帝国法师极限输出王者智元法详解
以前写过一篇类似的帖子，但当时由于号还未成品，所以概述的可能不是很详细。如今，号已成品，不敢藏私，借此挑战赛之际特与大家分享。
何为智元？即拥有偏高魔法攻击与中高元命于一身的极限输出职业
再进入正文之前想说点话，此种职业其实大致搞到400左右元命6000左右攻即可应付大部分副本了，但为什么有些人要追求更为华丽的数据？其实都是虚荣心在作怪。论坛也有几篇关于智元的
帖子，可是不够详细，遂发此贴，希望对喜爱法师的友友有点帮助
废话不多说了，进入正题
本次大致阐述三种智元的养成
一、偏高元命概述
二、偏高攻击概述
三、中性属性概述。
下面我以中性属性为范例为大家讲解各种智元的养成。（注：装备为一二三大点各种元素做排列）配装
肩部：魅影护肩（完美）or强能黑翼（完美）or黑月衬肩（完美）
头部：嫉妒南瓜帽or完美MJ帽or黑月兜帽(完美)
衣服：嫉妒之袍or完美雷衣or黑月长袍(完美)
项链：魔法强能石项链（没得选）
耳环：嫉妒耳环or6星智力
武器：完美马仗(巨龙虽然好，但不是智元用的)
护符：武器大师护符（对智元来说比嫦娥符好的不是一点点）
护腕：完美白手or黑月手套（完美）
护腿：完美嫦娥or黑月护腿（完美）
鞋子：黑月布鞋(完美)or完美MJ舞靴or完美黑月
戒指：最终幻想（首推）or暴怒or智增
背部：完美冥火（这个简直是神器）or黑月披风or搜魂帆（备用）
坐骑：完美血剑or完美GAGAor夜色陆行鸟（实在没钱就用这个吧）
技能
如果想追求极限输出了自己把快速思考删了点别的技能，我这是副本用的
打石与属性
我是打的9件12元命3件27智力1件16％魔攻，我建议把智力换掉全打魔攻。按照我这种打石我们来计算下属性，当然都是百爆情况下。
一配装属性
基础元命100＋127＋106＋97＝432
实际元命432＋（432×66％）＝717元命。
二配装元命
基础元命100＋72＋106＋97＝375
实际元命375＋（375×48％）＝555元命
三配装元命
基础元命100＋162＋106＋97＝465
实际元命465＋（465×11％）＝516元命
下面贴图三配装属性一张（由于武器大师护符是5星的，所以低了5元命，不影响数据计算）
其他属性计算（按一二三配装概述）
基础智力：441智力（统一）
加成后的智力：441＋（441×52％）＋81（石头）＝751智力or441＋（441×122％）＋81＝1060智力or441＋（441×53％）＋81＝755智力
以上计算有极小误差，但不影响数据。
基础魔攻：686＋1126＝1812or686＋480＋1590＝2756or686＋1132＋480＝2298
最终魔攻：一配装：1812＋（1812×305％）＝7338魔攻
二配装：2756＋（2756×332％）＝11905魔攻
三配装：2298＋（2298×372％）＝10405魔攻
下面贴上我的属性图，装备与附魔有出入，故属性有出入，不影响正常数据
最终输出数据
一配装：百爆717元命7338魔攻
二配装：555元命11905魔攻
三配装：515元命10405魔攻
后记：别说不抗打，真正输出的职业有几个是抗打的？我不需要你夸我写的多好多好，至少再可以给你带来帮助的时候你能无私的顶下我，也不白费我码字三个小时的辛苦。
什么？你说不知道有多暴力？哦，天啊，看好了。
2 例如：x 2 3x x 2 3x 2 3x 2 2x 3x 2 2x 4x 2 5x 观察发现 2 3x 2 3x 2x 4x 2 5x 1，故可设 x 2 3x 2 3x 2 2x v ，原方程变为u 2 uv v 2 ，方程由繁变简，可得解? 第 6 讲利用换元法解方程 、方法技巧 （一） 换元法 解方程是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的 . （二） 运用换元法解方程，主要有三种类型：分式方程、无理方程、整式（高次）方程 解分式方程、无理方程、 整式（高次）方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、 无理方程化为有理方程、整式（高次）方程逐步降次 （三） 换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的， 不同的方程就有不同的换元方 法，因此， 这种方法灵活性大，技巧性强?恰当地换元，可将复杂方程化简，以 便寻求解题的途径. 常用换元方法有局部换元、均值换元、倒数换元、常数换元等. 82，使方程变得易解，这是均值换元法 例如: 5 — 6 0，可使用局部换元法, x 1 ②x 2 0,变形后也可使用局部换元法，设 2x 2 ~2 x x 2 1 19 —，看着很繁冗，变形整理成 6 x 2 x 2 2 x 2 x 19 一 —时，就可使用局部换兀法 6 82 , 可设 口 x 2，方程变成 ⑤6x 4 5x 3 38x 2 5x 符合与中间项等距离的项的系数相等, 如6x 4 与6 , 5x 3与5x 系数相等，可构造 x 1换元，是倒数换元法. x ⑥x 3 2、.3x 2 3x .3 1 0 ,不易求解，若反过来看，把设 x 看作已知数, 把.3设为设t ，则方程就变成x t 2 2x 2 1 t 数字换元法不常用，但不失为一种巧妙的解题方法 有时根 据方程各部分特点可设双元，达到化繁为简, 求解的目的
数学中使用放缩法和夹逼准则来求极限的例子精编W O R D版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】
数学中使用放缩法和夹逼准则来求极限的例子 例1：求极限 . 1 sin ... 2 1 2 sin 1 sin lim ? ? ? ? ?? ? ? ? ? + + + + + + ∞ → n n n n n n n π π π [分析]由于是求数列的极限，即 ∑ = ∞ →+ n i n i n n i 1 1 sin lim π ，其分子和分母同时都在变化，这时 可以尝试把分母变成不变的，即此题中将分母中含有i的项略去，同时配合放缩法进行求 解。由于原数列分母随着i趋向到n，分母都会小于()1+n,他的倒数，即() 1 1 + n小于 除了第一项的其他项，所以 ∑∑ == ∞ → ∞ →+ ≤ + n i n i n n i n n i n n i 11 1 sin lim 1 sin lim π π 。 同理，原数列分母随着i趋向到n，分母都会大于()n，他的倒数，即() n 1 都会大于其 他项，所以 ∑∑ == ∞ → ∞ → ≤ + n i n i n n n n i i n n i 11 sin lim 1 sin lim π π 由于是无穷多项进行相加，运算过程可以相当于积分的运算即：
令n i x =，1 1 +=n dx (最左边的式子)，n dx 1=(最右边的式子)，得：?∑?≤+≤=∞→1 01 10)sin(1sin lim )sin(dx x i n n i dx x n i n πππ 即：πππ21sin lim 21 ≤+≤∑=∞→n i n i n n i 所以原题的极限为： π2 . 例2：利用夹逼定理证明().211 (2) 111lim 2 +=??? ??+--+-+-∞→k k k n n n n k n n [分析]观察到括号中的表达式：??? ??+--+-+-k n n n n k 1...2111都是连续减的形式，一般情况 是想办法把它变换成加的形式。观察到表达式：??? ??+--+-+-k n n n n k 1 (2) 111中有k 个n 1相 加，所以可以分别和后面k 个相减项相结合可以得到： ???? ????? ??+-++??? ??+-+??? ? ?+-k n n n n n n 11 ...211111，所以可以得到：()∑=+k i i n n i 1 ，同上面例题一样，分子和分母同时都在变动，可以尝试把分母固定不变。所以可得： 所以可得： 所以根据夹逼定理可以得到：原式的极限为： ()2 1k k +
合并法、换元法解二元一次方程组 （一）知识教学点 1．掌握用合并法、换元法解二元一次方程组的步骤． 2．熟练运用合并法、换元法解二元一次方程组． （二）能力训练点 1．培养学生的观察分析能力; 2．训练学生的运算技巧，养成检验的习惯． （三）德育渗透点 消元，化未知为已知的数学思想． （四）美育渗透点 通过本节课的学习，渗透化归的数学美，以及方程组的解所体现出来的奇异的数学美． 二、学法引导 1．教学方法：引导发现法、练习法，指导法． 2．学生学法：在前面已经学过二元一次方程组的解法，故在求解过程中始终应抓住消元的思想方法． 三、重点、难点、疑点及解决办法 （－）重点 使学生会用合并法、换元法解二元一次方程组． （二）难点 灵活运用合并法、换元法的技巧． （三）疑点 如何“消元”，把“二元”转化为“一元”．
四、课时安排 一课时． 五、教具学具准备 电脑 投影仪． 六、教学过程 一导 运用导学案 自主学习 （一）解二元一次方程组的基本思路是消元，即通过运用代入法和加减法把二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求出方程组的解.而对于具有某些特点的二元一次方程组，如果仍按常规方法不仅运算量大，而且容易出错.若能根据题目的特点，适时改进方法，不仅可以减少运算量，而且可以又快又准地解出方程组. （二）自主探究请同学们根据提示用合并法解二元一次方程组 （略） 设计意图：以学生的兴趣为主，由易至难，逐层递进，逐步完成各个任务。 （三）总结 二研 合作学习 研究探讨 （一）例题解析 （1） ???-=+=+② 10y 65x ① 1056y x
（2） ???=+-=-+-② 72009)-7(2010y 9)4(2x ① 3)20092010(3)92(2y x 设计意图：合作探究，探索比较，发现规律，使每位学生参与其中，成为课堂的主人，提高解题技巧 （二）练习题 （1）???=+=+② 79y 137x ① 61713y x （2）???=+=+② 74y 1911x ① 1061119y x （3）?????-=--+=-++.1106,3106y x y x y x y x （4）??? ????=--+=-++.86)32(55)1(3,36)32(5)1(2y x y x 设计意图：竞赛完成，激发学习热情，巩固强化 三验 课堂小测验（略） 设计意图：对学生完成情况及时了解，及时总结，对课堂教学及时反思，对下一步的教学进行适时，适当的调整。并对学生的解题情况进行总体的评价，要本着激励的原则，使学生有成就感。
数学中使用放缩法和夹逼准则来求极限的例子 例1：求极限 .1sin ...212sin 1sin lim ????????? ?++++++∞→n n n n n n n πππ [分析]由于是求数列的极限，即∑=∞→+n i n i n n i 11sin lim π ，其分子和分母同时都在变 化，这时可以尝试把分母变成不变的，即此题中将分母中含有i 的项略去，同时配合放缩法进行求解。由于原数列分母随着i 趋向到n ，分母都会小 于()1+n ,他的倒数，即()11+n 小于除了第一项的其他项，所以 ∑∑==∞→∞→+≤+n i n i n n i n n i n n i 111sin lim 1sin lim π π。 同理，原数列分母随着i 趋向到n ，分母都会大于()n ，他的倒数，即() n 1都会大于其他项，所以∑∑==∞→∞→≤+n i n i n n n n i i n n i 11sin lim 1sin lim π π 由于是无穷多项进行相加，运算过程可以相当于积分的运算即：
令n i x =，1 1+=n dx (最左边的式子)，n dx 1=(最右边的式子)，得：?∑?≤+≤=∞→10110)sin(1sin lim )sin(dx x i n n i dx x n i n ππ π 即：ππ π21sin lim 21≤+≤∑=∞→n i n i n n i 所以原题的极限为：π2. 例2：利用夹逼定理证明().211...2111lim 2 +=??? ??+--+-+-∞→k k k n n n n k n n [分析]观察到括号中的表达式：?? ? ??+--+-+-k n n n n k 1...2111都是连续减的形式，一般情况是想办法把它变换成加的形式。观察到表达式： ??? ??+--+-+-k n n n n k 1 (2) 111中有k 个n 1相加，所以可以分别和后面k 个相减项相结合可以得到：??? ? ????? ??+-++??? ??+-+??? ??+-k n n n n n n 11...211111，所以可以得到：()∑=+k i i n n i 1，同上面例题一样，分子和分母同时都在变动，可以尝试把分母固定不变。所以可得： 所以可得： 所以根据夹逼定理可以得到：原式的极限为：()21k k +
万方数据
巧用换元法求解极限 作者：林群 作者单位：韩山师范学院数学与信息技术系 刊名： 科技信息 英文刊名：SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION 年，卷(期)：2009，""(6) 被引用次数：0次 参考文献(3条) 1.华中理工大学教学系高等数学 2.同济大学教学系高等数学 2007 3.吉艳霞用等价无穷小量代换求极限的探讨[期刊论文]-运城教育学院学报 2007(02) 相似文献(10条) 1.期刊论文林清华探讨洛必达法则求解极限-湖北广播电视大学学报2008,28(12) 极限作为重要的思想方法和研究工具贯穿于高等数学课程的始终.本文通过对洛必达法则求极限的深入探讨,针对不同题型归纳总结出具体的化简转化的方法;利用数列极限和函数极限的关系间接地应用洛必达法则求数列未定式,充分体现了洛必达法则应用的广泛性,给求极限提供了强有力的工具. 2.期刊论文王悦关于利用洛必达法则求极限的几点探讨-科技信息2009,""(2) <高等数学>是大学中的基础课程,极限是学生一开始就要接触的最基本的知识.其中有一类未定式的极限不能用"商的极限等于极限的商"这一法则,而要用洛必达法则.洛必达法则内容很简单,使用起来也方便,但在具体使用过程中,一旦疏忽,解题就可能出错.对于初学者来讲,若盲目使用此法则,会导致错误.本文就利用该法则解题中的几点注意作以分析与探讨,并举例说明. 3.期刊论文杨黎霞使用洛必达法则求极限的几点注意-科教文汇2008,""(25) 如果当x→a或x→∞时,两个函数∫(x)与F(x)都趋于零或都趋于无穷大,那么极限lim x→a x→∞∫(x)/F(x)可能存在,也可能不存在,洛必达法则是计算此类未定式极限行之有效的方法,然而,对于本科一年级的初学者来讲,若盲目使用此法则,会导致错误.本文就使用该法则解题过程中的几点注意作了分析与探讨. 4.期刊论文吴维峰.Wu Weifeng对等价无穷小代换与洛必达法则求极限的探讨-潍坊教育学院学报2008,21(2) 本文对用等价无穷小代换与洛必达法则求函数的极限进行了探讨. 5.期刊论文于祥洛必达法则应用误区的分析-北京电力高等专科学校学报2010,28(2) 洛必达法则是在柯西中值定理的基础之上推出的一种求不定式极限的重要定理,它的应用避免了因机械使用极限四则运算法则"商的极限等于极限的商"而产生的错误.但不可忽视的是由于对洛必达法则的使用不当,在计算不定式极限时同样得不到正确结果,究其因为主要是对洛必达法则的使用条件把握不够准确.本文结合具体例子对洛必达法则应用中易产生的误区进行了探讨和分析. 6.期刊论文夏滨利用洛必达法则求极限的方法与技巧探讨-现代企业教育2008,""(4) 本文主要通过一些典型例题介绍利用洛必达法则求极限的方法与技巧,从而更好地解决未定式问题. 7.期刊论文汤茂林.TANG Mao-lin用洛必达法则求不定式极限的技巧-职大学报2007,""(2) 本文介绍用洛必达法则求不定式极限的技巧. 8.期刊论文张波.李秀菊.赵广华关于"洛必达法则"求未定式极限的几点思考-网络财富2009,""(11) 本文通过洛必达法则的内客,给出了应用此法财的几类需要注意的情况. 9.期刊论文冯志敏.薛瑞使用洛必达法则的实质及其注意事项-中国科技信息2009,""(15) 本文主要总结了洛必达法则在求未定式极限中的应用,需要注意的问题,并深入分析了在使用洛必过法则的时候实质是对无穷小或无穷大进行降阶,从而经过有限次的使用法则将未定式转化成一般的极限问题,再利用极限的四则运算法则求出极限.另外指出在使用的时需要注意条件的满足,与其它求极限的方法如无穷小的替换的结合. 10.期刊论文刘蒲凰洛必达法则应用两则-高等数学研究2004,7(2) 指出洛必达法则在证明二重极限不存在时的一个应用,并指出了洛必达法则的一个推广 本文链接：https://www.doczj.com/doc/0e10701617.html,/Periodical_kjxx200906374.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：bac87a45-fe3a-4be7-ae02-9dcd008a87c0 下载时间：2010年8月9日
2.2.5《解一元二次方程—换元法》典例解析与同步训练 【知识要点】 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化， 这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母 来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元 的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 【典例解析】 例1．用适当方法解下列方程： （1）2x2﹣5x﹣3=0 （2）16（x+5）2﹣9=0 2 2 2 ． （3）（x+x）+（x+x）=6 例题分析：本题考查了一元二次方程的几种解法：①公式法；②直接开平方法；③换元法（1）用公式法解一元二次方程，先找a，b，c；再求△；再代入公式求解即可； （2）用直接开平方法解一元二次方程，先将方程化为（x+5）2= ，直接开方即可；（3）设t=x2+x，将原方程转化为一元二次方程，求解即可． 解：（1）∵a=2，b=﹣5，c=﹣3，△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×（﹣3）=25+24=49， ∴x= = = ， ∴x1=3，x2=﹣； （2）整理得，（x+5）2=， 开方得，x+5=±， 即x1=﹣4 ，x2=﹣5 ， 2 +x，将原方程转化为2 ， （3）设t=x t+t=6 因式分解得，（t﹣2）（t+3）=0， 解得t1=2，t2=﹣3． 2 2 ∴x+x=2或x+x=﹣3（△＜0，无解）， ∴原方程的解为x1=1，x2=﹣2．
第6讲 利用换元法解方程 一、方法技巧 （一）换元法解方程是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的. （二）运用换元法解方程，主要有三种类型：分式方程、无理方程、整式（高次）方程. 解分式方程、无理方程、整式(高次)方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、无理方程化为有理方程、整式（高次）方程逐步降次. （三）换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的，不同的方程就有不同的换元方 法，因此，这种方法灵活性大，技巧性强．恰当地换元，可将复杂方程化简，以便寻求解题的途径． 常用换元方法有局部换元、均值换元、倒数换元、常数换元等． 例如：① 256011x x x x ????++= ? ?++? ??? ，可使用局部换元法，设1x y x =+ ②22110x x x x +++=，变形后也可使用局部换元法，设1x t x += ③222212219116 x x x x x x x +++++=+++，看着很繁冗，变形整理成222211191116 x x x x x x +++++=+++时，就可使用局部换元法. ④()()443182x x +++=，可设()()3122x x y x +++==+，方程变成 ()()441182y y ++-=，使方程变得易解，这是均值换元法. ⑤4326538560x x x x +-++=，符合与中间项等距离的项的系数相等， 如46x 与6，35x 与5x 系数相等，可构造1x x + 换元，是倒数换元法. ⑥32310x x +++=，不易求解，若反过来看，把设x 看作已 t ，则方程就变成()() 2232110x t x t x ?+++-=， 数字换元法不常用，但不失为一种巧妙的解题方法. 有时根据方程各部分特点可设双元，达到化繁为简，求解的目的. 例如：
求极限的方法 具体方法 ⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限 定理1①：若极限)(lim 0 x f x x →和)(lim x g x x →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ? 当0x x →时也存在且 ①[])()()()(lim lim lim 0 .0 x g x f x g x f x x x x x →→→±=± ②[])()()()(lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→?=? 又若0)(lim 0 ≠→x g x x ，则 ) () (x g x f 在0x x →时也存在，且有 )()()() (lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→= 利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如 ∞ ∞、00 等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。 " 例1：求24 22 lim ---→x x x 解：原式=()()()022 22lim lim 22 =+= -+-- - →→x x x x x x ⒉用两个重要的极限来求函数的极限 ①利用1sin lim =→x x x 来求极限 1sin lim 0 =→x x x 的扩展形为： 令()0→x g ，当0x x →或∞→x 时，则有
()()1sin lim 0=→x g x g x x 或()()1sin lim =∞ →x g x g x 例2：x x x -→ππ sin lim 解：令t=x -π.则sinx=sin(-π t)=sint, 且当π→x 时0→t 故 1sin sin lim lim 0 ==-→→t t x x t x ππ ~ 例3：求() 11 sin 21 lim --→x x x 解：原式=()()()()()()()211sin 1111sin 1221 21lim lim =--?+=-+-+→→x x x x x x x x x ②利用e x x =+∞→)1 1(lim 来求极限 e x x =+∞ →)1 1(lim 的另一种形式为e =+→α α α1 )1(lim .事实上，令 .1 x =α∞→x .0→?α所以=+=∞ →x x x e )11(lim e =+→ααα1 0)1(lim 例4: 求x x x 1 )21(lim +→的极限 解：原式=221 210)21()21(lim e x x x x x =?? ?+????+→ 利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。 ⒊利用等价无穷小量代换来求极限 所谓等价无穷小量即.1) () (lim =→x g x f x x 称)(x f 与)(x g 是0x x →时的等价无穷小量，记作)(x f )(~x g .)(0x x →.
换元法解方程 西安市第八十五中学江树基 换元法是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的．换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的，不同的方程就有不同的换元方法，因此，这种方法灵活性大，技巧性强．恰当地换元，可将复杂方程化简，以便寻求解题的途径．常用方法有均值代换、多元代换、常数代换等． 解分式方程、无理方程、高次方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、无理方程化为有理方程、高次方程逐步降次，实现这一基本思想的方法有多种，其中换元法是常用的一种重要方法，本文注重研究用换元法解方程的技能、技巧． 一、分式方程 分析：这个方程左边两个分式互为倒数关系，抓住这一特点，可设 ∴（y-1）2=0，解得y=1． 经检验，x 1，x 2 都是原方程的根． 分析：观察方程的分母，发现各分母均是关于x的二次三项式，仅常数项不同，抓住这一特点，可设y=x2+2x． 解：设y=x2+2x，则原方程可化为 即y2-y-12=0，解得y1=4，y2=-3．
x2＋2x=-3，无实数解． 例3 解方程 分析：观察方程的分母，发现三个分母都是关于x的二次三项式，仅一次项不同，抓住这一特点，可设y=x2＋2x＋10． 解：设y=x2＋2x＋10，则原方程可化为 解得y =9x，y2=-5x. 1 由x2＋2x＋10=9x，解得x =5，x2=2． 1 由x2＋2x＋10=-5x，解得x =-5，x4=-2． 3 经检验知，它们都是原方程的解． 注：以上三个例子可看出，换元时必须对原方程进行仔细观察、分析，抓住方程的特点，恰当换元，化繁为简，达到解方程的目的． 二、无理方程 两边立方，并整理得 y3-2y2＋3y=0，即y（y2-2y＋3）=0， ∴y=0或y2-2y＋3=0，无解． 经检验知x=-1是原方程的解． 可设两个未知数，利用韦达定理解． 原方程为m＋n=1，又∵（m＋n）3=m3＋n3＋3mn·（m+n）=4+3mn=1，∴mn=-1．
夹逼准则在求极限中的应用 数学学院数学与应用数学（师范）专业 2008级敖欢 指导教师刘学文 摘要：极限的思想方法贯穿于整个数学分析中，一些基本概念如微分、积分的定义都与极限有密不可分的联系。极限是高等数学的理论基础和重要工具。不同形式的极限求解的方式各不相同，解题思路不同所得到的效果也是不一样的。本文主要举例讨论并分析夹逼准则的应用，特别是其在求极限中的应用。 关键词：极限；夹逼准则；函数；数列 Abstract：The thinking method of limit throughout the mathematical analysis, some basic concepts such as differential, integral and limit are inseparable links. Limit of higher mathematics is the theoretical foundation and important tool. Different forms of the solution to the limit the way is also different, different thoughts of solving the effect is not the same.This paper mainly discussed by examples and analysis of squeeze rule applications, especially in the limit of application. Key words：Limit;Squeeze rule;Function;Series 极限是从初等数学跨向高等数学的一座重要桥梁。在青少年阶段或者更早吸收了解极限先进思想和概念，无疑对他们的人生发展有着不可估量的影响。极限理论是数学分析的入门和基础，是人们把握无限的金钥匙。不论是函数的连续性、导数、定积分还是无穷级数这些数学分析的核心内容，无一例外地都是通过极限来定义和推演的。鉴于其在高等数学中的特殊重要地位，极限亦成为数学考研的必考内容之一。 极限概念最初产生于求曲边形的面积与求曲线在某一点处的切线斜率这两个基本问题。我国古代数学家刘徽利用圆的内接正多边形来推算圆面积的方法—割圆术，就是用极限思想研究几何问题。刘徽说：“割之弥细，所失弥少。割之又割，
求极限的方法 具体方法 ⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限 定理1①：若极限)(lim 0 x f x x →和)(lim x g x x →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ? 当0x x →时也存在且 ①[])()()()(lim lim lim 0 .00 x g x f x g x f x x x x x →→→± = ± ②[])()()()(lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→?= ? 又若0)(lim 0 ≠→x g x x ，则 ) ()(x g x f 在0x x →时也存在，且有 ) ()() ()(lim lim lim x g x f x g x f x x x x x x →→→= 利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如 ∞ ∞、 0等情况，都不能直接用四则运算法则， 必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。 例1：求2 42 2 lim --- →x x x 解：原式=()() ()022 22lim lim 2 2 =+= -+-- - →→x x x x x x ⒉用两个重要的极限来求函数的极限 ①利用1sin lim =→x x x 来求极限 1sin lim =→x x x 的扩展形为： 令()0→x g ，当0x x →或∞→x 时，则有 ()() 1sin lim =→x g x g x x 或()() 1sin lim =∞ →x g x g x
换元法 在因式分解中,把一个较复杂的数学式子的某一部分看成一个整体,用一个字母去代替这一部分,使原式变成含有新元的简单式子,在分解后再将新元换出,这种方法叫换元法. 1.10)3)(4(22+++-+x x x x 2.24)4)(3)(2)(1(-++++x x x x 3.20)5)(1)(3(2-+-+x x x 4.90)384)(23(22-++++x x x x 5.)(4)(22222y x xy y xy x +-++ 6.2)1()2)(2(-+-+-+xy y x xy y x 7.4482--a a 8.yz z y x 2222+-- 9. 644+x 10. 2214176y xy x -- 11. 581337622-++--y x y xy x 12.1433181892022-+--+y x y xy x 13. 2820152-+--y x xy x 14.12)2)(1(22-++++x x x x
15.1)1(2)(3---++y x xy y x 16. 222222)1(2)1)(16(5)16(2++++++++x x x x x x 17. 已知乘法公式 a 5+b 5=(a+b)(a 4-a 3b+a 2b 2-ab 3+b 4)，a 5-b 5=(a-b)(a 4+a 3b+a 2b 2+ab 3+b 4),利用或不利用上述公式，分解因式：x 8+x 6+x 4+x 2+1. 五.待定系数法 1. 192256112--x x 2.744272234+---x x x x 3.156234+-+-x x x x 六.因式定理 余数定理 ).()()(a f a x x f 的余数等于 除以多项式- 因式定理 整除能被则即的值为零，多项式如果a x x f a f x f a x -==)(,0)( )(,).)(a x x f -含有因式（即
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利用夹逼准则求极限 夹逼准则的使用方法： 定理1 用夹逼准则求极限，就是将数列放大和缩小。要求放大和缩小后的极限容易求出，此时常将其放大到最大项的整数倍，缩小到最小项的整数倍，并且此时两者极限相等，即两者是等价无穷小，此时就可以得到原数列极限的值。 题型1 夹逼准则常用于求若干项和的极限 推论1 极限变化过程中最小项与最大项之比为1时可以使用夹逼准则求其极限。 证明：不妨设最小项为)(x α，最大项为)(x β，数列有n 项，则整数倍为n 倍， 由定理1可知.) ()(lim 1)()(lim x x x n x n βαβα== 例1.求)21...4121(lim 222n n n n n ++++++∞→. 解：.11lim 22lim 22lim 2 121 lim 222222==++=++=++∞ →∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n 由推论1，.1221...41212122222→+≤++++++≤+←n n n n n n n n n 由夹逼准则可得所求极限为1. 例2.求).1...2111(lim 222n n n n n n n n +++++++++∞ →
解：.11lim 1 1 1 lim 2222=++++=++++∞→∞→n n n n n n n n n n n n 由推论1，.01 1...2111022222→++≤+++++++++≤++←n n n n n n n n n n n n n n 由夹逼准则可得所求极限为0. 例3.求)....2211(lim 222n n n n n n n n n +++++++++∞ → 解： 由推论1， 2 1112)1(...221112)1(2122222→++?+<+++++++++<++?+←n n n n n n n n n n n n n n n n n 由夹逼准则可得所求极限为2 1. 由以上例题可以看出用夹逼准则求极限的关键在于对数列进行恰当的放缩 接下来的例题稍有难度，难处仍难在放缩的技巧 例4.求! 2lim n n n ∞→. 解：).(42...322212!20放到第二项最大！ n n n n ≤????=< 且0! 4lim =∞→n n .故由夹逼准则可知.0!2lim =∞→n n n 例5.求).1(lim >∞→ααn n n
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利用夹逼准则求极限 夹逼准则的使用方法： 定理1用夹逼准则求极限，就是将数列放大和缩小。要求放大和缩小后的极限容易求出，此时常将其放大到最大项的整数倍，缩小到最小项的整数倍，并且此时两者极限相等，即两者是等价无穷小，此时就可以得到原数列极限的值。 题型1夹逼准则常用于求若干项和的极限 推论1极限变化过程中最小项与最大项之比为1时可以使用夹逼准则求其极限。 证明：不妨设最小项为)(x α，最大项为)(x β，数列有n 项，则整数倍为n 倍， 由定理1可知.)() (lim 1)()(lim x x x n x n βαβα== 例1.求)21 (4) 12 1( lim 2 2 2 n n n n n ++ +++ +∞ →. 解：.11lim 22lim 22lim 2 121 lim 22 2222==++=++=++∞ →∞→∞→∞ →n n n n n n n n n n n n n 由推论1，.12 21 (4) 12 1212 2 2 2 2 →+≤ ++ +++ +≤ +← n n n n n n n n n 由夹逼准则可得所求极限为1. 例2.求).1 ...2111(lim 222n n n n n n n n +++++++++∞→ 解：.11lim 1 1 1lim 2222=++++=++++∞→∞→n n n n n n n n n n n n 由推论1，.01 1...2111022222→++≤+++++++++≤++←n n n n n n n n n n n n n n 由夹逼准则可得所求极限为0. 例3.求)....2211(lim 222 n n n n n n n n n +++++++++∞→ 解： 由推论1， 2 1112)1(...221112)1(2122222→++?+<+++++++++<++?+←n n n n n n n n n n n n n n n n n 由夹逼准则可得所求极限为2 1 . 由以上例题可以看出用夹逼准则求极限的关键在于对数列进行恰当的放缩
求极限的方法总结 1．约去零因子求极限 例1：求极限11lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】4)1)(1(lim 1) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x 习题：2 33 lim 9x x x →-- 22121lim 1x x x x →-+- 2．分子分母同除求极限 例2：求极限13lim 3 2 3+-∞→x x x x 【说明】∞∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323=+-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除．．．．．．．．x ．的最高次方；．．．．．．且一般．．．x ．是趋于无穷的．．．．．． ??????? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 习题 3232342 lim 753x x x x x →∞+++- 2324n 1lim n n n n n →∞+++- 1+13l i m 3n n n n n +→∞++（-5)（-5) n n n n n 323)1(lim ++-∞→
3．分子(母)有理化求极限 例1：求极限) 13(lim 22+-++∞→x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2222222 2+++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 1 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 例2：求极限30 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】 x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 41 sin tan lim 21sin tan lim sin 1tan 11 lim 30300 =-=-+++=→→→x x x x x x x x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 习题：2 lim 1 x x x x →∞ +-+ 12 13lim 1 --+→x x x 4.用函数的连续求极限（当函数连续时，它的函数值就是它的极限值．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ） 22 034lim 2x x x x →+++ 【其实很简单的】 5.利用无穷小与无穷大的关系求极限 例题 3 3lim 3x x x →+- 【给我最多的感觉，就是：当取极限时，分子不为 0而分母为0时 就取倒数！】 6. 有界函数与无穷小的乘积为无穷小 例题 s i n l i m x x x →∞ , arctan lim x x x →∞
函数极限的换元法 函数极限的换元法是一种相当实用的方法. 正如积分换元法在积分计算中有着十分广泛的应用，函数极限的换元法在函数极限的计算中也有着十分广泛的应用. 运用函数极限的换元法，我们能够很快地求出许多复杂函数的极限. 下面就来介绍并证明函数极限换元法的有关定理. 一、x 趋向于,,∞+∞-∞ 这个法则的内涵是很丰富的，它其实上包含18个具体的法则. 首先必须指 出的是，000,,,,,t t t +- ∞+∞-∞都是形式上的符号， 我们必须把它们代入后再理解. 之所以这么做，是为了法则表示的简洁，从而应用起来更有效率. 法则1告诉我们的是，把K 任意取定一个符号，然后再把T 任意取定一个符号，所得到的命题是成立的. 也就是说，法则1告诉我们有18条法则是成立的. 下面的法则2和法则3会采用类似的记法. 二、x 趋向于000,,x x x +- 这类情形的换元法法则比较复杂. 我们有法则2和法则3. 需要指出的是， 为了形式上的简洁和记忆的方便，我们说x 向于0x + 是指x 从右边趋向于x 0，也就 该法则中有三个特别定义的符号，即(K), UF (T )与R [K , g (t ), t 0]. 形式上，当 K =x 0, 0x +, 0x - 时，(K )=x 0. 规定UF (T )是一个集合，当T =t 0时UF (T )表示t 0的某一个去心领域；当T =0t +时UF (T )表示t 0的某一个去心右领域；当T =0t -时UF (T )表示t 0的某一个去心左领域；当T =∞时UF (T )表示∞的某个邻域；当T =+∞时UF (T )表示+∞的某个邻域；当T =-∞时UF (T )表示-∞的某个邻域. 规定R [K , g (t ), x 0]是 一个命题公式. 当K =x 0时，表示命题g (t )≠x 0；当K =0x + 时，表示命题g (t )>x 0；当 K =0x - 时，表示命题g (t )< x 0. 法则2实际上也包含了18个具体的法则. 这些具体的法则在证明的时候将会一一列出来. 法则2中定义了3个计算机程序意义上的“函数”，这样做，可以把18个具体的法则用比较精炼的语言叙述出来，形式上简洁，记忆方便，运 0不讨论了. 我们来分析一下三个法则的共同特点. 三个法则都要求所求极限存在，也就是说，这三个法则一般情况下是不能用来判断函数极限存在性的，而是用来在已经知道极限存在的情况下去计算函数极限的值. 其次，三个法则都是把计算0 lim ()x x f x →转化为计算lim [()]t T f g t →. 法则1和法则2总共包含36种具体情况，一般 情况下，这两条法则就已经足够解决许多极限的计算问题.
用换元法解各种复杂方程 用换元思想探索双二次方程、无理方程、分式方程这三类方程的解法。 [内容综述] “换元法”是一种重要的数学方法，它可以把较复杂的问题转化为较简单的问题去解决。在解高次方程、分式方程、无理方程的过程中都可以应用换元方法，其要点是把方程中的一些表达形式相同的部分看成一个整体并设新的字母表示，从而达到化简方程并把原方程化归为已经会解的一元一次或一元二次方程的目的。 [问题精讲] 1.在中学课程中,只要求学生会解一些特殊的高次方程,最常见的就是“双二次方程”，即只含有未知数的四次项、二次项和常数项的方程。对于这类方程,可以经过对二次项的换元转化为一元二次方程。例1，解方程(x 2+1)2=x 2+3 分析:思路1：以x 2+1为一个整体进行换元，因此要对方程右边进行变形使其含有x 2+1。 思路2：把方程展开成标准的双二次方程，再对x 2 进行换元。 解法一：原方程可化为(x 2+1)2-(x 2+1)-2=0，设x 2+1=y 得y 2-y-2=0， 解得 y 1=2，y 2=-1，x 2+1=-1无实根， 由x 2+1=2解得x 1=1，x 2=-1。 解法二：由原方程得x 4+x 2-2=0，设x 2=y （解题熟练时，这一换元过程也可以不写出） 得y 2+y-2=0，解得y 1=1，y 2=-2，x 2=-2无实根， 由x 2=1解得x 1=1，x 2=-1。 注意：换元的关键是善于发现或构造方程中表达形式相同的部分作为换元的对象。在解方程的过程中换元的方法常常不是唯一的，解高次方程时，只要能达到降次目的的换元方法都可以应用。例如在牛刀小试题1中，可以设4x 2+2=y ，则原方程化为y 2+y-12=0；也可以设4x 2+1=y ，则原方程化为y 2+3y-10=0（选C ），（还可以设4x 2=y 等等，学生可以自己练习）。但是无论采用哪一种换元方法，所得方程的解都是相同的。 2.解无理方程时，常把原方程中的一个含有未知数的根式作为整体进行换元，达到化去根号转化为可解方程的目的。这时经过变形，原方程的某个整式部分常可表示为新元的平方。 例2，解方程051356222=-----x x x x 分析：为使原方程中出现形式相同的部分，可以将其变形为 03135)13(222=------x x x x 。 解：设y x x =--132，则原方程可以化为2y 2-5y-3=0 解得（不符合算术根的定义，舍去。） 由3132=--x x 得x 1=5，x 2=-2，经检验是原方程的根。
利用夹逼准则求极限 令狐文艳 夹逼准则的使用方法： 定理 1 用夹逼准则求极限，就是将数列放大和缩小。要求放大和缩小后的极限容易求出，此时常将其放大到最大项的整数倍，缩小到最小项的整数倍，并且此时两者极限相等，即两者是等价无穷小，此时就可以得到原数列极限的值。 题型1 夹逼准则常用于求若干项和的极限 推论 1 极限变化过程中最小项与最大项之比为1时可以使用夹逼准则求其极限。 证明：不妨设最小项为)(x α，最大项为)(x β，数列有n 项，则整数倍为n 倍， 由定理1可知.)() (lim 1)()(lim x x x n x n βαβα== 例1.求 ) 21 (4) 12 1( lim 2 2 2 n n n n n ++ +++ +∞ →. 解： . 11lim 22lim 22lim 2121 lim 22 2222==++=++=++∞ →∞→∞→∞ →n n n n n n n n n n n n n 由推论1， . 12 21 (4) 12 1212 2 2 2 2 →+≤ ++ +++ +≤ +← n n n n n n n n n 由夹逼准则可得所求极限为1. 例2.求). 1 ...2111( lim 222n n n n n n n n +++++++++∞ →
解：.11lim 11 1lim 2222=++++=++++∞→∞→n n n n n n n n n n n n 由 推论1， .011 (211102) 2222→++≤+++++++++≤++← n n n n n n n n n n n n n n 由夹逼准则可得所求极限为0. 例3.求). ...2211( lim 222n n n n n n n n n +++++++++∞→ 解： 由推论1， 2 1112)1(...221112)1(2122222→++?+<+++++++++<++?+←n n n n n n n n n n n n n n n n n 由夹逼准则可得所求极限为21. 由以上例题可以看出用夹逼准则求极限的关键在于对数列进行恰当的放缩 接下来的例题稍有难度，难处仍难在放缩的技巧 例 4.求!2lim n n n ∞→. 解：) .(42...322212!20放到第二项最大！n n n n ≤????=< 且0 !4 lim =∞→n n .故由夹逼准则可知.0!2lim =∞→n n n 例5.求 ). 1(lim >∞ →αα n n n 解：设),0(1>+=h h α则 从而 ,)1(202h n n n -< < α因为,0)1(2 lim 2=-∞→h n n