2019年江西省名校
联合考试
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,满分150分，考试时间120分钟
2. 答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填图在答题卡相应的位置。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合{
}
{
}
2,0322
<=≤-+=x x
B x x x A ，则=?B A （ ）
A ． {}13≤≤-x x
B ． {}10≤≤x x
C ． {}13<≤-x x
D ． {}
01≤≤-x x 2．复数12z i =+，若复数1z ， 2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则12z z =（ ） A ．5- B ．5 C ．34i -+ D ．34i -
3．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ）
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.
A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上
B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C ．互联网行业中从事产品岗位的90后人数超过总人数的5%
D ．互联网行业中从事运营岗位的90后人数比80前人数多
4．已知数列{}n a 为各项均为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若
471=a a ，且2
5
274=
+a a ，则5S =（ ） A ． 32 B ． 31 C ． 30 D ． 29
5.执行如图的程序框图，则输出x 的值是（ ）
A ．2018
B ．2019
C ．12
D ．2
6．在△ABC 中，→
→
→
→
→
→
→
+===AC AB BP PD AP DC BD μλ,2,，则=+μλ （ ） A ． 31- B ．31 C ．21- D ．2
1 7.我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（ ） A ．
3100 B ．3
104 C ．27 D ．18 8．2019年4月25日-27日，北京召开第二届“一带一路”国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为 ( ) A. 198 B. 268 C. 306 D. 378 9．已知x ∈[－π，π]，则“x ∈]22[π
π，-”是“sin （sinx ）＜cos （cosx ）成立”的（ ）
A ．充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 10．在ABC ?中，
3
45→
→→→→→?=
?=?AB
CA CA BC BC AB ，则=C B A sin :sin :sin （ ） A ．8:7:9 B ．8:7:9 C ．7:8:6 D ．7:8:6
11．过双曲线2
2
115
y x -=的右支上一点P ，分别向圆()221:44C x y ++=和圆
()2
22:41C x y -+=作切线，切点分别为,M N ，则22
PM PN -的最小值为（ ）
A ．10
B ．13
C ．16
D ．19
12．不等式1ln 3+≥--x x a e x x
对任意x ∈（1，+∞）恒成立，则实数a 的取值范围（ ） A ．（﹣∞，1﹣e ]
B ．（﹣∞，2﹣e 2
] C ．（﹣∞，﹣2] D ．（﹣∞，﹣3]
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.
13．若?=π
0sin 4dx x n ，n
x x ??? ??
-3
12的展开式中常数项为________． 14．已知实数y x ,满足??
?
??≤≤--≥-+x y y x y x 0220
22则y x z +=的最大值为________．
15．设x x x f 2cos 32sin )(+=，将)(x f 的图像向右平移）（0>??个单位长度，得到
)(x g 的图像，若)(x g 是偶函数，则?的最小值为________．
16．设函数()3
2133
f x x x x =
+-，
若方程()()2||10f x t f x ++=有12个不同的根，则实数t 的取值范围为________．
三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分) 已知数列{}n a 有0≠n a ，n S 是它的前n 项和，31=a 且
2,32122
≥+=-n S a n S n n n ． （1）求证：数列{}1++n n a a 为等差数列. （2）求{}n a 的前n 项和n S .
18．(本小题满分12分) 已知空间几何体ABCDE 中，BCD ?与CDE ?均为边长为2的等边三角形，ABC ?为腰长为13的等腰三角形，平面⊥CDE 平面BCD ，平面⊥ABC 平面BCD .
（1）试在平面BCD 内作一条直线，使直线上任意一点F 与A 的连线AF 均与平面CDE 平行，并给出详细证明 （2）求直线BE 与平面AEC 所成角的正弦值
每年七月份，我国J 地区有25天左右的降雨时间，如图是J 地区S 镇2000-2018年降雨量（单
位：mm ）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：
（1）假设每年的降雨天气相互独立，求S 镇未来三年里至少有两年的降雨量不超过350mm 的概率；
（2）在S 镇承包了20亩土地种植水果的老李过去种植的
甲品种水果，平均每年的总利润为31.1万元．而乙品种水果的亩产量m （kg /亩）与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种水果的单位利润为32-0.01×m （元/kg ），请帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的水果可以使利润ξ（万元）的期望更大？（需说明理由）；
20．(本小题满分12分)
已知两定点)0,3
1
(),0,31(B A -，点M 是平面内的动点，且4=+++→→→→BM BA AM AB ,记M
的轨迹是C
（1）求曲线C 的方程；
（2）过点)0,1(1F 引直线l 交曲线C 于N Q ,两点，设)10(≠>=λλλ且FN QF ，点Q 关于x 轴的对称点为R ，证明直线NR 过定点.
x e x x f 32)(=已知函数
（1）若0 1)(< x f （2）若0>x ，恒有1ln 2)3()(+++≥x x k x f ，求实数k 的取值范围. 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P (a ，1)，其参数方程为??? x ＝a ＋2t ， y ＝1＋2t (t 为参数， a ∈R )，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0． (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； (2)已知曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点，且|P A |＝2|PB |，求实数a 的值． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数13)(----=m x m x x f （1）若1=m ，求不等式1)( （2）对任意的R x ∈，有)2()(f x f ≤，求实数m 的取值范围. 联考试卷答案： 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分． 13．112 14. 4 15. 125π 16. 34 (,2)15 -- 小题详解： 1.B 解析：{}{} 20,13<≤=≤≤-=x x B x x A 2.A 于虚轴对称，在复平面内的对应点关21,z z ,22 i z +-=则有 ()()12z z 22i i =+-+ 245 i =-=- ，故选A. 3．C 解析：产品岗位90后人数：05 .00364.0065.0*56.0<= 4. B 解析：31,2 1 ,41,2574====S q a a 5．D 解答略 6． A 解析：P 为ABC ?的重心，,12 3 )1(23,)1(32=++++=→→→ μλμλAC AB AD 31-=+μλ 7.B 解析：原图为正四棱台，3 104 2*)36*4364(31= ++= V 8．A 分两种情况，若选两个国内媒体一个国外媒体，有212 63290C C A = 种不同提问方式； 若选两个外国媒体一个国内媒体，有123 633108C C A =种不同提问方式， 所以共有90+108=198种提问方式，故选A. 9. C 当x ∈]22[π π，-时，sinx ＋cosx 2π< 所以0≤sinx ＜2π－cosx ≤2π 于是sin （sinx ）＜sin （ 2 π －cosx ）＝cos （cosx ），充分性成立. 取x ＝－ 23 π，有sin （sinx ）＝sin （－2）＝－sin 2＜0 cos （cosx ）＝cos （－12）＝cos 1 2 ＞0所以sin （sinx ）＜0＜cos （cosx ）也成立，必要性不成立 故选C. 1D 10．B 解析：t AB CA t CA BC t BC AB t AB CA CA BC BC AB 3,4,5,3 45=?=?=?=?=?=?→→→→→→→ →→→→→ t a b c t c a b t b a c 6,8,10222222222=-+=-+=-+，得 ==c b a C B A ::sin :sin :sin 8:7:9 11．B 如图所示，根据切线，可有 2 2 2 21241PM PN PO PO -=--+()()()12 1 212323 PO PO PO PO PO PO =+--=+-，12128PO PO OO +≥=，所以2 2 PM PN -最小值为15. 12.D 不等式x ﹣3 e x ﹣alnx ≥x +1，∴alnx ≤x ﹣3 e x ﹣x ﹣1；又x ∈（1，+∞），lnx ＞0，∴a ≤ 对?x ∈（1，+∞）恒成立；设f （x ）＝ ，x ∈（1，+∞），则x ﹣ 3 ?e x ＝?e x ＝e x ﹣3lnx ≥x ﹣3lnx +1，∴x ﹣3 e x ﹣x ﹣1≥x ﹣3lnx +1﹣x ﹣1＝﹣3lnx ，∴f （x ） ＝≥＝﹣3，当x ﹣3lnx ＝0时等号成立；又方程x ﹣3lnx ＝0在（1，+ ∞）内有解，∴f （x ）min ＝﹣3，即a 的范围是（﹣∞，﹣3]．故选：D ． 13. 112 解析：8sin 40==?π dx x n ，8 312??? ?? -x x 的展开式中常数项为112 14.4 解答略 15.125π 解析：)3 2sin(22cos 32sin )(π +=+=x x x x f ，将)(x f 的图像向右平移 ） （0>??个单位长度，)3 22sin(2)(π ?+-=x x g ，Z k k k g ∈+-=+=+-±=+-=,212,232,2)32sin(2)0(ππ?πππ?π?，） （0>?12 5π ?= 16.34 (,2)15-- 由函数的解析式可知f ′(x )=x 2+2x ?3=0，得x =?3，x =1， 由f ′(x )>0得x >1或x 由f ′(x )<0得?3 则函数的极大值为f (?3)=9,函数的极小值为()5 13 f =-， 根据函数的图象可知，设|f (x )|=m ,可知m 2+tm +1=0，原方程有12个 不同的根，则m 2+tm +1=0方程应在50,3?? ??? 内有两个不同的根，设h (m )=m 2+tm +1， 则2 5035{023 40 h t t ??> ??? <-，求解可得实数t 的取值范围是34 215t -<<-. 17.解：（1）当2≥n 时，0,3))((32112 122 ≠=+-+=---n n n n n n n n n a a n S S S S S a n S ， 213)(n S S n n =+-，21)1(3)(+=++n S S n n ，)12(31+=++n a a n n ， 当1=n 时，921=+a a 成立。…………5分 （2）693121=-==a a a ，， 当n 为偶数， ) (2 32) 123(23))12(73(3)()()(214321n n n n n a a a a a a S n n n +=-+=-+++=++++++=- 当n 为奇数， ) ()(1321n n n a a a a a S +++++=- 3)2(2 32) 125(21 33))12(95(332+-+=-+-+=-++++=n n n n n 综上：???????+=+-+==为偶数为奇数n n n n n n S n ),(2 3,3)2(2 322 …………12分 18.解：(1)如图所示:取BC 和BD 的中点H 、G ，连接HG 。HG 为所求直线。 CD HG //,平面⊥CDE 平面BCD ，平面⊥ABC 平面BCD .BC AH ⊥, 得BCD AH 平面⊥，CDE AH 平面//。则CDE AHG 平面平面//，所以直线HG 上任意一点F 与A 的连线AF 均与平面CDE 平行. …………4分 (2)以CD 中点O 为坐标原点，OD 所在直线为x 轴，OB 所在直线为Y 轴，OE 所在直线为 Z 轴,建立空间直角坐标系。 )3,3,0(),32,2 3 ,21(),0,3,0(),3,0,0(),0,0,1(-=--→BE A B E C , 设 ?? ? ??=-=-=?? ???=++-=?=+=?⊥=→ →→ →→133 323 2103,),,(z y x z y x EA n z x CE n AEC z y x n 平面1326 213 634cos sin = ==θα.…………12分 19.解：（1）频率分布直方图中第四组的频率为1-100×（0.002+0.004+0.003）=0.1， 则J 地区S 镇每年的降雨量超过350mm 的概率为50×0.003+0.1=0.25， 所以J 地区S 镇每年的降雨量不超过350mm 的概率为： 1-0.25=0.75；所以J 地区S 镇未来三年里至少有两年的降雨量不超过350mm 的概率为 P =××+× =；…………5分 （2）根据题意，总利润为20m （32-0.01m ）（元），其中m =500，700，600，400； 则总利润ξ（万元）的数学期望为 E （ξ）=27×0.2+35×0.4+31.2×0.3+22.4×0.1=5.4+14.0+9.36+2.24=31（万元）， 因为31.1＞31，所以老李来年应该种植甲种水果，可使总利润的期望更大．…………12分20． 21.证明：（1）∵函数f（x）＝x2e3x，∴f′（x）＝2xe3x+3x2e3x＝x（3x+2）e3x． 由f′（x）＞0，得x＜﹣或x＞0；由f′（x）＜0，得﹣， ∴f（x）在（﹣∞，﹣）内递增，在（﹣，0）内递减，在（0，+∞）内递增，∴f（x）的极大值为f（﹣）＝， ∴当x＜0时，f（x）≤f（﹣）＝＜＝．…………4分 解：（2）∵x2e3x≥（k+3）x+2lnx+1，∴k≤，x＞0， 令g（x）＝，x＞0，则g′（x）＝， 令h（x）＝x2（1+3x）e3x+2lnx﹣1，则h（x）在（0，+∞）上单调递增， 且x→0+时，h（x）→﹣∞，h（1）＝4e3+2lnx﹣1， ∴存在x0∈（0，1），使得h（x0）＝0， ∴当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减， 当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增， ∴g（x）在（0，+∞）上的最小值是g（x0）＝， ∵h（x0）＝+2lnx0﹣1，得＝， 令 ＝t 0，则2lnx 0+3x 0＝lnx 0，且φ（1）＝0，∴t ＝1， ∴g （x 0）＝ ＝， ∴实数k 的取值范围是（﹣∞，0]．…………12分 22.解 (1)C 1的参数方程为??? x ＝a ＋2t ， y ＝1＋2t ，消参得普通方程为x －y －a ＋1＝0， C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0，两边同乘ρ得ρ2cos 2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0，得y 2＝4x ． 所以曲线C 2的直角坐标方程为y 2＝4x ．…………5分 (2)曲线C 1的参数方程可转化为??? ?? x ＝a ＋2 2t ， y ＝1＋2 2t (t 为参数，a ∈R )，代入曲 线C 2：y 2＝4x ，得12t 2－2t ＋1－4a ＝0，由Δ＝(－2)2－4×1 2×(1－4a )>0，得a >0， 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 由|P A |＝2|PB |得|t 1|＝2|t 2|，即t 1＝2t 2或t 1＝－2t 2， 当t 1＝2t 2时，??? t 1＝2t 2， t 1＋t 2＝22， t 1·t 2＝2(1－4a )， 解得a ＝1 36； 当t 1＝－2t 2时，??? t 1＝－2t 2， t 1＋t 2＝22， t 1·t 2＝2(1－4a )， 解得a ＝9 4， 综上，a ＝136或9 4．…………10分 23.（1） 4 1)(---=x x x f ，解得)3,(-∞ …………5分 (2)当21,13->>+m m m 时，31,132≤+≥m m ，3 121≤<-m ， 当2 1 ,13- ==+m m m 时，成立 当21,13-<<+m m m 时，3 1 ,132≥+≤m m ，不合 综上，3 1 21≤≤-m …………10分
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