2000年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛试题 ................................................................... 1 2002年全国初中数学竞赛上海市预赛试题....................................................................... 4 2002年(宇振杯)上海市初中数学竞赛 ................................................................................ 8 2003年（宇振杯）上海市初中数学竞赛试题 .................................................................. 11 2004年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试题 ...................................................................... 13 2004年上海市南汇区初中数学选拔赛试题 (16)
2000年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛试题
一、填空题(每小题7分，共70分．)
1．如图，已知□ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G ．若BE ＝5，EF ＝2，则FG 的长是 ．
2．有四个底面都是正方形的长方体容器A 、B 、C 、D ，已知A 、B 的底面
边长均为3，C 、D 的底面边长均为a ，A 、C 的高均为3，B 、D 的高均为a ，在只知道a ≠3，且不考虑容器壁厚度的条件下，可判定 两容器的容积之和大于另外两个容器的容积之和
3，若n 的十进位制表示为99……9(20个9)，则n 3
的十进位制表示中含有数码9的个数是 ．
4．在△ ABC 中，若AB ＝5，BC ＝6，CA ＝7，H 为垂心，则AH 的长为 ． 5．若直角三角形两直角边上中线的长度之比为m ，则m 的取值范围是 ． 6．若关于x 的方程|1-x|＝mx 有解，则实数阴的取值范围是
7．从1 000到9 999中，四个数码各不相同，且千位数与个位数之差的绝对值为2的四位数有 个． 8.方程
4
3
xy 1-y 1x 12=+的整数解(x ，y)＝
9.如图，正△ABC 中，点M 、N 分别在AB 、AC 上，且AN ＝BM ，BN 与CM 相交于点O ．若S △ABC ＝7，S △OBC =2则
BA
BM
= 10.设x 、y 都是正整数，且使100x 116-x ++＝y 。则y 的最大值
为
二、(16分)求所有满足下列条件的四位数：能被111整除，且除得的商等于该四位数的各位数之和．
三、(16分)(1)在4×4的方格纸中，把部分小方格涂成红色，然后画去其中2行与2列．若无论怎样画，都至少有一个红色的小方格没有被画去，则至少要涂多少个小方格?证明你的结论．
(2)如果把上题中的“4×4方格纸”改成“n×n的方格纸(n≥5)”，
其他条件不变，那么，至少要涂多少个小方格?证明你的结论
四、(18分)如图，ABCD是一个边长为l的正方形，U、V分别是
AB、CD上的点，AV与DU相交于点P，BV与CU相交于点Q．求四边形
PUQV面积的最大值．
2000年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛参考答案
a-11b+10c+d=0，
11b=a+10c+d．(1)
又依题意9a+b=a+b+c+d，
8a=c+d．
代入(1)得
11b=9(a+c)．(2)
且由c+d≤1 8，知a=l或2．
于是，由式(2)得
b=9，a=2，c=9．
进而由8a=c+d，得d=7．
故所求的四位数是2 997．
三、(1)至少要涂7个小方格．
若涂色格数≤4，则适当画去2行与2列必能把涂色小方格全部画去．
若涂色格数是5，则至少有一行有2格涂色，画掉这一行，剩下的涂色格数不超过3，再画去l行、2列必能把涂色小方格全部画去．
若涂色格数是6，则至少有一行有3格涂色，或至少有二行各有2格涂色，故画去2
行至少能画去4格涂色小方格，剩下涂色格数不超过2，再画去2列必能将它们画去．
按图(1)涂色7格，则画去2行至多画去4格涂色的小方格，且剩下的涂色小方格位于不同的3列，再画去2列不能将它们全部画去．
(2)至少要涂5个小方格．
这是因为，若涂色格数≤4，则画去2行、2列必能将它们全部画去．
按图(2)涂色5格，则任意画去2行、2列必有涂色小方格没有画去．
2002年全国初中数学竞赛上海市预赛试题
第一试
(本试卷共l 5题，l-5题每题65分，6～1 0题每题8分，11～15题每题10分，满分1 20分)
1．已知a=1.1，b=1．10.9
，c=0．91.1
，则将a 、b 、c 从小到大排列，并用“<"表示是
2.若
，则a 的值是 ．
3．已知a 为无理数，且
，则
b
a
的值为 ． 4．由y=||x| -1|的图像与y=2的图像围成的图形的面积是 ．
5．三角形的三条边a 、b 、c 满足1≤a≤3≤b≤5≤c≤7，当此三角形的面积最大时，它的周长是 ． 6．方程
2002
111=+y x 的正整数解构成的有序数组(x ，y)共有
组．
7．如图，在△ABC 中，F 、G 是BC 边上的两点，使∠B、∠C 的平分线BE 、CD 分别垂直AG ，AF(E 、D 为垂足)．若△ABC 的周长为22，BC 边长为9，则DE 的长为 ．
8．已知二次函数y=ax 2
+bx+c(其中a 为正整数)经过点A(-1，4)与点B(2，1)，且与x 轴有两个不同的交点，则b+c 的最大值为 ．
9．如图，点P 、Q 在△ABC 的AC 边上，且AP ：PQ ：QC=1：2：3，点R 在BC 边上，且BR ：RC=1：2，AR 与BP 、BQ 分别相交于D 、E ，则S PQED ：S △ABC = ．
10．整数x 、y 满足5x 2+y 2
+4xy+24<10x ，则x+y 的值是 ．
11．设abcd是一个四位数，且满足a+b+c+d=ab=c·d(ab表示为两位数)，则具有上述性质的最大四位数是．
12．已知m、n是正整数，且m≥n．由5 mn个单位正方体组成长、宽、高顺次为m、n、5的长方体，将此长方体相交于某一顶点三个面涂色，若恰有一半的单位正方体各面都没有涂到颜色，则有序数组(m、n)=
13．在△ABC中，点D、E、F顺次在边AB、BC、CA上，设AD=p·AB，BE=q·BC，CF=r·CA，其中p、q、r是正数，且使p+q+r=2/3，p2+q2+r2=2/5，则S△DEF：S△ABC=．14．已知a、b、c都是整数，且对一切实数x，(x-a)(x-2002)-2=(x-b)(x-c)都成立，则这样的有序数组(a，b，c)共有组．
15．如图，I是Rt△ABC(∠C=90°)的内心，过I作直线EF∥AB，
分别交CA、CB于E、F．已知EI=m，IF=n，则用m、n表示
S△ABC=．
4．7 y=|| x|—l|的图像与y=2的图像，如图所示，阴影部分即是所围成的图形，它可看作一个等腰直角三角形挖去一个正方形．因此，该图形面积为7．
5．8+34欲使三角形面积最大，可让a取最大值3，b取最大值5，夹角取90°．此时c=34满足5≤c≤7，周长为8+34．
6．81 将已知方程变形，得2002(x+y)=xy，(x-2002)(y-2002)=20022．
∵ x、y都是正整数，∴x-2002、y-2002都是整数，且都大于-2002．现这两整数之积为20022，故这两整数为同号，且至少有一个的绝对值不小于2002．因此，x-2002与y-2002
必都是20022的正约数，而已知方程的正整数解(x，y)可写成(2002+d，2002+20022/d)，这里d为20022的正约数．20022=22×72× 11 2×1 32，∴20022的正约数有34=81个，从而已知方程的正整数解(x，y)共有8 1个．
7．2 由题设易证D、E分别是AF、AG的中点，且BA=BG，CA=CF．设DE=x，则FG=2x．BC=BG+CF-FG=AB+AC-2x=(22-BC)-2x．但BC=9，故x=2，即 DE=2．
8．-4 抛物线y=ax2+bx+c，经过点A(-1，4)与点B(2，1) a-b+c=4，且
9．5/24 如图，过P、Q分别作BC的平行线，交AR于点X、Y，由题设及相似三角形易得BE/EQ
又由题设知n≥2，将n=2，3，4，5代入方程计算，只有当n=3、4时，m为正整数，对应的解是16、6．∴有序数组(m，n)=(16,3)：(6,4)．
14．(2001，2002，2003)，(2001，2003，2000)，(2003，2001，2004)，(2003，2004，
2001)．展开已知等式的左边，得x 2
-(a+2002)x+2002a-2=(x-b)(x-c)．
它对一切实数x 成立，．b 、c 即是二次方程x 2
-(a+2002)x+2002a-2=0(*)
的两个整数根，又a 为整数，故判别式△=(a+2002)2-4(2002 a-2)=(a-2002)2
+8是完全平
方．令(a-2002)2+8=n 2
，这里n 为正整数，n>|a-2002|．于是有(n+a-2002)(n-a+2002)=8，
解得n=3，a=2001或2003；从而方程(*)的两根为
2
1
[(a+2002)±3]．当a=2001时，方程(*)的两根为2000，2003；当a=2003时，方程(*)的两根为2001，2004．故满足条件的有序组(a ，b ，c)共有如下4组：(2001，2000，2003)，(2001，2003，2000)，(2003，2001，21304)，(2003，2004．2001)．
【另解】连IA 、IB 、IC ，则IA 、IB 、IC 分别是△ABC 三内角平分线，于是易得AE=EI= m ，BF=FI=n ．又由内角平分线性质，可令
2002年(宇振杯)上海市初中数学竞赛
一、填空题(1～5题每小题6分，6～10题每小题8分，共70分)
1．在2002当中嵌入一个数码组成五位数20□02．若这个五位数能被7整除，则嵌入的数码“□”是 ．
2．若实数a 满足a 3 ，则不等式x+a>1－ax 解为 ． 3．如图，一张矩形纸片沿BC 折叠，顶点A 落在点A’处，第二次过A’ 再折叠，使折痕DE∥BC 若AB=2，AC=3，则梯形BDEC 的面积为 ． 4．已知关于正整数n 的二次式y=n 2 +an(n 为实常数)．若当且仅当n=5时，y 有最小值，则实数n 的取值范围是 ． 5．如图，在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD ，它的4个顶点为A(10，O)、B(0，10)、C(－10，O)、D(O ，－10)，则该正方形内及边界上共有 个整点(即纵、横坐标都是整数的点)． 6．如图，P 为△ABC 形内一点，点D 、E 、F 分别在BC 、CA 、AB 上．过A 、B 、 C 分别作P D 、P E 、P F 的平行线，交对边或对边的延长线于点X 、Y 、Z ．若 31,41==BY PE AX PD ，则CZ PF = 7．若△ABC 的三边两两不等，面积为 3 15 ，且中线AD 、BE 的长分别为1和2，则中线CF 的长为 8．计算： =+-+++-++-++-5000 99009999 (500010050002002250001001122) 222222k k k 9．若正数x 、y 、z 满足xyz(x+y+z)=4，则(x+y)(y+z)的最小可能值为 lO ．若关于x 的方程c x x =-+ 3 1 21422 恰有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围 是． 二、(16分)已知p为质数，使二次方程x2－2px+p2－5p－1=0的两根都是整数．求出p的所有可能值． 三、(16分)已知△XYZ是直角边长为l的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的3个顶点分别在等腰Rt△ABC(∠C=90°)的三边上．求△ABC直角边长的最大可能值． 四、(18分)平面上有7个点，它们之间可以连一些线段，使7点中的任意3点必存在2点有线段相连．问至少要连多少条线段?证明你的结论． 四、(1)若7个点中，有一点孤立(即它不与其他点连线)，则剩下6点每2．点必须连线，此时至少要连1 5条． (2)若7点中，有一点只与另一点连线，则剩下5点每2点必须连 (3)若每一点至少引出3条线段，则至少要连21/2条线段．由于线 段数为整数，故此时至少要连1 1条． (4)若每点至少引出2条线段，且确有一点(记为A)只引出2条线 段AB、AC，则不与A相连的4点每2点必须连线，要连6条．由B引 出的线段至少有2条，即除BA外还至少有一条．因此，此时至少要连 6+2+1=9条．图中所给出的是连9条线的情况．综合(1)～(4)，至少要连9条线段，才能 满足要求． 2003年（宇振杯）上海市初中数学竞赛试题 （2003年12月7日 上午9∶00~11∶00） 解答本试卷不得使用计算器. 一、填空题（本大题10小题，前5题每题6分、后5题每题8分，共70分.） 1、设曲线C 为函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象，C 关于y 轴对称的曲线为C 1，C 1关 于x 轴对称的曲线为C 2，则曲线C 2是函数y ＝＿＿＿＿＿＿＿＿的图象. 2、甲、乙两商店某种铅笔标价都是1元。一天学生小王欲购这种铅笔，发现甲、乙两商 店都让利优惠：甲痁实行每买5支送1支（不足5支不送），乙店实行买4支或4支以上打8.5折，小王买13支这种铅笔，最少需要化＿＿＿＿＿元。 3、已知实数a 、b 、c 满足a+b+c=0，2 2 2 0.1a b c ++=，则4 4 4 a b c ++的值是＿＿＿. 4、已知凸四边形ABCD 的四边长为AB ＝8，BC ＝4，CD ＝DA ＝6，则用不等式表示∠A 大小的范围是＿＿＿＿＿＿。 5、在1，2，3，…，2003中有些正整数n ，使得2 x x n +-能分解为两个整系数一次式的 乘积，则这样的n 共有＿＿＿＿＿个。 6、设正整数m ，n 满足m < n ，且 ()() 2 2 2111123 11m m n n m m +++=+++++，则m n +的值是＿＿＿＿。 7、数1，2，3，…，2 k 按下列方式排列： 1 2 … k 1k + 2k + … 2k …… ()11k k -+ ()12 k k -+ … 2k 任取其中一数，并划去该数所在的行与列；这样做了k 次后，所取出的k 个数的和是＿＿＿。 8、如图，边长为1的正三角形ANB 放置在边长为MN ＝3 ，NP ＝ 4的正方形MNPQ 内，且NB 在边NP 上。若正三角形在长方形内沿着边NP 、PQ 、QM 、MN 翻转一圈后回到原来起始位置，则顶点A 在翻转过程中形成轨迹的总长是＿＿＿＿＿（保留 π）。 9、如图，△ABC 中，AB ＝BC ＝10，点M 、N 在BC 上，使得MN ＝AM ＝4， ∠MAC ＝∠BAN ，则△ABC 的面积是＿＿＿＿。 10、△ABC 中，∠C ＝3∠A ，AB ＝10，BC ＝8，则AC 的长是＿＿＿＿。 二、（本题16分） m ，n 均为正整数，若关于x 的方程2 420x mx n -+=的两个实数根都 大于1，且小于2，求m ，n 的值。 三、（本题16分） 如图，正方形ABCD 的边长为1，点M 、N 分别在BC 、CD 上，使得△CMN 的周长 为2。求 （1）∠MAN 的大小； （2）△MAN 面积的最小值。 四、（本题18分） 某学生为了描点作出函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象，取自变量的7个值： 127x x x << <，且213276x x x x x x -=-= =-，分别算出对应的y 的值，列出 但由于粗心算错了其中一个y 值。请指出算错的是哪一个值？正确的值是多少？并说 明理由。 参考答案 一、1．-ax 2 +bx-c 2．10．95 3．O ．005 4．0°<∠A<90° 5．44 6．527 7． 21 k(k 2 +1) 8．5π 9．19 5750 10．3 二、令f(x)=4x 2 —2mx+n ，则y=f(x)的图像是开口向上的抛物线，对称轴为x= 4 m ． 2004年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试题 一、填空题(前5题每题6分，后5题每题8分，共7 O 分) 1．若关于x 的二次方程x 2+(3a-1)x+a+8=0有两个不相等的实根x 1、x 2，且x 1<1，x 2>1，则实数a 的取值范围是 ． 2．方程 x x x -+-+-33 4251=3的解是 ． 3．一个二位数的两个数字之积是这二位数两个数字之和的2倍；又若这二位数加上9，则得到的和恰好是原二位数的个位数与十位数交换位置后的数的2倍；原二位数是 4．如图，△ABC 中，CD 、CE 分别是AB 边上高和中线，CE=BE=1，又CE 的中垂线过点B ，且交AC 于点F ，则CD+BF 的长为 ． 5．如图，分别以Rt△XYZ 的直角边和斜边为边向形外作正方形 AXZF 、BCYX 、DEZY ，若直角边YZ=1，XZ=2，则六边形ABCDEF 的面积为 ． 6．如图，正方形纸片ABCD 的面积为1，点M 、N 分别在AD 、BC 上，且AM=BN=2/5，将点C 折至MN 上，落在点P 的位置。折 痕为BQ(Q 在CD 上)，连PQ ，则以PQ 为边长的正方形面积为 ． 7．三个不同的正整数a 、b 、c ，使a+b+c=13 3,且任意两个数的和都是完全平方数，则a 、 b 、c 是 ． 8．若实数a 、b 、c 、d 满足a 2+b 2+c 2+d 2=10，则y=(a-b)2+(a-c)2+(a-d)2+(b- c)2+(b-d)2+(c-d)2的最大值是 ． 9．已知实系数一元二次方程ax 2+2bx+c=O 有两个实根x 1、x 2，若a>b>c ，且a+b+c=0，则d=|x 1-x 2|的取值范围为 ． 1O ．如图，△ABC 中。AB=AC ，点P 、Q 分别在AC 、AB 上，且AP=PQ=QB=BC ，则∠A 的大小是 ． 二、(本题16分)如图PQMN 是平行四边形ABCD 的内接四边形 (1)若MP∥B C,NQ∥AB，求证：S 四边形PQMN =2 1 S □ABCD ； (2)若S 四边形PQMN =2 1 □ABCD ，问是否能推出MP∥Bc 或NQ∥AB?证明你的结论． 三、(本题l 6分)设n 是正整数，d 1 四、(本题l 8分)如图，已知△ABC，且S △ABC =1，D 、E 分别是AB 、AC 上的动点，BD 与CE 相交于点P ，使S BCDE = 9 16 S △BPC ，求S △DEP 的最大值． 2004年(宇振杯)上海市初中数学竞赛 一、填空题1．a<-2 2．x=6或x=4±3/3 3． 63 4．73/6 5． 14 6．3/7 提示：设PN与BQ交点为O，连OC， 7． 69，52，12 提示：设a+b=x2，b+c=y2，a+c=z2， 8． 40．提示： y=4(a2+b2+c2+d2)-(a+b+c+d)2 9．3 提示： 10．20。提示：作PD∥AB BD∥PQ连DC △PDC≌△APQ，正△BCD 二、(1) 提示：连MP或QN，(2)能提示：设一点P1使MP1∥BC， 三、若n为奇数，则d1，d2，d3，d4全为奇数，则d12+d22+d32+d42为偶数， 与n为奇数矛盾，故n为偶数，故d1=1．d2=2．若n为4的倍数，则d3，d4 必有一个为4，而n为偶数，则另一个为奇数，d12+d22+d32+d42除4的余数为2与题意不符，故n不是4的倍数．设d3=a(a为奇数)则d必为偶数，故d4=2a．则n=12+22+a2+(2a)2=5(a2+1)，可见n是5的倍数，故d3=5，d4=10，n=130． 四、s△DPE为最大为1/18 提示：设S△BPC=9k，S△BPE=ak，S△DPC=bk，S△AED=x． 2004年上海市南汇区初中数学选拔赛试题 一、填空题(每小题5分．共9 O 分) 1．a 的相反数是最大的负整数．B 的绝对值是最小的正整数?则a+b= ． 2．数轴上坐标是整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意两出一条长为2 00 4厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点是 ． 3．计算：)3()43(5)5()4(2 44 2 5---+----= ． 4．已知P ＝999999，Q ＝999 9 11，那么P 、Q 的大小关系是 ． 5．如果｜x|+x+y=10①．x+｜y ｜-y=12②，则x+y 的值是 ． 6．如果两个角的两边分别平行．且有一个角是另一个角的3倍少3 0°，则这两个角的度数分别为 ． 7．对任意两个实数a 、b ．用max(a 、b)表示其中较大的数．如：max(2,-4)=2,则方程x·max(x,-x)=2x+1的解是 ． 8．△A BC 中，若AB=5．AC=3，则BC 边上中线AD 的长的取值范围是 9．在△ABC 中．∠A=36°,∠ACB=72°,B D 平分∠ABC 交AC 于D ．CE ⊥BD 交AB 于E ，则图中等腰三角形的个数有 ． 10．如图，正比例函数y=x 和y=ax(a>0)的图像与反比例函数y=k/x(k>0)的图像分别交于A 点和C 点，若直角△AOB 和直角△COD 的面 积分别为S 1和S 2．则S 1和S 2的关系是 ． 11．已知一个凸六边形的六个内角都是120°，其连续四边的长依次是6．6 6 4，1O ，6 5 0.那么这个六边形的周长是 ． 12．如图。在四边形ABCD中，∠B=∠D=9 0°。∠A=6O°．AB=4,AD= 5，那么BC/CD= ．13．在△ABC中．已知AB=4，AC=6。BC=5，一直线分别交A B、A C于点E、 F．A E=3．且△AEF与原三角形相似，则EF的长为． 14．右表是某小镇的人口情况：根据表中的数据，预测该小镇2 0 2 0年的人 15．有如下一系列图形： 当n=1时，正方形ABCD分成2个等腰直角三角形．总计有 5条边； 当n=2时，正方形ABCD分成8个等腰直角三角形，总计有 l 6条边； 当n=3时，正方形ABCD分成l8个等腰直角三角形，总计有33条边； 按上述规律，当n＝2004时，总计有条边． 16．P是边长为1的正三角形ABC的边BC上一点，从P向AB作垂线PQ．Q 为垂足．延长QP与AC的延长线交于R。设BP＝x，△BPQ与△CPR的面积之 和为y，把y表示为x的函数是 (并指出上的取值范围)． 17．已知a、b为抛物线y=(x-c)(x-c-b)-2与x轴交点的横坐标，则 |a-c|+|c-b|的值是 (用a、b表示)． 18．如图的两个圆只有一个公共点A，大圆直径4 8厘米，小圆直径3 0 厘米，两只甲虫同时从A点出发，按箭头所指的方向以相同速度分别沿 两个圆爬行．问：当小圆上的甲虫爬了圈时．两只甲虫相距最 远． 二、解答题(每题10分，共3 0分) l9．联华超市对顾客实行优惠购物，规定如下：①若一次购物少于100O元。则不予优惠； ②若一次购物满100元，但不超过5 00元，按标价给予九折优惠；③若一次购物超过5 0 0元，其中500元部分给予九折优惠，超过5 00元的部分给予八折优惠．小李两次去该超市购物，分别付款9 9元和5 30元．现在小张决定一次去购买小李分两次购买的同样多的物品,小张需付多少钱? 20．当n=1．2,3，…，2004时，关于x的一元二次方程n(n+1)x2-(2n+1)x+1=O的根是an,bn，求： (1)|a1-b1|+|a2-b2|的值； (2)|a1-b1|+|a1-b2|+…+|a2004-b2004|的值． 2 1．张南线是上海浦东新开的一条公交线，从张江地铁站一南汇科教园区，全长4 2公 里，公交车跑完全程需60分钟．若每天6点开始从张江地铁站和南汇科教园区同时发车，以同样的速度，沿同一线路，每6分钟发一趟车． (1)问一辆从南汇科教园开往张江地铁站的公交车在途中最多会遇到几辆从张江地铁站开往南汇科教园区的公交车? (2)假如不考虑在两端的停留时间，公交公司应至少准备多少辆车? (3)由于要修磁悬浮轨道线，张南线有段时间在距张江地铁站的5公里至15公里处，往返线路不一样，而其余部分的往返线路是一样的，问在这种情况下，一辆从南汇科教园区开往张江地铁站的公交车在途中最多会遇到几辆从长江地铁站开往南汇科教园区的公交车? 2004年上海市南汇区初中数学选拔赛答案 一、填空题 1．O或2 2．2004或2005个 3． 18 4．P=Q 5．18/5 6．15°、15°或52．5°、127．5° 7．x=1+2或-l 8．1 9．7个 lO．S1=S2 11．2004 12． 2 提示：延长DC、AB交于点E． 13．5/2或15/4 14．2900每10年的增长量分别为60、120、180．所以下20年的增长量为240，300∴2360+240+300=2900． 15．12052056 横纵共有n(n+1)×2条边．斜线有1+2+3…+n+n-1+…+2+1=n(n+1)-n ∴共有3n(n+1)-n 当n=2004时 3n(n+1)-n=12052056． 16．y= 8 3(3x 2 -4x+2)(0≤x ≤1) 17．a-b 或b-a 18．4 易知当小网上的甲虫到A 点，大圆上的甲虫到A 所在大圆直径的另一端点．设小圆上的甲虫爬了n 圈．大圆上的走了 m/2圈,n 、m 为整数．30πn/48π=m/2∴5n/4=m n 有最小值为4． 二、解答题 19．小李第一次购物付款99元，可能有两种情况：①只买了99元的物品；②打折后付款99元． (1)若小李第一次只买了99元的物品．第二次530元分两部分：第一部分是500元的部分打九折付款450元，530-450=80元是超过500元的部分打八折后的。实际小李第二次购物600元．因此小张应购物699元，按一次性购物优惠标准，小张应付500×O ．9+199×O ．8=609．2元． (2)若小李第一次购物打折后付款99元。那么小李第一次实际购物99÷O ．9=110元，这样小李两次购物实际买了710元的物品．按一次性购物优惠标准，小张应付500×O ．9+210× O ．8=618元．所以小张应付609．2元或618元． 20．(1)2/3 (2)2004/2005 21．(1)依题意，张南线的运行方式可用下图表示： 从图可清楚地看出．一辆从南汇科教园区7点以后开往张江地铁站的公交车．在途中会遇到从对面开过来的本线路公交车19辆(不含在两端点的情况)．(2)从图还可看出，在南汇站至少应有10辆公交车。第11班即7点发出的车可用张江开过来的第一班乍；同理．张江站也至少应有10辆，所以公交公司至少要准备公交车20辆．(3)如下图阴影部分，由于往返线路不一样．每趟最多会有5辆车不会相遇，故这时最多会遇到对面开过来的本线路公交车14辆． 2006年全国初中数学竞赛试题及参考答案 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且仅有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分） 1.在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪. 刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是( ) (A)36(B)37(C)55 (D)90 2.已知，，且，则a的值等于( ) (A)－5(B)5(C)－9(D)9 3.Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线上，并且斜边AB平行于x轴. 若斜边上的高为h，则( ) (A)h＜1 (B)h＝1 (C)1＜h＜2 (D)h＞2 4.一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形，则至少要剪的刀数是( ) (A)2004 (B)2005 (C)2006 (D)2007 5.如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q，若QP＝QO，则 的值为( ) (A)(B) (C)(D) 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6.已知a，b，c为整数，且a＋b＝2006，c－a＝2005. 若a＜b，则a＋b＋c的最大值为___________. 7.如图，面积为的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c是整数，且b不能被任何质数的平方整除，则的值等于________. 初中数学竞赛考题分类汇编（一）数与式 例题1.化简3-232++=_____ 例题2、设a,b 是不相等的任意正数,又21b x a +=, 21a y b +=,则有x,y 这两个数一定( ) A.都不大于2 B .都小于2 C.至少有一个大于2 D.至少有一个小于2 例题3、设的平均数为M ，的平均数为N ，N ，的平均数为P ，若，则M 与P 的大小关系是（ ）。 （A ）M ＝P ；（B ）M ＞P ；（C ）M ＜P ；（D ）不确定。 例题4、a 、b 、c 为正整数，且4 32c b a =+，求c 的最小值。 例题5、已知333124++=a ，那么 32133a a a ++=_______ 例题6、已知a ，b ，c 为整数，且a ＋b=2006，c －a =2005．若a 例题7、设a ，b ，c 为互不相等的实数，且满足关系式 14 162222++=+a a c b ① 5 42--=a a bc ② 求a 的取值范围． 解：因为14162222++=+a a c b ，5 42--=a a bc ，所以 222221448454214162) ()()(+=++=--+++=+a a a a a a a c b ， 所以 ) (12+±=+a c b ． 又542--=a a bc ，所以b ，c 为一元二次方程 0 541222=--++±a a x a x )( ⑤ 的两个不相等实数根，故0 5441422>---+=?)()(a a a ，所以a >－1． 当a >－1时， 14162222++=+a a c b =0 712>++))((a a ． 另外，当b a =时，由⑤式有 0 541222=--++±a a a a a )(， 即 05242=--a a 或 056=--a ，解得，4 211±=a 或65-=a ． 当c a =时，同理可得65-=a 或4 211±=a ． 所以，a 的取值范围为a >－1且65- ≠a ，4211±≠a ． 例题8、已知abc ≠0，且a+b+c =0, 则代数式222 a b c bc ca ab ++的值是（ ） (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 １ 全国初中数学竞赛试题及答案 考试时间：2018年4月1日上午9：30—11：30 一、选择题：（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后括号里．不填、多填或错填都得0分） 1．方程组?????=+=+6 12y x y x 的实数解的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 解：选（A ）。当x ≥0时，则有y －|y|=6,无解；当x<0时，则y ＋|y|=18,解得：y=9,此时x=－3. 2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ） （A ）14 （B ）16 （C ）18 （D ）20 解：选（B ）。只用考虑红球与黑球各有4种选择：红球（2,3,4,5），黑球（0,1,2,3）共4×4＝16种 3．已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax ， 02 =++a cx bx ，02 =++b ax cx 恰有一个公共实数根，则ab c ca b bc a 2 22++的值为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 解：选（D ）。设这三条方程唯一公共实数根为t ，则20at bt c ++=，20bt ct a ++=，2 0ct at b ++= 三式相加得：2 ()(1)0a b c t t ++++=，因为210t t ++≠，所以有a+b+c=0,从而有3333a b c abc ++=， 所以 ab c ca b bc a 222++＝333 a b c abc ++＝33abc abc = 4．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相 交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经 过△ABC 的（ ） （A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心 解：选（B ）。如图△ADE 外接圆的圆心为点F ，由题意知：⊙O 与⊙F 且弧DmE ＝弧DnE ，所以∠EAB ＝∠ABE ，∠DAC ＝∠ACD ， 即△ABE 与△ACD 都是等腰三角形。分别过点E ，F 作AB ，AC 相交于点H ，则点H 是△ABC 的外心。又因为∠KHD ＝∠ACD ， 所以∠DHE+∠ACD ＝∠DHE+∠KHD ＝180°，即点H ，D ，C ，E 在同一个圆上， 也即点H 在⊙O 上，因而⊙O 经过△ABC 的外心。 5．方程2563 2 3 +-=++y y x x x 的整数解x (，)y 的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）无穷多 解：选（A ）。原方程可变形为：x(x+1)(x+2)+3x(x+1)=y(y-1)(y+1)+2，左边是6的倍数，而右边不是6的倍数。 1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一、选择题 本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． ． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不 同的实数，则22223y xy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35 ． 答（ ） ． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是 （A ） 10； （B ）12； （C ） 16； （D ）18． 答（ ） ． 方程0 12=--x x 的解是 （A ）251±； （B ）25 1±-； （C ）251±或251±-； （D ）251±-± ． 答（ ） ． 已知：)19911991(21 1 1n n x --=（n 是自然数）．那么 n x x )1(2+-，的值是 （Ａ）11991-； （Ｂ）1 1991--； （Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）1 1991)1(--n ． 答（ ） ． 若M n 1210099321=????? ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ （Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． 答（ ） ． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是 （Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ） ． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和 1 3=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ） 1 1=S 1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一、选择题 本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． １． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是 两两不同的实数，则2 22 23y xy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）3 5 ． 答（ ） ２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是 （A ） 10； （B ）12； （C ） 16； （D ）18． 答（ ） ３． 方程012=--x x 的解是 （A ） 251±； （B ）25 1±-； （C ） 251±或251±-； （D ）2 5 1±-±． 答（ ） ４． 已知：)19911991(2 11 1 n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是 （Ａ）11991-； （Ｂ）11991--； （Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ． 答（ ） ５． 若M n 1210099321=?????Λ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ （Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． 答（ ） ６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是 （Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ） ７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ， 32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ） ８． 在锐角ΔABC 中， 1= AC ，c AB =，ο60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则 （Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤2 1 ； 答（ ） （C ）c > 2； （D ）c = 2． 答（ ） 二、填空题 １．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ． ２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+a c b 32 ． 3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，q p n m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则 =++q p n m 22)2( ． ４．四边形ABCD 中，∠ ABC ο135=，∠BCD ο120=，AB 6=，BC 35-=， CD = 6，则AD = ． 第二试 1 1=S 3S =1 32=S 初中数学奥林匹克竞赛方法与试题大全 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 初中数学奥林匹克竞赛教程 初中数学竞赛大纲（修订稿） 数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。 《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。 1、实数 十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。 素数和合数，最大公约数与最小公倍数。 奇数和偶数，奇偶性分析。 带余除法和利用余数分类。 完全平方数。 因数分解的表示法，约数个数的计算。 有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理。 拆项、添项、配方、待定系数法。 部分分式。 对称式和轮换对称式。 3、恒等式与恒等变形 恒等式，恒等变形。 整式、分式、根式的恒等变形。 恒等式的证明。 4、方程和不等式 含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。 含绝对值的一元一次、二次方程的解法。 初中数学竞赛试题汇编文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08] C （第2 题 中国教育学会中学数学教学专业委员会 2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题 （本卷满分120分，考试时间120 分钟） 一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均为零分． 1. 从长度是2cm ，2cm ，4cm ，4cm 的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够 组成等腰三角形的概率是（ ） A ．4 1 B ．31 C ．2 1 D ．1 2．如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，AN ⊥BN 于N ，且AB =10，BC =15，MN =3，则△ABC 的周长为（ ） A ．38 B ．39 C ．40 D . 41 3．已知1≠xy ，且有09201152=++x x ，05201192=++y y ，则y x 的值等于（ ） A ．9 5 B ．59 C ．52011- D ．9 2011 - 4．已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆(如图所示)，已知两个月牙形(带 斜线的阴影图形)的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接 近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（ ） A ．6 B . 7 C ．8 D ．9 5．设a ，b ，c 是△ABC 的三边长，二次函数2 2 (2b a cx x b a y ----=在1=x 时取最小值 b 5 8-，则△ABC 是（ ） A ．等腰三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 6 照“先进后出”的原则，如图，堆栈（1）中的2 据b ，a ，取出数据的顺序是a ，b ；堆栈（2）的3数据e ，d ，c ，取出数据的顺序是c ，d ，e ，现在要从这两个堆栈中取出5 个数据（每次取出1个数据），则不同顺序的取法的种数有（ ） （1） （第6题 全国初中数学竞赛试题及参考答案 一．选择题（5×7'=35'） 1.对正整数n ，记n ！=1×2×...×n,则1!+2!+3!+...+10!的末位数是( )． A ．0 B ．1 C ．3 D ．5 【分析】5≥n 时，n ！的个位数均为0，只考虑前4个数的个位数之和即可，1+2+6+4=13，故式子的个位数是3. 本题选C ． 2.已知关于x 的不等式组??????? <-+->-+x t x x x 2 353 52恰好有5个整数解，则t 的取值范围是( )． 2116.-<<-t A 2116.-<≤-t B 2116.-≤<-t C 2 116.-≤≤-t D 【分析】20232 35352<<-????????<-+->-+x t x t x x x ，则5个整数解是15,16,17,18,19=x ． 注意到15=x 时，只有4个整数解．所以 2116152314-≤<-?<-≤t t ，本题选C 3.已知关于x 的方程x x x a x x x x 22222--=-+-恰好有一个实根，则实数a 的值有( )个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【分析】422222222+-=?--=-+-x x a x x x a x x x x ，下面先考虑增根： ⅰ）令0=x ，则4=a ，当4=a 时，0,1,022212===-x x x x （舍）； ⅱ）令2=x ，则8=a ，当8=a 时，2,1,0422212=-==--x x x x （舍）； 再考虑等根： ⅲ）对04222=-+-a x x ，270)4(84= →=--=?a a ，当21,272,1==x a . 故27, 8,4=a ，2 1,1,1-=x 共3个.本题选C ． 全国初中数学竞赛（海南赛区） 初 赛 试 卷 （本试卷共 4 页，满分 120 分，考试时间：3 月 22 日 8:30——10:30） 题号 一 二 三 总分 （1—10） （11—18） 19 20 得分 一、选择题（本大题满分 50 分，每小题 5 分） 在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号下的方格内 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 方程 1 - 1 x = 0 的根是2009 A. - 1 2009 B. 1 C. -2009 D. 2009 2009 2. 如果 a + b < 0 ，且b > 0 ，那么 a 2 与b 2 的关系是 A. a 2 ≥ b 2 B. a 2 ＞ b 2 C. a 2 ≤ b 2 D. a 2 ＜ b 2 3. 如图所示，图 1 是图 2 中正方体的平面展开图（两图中的箭头位置和方向是一致的），那么，图 1 中的线段 AB 在图 2 中的对应线段是 A. k B ． h C ． e D ． d 4. 如图，A 、B 、C 是☉O 上的三点，OC 是☉O 的半径，∠ABC=15°，那么∠OCA 的度数是 A ．75° B ．72° C ．70° D ．65° A 图 2 （第 3 题图） （第 4 题图） 5. 已知2a =3， 2b =6， 2c =12，则下列关系正确的是 A B C O B 图 1 y 2 A. 2a = b + c B. 2b = a + c C. 2c = a + b D. c = 2a + b 6. 若实数 n 满足 (n-2009 )2 + ( 2008-n )2 =1，则代数式(n-2009 ) ( 2008-n )的值是 D.1 1 B ． 2 C ．0 D. -1 7. 已知△ABC 是锐角三角形，且∠A＞∠B＞∠C，则下列结论中错误的是 A ．∠A＞60° B ．∠C＜60° C ．∠B＞45° D ．∠B＋∠C＜90° 8.有 2009 个数排成一行，其中任意相邻的三个数中，中间的数总等于前后两数的和，若第一个数是 1，第二个数是-1，则这 2009 个数的和是 A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．2 9.⊙0 的半径为 15，在⊙0 内有一点 P 到圆心 0 的距离为 9，则通过 P 点且长度是整数值的弦的条数是 A ．5 B ．7 C ．10 D ．12 10.已知二次函数 y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 的图象如图所示，记 p = 2a + b ， q = b - a ，则下列结论正确的是 A ． p ＞ q ＞0 B ． q ＞ p ＞0 C ． p ＞0＞ q D ． q ＞0＞ p （第 10 题图） 二、填空题（本大题满分 40 分，每小题 5 分） 11. 已知 | x |=3， =2，且 x + y ＜0，则 x y = . 1 1 12. 如果实数 a , b 互为倒数，那么 1 + a 2 + 1 + b 2 = . 13. 口袋里只有红球、绿球和黄球若干个，这些球除颜色外，其余都相同，其中红球 4 个， 2 绿球 6 个，又知从中随机摸出一个绿球的概率为 5 ，那么，随机从中摸出一个黄球的 概率为 . 14. 如图，在直线 y = -x + 3 上取一点 P ，作 PA ⊥ x 轴， PB ⊥ y 轴，垂足分别为 A 、B ，若矩形 OAPB 的面积为 4，则这样的点 P 的坐标是 . 15. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°, E, F 分别在 AC 、AB 上，且 AE=AF ，∠CDE=∠BAC，那么，图中长度一定与 DE 相等的线段共有 条 . 中国教育学会中学数学教学专业委员会 全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.） 1（甲）．如果实数a，b，c22 ||()|| a a b c a b c -++-++可以化简为（）． （A）2c a -（B）22 a b -（C）a -（D）a 1（乙）．如果22 a=- 1 1 1 2 3a + + + 的值为（）． （A）2 -（B2（C）2 （D）2 2（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y = x b （b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（）． （A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3）（D）（3，2） 2（乙）．在平面直角坐标系xOy中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（）．（A）10 （B）9 （C）7 （D）5 3（甲）．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121 a a b a b ++++ ，，，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）． （A）1 （B） 21 4 a- （C） 1 2 （D） 1 4 3（乙）．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线， △ABC是等边三角形．30 ADC ∠=?，AD = 3，BD = 5， 则CD的长为（）． （A）2 3（B）4 （C）5 2（D）4.5 4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（）． 初三数学竞赛试题 4、某商店经销一批衬衣，进价为每件m元，零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是（） A. m(1+a%)(1-b%)元 B. m?a%(1-b%)元 C. m(1+a%)b%元 D. m(1+a%b%)元 解：选C。设全天下雨a天，上午晴下午雨b天，上午雨下午晴c天，全天晴d天。由题可得关系式a=0①，b+d=6②，c+d=5③，a+b+c=7④，②＋③－④得2d-a=4，即d＝2，故b=4，c=3，于是x＝a+b+c+d=9。 解：出发1小时后，①、②、③号艇与④号艇的距离分别为 各艇追上④号艇的时间为 对＞＞＞有，即①号艇追上④号艇用的时间最小，①号是冠军。 解：设开始抽水时满池水的量为，泉水每小时涌出的水量为，水泵每小时抽水量为，2小时抽干满池水需n台水泵，则 由①②得，代入③得： ∴，故n的最小整数值为23。 答：要在2小时内抽干满池水，至少需要水泵23台 解：设第一层有客房间，则第二层有间，由题可得 由①得：，即 由②得：，即 ∴原不等式组的解集为 ∴整数的值为。 答：一层有客房10间。 解：设劳动竞赛前每人一天做个零件 由题意 解得 ∵是整数∴＝16 （16＋37）÷16≈3.3 故改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的3.3倍。 初中数学竞赛专项训练（2） （方程应用） 一、选择题： 答：D。 解：设甲的速度为千米/时，乙的速度为千米/时，根据题意知，从出发地点到A的路程为千米，到B的路程为千米，从而有方程： ，化简得，解得不合题意舍去）。应选D。 答：C。 解：第k档次产品比最低档次产品提高了（k－1）个档次，所以每天利润为 所以，生产第9档次产品获利润最大，每天获利864元。 答：C。 解：若这商品原来进价为每件a元，提价后的利润率为， 则解这个方程组，得，即提价后的利润率为16%。 答：B。 B C M （第2题图） 中国教育学会中学数学教学专业委员会 2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题 （本卷满分120分，考试时间120 分钟） 一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均为零分． 1. 从长度是2cm ，2cm ，4cm ，4cm 的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是（ ） A ．4 1 B ．31 C ．2 1 D ．1 2．如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，AN ⊥BN 于N ，且AB =10，BC =15，MN =3，则△ABC 的周长为（ ） A ．38 B ．39 C ．40 D. 41 3．已知1≠xy ，且有09201152=++x x ，05201192=++y y ，则y x 的值等于（ ） A ．9 5 B ．59 C ．52011- D ．9 2011 - 4．已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆(如图所示)，已知两个月牙形(带斜 线的阴影图形)的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图中两个弓形 （带点的阴影图形）面积之和的是（ ） A ．6 B. 7 C ．8 D ．9 5．设a ，b ， c 是△ABC 的三边长，二次函数2 2 (2b a cx x b a y ----=在1=x 时取最小值 b 5 8 -，则△ABC 是（ ） A ．等腰三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D 6 照“先进后出”的原则，如图，堆栈（1）中的2 据b ，a ，取出数据的顺序是a ，b ；堆栈（2）的3 数据e ，d ，c ，取出数据的顺序是c ，d ，e ，现在要从这两个堆栈中取出5 个数据（每次取出1个数据），则不同顺序的取法的种数有（ ） A ．5种 B ．6种 C ．10种 D ．12种 （1） （第6题图） 初三数学竞赛试题(含答案) 2009年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题 参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共5小题，每小题7分，满分35分）（1）已知（），则的值为（B）． （A）（B）（C）（D） 【解】，． 又，∴.故选（B）． （2）若关于的方程的一个根大于且小于，另一个根大于 2且小于3，则m的取值范围是（C）． （A）（B）（C）（D） 【解】根据题意，由根的判别式，得．设， 由已知，画出该二次函数的大致图象，观察图象， 当时，有，即； 当时，有，即； 当时，有，即； 当时，有，即． 综上，.故选（C）． （3）某段公路由上坡、平坡、下坡三个等长的路段组成，已知一辆汽车在三个路段上行驶的平均速度分别为，，，则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为（D）． （A）（B）（C）（D） 【解】设这段公路长为3s，则三个不同路段的长度均为s，此辆汽车在各路段上行驶 的时间分别为（），则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为 ．故选（D）． （4）已知边长为1的正方形ABCD，E为CD边的中点，动点P在正方形ABCD边上沿运动，设点P经过的路程为，△的面积为，则关于的函数的图象大致为（A）． 【解】由已知，在边长为1的正方形ABCD中， 如图①，当点P在AB边上运动时，（），∴； 如图②，当点P在BC边上运动时， ，即（），有， ∴ =； 如图③，当点P在线段CE上运动时， ，有（）， ∴． 故选（A）． （5）已知矩形ABCD中，AB=72，AD=56，若将AB边72 等分，过每个分点分别作AD的平行线；将AD边56等分，过每个分点分别作AB的平行线，则这些平行线把整个矩 全国初中数学竞赛初赛试题汇编 （1998-2018） 目录 1998年全国初中数学竞赛试卷 (1) 1999年全国初中数学竞赛试卷 (6) 2000年全国初中数学竞赛试题解答 (9) 2001年TI杯全国初中数学竞赛试题B卷 (14) 2002年全国初中数学竞赛试题 (15) 2003年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题 (17) 2004年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题 (25) 2005年全国初中数学竞赛试卷 (30) 2006年全国初中数学竞赛试题 (32) 2007年全国初中数学竞赛试题 (38) 2008年全国初中数学竞赛试题 (46) 2009年全国初中数学竞赛试题 (47) 2010年全国初中数学竞赛试题 (52) 2011年全国初中数学竞赛试题 (57) 2012年全国初中数学竞赛试题 (60) 2013年全国初中数学竞赛试题 (73) 2014年全国初中数学竞赛预赛 (77) 2015年全国初中数学竞赛预赛 (85) 2016年全国初中数学联合竞赛试题 (94) 2017年全国初中数学联赛初赛试卷 (103) 2018 年初中数学联赛试题 (105) 1998年全国初中数学竞赛试卷 一、选择题：（每小题6分，共30分） 1、已知a 、b 、c 都是实数，并且c b a >>，那么下列式子中正确的是（ ） （Ａ）bc ab >（Ｂ）c b b a +>+（Ｃ）c b b a ->-（Ｄ） c b c a > 2、如果方程()0012>=++p px x 的两根之差是1，那么p 的值为（ ） （Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）5 3、在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD=4，CE=6，那么△ABC 的面积等于（ ） （Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）18 4、已知0≠abc ，并且 p b a c a c b c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过第（ ）象限 （Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四 5、如果不等式组? ??<-≥-080 9b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a 、 b ）共有（ ） （Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个 二、填空题：（每小题6分，共30分） 6、在矩形ABCD 中，已知两邻边AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，那么PE+PF=___________。 7、已知直线32+-=x y 与抛物线2x y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积等于___________。 8、已知圆环内直径为acm ，外直径为bcm ，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm 。 9、已知方程()015132832222=+-+--a a x a a x a （其中a 是非负整数），至少有一个整数根，那么a=___________。 10、B 船在A 船的西偏北450处，两船相距210km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离是___________km 。 三、解答题：（每小题20分，共60分） 11、如图，在等腰三角形ABC 中，AB=1，∠A=900，点E 为腰AC 中点， 点F 在底边BC 上，且FE ⊥BE ，求△CEF 的面积。 A B C E F 1、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（ ）整除。 A. 111 B. 1000 C. 1001 D. 1111 解：依题意设六位数为abcabc ，则abcabc ＝a ×105 ＋b ×104 ＋c ×103 ＋a ×102 ＋b ×10 ＋c ＝a ×102 （103 ＋1）＋b ×10（103 ＋1）＋c （103 ＋1）＝（a ×103 ＋b ×10＋c ）（103 ＋1）＝1001（a ×103＋b ×10＋c ），而a ×103＋b ×10＋c 是整数，所以能被1001整 除。故选C 方法二：代入法 2、若2001 11981 11980 11 ? ?++ =S ，则S 的整数部分是____________________ 解：因1981、1982……2001均大于1980，所以9022 19801980 1221==? >S ，又1980、 1981……2000均小于2001，所以22219022 20012001 1221== ? < S ，从而知S 的整数 部分为90。 3、设有编号为1、2、3……100的100盏电灯，各有接线开关控制着，开始时，它们都是关闭状态，现有100个学生，第1个学生进来时，凡号码是1的倍数的开关拉了一下，接着第二个学生进来，由号码是2的倍数的开关拉一下，第n 个（n ≤100）学生进来，凡号码是n 的倍数的开关拉一下，如此下去，最后一个学生进来，把编号能被100整除的电灯上的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯还亮着。 解：首先，电灯编号有几个正约数，它的开关就会被拉几次，由于一开始电灯是关的， 所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的，因为只有平方数才有奇数个约数，所以那些编号为1、22、32、42、52、62、72、82、92、102共10盏灯是亮的。 4、某商店经销一批衬衣，进价为每件m 元，零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店 １ 2018年全国初中数学竞赛试题及答案 考试时间：2018年4月1日上午9：30—11：30 一、选择题：（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后括号里．不填、多填或错填都得0分） 1．方程组?????=+=+6 12y x y x 的实数解的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 解：选（A ）。当x ≥0时，则有y －|y|=6,无解；当x<0时，则y ＋|y|=18,解得：y=9,此时x=－3. 2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ） （A ）14 （B ）16 （C ）18 （D ）20 解：选（B ）。只用考虑红球与黑球各有4种选择：红球（2,3,4,5），黑球（0,1,2,3）共4×4＝16种 3．已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax ， 02 =++a cx bx ，02 =++b ax cx 恰有一个公共实数根，则 ab c ca b bc a 2 22++的值为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 解：选（D ）。设这三条方程唯一公共实数根为t ，则20a t b t c ++ =，20bt ct a ++=，2 0ct at b ++= 三式相加得：2 ()(1)0a b c t t ++++=，因为210t t ++≠，所以有a+b+c=0,从而有333 3a b c abc ++=， 所以 ab c ca b bc a 222++＝333 a b c abc ++＝33abc abc = 4．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相 交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经 过△ABC 的（ ） （A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心 解：选（B ）。如图△ADE 外接圆的圆心为点F ，由题意知：⊙O 与⊙F 且弧DmE ＝弧DnE ，所以∠EAB ＝∠ABE ，∠DAC ＝∠ACD ， 即△ABE 与△ACD 都是等腰三角形。分别过点E ，F 作AB ，AC 相交于点H ，则点H 是△ABC 的外心。又因为∠KHD ＝∠ACD ， 所以∠DHE+∠ACD ＝∠DHE+∠KHD ＝180°，即点H ，D ，C ，E 在同一个圆上， 也即点H 在⊙O 上，因而⊙O 经过△ABC 的外心。 5．方程2563 2 3 +-=++y y x x x 的整数解x (，)y 的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）无穷多 解：选（A ）。原方程可变形为：x(x+1)(x+2)+3x(x+1)=y(y-1)(y+1)+2，左边是6的倍数，而右边不是6的倍数。 2020年全国初中数学竞赛历年竞赛试题以及参考答案 一 一、选择题 1．设a ＜b ＜0，a 2＋b 2＝4ab ，则b a b a -+的值为【 】 A 、3 B 、6 C 、2 D 、3 2．已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2＋b 2＋c 2 －ab －bc －ca 的值为【 】 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3．如图，点 E 、 F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点 G ，则ABCD AGCD S S 矩形四边形等于【 】 A 、65 B 、54 C 、43 D 、32 A B C D E F G 4．设a 、b 、c 为实数，x ＝a 2－2b ＋ 3π，y ＝b 2－2c ＋3π，z ＝c 2－2a ＋3 π，则x 、y 、z 中至少有一个值【 】 A 、大于0 B 、等于0 C 、不大于0 D 、小于0 5．设关于x 的方程ax 2 ＋(a ＋2)x ＋9a ＝0，有两个不等的实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，那么a 的取值范围是【 】 A 、72-＜a ＜52 B 、a ＞52 C 、a ＜72- D 、11 2-＜a ＜0 6．A 1A 2A 3…A 9是一个正九边形，A 1A 2＝a ，A 1A 3＝b ，则A 1A 5等于【 】 A 、22b a + B 、22b ab a ++ C 、 ()b a +2 1 D 、a ＋b 二、填空题 7．设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋a ＝2的两个实数根，则(x 1－2x 2)(x 2－2x 1)的最大值为 。 8．已知a 、b 为抛物线y ＝(x －c)(x －c －d)－2与x 轴交点的横坐标，a ＜b ，则b c c a -+-的值为 。 9．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝600，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ，且PA ＝8，PC ＝6，则PB ＝ 。 A B C P 10．如图，大圆O 的直径AB ＝acm ，分别以OA 、OB 为直径作⊙O 1、⊙O 2，并在⊙O 与⊙O 1和⊙O 2的空隙间作两个等圆⊙O 3和⊙O 4，这些圆互相内切或外切，则四边形O 1O 2O 3O 4的面积为 cm 2 。 初中数学竞赛试题及 答案 全国初中数学竞赛（海南赛区） 初 赛 试 卷 （本试卷共4页，满分120分，考试时间：3月22日8:30——10:30） 题号 一 二 三 总分 （1—10） （11— 18） 19 20 得分 一、选择题（本大题满分50分，每小题5分） 在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号下的方格内 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 方程 ?Skip Record If...?的根是?Skip Record If...? A. ?Skip Record If...? B. ?Skip Record If...? C. -2009 D. 2009 2. 如果?Skip Record If...?，且?Skip Record If...?，那么?Skip Record If...?与?Skip Record If...?的关系是 A ．?Skip Record If...?≥?Skip Record If...? B ．?Skip Record If...?＞?Skip Record If...? C ．?Skip Record If...?≤ ?Skip Record If...? D ．?Skip Record If...?＜?Skip Record If...? 3. 如图所示，图1是图2中正方体的平面展开图（两图中的箭头位置和方向是 一致的），那么，图1中的线段AB 在图2中的对应线段是 A ．?Skip Record If...? B ．?Skip Record If...? C ．?Skip Record If...? D ．?Skip Record If...? 4. 如图，A 、B 、C 是☉O 上的三点，OC 是☉O 的半径，∠ABC=15°，那么∠OCA 的度数是 A ．75° B ．72° C ．70° D ．65°历年全国初中数学竞赛试题及参考答案
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