心坐标为(k π4－π6，0)(k ∈Z )．取k ＝1得(π12，0)满足条件．[归纳提升] 正弦型函数对称轴与对称中心的求法对称轴对称中心 y ＝A sin(ωx ＋φ)令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求对称轴令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z ) 求对称中心的横坐标称轴方程为__x ＝－π24__.[解析] 由4x ＋2π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π4－π24，取k ＝0时，x ＝－π24满足题意．误区警示例5 函数y ＝2sin(－2x ＋π3)的相位和初相分别是( C )A ．－2x ＋π3，π3B ．2x －π3，－π3C ．2x ＋2π3，2π3D ．2x ＋2π3，π3[错解] 对解答本题时易犯的错误具体分析如下：常见错误错误原因相位和初相分别是－2x ＋π3，π3错解均忽视了相位和初相的概念：概念中要求A >0，ω>0.当不满足条件时应设法创造出条件.y ＝2sin(－2x ＋π3)＝－2sin(2x －π3)∴相位和初相分别是2x －π3，－π3[错因分析] 此类问题一定要注意满足定义中的前提条件是“A >0，ω>0”，若不满足，则必须先利用诱导公式转换为“A >0，ω>0”再求．[正解] ∵y ＝2sin(－2x ＋π3)＝2sin[π－(－2x ＋π3)]＝2sin(2x ＋2π3)∴相位和初相分别是2x ＋2π3，2π3.[方法点拨] 要正确理解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中A 、ω、φ的意义．学科素养函数y ＝A sin(ωx ＋φ)性质的综合应用例6 设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调区间及最值；(3)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．[分析] 本题关键是对图象的对称轴为x ＝π8这一条件的利用，由图象一对称轴为x ＝π8得：当x ＝π8时2x ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )进而可求φ值．[解析] (1)由2x ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 得x ＝k π2＋π4－φ2，令k π2＋π4－φ2＝π8，解得φ＝k π＋π4，k ∈Z . ∵－π<φ<0，∴φ＝－3π4.(2)由(1)知，f (x )＝sin(2x －3π4)，由2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，故函数的单调递增区间是 [k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )．同理可得函数的单调递减区间是 [k π＋5π8，k π＋9π8](k ∈Z )．当2x －3π4＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π8(k ∈Z )时函数有最大值1；当2x －3π4＝2k π－π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时函数有最小值－1.(3)由y ＝sin(2x －3π4)知，故函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象是课堂检测·固双基1．将函数y ＝sin(x ＋π4)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( D )A ．y ＝cos2xB ．y ＝sin(2x ＋π4)C ．y ＝sin(12x ＋π8)D ．y ＝sin(12x ＋π4)2．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的振幅为12，周期为2π3，初相为π6，则该函数的表达式为( C )A ．y ＝12sin(x 3＋π6)B ．y ＝12sin(x 3－π6)C ．y ＝12sin(3x ＋π6)D ．y ＝12sin(3x －π6)3．函数y ＝cos(2x －π6)＋1的一个对称中心为( D )A ．(π6，0)B ．(π3，0)C ．(π6，1)D ．(π3，1)4．要得到函数y ＝cos2x 的图象，只需将y ＝cos(2x ＋π4)的图象( B )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度[解析] 平移问题遵循“左加右减，只针对x 而言”的原则．则y ＝cos2x 只需向左平移π8个单位即可．而y ＝cos(2x ＋π4)需右移π8个单位，得到y ＝cos2x .5．函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上恰好有50个最大值，则ω的取值范围是__[197π2，201π2)__. [解析] T ＝2πω为其最小正周期，则(49＋14)T ≤1<(50＋14)T 时，有50个最大值点，所以ω∈[197π2，201π2)．。

第2课时 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象及性质的应用类型1 “五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 【例1】 已知函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈R.(1)用“五点法”作出它在一个周期内的简图；(2)该函数的图象可由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ [解] (1)列表：(2)函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，再保持纵坐标不变，把横坐标缩短为原来的12倍，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，再保持横坐标不变，把纵坐标缩短为原来的12倍，得到函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．1．“五点法”作图的实质利用“五点法”作函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象．2．用“五点法”作函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图象的步骤 第一步：列表．第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．[跟进训练]1．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．[解] f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，列表如下．图象如图．类型2 求三角函数的解析式【例2】 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象的一部分，求此函数的解析式．借助函数图象你能发现哪些信息？参数A 、ω、φ的求解分别与哪些信息相关？[解] 法一：(逐一定参法) 由图象知A ＝3, T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2， ∴y ＝3sin(2x ＋φ)．∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0在函数图象上，∴－π6×2＋φ＝0＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝π3， ∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.法二：(五点对应法)由图象知A ＝3. ∵图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0，∴⎩⎪⎨⎪⎧πω3＋φ＝π，5πω6＋φ＝2π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.法三：(图象变换法)由A ＝3，T ＝π，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0在图象上，可知函数图象由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位长度而得， ∴y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.给出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一部分，确定A ，ω，φ的方法(1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A 和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx ＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最大值点时代入公式ωx ＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，选取最小值点时代入公式ωx ＋φ＝3π2＋2k π，k ∈Z .(2) 五点对应法：将若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A ，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y ＝A sin ωx ，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数．[跟进训练]|φ|＜π22．(1)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)＋BA ＞0，ω＞0，的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4＋4B ．y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4＋4C ．y ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4＋2D ．y ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4＋2 (2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π2的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，求f (x )的解析式．(1)A [由函数f (x )的最大值和最小值得A ＋B ＝6，－A ＋B ＝2，所以A ＝2，B ＝4， 函数f (x )的周期为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫－π2×4＝4π，又ω＞0， 所以ω＝12，又因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，6在函数f (x )的图象上．所以6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π2＋φ＋4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，所以π4＋φ＝2k π，k ∈Z ，所以φ＝2k π－π4，k ∈Z ，又|φ|＜π2， 所以φ＝－π4，所以f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4＋4.](2)[解] 由最低点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，得A ＝2.在x 轴上两相邻交点之间的距离为π2，故T 2＝π2， 即T ＝π，ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图象上得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1， 故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )， ∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π6.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.类型3 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)性质的综合应用【例3】 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0≤φ<π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．[解] ∵f (x )在R 上是偶函数，∴当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值， 即sin φ＝±1，得φ＝k π＋π2，k ∈Z . 又0≤φ<π，∴φ＝π2.由f (x )的图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，可知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4ω＋π2＝0，解得ω＝43k －23，k ∈Z .又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，∴T ≥π，即2πω≥π，∴0<ω≤2，∴当k ＝1时，ω＝23；当k ＝2时，ω＝2. 综上，φ＝π2，ω＝23或2.将本例中“偶”改为“奇”，“其图象关于点M 3π4，0对称，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数”改为“在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2上为增函数”，试求ω的最大值．[解] 因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝sin φ＝0，又0≤φ＜π，所以φ＝0. 因为f (x )＝sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω上是增函数．所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω，于是⎩⎪⎨⎪⎧ω＞0，－3π2≥－π2ωπ2≤π2ω，，解得0＜ω≤13，所以ω的最大值为13.研究函数y ＝A sin(ωx ＋φ)性质的基本策略(1)首先将所给函数的解析式转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式． (2)熟记正弦函数y ＝sin x 的图象与基本性质． (3)充分利用整体代换思想解决问题．(4)熟记有关函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、对称性、单调性的重要结论．[跟进训练]3．(多选)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，以下命题中为真命题的是( )A ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称 B ．x ＝－π6是函数f (x )的一个零点C ．函数f (x )的图象可由g (x )＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位长度得到D ．函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上是增函数ABD [令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝π12，即函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称，选项A 正确；令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝－π6，即x ＝－π6是函数f (x )的一个零点，选项B 正确；2x ＋π3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，故函数f (x )的图象可由g (x )＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度得到，选项C 错误；若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12，则2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上是增函数，选项D 正确．故选ABD.]1．已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6(A ＞0)在它的一个最小正周期内的图象上，最高点与最低点的距离是5，则A 等于( )A ．1B ．2C ．4D ．82．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的一部分图象如图所示，如果A >0，ω>0，|φ|<π2，则( )A ．A ＝4B ．ω＝1C ．φ＝π6 D ．B ＝43．同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x ＝π3对称；(3)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增”的一个函数是( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π64．某同学用“五点法”画函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的简图时，列表如下：5．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)图象的一条对称轴是直线x＝π6，则φ的值为__________．1．求函数y＝A sin(ωx＋φ)的解析式中的“φ”的方法有哪些？[提示](1)把图象上的一个已知点的坐标代入来求．(2)寻找“五点作图法”中的某一个点来求，具体如下：利用“第一点”时，令ωx＋φ＝0；利用“第二点”(即图象的“峰点”)时，令ωx＋φ＝π2；利用“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时，令ωx＋φ＝π；利用“第四点”(即图象的“谷点”)时，令ωx＋φ＝3π2；利用“第五点”时，令ωx＋φ＝2π.注意：要观察题目所给图象是否适合用“五点作图法”．2．在研究函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)性质时，常采用什么方法？[提示]采用“换元”法整体代换，将(ωx＋φ)看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，借助y＝A sin z的性质求解．。

一、单选题1. 要得到函数的图象，只需要将函数的图象上所有的点（）．A．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向右平移个单位，然后横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）；B．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），再向左平移个单位，然后横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）；C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），再向右平移个单位，然后横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）；D．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移个单位，然后横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）．2. 将向右平移个单位，所得到的图像的函数解析式为（）A．B．C．D．3. 要得到函数，的图像，只需把函数，的图像（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位4. 已知函数，则下列判断错误的是（）A．的最小值为B．点是的图象的一个对称中心C．的最小正周期为D．在上单调递增5. 已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（）A．B．C．D．6. 函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（）A．函数的图象可由的图象向左平移个单位得到B．函数的图象关于直线对称C．函数在区间上单调递增D．函数图象的对称中心为二、多选题7. 已知函数在上单调，且的图象关于点对称，则（）A．的周期为B．若，则C．将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为奇函数D．函数在上有1个零点8. 关于函数的描述正确的是（）A．函数图象的一条对称轴为直线B．函数在上单调递增C．函数在上有2个零点D．将的图象向右平移个单位，所得图象关于原点对称三、填空题9. 已知f（x）＝sin（ω＞0），f（）＝f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω＝_____．10. 将函数图象上每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，则__________.11. 将函数的图像向左平移个单位后得到函数，若函数是上的偶函数，则______．12. 已知函数的表达式，的图象在y轴上的截距为1，且关于直线对称，若存在，使成立，则实数m的取值范围为______．四、解答题13. 已知函数的部分图像如图所示.（1）求函数的解析式，并求的对称中心；（2）当时，求的值域.14. 已知向量.(1)求的最小正周期和单调减区间；(2)将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，在中，角的对边分别为，若，求的值.15. 已知函数（1）求的最小正周期；（2）求的单调递增区间.16. 已知函数，．（1）求函数的最小正周期；（2）将的图像向左平移个单位得到函数的图像，求的单调减区间．。

第2课时 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及应用由图象求三角函数的解析式函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (x )的解析式为______________．【解析】 由题图得A ＝2，T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，即T ＝π.由ω>0，T ＝2πω＝π得ω＝2.又当x ＝π3时，ωx ＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即2×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝2k π－π6(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝－π6.因此f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6(x ∈R )．【答案】 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈R根据函数的部分图象求解析式的方法(1)直接从图象确定振幅和周期，则可确定函数式y ＝A sin(ωx ＋φ)中的参数A 和ω，再选取最大值点的数据代入ωx ＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，结合φ的X 围求出φ.(2)通过若干特殊点代入函数式，通过解方程组求相关待定系数A ，ω，φ.(3)运用逆向思维的方法，先确定函数的基本函数式y ＝A sin ωx ，再根据图象平移规律确定相关的参数．1．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的一部分图象如图所示，如果A >0，ω>0，|φ|<π2，则( )A ．A ＝4B ．ω＝1C ．φ＝π6D ．B ＝4解析：选C.由图象可知，A ＝2，14T ＝5π12－π6＝π4，T ＝π，ω＝2.因为2×π6＋φ＝π2，所以φ＝π6，故选C.2．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<φ <π2的最小值是－5，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差π4，且图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52，求这个函数的解析式．解：由题意知A ＝5，T 2＝π4，所以T ＝π2＝2πω，所以ω＝4，所以y ＝5sin(4x ＋φ)．又因为图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52，所以52＝5sin φ， 即sin φ＝12，所以φ＝π6＋2k π(k ∈Z )或φ＝5π6＋2k π(k ∈Z )，又因为0<φ<π2，所以φ＝π6，所以这个函数的解析式为y ＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6.三角函数图象的对称性已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的最小正周期为π，求该函数的对称轴方程．【解】 由T ＝2πω＝π，解得ω＝2，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，即对称轴方程为x ＝k π2＋π12，k ∈Z .1．(变问法)本例中函数不变，则函数的对称中心为________． 解析：令2x ＋π3＝k π，得x ＝k π2－π6(k ∈Z )．所以该函数的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π6，0，(k ∈Z )．答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π6，0，k ∈Z2．(变条件)若本例中函数变为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，则对称轴方程为________．解析：令12x ＋π3＝k π，k ∈Z ，得x ＝2k π－23π，k ∈Z .答案：x ＝2k π－2π3，k ∈Z三角函数对称轴、对称中心的求法对称轴 对称中心y ＝A sin(ωx ＋φ)令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求对称中心横坐标y ＝A cos(ωx ＋φ) 令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，求对称中心横坐标 y ＝A tan(ωx ＋φ) 无令ωx ＋φ＝k π2(k ∈Z )，求对称中心横坐标1．下列函数中，图象关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6解析：选 B.当x ＝π3时，仅有选项B 中的函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取得最值，故函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象关于直线x ＝π3对称．2．将函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )的图象的一个对称中心是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0C.⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0D.⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0解析：选D.由题意g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，令2x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，解得x ＝π6＋k π2，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝2π3，故函数y ＝g (x )的图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0.三角函数性质的综合应用(2019·某某质量检测(一))已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，以下命题中为假命题的是( )A ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称B ．x ＝－π6是函数f (x )的一个零点C ．函数f (x )的图象可由g (x )＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位长度得到D ．函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上是增函数 【解析】 令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝π12，即函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称，选项A 正确；令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝－π6，即x ＝－π6是函数f (x )的一个零点，选项B 正确；2x ＋π3＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，故函数f (x )的图象可由g (x )＝sin 2x的图象向左平移π6个单位长度得到，选项C 错误；若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12，则2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上是增函数，选项D 正确．故选C. 【答案】 C(1)正、余弦型函数奇偶性的判断方法正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和余弦型函数y ＝A cos(ωx ＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数，当φ＝k π±π2(k ∈Z )时为偶函数；对于函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数，当φ＝k π±π2(k ∈Z )时为奇函数．(2)确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)单调区间的方法采用“换元”法整体代换，将ωx ＋φ看作一个整体，可令“z ＝ωx ＋φ”，即通过求y ＝A sin z 的单调区间从而求出函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式先将x 的系数转变为正数，再求单调区间．1．函数f (x )＝cos(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向右平移π6个单位后得到的函数是奇函数，则函数f (x )的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0对称B ．关于直线x ＝－π6对称C ．关于点⎝⎛⎭⎪⎫π12，0对称D ．关于直线x ＝π12对称解析：选D.将函数f (x )＝cos(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向右平移π6个单位后，可得y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ的图象，根据得到的函数是奇函数，可得－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝－π6，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.令x ＝－π3，求得f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＝－32，故排除A ；令x ＝－π6，求得f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝0，故排除B ；令x ＝π12，求得f (x )＝cos 0＝1，为函数的最大值，排除C ，选D.2．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6的最小正周期为π，则函数y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值分别是( )A ．2和－2B ．2和0C ．2和－1 D.32和－32解析：选C.由题知2πω＝π，得ω＝2，所以函数y ＝f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 又因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， 所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈[－1，2]， 故函数f (x )的最大值为2，C.1．(2019·海淀北理工附中期中)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移π8个单位长度，所得图象所对应的函数是( )A ．非奇非偶函数B ．既奇又偶函数C ．奇函数D ．偶函数解析：选 C.将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移π8个单位长度后，得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π8＋π4＝sin 2x ，为奇函数，故选C.2．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)图象的一条对称轴是直线x ＝π6，则φ的值为________．解析：由题意知2×π6＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π6＋k π，k ∈Z ，又－π＜φ＜0，所以φ＝－56π.答案：－56π3.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，A >0，|φ|<π2的图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的值域．解：(1)由图象可知A ＝1，T 4＝2π4ω＝7π12－π3＝π4，所以ω＝2.又由图象知2·π3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ，所以φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. [A 基础达标]1．若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6等于( ) A ．3或0 B ．－3或0 C ．0 D ．－3或3解析：选D.由f ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 知，直线x ＝π6是函数的对称轴，解得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6 D.2．(2019·某某市第一学期检测)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则φ的值为( )A ．－π3B.π3C ．－π6D.π6解析：选B.由题意，得T 2＝π3＋π6＝π2，所以T ＝π，由T ＝2πω，得ω＝2，由图可知A＝1，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，－π2<φ<π2，所以φ＝π3，故选B.3．设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的定义域为R ，周期为2π3，初相为π6，值域为[－1，3]，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋1B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6－1C ．f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6－1D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π6＋1 解析：选A.因为－A ＋B ＝－1，A ＋B ＝3，所以A ＝2，B ＝1， 因为T ＝2πω＝2π3，所以ω＝3，又φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋1.4．若将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位，则所得函数g (x )图象的一个对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0C.⎝⎛⎭⎪⎫π6，0D.⎝⎛⎭⎪⎫π12，0解析：选A.将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可以得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象，再向右平移π6个单位可以得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π12的图象，因此，g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π12，由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝sin 0＝0，选项A 正确．5．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是________． 解析：对于函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )得，x ＝k π2＋π3，因此，当k ＝－1时，得到x ＝－π6，故直线x ＝－π6是与y 轴最近的对称轴．答案：x ＝－π66．在函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的一个周期上，当x ＝π6时，有最大值2，当x ＝2π3时，有最小值－2，则ω＝________．解析：依题意知T 2＝2π3－π6＝π2，所以T ＝π，又T ＝2πω＝π，得ω＝2.答案：27．已知函数f (x )＝2cos(ωx －φ)(ω>0，φ∈[0，π])的部分图象如图所示．若A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2，B ⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2，则f (0)＝________．解析：由函数图象可知函数f (x )的周期T ＝3π2－π2＝π，ω＝2πT f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos(π－φ)＝－2cos φ＝2，则cos φ＝－22.因为φ∈[0，π]，所以φ＝3π4，所以f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4，则f (0)＝－ 2.答案：－ 28.如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一个周期内的图象．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在x ∈[－1，2]的值域． 解：(1)由题图，知A ＝2，T ＝7－(－1)＝8， 所以ω＝2πT ＝2π8＝π4，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ.将点(－1，0)代入，得0＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ. 因为|φ|＜π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.(2)因为－1≤x ≤2，所以0≤π4x ＋π4≤34π，所以0≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4≤1，所以0≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4≤2. 所以函数f (x )的值域为[0，2]．9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一个对称中心到相邻对称轴的距离为π4，且图象上有一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－3.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间．解：(1)由函数f (x )的一个对称中心到相邻对称轴的距离为π4，可知函数f (x )的周期为π，所以ω＝2ππ＝2.又函数f (x )图象上有一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－3，|φ|<π2，所以A ＝3，2×7π12＋φ＝3π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝π3，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 可得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ， 又x ∈[0，π]，则可得单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π12，π. [B 能力提升] 10．(2019·某某某某一中月考)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再把所得的图象向右平移|φ|个单位长度，所得的图象关于原点对称，则φ的一个值是( )A.3π4 B.3π8 C.5π16 D.3π16解析：选D.将f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4的图象，再把所得图象向右平移|φ|个单位长度，可得y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －4|φ|＋π4的图象．因为所得的图象关于原点对称，所以－4|φ|＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，所以当k ＝－1时，φ的一个值是3π16. 11．已知函数f (x )＝|A cos(x ＋φ)＋1|⎝⎛⎭⎪⎫A >0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则( )A ．A ＝2，φ＝π6B ．A ＝3，φ＝π6C ．A ＝2，φ＝π3D ．A ＝3，φ＝π3解析：选C.由题图知：A ＝3－（－1）2＝2， 又f (0)＝|2cos φ＋1|＝2，所以cos φ＝12或cos φ＝－32(舍)，因为|φ|<π2，即－π2<φ<π2，由图象知φ>0， 所以φ＝π3，故选C. 12.已知定义在(－∞，＋∞)上的函数f (x )，对任意x ∈R ，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－f (x )成立． (1)求证：函数f (x )是周期函数，并求出它的最小正周期；(2)若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0＜φ＜π2 在一个周期内的图象如图所示，求出f (x )的解析式，并写出它的对称轴方程．解：(1)因为f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－f (x )， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π2＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2 ＝－[－f (x )]＝f (x )，所以f (x )是周期函数，它的最小正周期为π.(2)由(1)知f (x )的最小正周期为π，ω>0，所以2πω＝π，所以ω＝2. 由题中图象知A ＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)．又2×π3＋φ＝π，所以φ＝π3， 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 由2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )， 所以它的对称轴方程为x ＝k π2＋π12(k ∈Z )． 13．已知函数f (x )＝a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1(a ＞0)的定义域为R ，若当－7π12≤x ≤－π12时，f (x )的最大值为2.(1)求a 的值；(2)写出该函数的对称中心的坐标．解：(1)当－7π12≤x ≤－π12时，则－5π6≤2x ＋π3≤π6， 所以当2x ＋π3＝π6时，f (x )有最大值为a 2＋1.又因为f (x )的最大值为2，所以a 2＋1＝2，解得a ＝2. (2)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1，令2x ＋π3＝k π，k ∈Z ， 解得x ＝k π2－π6，k ∈Z ，所以函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1的对称中心的横坐标为k π2－π6，k ∈Z . 又因为函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1的图象是函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向上平移一个单位长度得到的，所以函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1的对称中心的纵坐标为1，所以对称中心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π6，1，k ∈Z . [C 拓展探究]14．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象． (1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[0，3π]时，方程f (x )＝m 有唯一实数根，求m 的取值X 围．解：(1)将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y ＝f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图象． (2)因为x ∈[0，3π]，所以12x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π3， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6∈[－1，1]，因为当x ∈[0，3π]时，方程f (x )＝m 有唯一实数根，所以函数f (x )的图象和直线y ＝m 只有一个交点，如图所示：故方程f (x )＝m 有唯一实数根m 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12∪{1，－1}．。

第2课时 两角和与差的正弦、余弦公式学 习 目标核 心 素 养1.掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式． 2．会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等． 3．熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.1.借助公式的推导过程，培养数学运算素养．2. 通过公式的灵活运用，提升逻辑推理素养.1．两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式使用条件两角差的余弦公式 C (α－β)cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_βα，β∈R两角和的余弦公式C (α＋β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_βα，β∈R名称 简记符号 公式使用条件两角和的正弦S (α＋β)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_βα，β∈R两角差的正弦 S (α－β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_βα，β∈Ry ＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)(a ，b 不同时为0)，其中cos θ＝a a 2＋b 2，sinθ＝b a 2＋b 2.1．cos 57°cos 3°－sin 57°sin 3°的值为( ) A ．0 B.12 C.32D ．cos 54°B [原式＝cos(57°＋3°)＝cos 60°＝12.]2．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( ) A ．－32B ．－12C.12D.32B [∵sin 245°＝sin(155°＋90°)＝cos 155°， sin 125°＝sin(90°＋35°)＝cos 35°，∴原式＝cos 155°cos 35°＋sin 155°sin 35°＝cos(155°－35°)＝cos 120°＝－12.] 3．若cos α＝－35，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝______. －210 [∵cos α＝－35，α是第三象限的角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－45，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝22sin α－22cos α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－210.],给角求值问题【例1】 (1)cos70°sin 50°－cos 200°sin 40°的值为( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32(2)若θ是第二象限角且sin θ＝513，则cos(θ＋60°)＝________.(3)求值：(tan 10°－3)cos 10°sin 50°.(1)D (2)－12＋5326 [(1)∵cos 200°＝cos(180°＋20°)＝－cos 20°＝－sin70°，sin 40°＝cos 50°，∴原式＝cos 70°sin 50°－(－sin 70°)cos 50° ＝sin(50°＋70°)＝sin 120°＝32.(2)∵θ是第二象限角且sin θ＝513，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－1213，∴cos(θ＋60°)＝12cos θ－32sin θ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213－32×513＝－12＋5326.] (3)[解] 原式＝(tan 10°－tan 60°)cos 10°sin 50°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 10°cos 10°－sin 60°cos 60°cos 10°sin 50°＝sin (－50°)cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝－2.]解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．提醒：在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求．1．化简求值：(1)sin 50°－sin 20°cos 30°cos 20°；(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)． [解] (1)原式＝sin (20°＋30°)－sin 20°cos 30°cos 20°＝sin 20°cos 30°＋cos 20°sin 30°－sin 20°cos 30°cos 20°＝cos 20°sin 30°cos 20°＝sin 30°＝12.(2)设α＝θ＋15°，则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－3cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α－3cos α＝0.给值求值、求角问题【例2】 (1)已知P ，Q 是圆心在坐标原点O 的单位圆上的两点，且分别位于第一象限和第四象限，点P 的横坐标为45，点Q 的横坐标为513，则cos∠POQ ＝________.(2)已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.求：①cos(2α－β)的值；②β的值．[思路点拨] (1)先由任意角三角函数的定义求∠xOP 和∠xOQ 的正弦、余弦值，再依据∠POQ ＝∠xOP ＋∠xOQ 及两角和的余弦公式求值．(2)先求sin α，cos(α－β)，依据2α－β＝α＋(α－β)求cos(2α－β)．依据β＝α－(α－β)求cos β再求β.(1)5665 [由题意可得，cos∠xOP ＝45， 所以sin∠xOP ＝35.再根据cos∠xOQ ＝513，可得sin∠xOQ ＝－1213，所以cos∠POQ ＝cos(∠xOP ＋∠xOQ )＝cos∠xOP ·cos∠xOQ －sin∠xOP ·sin∠xOQ ＝45×513－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝5665.] (2)[解] ①因为α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，又sin(α－β)＝1010＞0，所以0＜α－β＜π2，所以sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010，cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝55×31010－255×1010＝210. ②cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝55×31010＋255×1010＝22， 又因为β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π4.给值求值问题的解题策略在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差. (2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.2．已知锐角α，β满足cos α＝255，sin(α－β)＝－35，求sin β的值．[解] 因为α，β是锐角，即0＜α＜π2，0＜β＜π2，所以－π2＜α－β＜π2，因为sin(α－β)＝－35＜0，所以cos(α－β)＝45，因为cos α＝255，所以sin α＝55，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×45＋255×35＝255. 辅助角公式的应用[探究问题]1．能否将函数y ＝sin x ＋cos x (x ∈R )化为y ＝A sin(x ＋φ)的形式⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2？提示：能．y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.2．如何推导a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a 公式． 提示：a sin x ＋b cos x＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ，令cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b 2，则a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ角所在象限由a ，b 的符号确定，φ角的值由tan φ＝ba确定，或由sin φ＝ba 2＋b2和cos φ＝a a 2＋b 2共同确定)．【例3】 (1)sin π12－3cos π12＝________.(2)已知f (x )＝3sin x －cos x ，求函数f (x )的周期，值域，单调递增区间．[思路点拨] 解答此类问题的关键是巧妙构建公式C (α－β)、C (α＋β)、S (α－β)、S (α＋β)的右侧，逆用公式化成一个角的一种三角函数值．(1)－2 [原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12.法一：(化正弦)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3sin π12－sin π3cos π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π12cos π3－cos π12sin π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－ 2. 法二：(化余弦)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6sin π12－cos π6cos π12＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6cos π12－sin π6sin π12＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π12＝－2cos π4＝－ 2.](2)[解] f (x )＝3sin x －cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ·32－cos x ·12 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos π6－cos x sin π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6， ∴T ＝2πω＝2π，值域[－2,2]．由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，得递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，2π3＋2k π，k ∈Z .1．若将例3(2)中函数改为f (x )＝－sin x ＋3cos x ，其他条件不变如何解答？ [解] f (x )＝－sin x ＋3cos x ＝232cos x －12sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴T ＝2π，值域为[－2,2]，由－π＋2k π≤x ＋π6≤2k π，得递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π6＋2k π，－π6＋2k π，k ∈Z .2．若将例3(2)中函数改为f (x )＝m sin x ＋m cos x ，其中m ＞0，其他条件不变，应如何解答？[解] f (x )＝m sin x ＋m cos x ＝2m sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴T ＝2π，值域为[－2m ，2m ]，由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，得递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z .辅助角公式及其运用(1)公式形式：公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin (α＋φ)(或a sin α＋b cos α＝a 2＋b2cos (α－φ))将形如a sin α＋b cos α(a ，b 不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式.(2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质.提醒：在使用辅助角公式时常因把辅助角求错而致误.1．两角和与差公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例如：sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝sin 3π2·cos α－cos 3π2sin α＝－cos α.2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cosβsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α. 3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．1．思考辨析(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( ) (2)存在α，β∈R ，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( ) (3)对于任意α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( ) (4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.( ) [提示] (1)正确．根据公式的推导过程可得．(2)正确．当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β.(3)错误．当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (4)正确．因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24° ＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°) ＝sin 30°，故原式正确．[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．化简2cos x －6sin x 等于( )A ．22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋xB ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－xC ．22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x D ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x D [2cos x －6sin x ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3cos x －sin π3sin x＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x .] 3．cos βcos(α－β)－sin βsin(α－β)＝________.cos α [cos βcos(α－β)－sin βsin(α－β)＝cos[β＋(α－β)]＝cos α.] 4．已知α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，求α－β. [解] ∵α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010， ∴sin β＝31010，cos α＝255.∵sin α<sin β，∴α<β，∴－π2<α－β<0，∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝55×1010－255×31010＝－22， ∴α－β＝－π4.。

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5。

6 函数y＝A sin(ωx＋φ)最新课程标准：结合具体实例，了解y＝A sin(ωx＋φ）的实际意义,能借助图象理解参数ω,φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.知识点一A,ω,φ对函数y＝A sin(ωx＋φ)图象的影响1．φ对函数y＝sin(x＋φ)图象的影响2．ω对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响3．A对函数y＝A sin（ωx＋φ）图象的影响错误!(1）A越大，函数图象的最大值越大,最大值与A是正比例关系．(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小,周期越大，周期与ω为反比例关系。

（3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“左加右减”．（4）由y＝sin x到y＝sin(x＋φ）的图象变换称为相位变换；由y＝sin x到y＝sinωx 的图象变换称为周期变换;由y＝sin x到y＝A sin x的图象变换称为振幅变换．知识点二函数y＝A sin（ωx＋φ），A>0，ω>0的有关性质1。

定义域:R。

2．值域:[－A，A]．3．周期性：T＝错误!。