2020-2021学年福建省厦门双十中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)

福建省厦门双十中学2020-2021学年高一上学期期中考试

数学试题

试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷两部分，满分150分考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.在答题卷上相应题目的答题区域内作答.

1.（2020双十高一11月期中考）如图，U 是全集，M 、P 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）

A.()U M

C P

B.M P

C.()

U C M P

D.()()U U C M C P

『答案』A

『解析』由题易知阴影部分所表示的集合是()U M

C P ，故选A.

2.（2020双十高一11月期中考）函数()2

f x x =-的定义域为（ ） A.[1,2)

(2,)+∞ B (1,)+∞ C.[1,2)

D.[1,)+∞

『答案』A

『解析』由题知10x -≥，解得1x ≥：20x -≠，

解得2x ≠；两者取交集得[1,2)(2,)+∞，

故选A.

3.（2020双十高一11月期中考）若a b c <<，则函数

()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--两个零点分别位于区间（ ）

A.(,)b c 和(,)c +∞内

B.(,)a -∞和(,)a b 内

C.(,)a b 和(,)b c 内

D.(,)a -∞和(,)c +∞内

『答案』C

『解析』∵a b c <<，∴()()()0f a a b a c =-->，()()()0f b b c b a =--<，

()()()0f c c a c b =-->，由函数零点存在判定定理可知：在区间(,)a b 和(,)b c 内分别存

在一个零点；又函数()f x 是二次函数，最多有两个零点，因此函数()f x 的两个两个零点分别位于区间(,)a b 和(,)b c 内，故选C. 4.（2020双十高一11月期中考）设0.3

2a =，2

0.3b =，2log 0.3c =，则a ，b ，c 的大小

关系是（ ）

A.a b c <<

B.c b a <<

C.c a b <<

D.b c a <<

『答案』B

『解析』因为2

00.31<<，2log 0.30<，0.321>，

所以20.32log 0.30.32<<，即c b a <<，故选B.

5.（2020双十高一11月期中考）已知函数()f x 满足(1)lg f x x -=，则不等式()0f x <的解集为（ ） A.(,1)-∞

B.(1,2)

C.(,0)-∞

D.(1,0)-

『答案』D

『解析』令1x t -=，∴1x t =+，10t +>，所以()lg(1)f t t =+，函数()f x 的解析式

为：()lg(1)f x x =+，不等式()0f x <化为lg(1)0x +<，解得10x -<<，故选D. 6.（2020双十高一11月期中考）已知函数2()log f x x =的反函数为()g x ，则()1g x -的图像为（ ）

A. B.

C.

D.

『答案』C

『解析』函数2()log f x x =的反函数为()2x

g x =，11(1)222x

x

g x -??

-==? ???

，当0x =时，()11g =，再利用单调性可知图像为C ，故选C

7.（2020双十高一11月期中考）某渔场鱼群的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际的养殖量x 要小于m ，留出适当的空闲量，已知鱼群的年增加量y （吨）和实际养殖量x （吨）与空闲率（空闲量与最大养殖量的比值叫空闲率）的乘积成正比（设比例系数0k >），则鱼群年增长量的最大值为（ ） A.

2mk B.4mk C.2

m

D.

4

m

『答案』B

『解析』由题知，2

24

m x k m km

y kx m m -??=?≤=

???，(0,0)k x m ><<，当且仅当x m x =-，即2

m

x =

时，等号成立，故选B . 8.（2020双十高一11月期中考）已知函数()f x 满足1

()1(1)

f x f x +=

+，当[0,1]x ∈时，

()f x x =，若在区间(1,1]-内，函数()()log (2)m g x f x x =-+有两个零点，则实数m 的

取值范围是（ ） A.(1,3)

B.10,3

?? ??

?

C.(1,3]

D.[3,)+∞

『答案』D

『解析』1

()1(1)

f x f x +=

+，当[0,1]x ∈时，()f x x =，

(1,0)x ∴∈-时，1(0,1)x +∈，则

11()1(1)1f x f x x +=

=++，1

()11

f x x ∴=-+，

若函数()()log (2)m g x f x x =-+有两个零点，则()log (2)m f x x =+有两个根，即()y f x =与log (2)m y x =+的图像有两个交点.函数图像如图所示，

当01m <<时，函数log (2)m y x =+单调递减，此时不满足条件；当1m >时，函数

log (2)m y x =+单

调递增，若两函数有两个交点，则满足当1x =时，()11g ≤，即log 31m ≤，解得3m ≥，故选D.

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求，全部选对得5分，选对但不全得3分，有选错的得0分.在答题卷上相应题目的答题区域内作答.

9.（2020双十高一11月期中考）已知全集为R ，集合112x

A x ????

??=≤?? ???????

，

{}

2680B x x x =-+≤，则下列结论正确的有（ ）

A.(,0]A =-∞

B.{}

2 4C B x x x =<>R 或 C.{}02A

C B x x =≤

C B x x x =≤<>R 或

『答案』BD

『解析』因为0

11122x ????≤= ? ?????

，所以0x ≥，所以{}0A x x =≥，又因为2

680

x x -+≤解得24x ≤≤，所以{}

24B x x =≤≤∣{}

24C B x x x ∴=<>R 或，所以

{}024A C B x x x =≤<>R 或，故选BD.

10.（2020双十高一11月期中考）若函数(

)

2

()3104m

f x m m x =-+是幂函数，则()f x 一定（ ） A.是偶函数

B.是奇函数

C.在(,0)x ∈-∞上单调递减

D.在(,0)x ∈-∞上单调递增

『答案』BD

『解析』由题知2

31041m m -+=，解得3m =或1

3

m =，所以3()f x x =或1

3()f x x =，

由幂函数性质知()f x 是奇函数且单调递增，故选BD.

11.（2020双十高一11月期中考）已知34log log a b =，则下列结论正确的有（ ） A.1a b << B.1b a << C.01b a <<<

D.01a b <<<

『答案』AC

『解析』由题知，当a ，1b >时343log log log a b b =<；∴a b <；当a ，1b <时

343log log log a b b =>，∴a b >，故选AC.

12.（2020双十高一11月期中考）关于函数21

||

()(0,1)x x f x a a a +=>≠，下列命题中正确的

是（ ）

A.函数图像关于y 轴对称

B.当1a >时，函数在(0,)+∞上为增函数

C.当01a <<时，函数有最大值，且最大值为2

a D.函数的值域是)

2

,a ?+∞?

『答案』AC

『解析』由题知，()f x 的定义域为{}0|x x ≠，且22()11||

||

()()x x x x f x a

a

f x -++--===，所以

()f x 为偶函数，所以函数图像关于y 轴对称，故A 正确.

令21,0

11()||1||||,0x x x x

g x x x x x x x ?+>?+?==+=??

--

，当1x >时，()g x 为增函数，

当01x <<时，()g x 为减函数；当1a >，函数x y a =为增函数，由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)

上为减函数，在(1,)+∞上为增函数，故B 错误.由1

||2||

x x +

≥，当且仅当||1x =时取等号，当01a <<时，函数x

y a =为减函数，()f x 在(0,1)，(1,)+∞上为增函数，在(1,)+∞，

(1,0)-上为减函数，故有最大值2a ，故C 正确.当01a <<时，值域为(2

0,a ??；

当1a >时，

值域为)

2

,a ?+∞?，故D 错误. 故选AC.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在答题卷上的相应题目的答题区域内作答.

13.（2020双十高一11月期中考）已知2

1,0

(),0

x x f x x x -≥?=?

『解析』当0x ≥时，()4f x =，即14x -=，得5x =；当0x <时，()4f x =，即2

4x =，

得2x =-；故2x =-或5x =.

14.（2020双十高一11月期中考）化简41log 3

2

+的值=______.

『答案』

『解析』2442log 3

log 231log 3

log 3

log 4

12

=2=2

22

22

2

+====

15.（2020双十高一11月期中考）计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低13

，现在价格为8100元的计算机，则9年后价格可降为______.

『答案』2400元

『解析』由题知93

181********???-= ???

.

16.（2020双十高一11月期中考）已知函数121

()22

x x f x --=+，某同学利用计算器，算得()

f x 的部分x 与()f x 的值如下表：

请你通过观察，研究后，写出关于()f x 的正确的一个性质______.（不包括定义域）

『答案』关于(1,0)对称 『解析』由表格易知

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答.

17.（2020双十高一11月期中考）已知集合{

}

2

210M x ax x =-++=只有一个元素，

{

A x y ==，{}

221B y y x x ==-+-.

（1）求A

B ；

（2）设N 是由a 可取的所有值组成的集合，试判断N 与A

B 的关系.

解:（1）由10x +≥，得1x ≥-，所以{}

1A x x =≥-；由2

2

21(1)y x x x =-+-=--，得0y ≤，所以{}

0B y y =≤，所以[1,0]A

B =-；

（2）由题知，当0a =，方程210x +=只有一个实数解，符合题意；当0a ≠时，0?=，解得1a =-，所以{1,0}N =-，所以()N A

B ?.

18.（2020双十高一11月期中考）我国是世界上人口最多的国家，1982年十二大，计划生育被确定为基本国策.实行计划生育，严格控制人口增长，坚持少生优生，这是直接关系到人民生活水平的进一步提高，也是造福子孙后代的百年大计.

（1）据统计1995年底，我国人口总数约12亿，如果人口的自然年增长率控制在1%，到2020年底我国人口总数大约为多少亿（精确到亿）；

（2）当前，我国人口发展已经出现转折性变化，2015年10月26日至10月29日召开的党的十八届五中全会决定，坚持计划生育的基本国策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子政策，积极开展应对人口老龄化行动.这是继2013年，十八届三中全会决定启动实施“单独二孩”政策之后的又一次人口政策调整.据统计2015年中国人口实际数量大约14亿，若实行全面两孩政策后，预计人口年增长率实际可达1%，那么需经过多少年我国人口可达16亿.

（参考数字：25

1.01 1.2824≈，lg 20.3010≈，lg70.8451≈，lg1.010.0043≈） 解:（1）由1995年底到2020年底，经过25年，由题知，到2020年底我国人口总数大约为

2512(11%)12 1.282415?+≈?≈（亿）；

（2）设需要经过x 年我国人口可达16亿，由题知14(11%)16x

?+=，两边取对数得，

lg14lg1.01lg16x +=，即有lg16lg143lg 2lg 730.30100.8451

14lg1.01lg1.010.0043

x --?-=

=≈≈，

则需要经过14年我国人口可达16亿.

19.（2020双十高一11月期中考）已知函数1

()422x

x f x a +=--.

（1）若()f x 的最小值为-3，求实数a 的值；

（2）若()0f x <对任意的[0,1)x ∈恒成立，求实数a 的取值范围. 解:（1）由题()

2

1

()42

22

222x

x x x f x a a +=-?-=-?-，令2(0,]x t =∈+∞，所以

222y t at =--，对称轴t a =，所以22223a a --=-，解得1a =±，又因为0t >，所

以1a =；

（2）由（1）知若()0f x <对任意的[0,1)x ∈恒成立，即2

220y t at =--<对任意的

[1,2)t ∈恒成立，即22122t t a t t ->=-对任意的[1,2)t ∈恒成立；易知1

2t y t

=-是增函数，

所以max 1(2)2

y y <=， 所以12a ≥

即1,2a ??∈+∞????

. 20.（2020双十高一11月期中考）函数2

()f x x =和3()log (1)g x x =+的部分图像如图所示，设两函数的图像交于点(0,0)O ，()00,A x y .

（1）请指出图中曲线1C ，2C 分别对应哪一个函数； （2）求证：01,12x ??

∈

???

： （3）请通过直观感知，求出使()()f x g x a >+对任何18x <<恒成立时，实数a 的取值范围.

解:（1）1C 是3()log (1)g x x =+的图像，2C 是2

()f x x =的图像； （2）证明：令2

3()()()log (1)F x f x g x x x =-=-+，因为

331113log 1log 22424F ????

=-+=- ? ?????

，

因为3

14

4

33log 3log 27=，14

33log 2log 16=，所以102F ??

<

???

；3(1)1log 20F =->；故存在01,12x ??

∈

???

，使得()00F x =，即0x 是3()log (1)g x x =+与2()f x x =图像的交点； （3）由（2）知3(1)1log 20F =->，且由图知31log 2a <-，即()3,1log 2a ∈-∞-. 21.（2020双十高一11月期中考）定义在(0,)+∞的函数()f x 满足：①当1x >时，()2f x <-；②对任意x ，(0,)y ∈+∞，总有()()()2f xy f x f y =++. （1）求出()1f 的值；

（2）解不等式()()14f x f x +->-；

（3）写出一个满足上述条件的具体函数（不必说明理由，只需写出一个就可以）. 解:（1）令1x y ==，则()()()2111f f f =++，所以()12f =-； （2）令1

y x

=

，1x >，则有()()()21f f x f y =++，所以()()4f y f x =--；又因为1x >时，

()2f x <-，所以()2f y >-；而()()14f x f x +->-可化为()()124f x x -->-，即()()12f x x ->-

故0

100(1)1x x x x >??

->??<-

，解得112x +<<

，即x ?∈ ?? （3）由题知12

()log 2f x x =-.

22.（2020双十高一11月期中考）已知函数2

(1)()

()x x a f x x ++=为偶函数.

（1）求实数a 的值；

（2）判断()f x 的单调性，并证明你的判断； （3）是否存在实数λ，使得当11,(0,0)x m n m n ??

∈>>?

???

时，函数()f x 的值域为[2,2]m n λλ--.若存在，求出λ的取值范围；若不存在说明理由.

解:（1）因为函数222

(1)()(1)()x x a x a x a

f x x x +++++==为偶函数，所以

2222

(1)(1)()x a x a x a x a

f x x x -+++++-==，即(1)1a a -+=+，所以1a =-； （2）当1a =-时，222

11

()1x f x x x -==-，则函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，在(,0)-∞上为减函数.

证明：设120x x <<，则()()()()1212122222

2112

11x x x x f x f x x x x x -+-=

-=，因为120x x << 所以120x x +>，120x x -<，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，故()f x 在

(0,)+∞上为增函数；同理可证()f x 在(,0)-∞上为减函数；

（3）因为函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，所以若存在实数λ，使得当

11,(0,0)x m n m n ??

∈>>????

时，函数()f x 的值域为[2,2]m n λλ--，则满足

2

2112112f m m m f n n n λλ???=-=- ?????

????=-=- ????

?，即221010m m n n λλ?-+=?-+=?，

即m ，n 是方程2

10x x λ-+=的两个不等的正根.则满足240010m n mn λλ??=->?+=>??=>?

，解得2λ>，故

存在2λ>，使得结论成立.