函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性)
“定义域优先”的思想是研究函数的前提,在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域,离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。 1. 奇偶性
奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x ）与f(x ）之间的关系：①f(－x)＝f(x)为偶函数；f （-x)=-f(ｘ)为奇函数； ②f(-x)-f （x ）=０为偶;ｆ(x ）+f(-x)=0为奇;
③f(-x)÷ｆ(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)＝-1为奇函数. （１)若定义域关于原点对称
(２）若定义域不关于原点对称 非奇非偶 例如：3
x y =在)1,1[-上不是奇函数
常用性质:
1．0)(=x f 是既奇又偶函数；
2．奇函数若在0=x 处有定义,则必有0)0(=f ; 3．偶函数满足)
()()(x f x f x f =-=；
4.奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；
5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满足：
（1）奇函数±奇函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶
(2) 奇函数×奇函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数 奇函数×偶函数=奇函数 ６．任何函数)(x f 可以写成一个奇函数
2)
()()(x f x f x --=
?和一个偶函数
2)
()()(x f x f x -+=
ψ的和。
2. 单调性 定义:函数定义域为Ａ,区间
，若对任意且
① 总有
则称
在区间M 上单调递增
② 总有则称在区间M 上单调递减
应用:(一)常用定义法来证明一个函数的单调性
一般步骤:(1）设值(２)作差(３)变形（４）定号（5)结论 (二） 求函数的单调区间
定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学） 注:常用结论
（1） 奇函数在对称区间上的单调性相同 （2） 偶函数在对称区间上的单调性相反 （3） 复合函数单调性-------同增异减
3. 周期性
（1)一般地对于函数
，若存在一个不为0的常数T ，使得
内一切值时
总有，那么叫做周期函数,Ｔ叫做周期,kT(T 的整数倍)也是它的周期
（2）如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数,就把这个最小正数叫最小正周期。 注:常用结论
(1)若)()(b x f a x f +=+，则)(x f 是周期函数,a b -是它的一个周期（自己证明) (2）若定义在R 上的函数ｙ = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b 成轴对称 (a ≠b ），则y = ｆ (x)是周期函数，且2| a-b|是其一个周期。(自己证明）
(推论）若定义在R 上的偶函数)(x f 的图象关于直线a x =)0(≠a 对称,则)(x f 是周期函数，a 2是它的一个周期 （３)若)()(x f a x f -=+;)(1)(x f a x f =+;)
(1)(x f a x f -=+；则)(x f 是周期函数，2a 是它的一个周期
4.对称性
一、函数自身的对称性
定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A （ａ ,ｂ）对称的充要条件是 f (ｘ） + f (2ａ-x) ＝ 2b
证明：(必要性）设点P （x ，y)是y ＝ f (x ）图像上任一点,
∵点Ｐ（ ｘ ,ｙ）关于点A (a ,ｂ)的对称点P （2ａ－x,２ｂ－y ）也在y = ｆ (ｘ)图像上， ∴ 2ｂ－y ＝ ｆ (２ａ－x ） 即y + f (2a-ｘ)＝2b 故ｆ (x ） ＋ ｆ (２a-x) = 2b ，必要性得证。
（充分性）设点P(ｘ0,y0)是y ＝ f （x ）图像上任一点，则y 0 = ｆ （x 0) ∵ f (x ） + f (2a －x) =2b
∴f (ｘ0） ＋ ｆ (2a －x 0) =2ｂ，即2ｂ-y 0 = f (2ａ－x 0) 。 故点Ｐ(2a-x 0,2b-y 0）也在y = ｆ (ｘ) 图像上, 而点P 与点Ｐ关于点A (a ,ｂ）对称,充分性得证。
推论:函数 ｙ = f (x)的图像关于原点O 对称的充要条件是f (x) ＋ f (－x) = 0 定理2． 函数 y = f （x)的图像关于直线ｘ = a 对称的充要条件是
ｆ (ａ +x) = f (a －x) 即f (x) = f （2a-x ） （证明留给读者）
推论:函数 y = ｆ （x)的图像关于y 轴对称的充要条件是f (x ） ＝ f (－ｘ） 定理3函数 ｙ = f (x)的图像关于直线x ＝ a 对称的充要条件是
f (a ＋ｘ) = f (a-x) 或 f (x ） = f (2a-x)
定理4.若函数y = f (ｘ） 图像同时关于直线ｘ = a 和直线ｘ ＝ b 成轴对称 (ａ≠
ｂ)，则ｙ= f （ｘ）是周期函数,且2| a-b|是其一个周期。
二.不同函数对称性
定理５. 函数y = ｆ(a+ｘ）与y = f (b-x)的图像关于直线x = (ｂ－ａ）/2成轴对称
定理6. 互为反函数的两个函数关于直线ｙ=ｘ对称
【典型例题】
[例１］判断下列函数奇偶性
（1）（且）
（2）
(３）
(4）
（5)
解:(1)且
∴奇函数
（2），关于原点对称
∴奇函数
（3),关于原点对称
∴既奇又偶
（4）考虑特殊情况验证：；无意义 ; ∴非奇非偶（5)且，关于原点对称
∴为偶函数
[例2］（１),为何值时,为奇函数；
(2）
为何值时，为偶函数。
答案：(１)
（恒等定理）
∴ 时，
奇函数
(2）
∴ （恒等定理）
∴
∴
巩固：已知定义域为R 的函数
1
2()2x x b f x a +-+=+是奇函数。 (Ⅰ）求,a b 的值;
（Ⅱ)若对任意的t R ∈
，不等式
22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立,求k 的取值范围; (Ⅰ)简 解:取特殊值法
因为()f x 是奇函数，所以(0)f =0,
即
111201()22x
x b b f x a a +--=?=∴=++ 又由f(1)= - f （-
１)知1112
2 2.
41a a a -
-=-?=++
（Ⅱ)解法一：由(Ⅰ）知
11211
()22221x x x f x +-==-+
++，易知()f x 在(,)-∞+∞上 为减函数
又因()f x 是奇函数,从而不等式：
22
(2)(2)0f t t f t k -+-< 等价于
222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-, 因()f x 为减函数，由上式推得：
2222t t k t ->-.
即对一切t R ∈有：2
320t t k -->，从而判别式
1
4120.3k k ?=+
［例3］ 求函数
的解析式
(１）
为R 上奇函数，
时,
,
解:
时,
∴
∴ (2)
为R 上偶函数,
时，
解:
时,
∴
［例4］求下列函数的增区间
(１）
(2）
答案:(1)，∴
（2)作图
∴
[例5]若在区间，求取值范围。
答案：分类讨论
(1）①当在区间，符合题意
②当时，要在区间，则有
∴
[例6]，为偶函数，试比较的大小关系。
解：∵为偶函数∴
则函数关于直线x=2对称
∵在（０，2）
∴（提示：看离对称轴的远近）
［例７]为偶函数，，若,求取值范围。
解：∴
[例8] 求下列函数是否为周期函数
（１),满足
（2)，满足
(３)，满足
（４)，满足
答案:
(1)令∴∴
∴Ｔ=2周期函数
（２）
∴Ｔ=4周期函数
（3)∴T＝４
（４)
∴T=８
[例9] ，偶函数，周期函数，Ｔ=２，,,则，求当时，。
答案:
[例10] ，偶函数,奇函数,则。
答案:奇
偶
∴∴∴
奇∴
巩固
例1：定义在R上的非常数函数满足：ｆ(１0＋x）为偶函数，且f (5－ｘ) = ｆ(5+ｘ),则f(ｘ)
一定是( ）?
(A)是偶函数,也是周期函数 (B)是偶函数，但不是周期函数 (Ｃ)是奇函数,也是周期函数??(D ）是奇函数，但不是周期函数 解：∵f （10+x)为偶函数,∴f (10+ｘ) = f (10-x).
∴f （x)有两条对称轴 x = ５与x =10 ，因此f （x)是以10为其一个周期的周期函数,
∴ｘ ＝0即ｙ轴也是ｆ （ｘ)的对称轴，因此f (x ）还是一个偶函数。 故选(Ａ) ?
例2：设定义域为R 的函数ｙ = f (ｘ)、ｙ = g(ｘ)都有反函数,并且f(x －1)和g -1（x-2)函数的图像关于直线y = x 对称,若ｇ（５) = 1999，那么f （4)＝( ）。
19９9； （B ）２００0； (Ｃ）2001; (Ｄ）２0０2。
解：∵ｙ = ｆ(x-1）和y = g -1（ｘ-２）函数的图像关于直线y = x 对称,
∴y ＝ g -1(x －2） 反函数是y = ｆ(ｘ－1),而y ＝ g -１
(ｘ－2)的反函数是:ｙ = ２ + ｇ(x), ∴ｆ(x-1) = 2 + ｇ(x ）, ∴有f(5－1) = ２ + g （5)＝2００1 故f(4) = ２001，应选（Ｃ)
例3.设f （x)是定义在R 上的偶函数，且f(１+x ）= f(１-x),当-１≤x ≤０时,
f (ｘ) = -
2
1
x,则f (8.6 ) = ____＿__＿＿
解：∵f(x ）是定义在R 上的偶函数∴x = 0是ｙ = f(x)对称轴； 又∵f(１+x ）= f(1－ｘ) ∴x = １也是ｙ = f (x) 对称轴。 故ｙ ＝ ｆ(x ）是以2为周期的周期函数,
∴ｆ （8．6 ) = ｆ (8＋0．6 ） = f （0．６ ) = f (－0.６ ) = 0.３
例4. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x+2)= -f(ｘ),当0≤x ≤1时，
ｆ （x) ＝ x ，则ｆ (７.５ ） = （ ） (A) 0.5 （B) -０.５ ?(Ｃ） １.5???(Ｄ) -1.5
解：∵y = f (x)是定义在Ｒ上的奇函数,∴点（0,0）是其对称中心；
又∵f (x ＋２ )= －f (ｘ) = f (－x),即ｆ （1+ x) = f (1-x)， ∴直线ｘ = １是ｙ = ｆ (x) 对称轴，故y ＝ f (x)是周期为2的周期函数。
∴f （７．5 ) = f （８-０．５ ) = f (－０．5 ) = -f （0.5 ) =-0.5 故选（Ｂ）
【作业】
1. 两位学生在思考一个开放题“满足的点称为函数的不动点,请你构造一个分段函数,使其具有无数个不动点，这些不动点构成一个公比不为１的等比数列”。两位学生分别构造了一个函数():
①
②请你判断,正确的结论是（)
A. ①②都对B．①对②错 C. ①错②对 D. ①②都错
2. 函数与的图像关于（)
A．ｙ轴对称B．原点对称
C. 直线ｘ=１对称
D. 关于y轴对称且关于直线x＝1对称
３. 若函数在(）上是减函数,则的取值范围是（）A． B. C. D.
4. 函数在（）上存在，使,则的取值范围是()
A. B. Ｃ. 或D．
5. 若,则它们的大小关系为（)
A. B. C. Ｄ.
６. 如图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是ＣD边的中点,则当点P沿着A—B—C—M运动时,以点P经过的路程为自变量，三角形APＭ的面积函数的图像形状大致是()
7．函数()
A．在（１，）内单调递增 B. 在（1，）内单调递减
C. 在（)内单调递增
D. 在（）内单调递减
8. 函数的定义域为[]，值域为,其反函数为，则的()
A.定义域为,值域为
B. 定义域为，值域为
C. 定义域为,值域为
Ｄ．定义域为，值域为
９. 已知函数的图象是由函数的图像平移而得到的，如图所示,则的值是(）
A．Ｂ.
C. D.
10. 已知是偶函数，则图像的对称轴是(）
A． B． C． D．
1１. 对任意，有，时，,则
(）
A. B． C. D.
12. 方程的两个根均大于１,则的取值范围为()
Ａ. B. C．Ｄ．
1３. 若函数的图像与函数的图像关于直线对称,则(）
A．B．
Ｃ. Ｄ.
14. 把长为1２cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值是（）
Ａ. B. C． D.
15. 设函数的反函数为,且，则
。
16. 函数的定义域是 。 1７. 已知函数在上有定义，
，当且仅当时
，
且对任意
都有
,试证明：（1)
为奇函数；(2）
()上单调递减。
18． 设
是R 上的偶函数,（１)求的值;（2）证明：
在
(0，+∞)上是增函数。
19． 设)(x f 是定义在R 上的奇函数,且对任意实数x 恒满足)()2(x f x f -=+，当
]2,0[∈x 时22)(x x x f -= ⑴求证:)(x f 是周期函数;
⑵当]4,2[∈x 时,求)(x f 的解析式;
⑶计算：+)0(f +)1(f +)2(f )2005(f +