1.01抽象函数常见题型解法专题----教师版

一、定义域问题

例1. 已知函数)(2

x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。

解：)(2x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2x f 中的2x 满足412

≤≤x

从而函数f （x ）的定义域是［1，4］

评析：一般地，已知函数))((x f ?的定义域是A ，求f （x ）的定义域问题，相当于已知))((x f ?中x 的取值范围为A ，据此求)(x ?的值域问题。

例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数)]3([log

2

1x f -的定义域。

解：)(x f 的定义域是]21[，-，意思是凡被f 作用的对象都在]21[，-中，由此可得

4111)21(3)21(2)3(log

1122

1≤

≤?≤-≤?≤-≤--x x x 所以函数

)]3([log 2

1x f -的定义域是]4

11

1[，

评析：这类问题的一般形式是：已知函数f （x ）的定义域是A ，求函数))((x f ?的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知)(x ?的值域B ，且A B ?，据此求x 的取值范围。例2和例1形式上正相反。

二、求值问题

例 3. 已知定义域为+

R

的函数f （x ），同时满足下列条件：①5

1)6(1)2(==f f ，；②

)()()(y f x f y x f +=?，求f （3），f （9）的值。

解：取32==y x ，，得)3()2()6(f f f +=因为5

1)6(1)2(==f f ，，所以

5

4)3(-

=f

又取3==y x 得5

8)3()3()9(-=+=f f f

评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取32==y x ，，这样便把已知条件5

1)6(1)2(==f f ，与欲

求的f （3）沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。

三、值域问题

例4. 设函数f （x ）定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域。

解：令0==y x ，得2)]0([)0(f f =，即有0)0(=f 或1)0(=f 。 若

0)0(=f ，则

0)0()()0()(==+=f x f x f x f ，对任意R x ∈均成立，这与存在实数21x x ≠，使得

)()(21x f x f ≠成立矛盾，故0)0(≠f ，必有1)0(=f 。

由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立，因此，对任意R x ∈，有

0)]2

([)2()2()22

(

)(2

≥==+

=x f x f x f x

x f x f 下面来证明，对任意0)(≠∈x f R x ，

设存在R x ∈0，使得0)(0=x f ，则0)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f

这与上面已证的0)0(≠f 矛盾，因此，对任意0)(≠∈x f R x ，所以0)(>x f

评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。

四、解析式问题

例5. 设对满足10≠≠x x ，的所有实数x ，函数

)(x f 满足

x

x

x f x f +=-+1)1(

)(，求f （x ）的解析式。

解：在)

1(1)1()(x

x

x f x f +=-+

中以x

x 1-代换其中x ，得：)

2(12)1

1()1(x

x x f x

x f -=--+

-

再在（1）中以1

1--

x 代换x ，得

)

3(1

2)()1

1(--=

+--x x x f x f )3()2()1(+-化简得：)

1(21)(2

3

---=

x x x x x f

评析：如果把x 和x

x 1-分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，

给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。

五、单调性问题

例6. 设f （x ）定义于实数集上，当0>x 时，1)(>x f ，且对于任意实数x 、y ，有)()()(y f x f y x f ?=+，求证：)(x f 在R 上为增函数。

证明：在)()()(y f x f y x f =+中取0==y x ，得2

)]0([)0(f f =

若0)0(=f ，令00=>y x ，，则0)(=x f ，与1)(>x f 矛盾

所以0)0(≠f ，即有1)0(=f 当0>x 时，01)(>>x f ；当0>->-x f x ，

而1)0()()(==-?f x f x f 所以0)

(1)(>-=

x f x f 又当0=x 时，01)0(>=f

所以对任意R x ∈，恒有0)(>x f 设+∞<<<∞-21x x ，则1)(01212>->-x x f x x ，

所以)()()()]([)(11211212x f x x f x f x x x f x f >-=-+=所以)(x f y =在R 上为增函数。 评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。

六、奇偶性问题

例7. 已知函数)0)((≠∈x R x x f ，对任意不等于零的实数21x x 、都有)()()(2121x f x f x x f +=?，试判断函数f （x ）的奇偶性。

解：取1121=-=x x ，得：)1()1()1(f f f +-=-，所以0)1(=f

又取121-==x x 得：)1()1()1(-+-=f f f ，所以0)1(=-f

再取121-==x x x ，则)()1()(x f f x f +-=-，即)()(x f x f =-

因为)(x f 为非零函数，所以)(x f 为偶函数。

七、对称性问题

例8. 已知函数)(x f y =满足2002)()(=-+x f x f ，求)2002()(1

1

x f

x f

-+--的值。

解：已知式即在对称关系式b x a f x a f 2)()(=-++中取20020==b a ，，所以函数)(x f y =的图象关于点（0，2002）对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数)(1

x f

y -=的图象关于点（2002，0）对称。

所以0)1001()1001(1

1

=-++--x f

x f

将上式中的x 用1001-x 代换，得0)2002()(1

1

=-+--x f

x f

评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a 、b 均为常数，函数

)(x f y =对一切实数x 都满足b x a f x a f 2)()(=-++，则函数)(x f y =的图象关于点（a ，b ）成中

心对称图形。

八、综合问题

例9. 定义在R 上的函数f （x ）满足：对任意实数m ，n ，总有)()()(n f m f n m f ?=+，且当x>0时，0

（2）设)}1()()(|){(22f y f x f y x A >?=，，}1)2(|){(R a y ax f y x B ∈=+

-=，，，若

?=B A ，试确定a 的取值范围。

解：（1）在)()()(n f m f n m f ?=+中，令01==n m ，，得)0()1()1(f f f ?=，因为0)1(≠f ，

所以1)0(=f 。在)()()(n f m f n m f ?=+中，令x n x m -==，

因为当0>x 时，1)(0<-x f x ，

而1)0()()(==-?f x f x f 所以01)

(1)(>>-=x f x f

又当x=0时，01)0(>=f ，所以，综上可知，对于任意R x ∈，均有0)(>x f 。

设+∞<<<∞-21x x ，则1)(001212<-<>-x x f x x ，

所以)()()()]([)(11211212x f x x f x f x x x f x f <-?=-+=

所以)(x f y =在R 上为减函数。

（2）由于函数y=f （x ）在R 上为减函数，所以)1()()()(2222f y x f y f x f >+=?即有12

2

<+y

x

又)0(1)2(f y ax f ==+-，根据函数的单调性，有02=+-y ax

由?=B A ，所以直线02=+-y ax 与圆面12

2<+y

x 无公共点。因此有

11

22

≥+a ，解得

11≤≤-a 。

评析：（1）要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题：一是f （0）的取值问题，二是f （x ）>0的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。

2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数

2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数 D

7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？ 8. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ，当a+b ≠0，都有b a b f a f ++)()(＞0 （1）.若a ＞b ，试比较f （a ）与f （b ）的大小； （2）.若f （k )293()3--+?x x x f ＜0对x ∈[－1，1]恒成立，求实数k 的取值范围。 9.已知函数()f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知 22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。 10．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+. (1)求证: ()f x 是奇函数; (2)若(3),(24)f a a f -=试用表示. 11.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足:

()()()f a b af b bf a ?=+. (1)求(0),(1)f f 的值; (2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论; (3)若(2)2f =,*(2) ()n n f u n N n -=∈,求数列{n u }的前n 项和n s . 12.已知定义域为R 的函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+. (1)若(2)3,(1);(0),();f f f a f a ==求又求 (2)设有且仅有一个实数0x ,使得00()f x x =,求函数()f x 的解析表达式. 13.已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2 x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2)求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; (3)判断函数()f x 的单调性,并证明. 14.函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任

高一数学抽象函数常见题型

抽象函数常见题型解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下： 一、定义域问题 例1. 已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。 解：)(2x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x 从而函数f （x ）的定义域是［1，4］ 例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数)]3([log 2 1x f -的定义域。 解：)(x f 的定义域是]21[，-，意思是凡被f 作用的对象都在]21[，-中，由此可得 4111)21(3)21(2)3(log 1122 1≤≤?≤-≤?≤-≤--x x x 所以函数)]3([log 2 1x f -的定义域是]4111[， 二、求值问题 例3. 已知定义域为+R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①5 1)6(1)2(==f f ，；②)()()(y f x f y x f +=?，求f （3），f （9）的值。 解：取32==y x ，，得)3()2()6(f f f +=

因为5 1)6(1)2(= =f f ，，所以54)3(-=f 又取3==y x 得5 8)3()3()9(-=+=f f f 三、值域问题 例4. 设函数f （x ）定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域。 解：令0==y x ，得2)]0([)0(f f =，即有0)0(=f 或1)0(=f 。 若0)0(=f ，则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ，对任意R x ∈均成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故0)0(≠f ，必有1)0(=f 。 由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立，因此，对任意R x ∈，有 0)]2 ([)2()2()22()(2≥==+=x f x f x f x x f x f 下面来证明，对任意0)(≠∈x f R x ， 设存在R x ∈0，使得0)(0=x f ，则0)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f 这与上面已证的0)0(≠f 矛盾，因此，对任意0)(≠∈x f R x ， 所以0)(>x f 四、解析式问题 例5. 设对满足10≠≠x x ，的所有实数x ，函数)(x f 满足x x x f x f +=-+1)1( )(，

【智博教育原创专题】抽象函数常见题型解法

冷世平之高考复习专题资料 第 1 页 共 7 页 抽象函数解题策略 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性 【题型1】定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 【例1】⑴若函数(21)f x -的定义域为{}|13x x ≤<，则函数()f x 的定义域为 ⑵若函数()f x 的定义域为{}|13x x ≤<，则函数(21)f x -的定义域为 【题型2】求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验。紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。 【例2】已知()f x 的定义域为R +，且()()()f x y f x f y +=+对一切正实数,x y 都成立，若(8)4f =，则(2)_____f = 【分析】在条件()()()f x y f x f y +=+中，令4x y ==，得(8)(4)(4)2(4)4f f f f =+==，(4)2f ∴=，又令2x y ==，得(4)(2)(2)2,(2)1f f f f =+=∴=。 1.()f x 的定义域为(0,)+∞，对任意正实数,x y 都有()()()f xy f x f y =+且(4)2f =，则 _____ f =12 2.若()()()f x y f x f y +=且(1)2f =，则 (2)(4)(6)(2000) ______(1)(3)(5)(1999) f f f f f f f f ++++= 20002222(1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8) ______(1)(3)(5)(7) f f f f f f f f f f f f +++++++=16【提示】()2n f n =

抽象函数经典综合题33例(含详细解答)

抽象函数经典综合题33例（含详细解答） 整理：河南省郸厂城县才源高中 王保社 抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。 本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答） 1.定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1）求证：f(0)=1； （2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数； （4）若f(x)·f(2x-x 2 )>1，求x 的取值范围。 解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2 ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴) (1 )(x f x f = - 由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴0) (1 )(>-= x f x f 又x=0时，f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ，f(x)>0 (3)任取x 2>x 1，则f(x 2)>0，f(x 1)>0，x 2-x 1>0 ∴ 1)()()() () (121212>-=-?=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数 （4）f(x)·f(2x-x 2 )=f[x+(2x-x 2 )]=f(-x 2 +3x)又1=f(0)， f(x)在R 上递增 ∴由f(3x-x 2 )>f(0)得：3x-x 2 >0 ∴ 0

抽象函数题型Word版

高考数学总复习：抽象函数题型 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点，因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开，教师对教材也难以处理，而高考中又出现过这一题型，有鉴于此，本文对这一问题进行了初步整理、归类，大概有以下几种题型： 一. 求某些特殊值 这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。 例1 定义在R 上的函数f x ()满足：f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=，求 f ()2000的值。 解：由f x f x ()()220-+-=， 以t x =-2代入，有f t f t ()()-=， ∴f x ()为奇函数且有f ()00= 又由f x f x ()[()]+=--44 =-=-∴+=-+=f x f x f x f x f x ()() ()()() 84 故f x ()是周期为8的周期函数， ∴==f f ()()200000 例2 已知函数f x ()对任意实数x y ，都有f x y f x f y ()()()+=+，且当x >0时， f x f ()()>-=-012，，求f x ()在[]-21，上的值域。 解：设x x 12< 且x x R 12，∈， 则x x 210->，

由条件当x >0时，f x ()>0 ∴->f x x ()210 又f x f x x x ()[()]2211=-+ =-+>f x x f x f x ()()()2111 ∴f x ()为增函数， 令y x =-，则f f x f x ()()()0=+- 又令x y ==0 得f ()00= ∴-=-f x f x ()()， 故f x ()为奇函数， ∴=-=f f ()()112，f f ()()-=-=-2214 ∴-f x ()[]在，21上的值域为[]-42， 二. 求参数范围 这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。 例3 已知f x ()是定义在（-11，）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足 f a f a ()()---<2402，试确定a 的取值范围。 解： f x ()是偶函数，且在（0，1）上是增函数， ∴f x ()在()-10，上是减函数， 由-<-<-<-

抽象函数习题精选精讲1

含有函数记号“ ()f x ”有关问题解法 由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号 ()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地 掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出 ()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生 的灵活性及变形能力。 例1：已知 ( )211x f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴ 2()1x f x x -= - 2.凑合法：在已知 (())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁， 还能进一步复习代换法。 例2：已知 33 11()f x x x x +=+，求 ()f x 解：∵ 22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11 ||||1|| x x x x +=+≥ ∴ 23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1) 3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设 ()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ =22 222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()4 1321 ,1,2222 a c a a b c b +=??=?===??=? ∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x 解:∵ ()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-, ∵ ()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴ lg(1),0 ()lg(1),0x x f x x x +≥?=? --

2020高考数学 抽象函数常见题型解法综述

抽象函数常见题型解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下： 一、定义域问题 例1. 已知函数的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。 解：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足 从而函数f(x)的定义域是［1，4］ 评析：一般地，已知函数的定义域是A，求f(x)的定义域问题，相当于已知中x的取值范围为A，据此求的值域问题。 例2. 已知函数的定义域是，求函数的定义域。 解：的定义域是，意思是凡被f作用的对象都在中，由此可得 所以函数的定义域是 评析：这类问题的一般形式是：已知函数f(x)的定义域是A，求函数的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题 实质上相当于已知的值域B，且，据此求x的取值范围。例2和例1形式上正相反。 二、求值问题 例3. 已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①； ②，求f(3)，f(9)的值。 解：取，得 因为，所以 又取 得

评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取，这样便把已 知条件与欲求的f(3)沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。 三、值域问题 例4. 设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，总成立，且存在，使得，求函数的值域。 解：令，得，即有或。 若，则，对任意均成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故，必有。 由于对任意均成立，因此，对任意，有 下面来证明，对任意 设存在，使得，则 这与上面已证的矛盾，因此，对任意 所以 评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。 四、解析式问题 例5. 设对满足的所有实数x，函数满足，求f(x)的解析式。 解：在中以代换其中x，得： 再在(1)中以代换x，得 化简得：

有关抽象函数的题型

抽象函数的单调性 线性函数型抽象函数是由线性函数（即一次函数）抽象而得的函数 例：已知函数f(x)对任意的实数x、y均有f(x+y)= f(x)+f(y),且当x> 0时，有f(x)> 0, f(- 1)= –2 , 求函数f(x)在区间[-2 , 1] 上的值域. 训练：已知函数f(x)对任意的实数x、y，满足条件f(x)+f(y)= 2 + f(x+y)，且当x> 0时，有f(x)> 2, f(3)= 5 , 求使f(a2–2a –2) < 3 成立的实数a的取值范围. 3.已知函数f(x)对任意的实数x、y均有f(x+y)= f(x)+f(y) ,且当x> 0时，有f(x)< 0 , f(3)= –3, ①证明函数f(x)的单调性 ②求函数f(x)的奇偶性 ③试求f(x)在区间[ m , n ] 上的值域。 4. 已知函数f(x)对任意的实数x、y均有f(x+y)= f(x)+f(y) ,且当x> 0时，有f(x)< 0 , f(1)=–2 ①求证f(x)的奇偶性 ②求函数f(x)的单调性 ③求f(x)在区间[ -3 ，3 ]的最值。

对数函数型抽象函数 对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数 例1.设f （x ）是定义在（0，+∞）上的单调增函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(3)=1 （1）求f(1)的值 （2）f(x)+f(x –8)≤2,求X 的取值范围 训练： 2. . f （x ）是定义在（0，+∞）上的减函数，对于任意的 x , y > 0 ,恒有f(xy)=f(x)+f(y)，且f(3 1) = 1, ①求f(1)的值 ②若存在m,使得f(m)=2,求m 的值 ③解不等式f(x)+f(2 – x ) < 2 .幂函数型抽象函数 幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得的函数 例1已知函数f(x)对任意实数x ，y 都有f(xy)=f(x)*f(y)，且f(–1)=1，f(27)=9，当0≤x<1时， f(x)∈[0, 1 ) ① 判断f(x)的奇偶性 ②判断f(x)在（0 ，+∞）在上的单调性，并给出证明 ③ 若a ≥0，且f(a+1)≤39 , 求a 的取值范围

抽象函数常见题型解法

高考数学总复习第十讲：抽象函数问题的题型综述 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点，因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开，教师对教材也难以处理，而高考中又出现过这一题型，有鉴于此，本文对这一问题进行了初步整理、归类，大概有以下几种题型： 一. 求某些特殊值 这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。 例1 定义在R 上的函数f x ()满足：f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=，求f ()2000的值。 解：由f x f x ()()220-+-=， 以t x =-2代入，有f t f t ()()-=， ∴f x ()为奇函数且有f ()00= 又由f x f x ()[()]+=--44 =-=-∴+=-+=f x f x f x f x f x () ()()()() 84 故f x ()是周期为8的周期函数， ∴==f f ()()200000 例2 已知函数f x ()对任意实数x y ，都有f x y f x f y ()()()+=+，且当x >0

时， f x f ()()>-=-012，，求f x ()在[]-21，上的值域。 解：设x x 12< 且x x R 12，∈， 则x x 210->， 由条件当x >0时，f x ()>0 ∴->f x x ()210 又f x f x x x ()[()]2211=-+ =-+>f x x f x f x ()()()2111 ∴f x ()为增函数， 令y x =-，则f f x f x ()()()0=+- 又令x y ==0 得f ()00= ∴-=-f x f x ()()， 故f x ()为奇函数， ∴=-=f f ()()112，f f ()()-=-=-2214 ∴-f x ()[]在，21上的值域为[]-42， 二. 求参数范围 这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。

抽象函数经典综合题33例(含详细解答)

抽象函数经典综合题33例（含详细解答） 抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。 本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答） 1.定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1）求证：f(0)=1； （2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数； （4）若f(x)·f(2x-x 2 )>1，求x 的取值范围。 解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2 ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴) (1 )(x f x f = - 由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴0) (1 )(>-= x f x f 又x=0时，f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ，f(x)>0 (3)任取x 2>x 1，则f(x 2)>0，f(x 1)>0，x 2-x 1>0 ∴ 1)()()() () (121212>-=-?=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数 （4）f(x)·f(2x-x 2 )=f[x+(2x-x 2 )]=f(-x 2 +3x)又1=f(0)， f(x)在R 上递增 ∴由f(3x-x 2 )>f(0)得：3x-x 2 >0 ∴ 0

抽象函数常见题型解法

抽象函数常见题型解法 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类 函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。常见的 目录：一、定义域问题 二、求值问题 三、值域问题 四、解析式问题 五、单调性问题 六、奇偶性问题 七、周期性与对称性问题 八、综合问题 一、定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为 11≤≤-x 。 解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。 评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ?的定义域问题，相当于解函数()x ?的不等式问题。 练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()? ?? ? ??-x f 3log 21 的定义域。 例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。[]11log ,13 评析： 已知函数()()x f ?的定义域是A ，求函数f(x)的定义域。相当于求函数()x ?的值域。

二、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验; 练习： 1. f(x)的定义域为(0,)+∞，对任意正实数x,y 都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，则f = （ 1 2 ） 2.的值是则 且如果) 2001(f ) 2000(f )5(f )6(f )3(f )4(f )1(f )2(f ,2)1(f ),y (f )x (f )y x (f ++++==+Λ 。2000 3、对任意整数y x ,函数)(x f y =满足：1)()()(+++=+xy y f x f y x f ，若1)1(=f ，则=-)8(f C A.-1 B.1 C. 19 D. 43 4、函数f(x)为R 上的偶函数，对x R ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，若(1)2f =，则(2005)f =（ B ） A . 2005 B. 2 C.1 D.0 解析：先令3-=x 三、值域问题（单调性，奇偶性，周期性） 例1.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠，求函数f(x)的值域。 解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。若 f(0)=0，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故 f(0)≠0，必有 f(0)=1。 由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x 、y 均成立，因此，0)2()(2 ≥?? ? ??=x f x f ,又因为若f(x)=0, 则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)≠0矛盾,所以f(x)>0. 例2、定义在R +上的函数f(x)满足: ①对任意实数m,f(x m )=mf(x); ②f(2)=1. (1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y 都成立; (2)证明f(x)是R +上的单调增函数; (3)若f(x)+f(x-3)≤2,求x 的取值围. 解:(1)令x=2m ,y=2n ,其中m,n 为实数,则f(xy)=f(2m+n )=(m+n)f(2)=m+n. 又f(x)+f(y)=f(2m )+f(2n )=mf(2)+nf(2)=m+n,所以f(xy)=f(x)+f(y) , 2x ,2x n m ,x x 0:)2(n 2m 121==<<<且使可令设证明0n m )2(f )n m ()2(f )x x ( f )x (f )x (f )1(n m 2 1 21<-=-===--得由 故f(x 1)

抽象函数常见题型及解法综述.doc

抽象函数常见题型及解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一，其性质常常是隐而不漏，但一般情况下大多是以学过的常见函数为背景，函数性质则通过代数表述给出.抽象函数的相关题目往往是在相关知识点的交汇处设计的，高考对抽象函数这一考点主要考查的是函数的概念和知识的内涵及外延的掌 握情况、逻辑推理能力、抽象思维能力和数学后继学习的潜能.为了扩大读者的视野，现就抽象函数常见题型归纳如下．一、函数的基本概念 2．抽象函数的求值问题 3．抽象函数的值域问题 4．抽象函数的解析式问题二、寻觅特殊函数的模型 1．指数函数模型 2．对数函数模型 3．幂函数模型三、研究函数的性质 1．抽象函数的单调性问题2．抽象函数的奇偶性问题 3．抽象函数的周期性问题 4．抽象函数的对称性问题四、抽象函数的综合（祥见《高中生》杂志05年10期上半月刊学习辅导版） 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一，其性质常常是隐而不漏，但一般情况下大多是以学过的常见函数为背景，函数性质则通过代数表述给出.

抽象函数的相关题目往往是在相关知识点的交汇处设计的，高考对抽象函数这一考点主要考查的是函数的概念和知识的内涵及外延的掌 握情况、逻辑推理能力、抽象思维能力和数学后继学习的潜能.为了扩大读者的视野，现就抽象函数常见题型归纳如下．一、函数的基本概念 2．抽象函数的求值问题 3．抽象函数的值域问题 4．抽象函数的解析式问题二、寻觅特殊函数的模型 1．指数函数模型 2．对数函数模型 3．幂函数模型三、研究函数的性质 1．抽象函数的单调性问题2．抽象函数的奇偶性问题 3．抽象函数的周期性问题 4．抽象函数的对称性问题四、抽象函数的综合（祥见《高中生》杂志05年10期上半月刊学习辅导版） 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一，其性质常常是隐而不漏，但一般情况下大多是以学过的常见函数为背景，函数性质则通过代数表述给出.抽象函数的相关题目往往是在相关知识点的交汇处设计的，高考对抽象函数这一考点主要考查的是函数的概念和知识的内涵及外延的掌 握情况、逻辑推理能力、抽象思维能力和数学后继学习的潜能.为了扩大读者的视野，现就抽象函数常见题型归纳如下．一、函数的基本概念 2．抽象函数的求值问题 3．抽象函数的值域问题 4．抽象函数的解析式问题二、寻觅特殊函数的模

SX2020A093高考数学必修_抽象函数常见题型例析

抽象函数常见题型例析 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题是函数内容的难点之一，其性质常常是隐而不漏，但一般情况下大多是以学过的常见函数为背景，对函数性质通过代数表述给出．抽象函数的相关题目往往是在知识网络的交汇处设计，高考对抽象函数的要求是考查函数的概念和知识的内涵及外延的掌握情况、逻辑推理能力、抽象思维能力和数学后继学习的潜能．为了扩大读者的视野，特就抽象函数常见题型及解法评析如下． 一、函数的基本概念问题 1．抽象函数的定义域问题 例1 已知函数)(2x f 的定义域是[1，2]，求)(x f 的定义域． 解：由)(2x f 的定义域是[1，2]，是指1≤x ≤2，所以1≤x 2≤4， 即函数)(x f 的定义域是[1，4]． 评析：一般地，已知函数))((x f ?的定义域是A ，求)(x f 的定义域问题，相当于已知))((x f ?中x 的取值范围为A ，据此求)(x ?的值域问题． 评析：这类问题的一般形式是：已知函数)(x f 的定义域是A ，求函数))((x f ?的定义域．正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键．一般地，若函数)(x f 的定义域是A ，则x 必须是A 中的元素，而不能是A 以外的元素，否则，)(x f 无意义．因此，如果)(0x f 有意义，则必有x 0∈A ．所以，这类问题实质上相当于已知)(x ?的值域是A ，据此求x 的取值范围，即由)(x ?∈A 建立不等式，解出x 的范围．例2和例1形式上正相反． 2．抽象函数的求值问题 例2 已知定义域为R +的函数)(x f ，同时满足下列条件：①)2(f = 1，)6(f =5 1 ；②)(y x f ?=) (x f ＋)(y f ，求)3(f 、)9(f 的值．

反函数典型例题

反函数求值 例1、设有反函数，且函数与 互为反函数，求的值． 分析：本题对概念要求较强，而且函数不具体，无法通过算出反函数求解，所以不妨试试“赋值法”，即给变量一些适当的值看看能得到什么后果． 解：设，则点在函数的图象上，从而点 在函数的图象上，即．由反函数定义有，这样即有，从而． 小结：利用反函数的概念，在不同式子间建立联系，此题考查对反函数概念的理解，符号间关系的理解． 两函数互为反函数,确定两函数的解析式 例2 若函数与函数互为反函数，求 的值. 分析：常规思路是根据已知条件布列关于的三元方程组，关键是如何 布列如果注意到g(x)的定义域、值域已知，又与g(x)互为反函数，其定义域与值域互换，有如下解法： 解：∵ g(x)的定义域为且，的值域为 . 又∵g(x) 的定义域就是的值域, ∴. ∵g(x) 的值域为 , 由条件可知的定义域是 , , ∴. ∴.

令, 则即点(3,1) 在的图象上. 又∵与g(x) 互为反函数, ∴ (3,1) 关于的对称点(1,3) 必在g(x)的图象上. ∴ 3=1+ , . 故 . 判断是否存在反函数 例3、给出下列函数: (1)； (2)； (3)； (4)； (5) . 其中不存在反函数的是__________________. 分析:判断一个函数是否有反函数,从概念上讲即看对函数值域内任意一个 ,依照这函数的对应法则,自变量总有唯一确定的值与之对应,由于这种判断难度较大,故通常对给出的函数的图象进行观察,断定是否具有反函数. 解: (1) ,(2)都没有问题,对于(3)当时,和 ,且 . 对于(4)时,和 .对于(5)当时,和 . 故(3),(4),(5)均不存在反函数. 小结:从图象上观察,只要看在相应的区间内是否单调即可. 求复合函数的反函数

抽象函数-题型大全(例题-含答案)

高考抽象函数技巧总结 由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号f(x)的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学 生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1. 换元法：即用中间变量匚!表示原自变量x的代数式，从而求出f(x)，这也是证某些公式或等式常用的方法，此 法解培养学生的灵活性及变形能力。 x 例 1 ：已知f ( ) =2x ? 1,求f (x). x 1 解：设—u,贝V x — f (u) = 2 —■ 1 = --------------- 二f (x)= -------- x+1 1-^ 1-u 1-u 1-x 2. 凑合法：在已知f(g(x)) =h(x)的条件下，把h(x)并凑成以g(u)表示的代数式，再利用代换即可求 f (x).此解法简洁，还能进一步复习代换法。 1 3 1 例2:已知f (x ) = x 3 ,求f (x) x x 1 1 1 11 1 1 解：??? f (x ) =(x )(x2-1 2)= (x )((x )2-3)又??? |x —|=|x| —- 1 x x x x x x | x| 2 3 f(x) =x(x -3) =x -3x, (| x | > 1) 3. 待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3.已知f (x)二次实函数，且f(x ?1) ? f(x-1) =X2+2X+4,求f(x). 解：设f (x) = ax2 bx c，则f (x 1) f (x「1) = a(x 1)2 b(x 1) c a(x「1)2 b(x「1) c l2(a c) =4 2 2 1 3 = 2ax 2bx 2(a c) =x 2x 4 比较系数得2a =1 =a ,b=1,c 2 2 2b =2 1 2 丄3 f (x) = 一X x - 2 2 4. 利用函数性质法：主要利用函数的奇偶性，求分段函数的解析式? 例4.已知y = f (x)为奇函数，当x>0时，f (x) = lg(x ? 1),求f (x) 解：??? f (x)为奇函数，??? f (x)的定义域关于原点对称，故先求x<0时的表达式。??? - x>0, ??? f (-x) =lg( -X 1) =lg(1 _x),

高考数学经典常考题型之抽象函数 含详解

1. 已知函数y = f (x )(x ∈R ，x ≠0)对任意的非零实数1x ，2x ，恒有f (1x 2x )=f (1x )+f (2x ), 试判断f (x )的奇偶性。 2 已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x )在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m )

高中数学抽象函数题型汇编及答案

抽象函数常见题型汇编及答案 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下： 一、定义域问题 (一)已知的定义域，求的定义域， 解法：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。 例题1：设函数的定义域为，则 （1）函数的定义域为______；（2）函数的定义域为_______ 解析：（1）由已知有，解得，故的定义域为 （2）由已知，得，解得，故的定义域为 (二)已知的定义域，求的定义域。 解法：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。 例题2：函数的定义域为，则的定义域为_____。解析：由，得，所以，故填

(三)已知的定义域，求的定义域。 解法：先由定义域求定义域，再由定义域求得定义域。例题3：函数定义域是，则的定义域是_______ 解析：先求的定义域，的定义域是， ，即的定义域是 再求的定义域，， 的定义域是 (四)运算型的抽象函数 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。 例题4：函数的定义域是，求的定义域。 解析：由已知，有，即 函数的定义域由确定 函数的定义域是 【巩固1】已知函数的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。 解析：的定义域是［1，2］，是指， 所以中的满足 从而函数f(x)的定义域是［1，4］

【巩固2】 已知函数的定义域是，求函数的定义域。 解析：的定义域是，意思是凡被f 作用的对象都在 中，由此可得 所以函数 的定义域是 【巩固3】 f x ()定义域为(0)，1，则y f x a f x a a =++-≤()()(||)1 2 定义域是__。 解析：因为x a +及x a -均相当于f x ()中的x ，所以010111<+<<-