x 2 + y 2 - 1 3 1- y 2
《高等数学》2 期末复习题
一、填空题：
1. 函 数 z = + ln(3 - x 2 - y 2 ) 的 定 义 域 是 1≦
X^2+Y^2<3 . 2.设 z = (1 + x ) y
, 则
∂z =
∂y
(1+ x ) y
ln(1+ x ) .
3.函数 z = ln(1+ x 2 + y 2 ) 在点(1, 2) 的全微分dz = 1
dx + 2 dy
(1,2)
3 3
4．设 f (x + y , xy ) = x 2 + y 2 , 则 f (x , y ) =
.
设 f (x + y , y
) = x 2 - y 2 , 则 f (x , y ) = .
x
5. 设 z = e u sin v 而 u = xy v = x + y 则 ∂z =
∂y
e xy [x sin(x + y ) + cos(x + y )]
6. 函数 z = x 2 + y 2 在点（1，2）处沿从点（1，2）到点（2，
2 + ）的方向
导数是
1+ 2
2
2 y 1
7. 改换积分次序
⎰0
dy ⎰
y 2
f (x , y )dx =
； ⎰0 dy ⎰
y -1
f (x , y )dx = .
8. 若 L 是抛物线 y 2 = x 上从点 A (1,-1) 到点 B (1,1) 的一段弧，则⎰
xydx =
L
9. 微分方程(1+ e 2x )dy + ye 2x dx = 0 的通解为
.
二、选择题： 1.
lim ( x , y )→(2,0) tan(xy )
y 等于 （
）（上下求导）
A ．2，
B. 1
2
C.0
D.不存在
2. 函 数 z = 的定义域是（ D ）
A． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0} C. {(x , y ) y ≥ 0, x 2 ≥ y }
B. {(x , y ) x 2 ≥ y } D． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0, x 2 ≥ y }
3 x - y
2
3.
∂f (x , y ) | ∂x
( x
0 ,
y 0 ) = （ B ）
A. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 , y 0 )
∆x
B. lim
∆x →0
f (x 0 + ∆x , y 0 ) - f (x 0 , y 0 )
∆x
C. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 + ∆x , y 0 )
∆x
D. lim
∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 ) ∆x
5. 设 z = F (x 2 + y 2 ) ，且 F 具有导数，则
∂z + ∂z
= （D ）
∂x ∂y
A. 2x + 2 y ；
B. (2x + 2 y )F (x 2 + y 2 ) ；
C. (2x - 2 y )F '(x 2 + y 2 ) ；
D. (2x + 2 y )F '(x 2 + y 2 ) .
6. 曲线 x = a cos t ， y = a sin t ， z = amt ，在 t = 处的切向量是 （ D ）
4
A ． (1,1, 2)
B. (-1,1, 2)
C. (1,1, 2m )
D. (-1,1, 2m )
7. 对于函数 f (x , y ) = x 2 + xy ，原点(0,0)
（ A ）
A ．是驻点但不是极值点
B.不是驻点
C.是极大值点
D.是极小值点
8．设 I= ⎰⎰
5
D
x 2 + y 2 -1dxdy ， 其中 D 是圆环1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 所确定的闭区域， 则必有（ ） A ．I 大于零 B.I 小于零
C.I 等于零
D.I 不等于零，但符号不能确定。
9. 已知 L 是平面上不包含原点的任意闭曲线，若曲线积分
，则 a 等于 （
）.
A -1
B 1
C 2
D -2
⎰
L
xdx - aydy = 0
x 2 + y 2
10. 若 L 为连接(1,0) 及(0,1) 两点的直线段，则曲线积分⎰L (x + y )ds =（
）
A ．0
B.1
C. D.2
11.设 D 为 x 2 + y 2 ≤ 2 y , 则⎰⎰ f (x 2 + y 2 )dxdy = （
）
D
1
⎰ ⎰
⎩
2
A. ⎰0
dy ⎰0 f (x 2 + y 2
)dx ； B. 0 d ⎰0
f (r 2 ) rdr ；
2 sin
C. d
f (r 2
) rdr ；
D. ⎰ dx ⎰ f (x 2 + y 2 )dy .
12. 微分方程e x ( y ' + y ) = 1 的通解为（
）
A. ye x = c ；
B. ye -x = x + c ；
C. y = (x + c )e -x ；
D. y = cxe -x
13.（ ）是微分方程 y ' + y ' = e -x 在初始条件 y x =0 = 1, y ' x =0 = -1下的特解.
A. y = c - c xe -x ；
B. y = -xe -x ；
C. y = 1- 2xe -x ；
D. y = 1- xe -x .
1
2
三、计算题：
1. 设 z = f (e x sin y , x 3 + y 3 ) ，求
∂z
及∂z
，其中 f 具有一阶连续偏导数. ∂x ∂y
⎧x + y = u + v 2. 设⎨x sin v = y sin u ， 求 ∂u ， ∂v ∂x ∂x
3. 求旋转抛物面
z = x 2 + y 2 -1 在点(2,1,4) 处的切平面及法线方程。
4．求函数 f (x , y ) = x 3 - y 3 + 3x 2 + 3y 2 - 9x 的极值
2 y - y 2
2 ⎰
1
2
-1 0
