西安电子科技大学硕士学位论文
时频分析技术及应用姓名：卫俊平
申请学位级别：硕士专业：电路与系统指导教师：赵国庆
20050101
摘要
时频分析作为分析时变非平稳信号的有力工具，成为现代信号处理研究的一个热点。这种分析方法提供了时间域与频率域的联合分布信息，清楚地为我们描述了信号频率随时间变化的关系。
本论文主要结合时频分析技术得到雷达信号的脉内调制信息。介绍了时频分析理论的基本知识，同时就时频分析在信号处理中的应用作了较深入地研究。主要的研究内容包括：给出常用的几种时频分析算法，例如短时傅立叶变换、Ｗｉｇｎｅｒ－Ｖｉｌｌｅ分布、Ｃｏｈｅｎ类时频分布、小波变换，研究了各种雷达信号脉内调制的最佳检测算法；提出了一种抑制时频分布交叉干扰项的新方法；时频分布应用于瞬时频率的估计；最后基于ＷＶＤ算法的ＤＳＰ快速实现。
关键词：时频分析脉内调制交叉项瞬时频率
Ａｂｓｔｒａｃｔ
Ｎｏ豫瓢ｍｅ－ＦｒｅｑｕｅｎｃｙＡｎａｌｙｓｉｓ逸ｏｎｅｏｆｔｈｅｔｏｐｉｎｔｅｒｅｓｔｓｉｎｓｉｇｎａｌＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，ａｎｄｍｏｒｅａｎｄｍｏｒｅｒｅｓｅａｒｃｈｈａｓｂｅｅｎｐｕｔｏｎｔｈｉｓｔｏｐｉｃ，Ａｓ嘶ｏｆｔｈｅｂｅｓｔｔｏｏｌｓｔｏａｎａｌｙｚｅｔｈｅｎｏｎ－ｓｔＮｉｏｎａｒｙｓｉｇｎａｌｓ，ｉｔｓｈｏｗｓａｇｏｏｄｐｉｃｔｕｒｅｉｎｔｈｅｊｏｉｎｔｔｉｍｅ—ｆｒｅｑｕｅｎｃｙｄｏｍａｉｎａｎｄｍａｋｅｓｔｌｓｋｎｏｗａｂｏｕｔｔｈｅｃｈａｎｇｅｏｆｆｒｅｑｕｅｎｃｙａｌｏｎｇ、积ｌｌｌｔｈｅｔｉｍｅｃｌｅａｒｌｙ．Ｉｎｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓ，ｉｎｔｒａ－ｐｕＩｓｅｍｏｄｕＪａｔｅｄｉｍｅｃｃｍａｔｉｏｎｏｆｒａｄａｒ－ｓｉｇｎａｌｓａｒｅｇｏｔｔｅｎｍａｉｎｌｙｕｓｉｎｇＴｉｍｅ－ＦｒｅｑｕｅｎｃｙＡｎａｌｙｓｉｓ．ＧｅｎｅｒａｌｔｈｅｏｒｙｏｒＴｉｍｅ—ＦｒｅｑｕｅｎｃｙＡｎａｌｙｓｉｓｉｓｆｉｒｓｔｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ，ｔｈｅｎ，ｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆＴｉｍｅ—ＦｒｅｑｕｅｎｃｙＡｎａｌｙｓｉｓｉｓｒｅｓｅａｒｃｈｅｄｆｌＬｒｆｌｌｅｒ．Ｔｈｅ
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Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｔｉｍｅ“ＦｒｅｑｕｅｎｃｙＡｎａｌｙｓｉｓＩｎｔｒａ“ｐｕｌｓｅＭｏｄｕｌａｔｉｏｎＣｒｏｓｓｍｔｅｒｍｓＩｎｓｔａｎｔａｎｅｏｕｓＦｒｅｑｕｅｎｃｙ
第一肇绪论
第一章绪论
§１．１研究背最及意义
电予对抗燕敌对双方莉稻电磁频谱。郎在可霜丽的电磁渡频率范豳内的信号和武器装备争取战争胜利的对抗行动。在近几年来，电子对抗在现代战争中发挥了越来越重要的地位。敌对双方利用电磁频谱不夕卜乎接收和发射电磁频谱，这样，魄子对抗静主流技术也藏不终乎续狡露发瓣，这垂恕宅翔缡为谈察鞫予撬。雷这侦察系统是一种利用无源接收和信号处璁技术，对雷达辐射源信号环境进行检测和识别，对雷选信号和工作参数进行测擞和分析，从中得到有用信息的设备。在ｊ霾年采，主要聚弱的是数字接收掇，邸穆接收戮魏重达信号射频脉冲通过效大翻频率交换至ｇ特定的中频基带，经过ＡＤ变羧为数字信号，再进幸亍数字信号处理。柱本论文中，主要研究：数字接收机后端的数字信号处理，即：提取雷达信号的脉内调制信息（载频，载频稳定度，幅魔调制信息，棚镶调制信息）。
在传统豹髂号楚瑾串，入靛分辑露处毽售号豹最豢麓氇是最煮接瓣方法楚蒋立叶变换。傅立叶变换及其威变换建立了信号时域与频域之间交换的桥梁。它撼信号时域与频域分析的基础，但以傅立叶变换为基础的经典分析方法，只能得到镕号对域或频域信息，这对予乎稳箍号分辑来说，是麓够鹃。焦莛对手｛＃乎稳镣号的雷达信号。出于其频谱憝时问的函数，单纯得到箕时域或频域信息是不够鲍，还必须了解信母的频谱是如何随时问而变化，信号的能量在时间一频率平面上是如何分布的。以傅立时变换为基础的经典分析方法对此已经无能为力了，分析非警穗信号需要疆究帮发震瑟戆理论帮方法。由于菲乎稳馈号不仅蕴藏着霹域鞍凝域信息，还蕴藏着信号频谱随时间变化规律的信息。程工程实践中，揭示这些信息具有重要的懑义，因此研制时频分析方法和仪器是十分重要的。
时频分摄像必～秘豢兴瓣售号处理方法，近年来受爨越来越广滋豹重视。对频分析的基本愿想是设计时阐和频率的联台函数，用它闻时描述倍譬在不同时间和频率的能量密度或强度。时间和频率的这种联合函数简称为时频分布。利用这静时频分布来分析雷达信号，在每一时闼指示出信号夜瞬时频率附避的能量聚集憾况，并置髓够送行辩颓滤波窝时交售琴综合。
§１．２国内外研究概况
时频分布主要分为两类。第一类是线住时频表示，这种时频表示出倦氏谱转
时频分析技术及应用
化而来，其典型形式为短时傅立叶变换，Ｇａｂｏｒ变换及小波分析。第二类是二次型时频表示，这是一类应用广泛的时频分布，这种时频分布的二次型具有独特的优点，因为信号的二次型就是信号能量的表示，故这种能量化的时频表示与能量的相关概念有密切联系。
２０世纪４０年代，Ｋｏｅｎｉｎｇ等人和Ｐｏｔｔｅｒ等人提出了声谱图（Ｓｐｅｃｔｒｏｇｒａｍ）方法，定义为信号的短时傅立叶变换（ＳＴＦＴ）的模平方，也称为ｓＴＦＴ方法或ＳＴＦＴ谱图。其基本思想是：假定非平稳信号在分析窗函数的一个很短的时间间隔内是平稳的，然后沿时间轴移动窗函数，计算出各个不同时刻的功率谱。这种方法的主要缺陷是：因为它使用一个固定的短时窗函数，是一种单一分辨率的信号分析方法。后来，短时傅立叶变换发展成自适应的方法对不同的信号段选择长度不一的合适窗函数。
１９３２年物理学家Ｅ．Ｐ．Ｗｉｇｎｅｒ在量子力学中提出了著名的Ｗｉｇｎｅｒ分布，１９４７年Ｖｉｌｌｅ将其引入到信号处理领域中，从而发展成为后来最具有代表性的一种时频表示技术Ｗｉｇｎｅｒ－Ｖｉｌｌｅ分布（ＷＶＤ）。ＷＶＤ是一种二次型时频表示方法。它满足大部分所希望的数学性质，如实值性，能量守恒，时频边缘特性，时频移位等特性，是描述信号时频分布的一个有力工具。虽然ＷＶＤ的时频聚集度较高，但对于多分量信号会产生所谓“交叉项干扰”，从而限制了它的应用。此后，许多学者对二次型时频表示及其应用进行了大量的研究，提出了许多可能作为时频联合分析工具的时频分布。
１９６６年Ｌ．Ｃｏｈｅｎ利用特征函数和算子理论将各种形式的时频表示方法之间做了研究，所有的二次型时频分布都可以对ＷＶＤ的时频二维卷积得到，统称为Ｃｏｈｅｎ类时频分布。除了ＷＶＤ和ｓＴＦＴ之外，Ｃｏｈｅｎ类还有取指数型核函数的Ｃｈｏｉ—Ｗｉｌｌｉａｍｓ分布（ｃｗｏ），Ｒｉｈａｃｚｅｋ分布，广义指数分布，Ｂｅｓｓｅｌ核时频分布，都是围绕着设计不同的核函数以减小或消除交叉干扰项，并满足若干数学性质而提出的二次时频表示方法。但是它们都是以分辨率的降低为代价的。目前，提出了一种自适应时频分布，基于信号的最优窗函数或最优核函数设计的方法，这些都是在假定信号项与交叉项没有重叠的情况下讨论的。
小波变换最早是由法国地球物理学家Ｍｏｒｌｅｔ于８０年代提出的。它是在时间和尺度平面上来描述的，是一种多分辨率的分析方法，从信号频率的角度来看，低的频率（大尺度）对应信号的整体信息，而高频率分量则对应于信号内部隐藏的细节信息，被誉为分析信号的显微镜。最大的优点是在时域和频域同时具有很好的局部化性质。对信号的频率成分在时域采样的疏密自动调节，可观察信号的任意细节并加以分析。同时小波变换方法又是一种线性变换，对于多信号而言不会产生交叉项干扰。但其主要缺点是计算量太大，要在二维（尺度和时间）上进行搜索计算，会需要很长时问，不便进行实时计算。
第一辈绪论
由于信号的时域和频域联合分析对时疑非平稳信号分析的特点，它在许多领域封广泛豹应用，妇雷达，通信秘捡测等方螽，劳虽取褥了缀好豹痰翅效果。在本论文中重点讨论７时频分辑在售号参数馁诗（瓣时频率的倍计）。辩孵频率在工稔上是一个很熬簧的概念，宦描述了信号频率随时间的变化。
§１．３本文掰｛蔽的工终
时频分布理论是近年来信号处理的热点。本文将以时频分析为研究的重点，详缀介绍了时频分析的概念，性质及其应翅，倒如，在傣号瞬对频率髅计等方霾。蘩零的露频分奄氇括：短时倦立赞交换、Ｗｉｇｎｅｒ－Ｖｉｌｌｅ分奄、夺渡交换等。有关雷达信号的时频分析算法研究在国内外己开展多年，其中对窄带信号的时频分析技术已ｌ经用于装锯，在一定的信噪比下，可以获得较好的处理结果。目前存在的主娶涟瑟是：楚瑗遽菠溪，王终带宽窄，器辘蠲予霹菜黧褥定蓓号躲嚣实薅分辑。
本课题力求使时频分析技术能够满足对一般雷达佰蟹快速分析的需要，因此繇求具有较大的瞬时信号带筑、近实时的处理速度。根据已有的工作基础，不同熬脉内信号特缀分辑数算法对不同信号调制形式鲍处璁结果、对润疆镇、菝噪比要蠢乏等是不尽鞠阕懿，因诧本谍题采窝的簸建方法是：分羯研究铮辩常窥脉冲、频率分集脉冲、线性调频脉冲、相位编码脉冲这几种舆型雷达信号的快速、最佳检｛５ｊ１４估值算法，在输出检测估值结果的同时，也楣应输出对信号调制炎型的判决续袋；逶过多热毽嚣戆莠孬疑理，对蒡季亍楚毽瓣缝莱遽簿综合捡溺、参数测量帮判决。其本文主要研究对各个典型雷达信号脉内调制特征的快速，鬣佳检测的估计算法。
本文豹主要磷究内容包攒以下几个方鬣；．
①靖频分耩技术的鏊举理论知识，包括对频瑾论串的基本概念，对时颓分布的要求，以及几种常用的时频分布：短时傅立叶变换、Ｗｉｇｎｅｒ－Ｖｉｌｌｅ分布、Ｃｏｈｅｎ类时频分布、小波变换。其中通过仿真试黢，短时傅戴时变换对于单载频，频率分簇稼跨霉达臻芍其毫摄姆魏硷溺效果，麓瓣短嚣薅妻跨交换算法篙攀，霹实现快遴识别。
③对于单分量线性调频信号，Ｗｉｇｎｅｒ－Ｖｉｌｌｃ分布嶷有很好的时频聚集性，但楚慰予多分量线经调频信号会产生严重静交叉瑗干扰。攒零ｌ交叉磺予捷，我嚣】采丽了一稃薪方法——基予局躐波分解及篡Ｗｉｇｎｅｒ－ｖｉｌ｜ｅ分布。该方法在有效避挪制了时频分布黛义项的同时，保留了Ｗｉｇｎｅｒ－Ｖｉｌｌｅ分布的所有优良特性。这种方法怒基于信号分解的基础之上的，即使信号项和交叉项黧叠，我们也可以很好的耱麓交叉矮瓣予挠。弱靖慰予ＷＶＤ葵法在后藿≤髅诗瓣霹蒙率）筏懿采焉了ＰｗＶＤ算法来选到快速实现。
４时频分析技术及应用
③对于二相编码信号，由于它的载频基本固定不变，只有在信号的相位跳变点上才有突变，而信号的能量基本集中在信号的载波频率上，所以这里采用载频尺度上的小波系数模值变换来得到二相编码相位的突变点。其实这里小波算法只相当于卷积运算，避免了计算所有尺度的连续小波系数，从而提高了识别速度。
④对非平稳信号的重要参数——瞬时频率做了重点分析，系统的给出了瞬时频率的概念和定义。对几种基本的估计做了详细的说明和解释．如直接估计法，过零检测估计法，参数估计法，但上面这几种只适合于高信噪比下，同时必须是单信号分量。对于时频分布的瞬时频率估计法，由于信号时频分布的能量峰脊出现在信号瞬时频率迹线附近，所以利用时频分布峰值估计法来估计信号的瞬时频率，弥补了上述估计性能的不足。
⑤时频分析在实际工程应用中的实现。本文以ＡＤＤＳＰ２１１６０作为硬件研究平台，给出时频分析，主要是ＷＶＤ算法的ＤＳＰ软件编程，同时实现了ＤＳＰ的信号瞬时频率估计算法，给出ＤＳＰ的仿真结果。
第二章时频分析的基本理论
第二章时频分析的基本理论
这一章主要针对接收到的雷达信号通过各种传统的时频分析技术得到信号的脉内调制信息。首先介绍了几种典型的雷达信号，然后引入时频分布的理论。时频分布可分为线性和二次型时频分布，本章重点讨论短时傅立叶变换、小波变换、Ｗｉｇｎｅｒ－Ｖｉｌｌｅ分布及Ｃｏｈｅｎ类时频分布。通过仿真试验，可以看出它们对线性调频脉冲、相位编码脉冲、频率分集脉冲、频率编码脉冲等非平稳信号的脉内调制分析都有一定的检测效果，但是二次型时频分布对于多信号分析会产生交叉项干扰，且有些算法占用的处理时间较长，而且每种算法分别具有与某些调制类型的适应性，所以应该采用多处理器的并行处理。
§２．１雷达脉内调制信号特点分析
复杂雷达信号的识别一直是电子对抗的关键技术和难题。随着雷达技术的快速发展，常规脉冲雷达信号在雷达信号环境中的比例已减小，线性调频，非线性调频，相位编码，捷变频等雷达信号逐渐增多。这就对雷达信号的识别提出了更高的要求，需要对雷达的脉内特征进行分析。雷达信号的脉内特征是雷达信号细微特征的重要体现，是电子侦察中对雷达信号识别的重要参数，是雷达设备个体特征识别的重要特征之一，因此，要可靠的识别雷达信号，高可信度地判别雷达属性，必须对雷达信号脉内特征进行分析。
脉内调制包括脉内相位调制，频率调制和幅度调制以及三种调制的混合调制。采用脉内频率调制和相位调制主要信号形式是脉冲压缩信号（大时宽带宽信号）。由于这种信号可以保证雷达具有良好的检测性能，提高距离和速度分辨率，因此，脉压体制是现代雷达，特别是军用雷达广泛采用的一种体制。
（１）脉内频率调制可分为连续调频和离散调频两大类。连续调频是频率在脉冲内连续的发生变化，比较典型的是线性调频信号。这种信号的突出优点是匹配滤波器对回波信号的多普勒频移不敏感，即使回波信号有较大的多普勒频移，原来的匹配滤波器仍能起到脉冲压缩的作用，这将大大简化信号处理系统；离散调频是把发射的宽脉冲分为若干个子脉冲，每一个子脉冲包内都有不同的载频，因此称为脉内频率编码信号。该信号可通过控制时间和频率改变信号的时宽和带宽。
（２）脉内相位编码信号就是在载频不变的前提下，改变信号的相位。其技术简单成熟，且抗干扰性强。相位编码信号通常采用伪随机序列编码，该编码具有良好的自相关特性，而一般的电子战接收机不能进行相关处理。现代雷达可根据
时频分析技术及应用
处理增益要求，在单个脉冲内产生几千码位的调制。目前大多数相位编码技术的雷达都采用二相编码方案。二相编码对多普勒频率比较敏感，常用于目标多普勒频率变化范围较窄的场合，一般用于目标速度预先知道的特殊目标跟踪。常用的二相编码有：
巴克码——它是较理想的伪随机序列码，但该码数目不多。长度有限，因此限制了它在雷达上的应用。此外还有组合巴克码、互补码、Ｍ序列码、双素数序列，霍尔序列等。表２．１列出了常用巴克码序列。
长度Ｐ序列（ｃ。｝主旁瓣比（ｄＢ）
２＋＋．一十６
３＋＋一９．６
４＋＋一十＋＋＋一１２
５＋＋＋一＋１４
７＋＋－Ｉ－一一＋一１７
儿十＋＋一一一十一一＋一２０．８
１３＋＋＋＋＋一一＋＋一＋一＋２２．２
ａ单个射频脉冲
表２．１常用巴克码序列
§２．２几种典型的雷达脉冲信号表示，ｆＡｅＪ（２和＋Ｐ’０茎，≤Ｔ
“Ｄ。幅其包
其中Ａ为振幅，ｆ０为载频，初相为９，Ｔ为脉冲宽度。ｂ线性调频脉冲
删＝Ｆ栅书ｈ嚣其中Ⅳ为调频斜率。
Ｃ二相编码脉冲
Ⅳ一ｌ
Ｊ（ｆ）＝∑Ａｒｅｃｔ［ｔ－ｉＡＴ，ＡＴ］ｅ“２础”’
，－０
式中Ｎ为子码数，ＡＴ为子码宽，仍取０或者，ｒｃ。（２．１）（２．２）（２—３）
第二章时频分析的基本理论
ｄ频率编码脉冲
Ｎ一１
ｓ（ｆ）＝∑ｄｒｅｃｔ［ｔ－ｉＡＴ，ＡＴ］ｅ“２砟”’
ｆ’０
式中／：为频率码组，子码宽为△丁。
ｅ多频率分集信号
ｒＮ
ｍ）：』蕃加“２砟”’ｏ＜延ｒ
１０其它ｔ式中Ｎ为分集数。
§２．３时频算法的综述（２．４）（２．５）
时频分布的基本任务是建立一个函数，要求这个函数能够同时用时间和频率来描述信号的能量密度。如果有这样的一个分布，就可以计算某一确定的频率和时间范围内能量的分布情况。计算某一特定时刻的频率密度，计算该分布的整体和局部的各阶矩。即寻找一个联合密度函数Ｐ（ｔ，ｆ），使Ｐ（ｔ，Ｄ等于在时间ｔ和频率ｆ的强度，或者Ｐ（ｔ，ｆ）ＡｔＡｆ等于在时间ｔ和频率ｆ，在时频单元ａｔＡｆ内的部分能量。
因为时频分布对时变非平稳信号分析的独特优势引起广泛的关注，许多时频分布形式被提了出来，这些分布有各自的特点，在不同的领域有着广泛的应用。本节重点讨论时频分析技术的基本理论知识，包括时频理论中的基本概念，对时频分布的要求，以及几种常用的时频分布：短时傅立叶变换、Ｗｉｇｎｅｒ－Ｖｉｌｌｅ分布、Ｃｏｈｅｎ类时频分布、小波变换。
２．３．１基本概念
１．解析信号
令ｓ（ｔ）是一个实的非平稳信号。在进行时频分析前，往往需要将实信号ｓ（ｔ）转变为复信号ｚ（ｔ）的形式。最简单的方法是直接用实信号ｓ（ｔ）作复信号ｚ（ｔ）的实部，并添加一个“虚信号”ｘ（ｔ），即：
ｚＯ）＝ｓ（ｔ）＋豇（ｆ）（２－６）
对于窄带信号，通常的做法是保留其正频部分（并将幅度加倍，以使原信号的总能量保持不变），并剔除掉负频部分。由于实信号的频谱为共轭对称，剔除掉负频部分不会造成任何信息的损失，也不会带来虚假信号。把这一做法推广到一般的实信号，则可以得到只保留实信号频谱正频部分的复信号的频谱。
时频分析技术及应用
』２Ｓ（ｆ）ｆ＞０
ｚ（／）＝｛ｓ（／）ｆ＝０＝ｓ（／）【１＋月。（厂）】（２－７）
１０ｆ＜０
即ｚ（ｆ）可从ｓ（ｆ）通过滤波得到，而Ｈ（ｆ）为奇对称的阶跃式传输函数
ｆ１厂＞０
Ｈ（ｆ）＝｛０ｆ＝０（２－８）
【一１ｆ＜０
若与Ｈ（ｆ）对应的冲激函数为ｈ（ｔ），则由式（２－９）知，复信号ｚ（ｔ）可写作ｚ（ｆ）：ｓ（ｆ）＋ｐ（ｆ）ｏ＾（ｆ）：Ｊ（ｆ）＋．，Ｉ！：．；坐上ｄｕ：ｓ（ｆ）＋，Ｈｐ（ｆ）】（２—９）
式中，ＨＩｓ（０］称为实信号ｓ（ｔ）的Ｈｉｌｂｅｒｔ变换。
这样，由Ｈｉｌｂｅｒｔ变换构成的解析信号，只含有正频成分，且是原信号正频分量的两倍。我们知道，若信号ｓ（ｔ）是带限的，最高频率为Ｑ。，那么若保证Ｑ，≥２Ｑ。，由ｓ（ｎ）可以恢复出ｓＯ），即抽样定理。将ｓ（Ｏ构成解析信号后，由于ｚ（Ｏ只含有正频成分，最高频率仍为Ｑ。，这时只需Ｑ；≥Ｑ。即可保证由ｓ（ｎ）恢复出ｓ（ｔ）。并且，使用解析信号还可以减轻正负频率在Ｑ＝Ｏ附近的交叉干扰。所以，用Ｈｉｌｂｅｒｔ变换构成解析信号在许多领域都有着重要的应用。
获取实信号所对应的解析信号可以采用如下两种方法：
（１）以实信号为实部，以实信号的希尔伯特变换作虚部构成的复信号即为实信号所对应的解析信号。
（２）将实信号作ＦＦＴ变换，取其正频率部分乘２后作ＩＦＦＴ变换，所得结果即为实信号所对应的解析信号。
本论文采用第二种求解析信号的方法，第二种算法比第一种算法快的多。２．瞬时频率和群延迟
通常，当提到频率时，指的是Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的参数ｆ，并称ｆ为Ｆｏｕｒｉｅｒ频率，除了Ｆｏｕｒｉｅｒ频率外，还有另外一个频率概念被广泛应用，它就是瞬时频率。将信号ｓ（ｔ）的瞬时频率定义为解析信号ｚ（ｔ）的相位导数：
Ｚ（，）２磊１ｉｄ【ａｒｇ（删】（２－１０）式（２．１０）的瞬时频率也可以写出差分形式：
，（ｒ）２牌志扛ｇ【ｚ（ｒ＋△，）卜ａｒｇ［ｚｏ—Ａ’）】）（２－１１）令离散采样频率为正，则上式给出离散时间信号ｓ（ｎ）的瞬时频率定义：
ｆａｎ）＝｛￡｛ａｒｇ［ｚ（ｎ＋１）卜ａｒｇ［ｚ（ｎ一１）】）（２—１２）
第二章时频分析的基本理论
与时域信号ｚ（ｔ）的瞬时频率相对应，频域信号ｚ（ｏ的群延迟ｆ。（，）也是一个重要的瞬时参数，它表示频谱ｚ（Ｄ中频率ｆ的各个分量的延迟，定义为：
ｒ。（厂）＝一瓦１万ｄ［ａｒｇ（ｚ（彻］（２－１３）３．不确定性原理
令ｚ（ｔ）是一个具有有限能量的零均值复信号，ｚ（Ｏ的有限时宽Ｔ＝Ａｔ和有限带宽Ｂ＝△７ｒ定义为：
ｎｃ蚪＝雠ａｒｔ如ｃ鲥＝甓ｚ（ｓ筹）ｌａｆ协㈣一卟（ｆ）ｌ２…［Ｉ２‘
若气（，）＝ｚ（幻）代表拉伸后的信号，其中ｋ为拉伸比。由时宽的定义知，拉伸信号的时宽是原信号的ｋ倍：另外，再由信号的带宽的定义知，拉伸信号的带宽是原信号的ｌ瓜倍。显而易知，拉伸信号的时宽带宽积与原信号的时宽带宽积相同。这一结论说明了任意信号恒有关系式ＴＢ＝常数的可能性。当然，对于不同的信号该常数可能不同。不确定性原理准确描述了一个信号的时宽和带宽之间的这种关系，即对于有限能量的任意信号，其时宽和带宽的乘积总是满足下面的不等式：
ＴＢ＝△ｆ４厂≥÷（２．１５）
式中的址，ｖ分别称为时间分辨率和频率分辨率，它们表示的是两时间点和两频率点之间的区分能力。不确定性原理也称为测不准原理或Ｈｅｉｓｅｎｂｅｒｇ不等式。２．３．２时频分布的基本性质要求
对于任何一种实际有用的非平稳信号分析，通常要求时频分布具有表示信号能量分布的特性。因此，希望时频分布满足以下的一些基本性质：
性质ｌ：时频分布必须是实的（且希望是非负的）。
性质２：时频分布关于时间ｔ和频率ｆ的积分给出信号的总能量。
Ｅ＝ＩＩＰ（ｔ，ｆ）ｄｔｄｆ（２－１６）性质３：边缘特性
』Ｐ（ｔ，ｆ）ｄｆ＝卜（０１２
（２．１７）
』Ｐ（ｔ，ｆ）ｄｔ＝Ｉｓ（ｆ）１２
即时频分布关于时间ｔ和频率ｆ的积分分别给出信号在频率ｆ的谱密度和信号在时间ｔ时刻的瞬时功率。
时频分析技术及应用
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Ｚ（ｔ）：毕竺丝叫／）＿矬（２－１８）性质４：时频分布的一阶矩给出信号的瞬时频率Ｚ（，）和群延迟ｒ。（ｆ），即
ＩＰ（ｆ，，）矿Ｉ尸（ｆ，厂）西
性质５：有限支撑特性
这是从能量角度对时频分布提出的一个基本性质。在信号处理中，作为工程上的近似，往往要求信号具有有限的时宽和有限的带宽。如果信号ｚ（ｔ）只在某个时间区间取非零值，并且信号的频谱ｚ（ｆ）也只是某个频率区间取非零值，则称信号ｚ（ｔ）及其频谱是有限支撑的。类似的，如果在ｚ（ｔ）和ｚ（ｆ）总支撑以外，信号的时频分布等于零，就称时频分布是有限支撑的。
边缘特性连同非负性一起可以保证时频分布准确反映信号的谱能量，瞬时功率和总能量：边缘特性可以保证信号的总体量（如平均时间，平均频率，时宽和带宽）正确给定：非负性则可以进一步保证分布的条件期望是切合实际的和物理可解释的；非负性和正确的边缘特性一起还可以保证时频分布的强有限支撑性。２．３．３短时傅立叶变换
短时傅立叶变换（ＳＴＦＴ）的基本思想：用窗函数来截取信号，假定信号在窗内是平稳的，采用傅立叶变换来分析窗内信号，以便确定在那个时间存在的频率，然后沿着信号移动窗函数，得到信号频率随时问的变化关系，这就得到了我们所需要的时频分布。短时傅立叶变换的定义为：
ＳＴＦＴ（ｔ，厂）＝广ｓ（ｕ）ｇ‘ｍ一咖哪班幽（２．１９）其功率谱为：
ＳＰＥＣ（ｔ，ｆ）＝ＩＳＴＦＴ（ｔ，，）１２（２－２０）
这种变换是线性时频变换。所有的线性时频表示都满足叠加原理。也就是说，如果ｓ（ｔ）是几个信号分量的线性组合，那么ｓ（ｔ）的时频表示是每个信号分量的时频表示的线性组合：
“ｏ叫＾ｏ舞Ｚ象。．嬲．（ｆ，ｍ带觋：（ｔ∽（２－２１）
ｓ觋（ｆ，厂）＝ｃ．ｓｚ咒．（ｆ，厂）＋ｃ：ｓｚ：Ｆ０，（，，）、～”线性是区分多分量信号最希望的性质。不会产生交叉项干扰。同样小波变换也是线性时频变换。
同时短时傅立叶变换概念直接，算法简单，已经成为研究非平稳信号十分有力的工具，在许多领域得到了广泛的应用。如：信号瞬时频率的估计，并且是其
第二章时频分析的基本理论
它时频分析的基础。但是它有两个主要的困难：一是窗函数的选择问题。我们注意到对于特定的信号，选择特定的窗函数可能会得到更好的效果。然而如果要分析包含两个分量以上的信号，在选择窗函数时就会感到困难，很难使一个窗同时满足几种不同的要求；＝是对窗函数的长度选择问题。窗函数的长度与频谱图的频率分辨率有直接的关系。要得到好的频域效果，就要求有较长的信号观察时间（窗函数长），那么对于变化很快的信号，将失去时间信息，不能正确反应频率与时间变化的关系；反之，若取得窗函数很短。虽然可以得到好的时域效果，但根据Ｈｅｉｓｅｎｂｅｒｇ测不准原理，这必将在频率上付出代价，所得到的信号频带将展宽，频率的分辨率将下降。为了解决这些问题，近年来人们针对ＳＴＦＴ的改进和应用进行了一系列的研究。如文献１２０Ｊ中提出了一种自适应窗长的ＳＴＦＴ方法，该窗函数为含两个控制函数的高斯窗函数，该方法对于瞬态信号和长时间信号分量有～定的自适应能力。文献【２Ｉ】中提出短时线性调频窗函数的ｓＴＦＴ对信号的瞬时频率进行估计。文献ｆ２２】中提出了基于Ｒａｄｏｎ．ｓｌｒＩ叮变换进行线性调频信号的检测与信号恢复。在本论文中我们应用的是ＳＴＦＴ和小波函数相结合（后面将介绍），来检测二相编码的相位变化。相对于其它算法而言，该方法是线性的又相对简单，不会产生多信号交叉干扰项。同时对于频率分集和频率编码脉冲信号，采用短时傅立叶变换算法来估计瞬时频率。
２．３．４Ｗｉｇｎｅｒ－Ｖｉｌｌｅ分布
进行时频分析的基本目的就是确定一种时频分析函数。使其能够确定在时间ｔ及频率ｆ处信号的那部分能量。在短时傅立叶变换的基本上，我们可以加以改进，得到理想的分析方法。有别于上述的短时傅立叶变换，Ｃｏｈｅｎ类双线性表示的实质就是将信号的能量分布于时频平面内，其中Ｗｉｇｎｅｒ－Ｖｉｌｌｅ（ＷＶＤ）分布就是一种最基本的双线性表示形式。这种分布最初是由Ｗｉｇｎｅｒ在量子力学中提出的：ｗ（ｔ，厂）＝广ｓ（ｔ＋ｒ／２）ｓ＋（，一ｒ／２）ｅ。咖ｄｆ（２．２２）
上式中，ｓ（ｔ）出现两次，所以称其为双线性变换。式中不含有任何的窗函数，因此避免短时傅立叶变换时间分辨率，频率分辨率相互牵制的矛盾，它的时间一带宽积达到了Ｈｅｉｓｅｎｂｅｒｇ测不准原理给出的下界。由于这一优点以及这种分布许多良好的性质，它被广泛地研究并在实际工程中得到大量地应用。下面详细介绍了Ｗｉｇｎｅｒ分布的性质：
１）实函数…
Ｗ‘（ｆ，厂）＝ｗ（ｔ，厂）（２－２３）
利用这一性质，在计算Ｗｉｇｎｅｒ分布时，可以改进算法而减少一半的工作量。
时频分析技术及应用
２）边缘特性
Ｗｉｇｎｅｒ分布满足边缘分布，对于特定时刻，如果我们将信号各频率分量所占的能量“片”累加起来，就应得到此信号的瞬时功率，同样道理得到特定频率下的能量总和。
３）有限支撑特性
４）条件矩
将时间固定来求这一时刻地瞬时频率，称为一阶条件矩
＜ｚ＞，：Ｉｆ－Ｗ—（ｔ，—ｆ一）ｆｄｆ（２．２４）
１ｗ（ｔ，，）ｄｆ
，为此时的瞬时频率，我们可以利用上式进行信号瞬时频率的估计，从这一角度看，瞬时频率可解释为对于给定时刻所有频率分量的平均。
５）能量沿瞬时频率集中
时频分布的能量集中在其瞬时频率周围，特别是对频率调制或幅度调制很小的信号。在多数情况下，Ｗｉｇｎｅｒ分布的结果都与想象的相一致，尤其是对单个线性调频信号．（ＬＦＭ），可以得到令人满意的结果。如：单分量ＬＦＭ信号＝（ｆ）：Ｐ’２。‘口＋扣２’的Ｗｉｇｎｅｒ．Ｖｉｉｉｅ的分布为：
Ｗ（ｔ，ｆ）＝８［ｆ一（ｆｏ＋ｕｔ）】（２－２５）
可以看出单分量ＬＦＭ信号的Ｗｉｇｎｅｒ－Ｖｉｌｌｅ的分布为沿直线厂＝＾＋ｕｔ分布的冲激线谱，即分布的幅度集中出现在表示信号的瞬时频率变换的直线上。因此，从最佳展现ＬＦＭ信号的频率调制率这一意义上讲，Ｗｉｇｎｅｒ－Ｖｉｌｌｅ的分布具有理想的时频聚集性。但是，Ｗｉｇｎｅｒ－Ｖｉｌｌｅ的分布为冲激线谱的结论只适用于无穷长的ＬＦＭ信号。在实际的应用中，信号的长度总是有限的，此时ＷＶＤ呈背鳍状，见图２．１。
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图２．１单分量ＬＦＭ（有限长）信号的ＷＶＤ分布
第二章时频分析的基本理论
正是由于Ｗｉｇｎｅｒ分布具有理想的时频聚集性，其能量沿瞬时频率集中，才得到了广泛的应用，例如在信号的瞬时频率估计中，就是利用该点性质，通过对信号时频峰值的估计来得到信号的瞬时频率，在后面的一章中将重点讨论信号的瞬时频率估计，都是以它作为理论基础的。
６）正负性
由于Ｗｉｇｎｅｒ分布是信号能量的时间一频率分布。理论上讲，ｗ（ｔ，ｆ）应当在所有的时间和频率上都是正的，因为它代表着一定时间和频率单元在总能量中所占的一份，但是实际上并非如此，在Ｗｉｇｎｅｒ分布中有负值的存在。因为ｗ（ｔ，ｆ）是
‘（ｆ，ｒ）＝ｓ（ｆ＋ｒ）ｓ‘（ｒ—ｆ）（２－２６）
的傅立叶变换，我们可以保证它始终是实值，但不一定能保证它的非负性。对于这一点，到现在还没有人能够解释，尽管通过例子可以清楚看到正值往往包含了和我们想法一致的时频结构。
７）解析信号与Ｗｉｇｎｅｒ－Ｖｉｌｌｅ分布
前文中提到，在实际应用中，我们通常先将信号进行Ｈｉｌｂｅｒｔ变换，得到其解析信号后，再进行时频分析。这是因为离散Ｗｉｇｎｅｒ分布为
ｗ（ｎ，厂）＝２ｔ∑ｓ（ｎ＋ｋ）ｓ‘（ｎ－ｋ）ｅ讲彬（２－２７）
＾２１
由上式可知，信号在频域上的分布是以采样频率的一半即工，２，为周期。对于实信号，为了避免混叠，其采样频率必须满足：
正≥４＾（２?２８）
其中兀为信号的最高频率。而对于解析信号来讲，它的频谱只存在正频率，因此采用Ｎｙｑｕｉｓｔ频率进行采样时，不会产生混叠，这样可将采样频率降低一倍，除此之外，采用解析信号还有以下的好处：
ａ．信号的瞬时频率是其相位的导数，这仅当信号是解析信号时才成立：
ｂ．在消除负频率的同时，其交叉项（后文将提到）也被抑制了。
８）交叉项分析
虽然Ｗｉｇｎｅｒ．Ｖｉｌｌｅ分布对单分量ＬＦＭ信号具有较好的时频聚集性，但对于多分量信号，交叉项会产生“虚假”信号。交叉项是二次型或双线性时频分布的固有结果，它们来自多分量信号中不同信号分量之间的交叉项作用。
假设一个信号由两个分量构成
Ｊ（ｆ）＝ｑ（ｆ）＋Ｊ２（ｆ）（２－２９）
其Ｗｉｇｎｅｒ分布为：
时频分析技术及应用
ｗ（ｔ，ｆ）＝Ｍ１（ｆ，ｆ）＋％２（ｆ，ｆ）－Ｉ－彤２（，，ｆ）＋％ｌ（ｒ，ｆ）（２－３０）
其中
嵋２（ｆ，厂）＝［：．ｓＩ（ｆ＋ｉ１ｆ弦２’（，一ｉ１ｆ）ｅ－：，Ｃ‘ｄｆ（２．３１）
’～
‘二
将其称为互Ｗｉｇｎｅｒ分布（ｃｒｏｓｓＷｉｇｎｅｒＤｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ）。由（２—３０）式可以看出，两个信号和的Ｗｉｇｎｅｒ分布除了各自Ｗｉｇｎｅｒ分布之和外，还要加上两个信号的互Ｗｉｇｎｅｒ分布。这些互Ｗｉｇｎｅｒ分布是信号分布的干扰，我们称它们为交叉项（ｃｒｏｓｓ．ｔｅｒｍｓ）它们是由Ｗｉｇｎｅｒ分布非线性引起的。还可看出互Ｗｉｇｎｅｒ分布是复的，而％：（ｆ，ｆ）＋％。（，，厂）却是实的。
由于Ｗｉｇｎｅｒ变换的双线性特性，在分布中引入交叉项，这影响了Ｗｉｇｎｅｒ分布的直观表示，而且使得从分布中提起有用信息的过程变得复杂。自项和交叉项会有多种组合形式，同时交叉项可能出现在自项的位置，使自项分布受到干扰。这些都是我们在实际应用中要避免的，例如在基于时频分布的瞬时频率估计中，它的原理就是对能量集中的峰值进行估计来确定频率的变化，若有交叉项出现将会影响我们得到正确的峰值估计量。
２．３．５时频分布的一般表示
除了Ｗｉｇｎｅｒ分布和短时傅立叶变换外，近几十年来人们还提出了许多其它形式的时频分布。１９６６年，Ｃｏｈｅｎ提出了时频分布的统一表示形式，ＷＶＤ，ＳＴＦＴ及其它已知的时频分布都可看作是这一统一形式的特殊形式，人们把有Ｃｏｈｅｎ公式定义的时频分布统称为“Ｃｏｈｅｎ类分布”。通过Ｃｏｈｅｎ类分布的讨论使我们全面地理解时频分布，深入了解它们的性质。Ｃｏｈｅｎ定义的信号的时频分布的统一表示形式为：
Ｃｓ（ｒ，，）＝ｆｆ『ｓ∞＋ｉ１ｆⅪ＋＠一妻ｆ）庐（ｆ’ｖ）ｅ－Ｊｌｘ［＇ｔ＇ｒ＊“－ｕｖ｜ｄｕｄｒｄｖ（２．３２）
。’’
Ｚ上
式中Ｏ（ｒ，ｖ）称为分布的内核函数，给定不同的庐（ｒ，ｖ），可以得到不同的分布。现在已知的各种时频分布都是Ｃｏｈｅｎ类的成员。当内核函数庐（ｆ，ｖ）＝１时，Ｃｏｈｅｎ分布将变为Ｗｉｇｎｅｒ分布。
因为不同的内核函数产生不同的分布，我们就可咀将构造时频分布的任务简化为内核函数设计的问题，而且使用内核函数的另一个重要意义就是：我们可以对内核函数加以限制，来实现具有某种性质的时频分布；同时对于一个新的时频分布的研究，可以通过对其内核函数的分析来获得该分布的特性。
为了实现希望的时频分布的性质，所设计内核函数也要满足某些约束条件，这里仅列出其中一部分：
第二章时频分析的基本理论ａ．要保证（２—２６）式绝对可积，必须：
ｌ庐（ｆ，Ｖ）Ｉ≤１
ｂ．要满足时频分布时间，频率边界条件，即必须：ｌ≯（ｒ，ｏ）Ｉ＝１≯（ｏ，Ｖ）＝１（２．３３）（２—３４）
ｂ．双线性分布一般不能保证是正的，但作为能量的测度，至少应该要求它是实的。时频分布是实的分布的充要条件：
庐（ｆ，ｖ）＝≯＋（－ｒ，－ｖ）（２—３５）
遵循这些限制，我们就可以得到实际意义上的分布。
一种时频分布及其性质是由其内核函数决定的，表２．２中列出常用的时频分布及其内核函数的形式。
名称内核函数妒（ｆ，ｖ）分布Ｃｘ①，）Ｗｉｇｎｅｒ１ｆｓ（ｔ＋ｆ／２）ｓ＂（ｔ－ｒ／２）ｅ－ｎ，打ｄｆ分布
伪Ｗｉｇｎｅｒｈ（ｒ）ｐ（，＋ｆ／２）ｓ＂（ｔ－ｆ／２）ｈ（ｒ）
分布ｅ－，２咖ｄｆ
Ｃｈｏｉ．Ｗｉｌｌｆ』唇（ｕ＋ｒ／２Ｆ（ｕ－ｒ／２）
ｍａｓ分布ｅ一（Ｖｒ）２／０２
（ＣＷＤ）ｅ一一２口《。一啪‘：－ｎ斫ｄｕｄｒ
ｐ＠＋ｆ／２）ｈ‘ｏ—ｆ／２）ｅ…ｄｕＩｐ（ｒ）＾（ｒ—ｔ）ｅ－ｊ２矿，－ｄｒｌ２谱图
锥形核２９（ｆ）—ｓｉｎ（ｖｌ—ｒｌ／ａ）ｆｇ（『）ｅ－ｊ２Ⅲ＇ｒ￡：》（…／２）分布Ｖ
（ＺＡＭ）ｓ‘ｒ１，１一ｒ１２）ｄｕｄｒ
表２．２常用的时频分布形式及内核函数
由表２．２可以看出，内核函数实际上就是一个时间频率窗，窗的宽度，高度，都会对最终的时频结果产生影响。
如上文提到，由于Ｗｉｇｎｅｒ分布的双线性性，当信号为多信号分量，时频分布会出现交叉干扰项，影响我们对分布的正确判断。一种抑制交叉项的内核函数被设计出来，这就是ＣＷＤ分布，ＣＷＤ核沿ｆ，ｖ轴有最大值，因而这种分布对于模糊域上自主项位于ｒ，ｖ轴的信号（如正弦信号和冲激函数）分布效果很好，而对
时频分析技术及应用
于偏离此两轴的信号自主项（如线性调频信号）聚集度下降。同时，它保持了时频边缘分布及其时频一阶矩分别为信号的群延迟和瞬时频率等一系列Ｗｉｇｎｅｒ—Ｖｉｌｌｅ分布固有的良好性质。对于锥形核分布更适合那些模糊域上自主项位于ｒ轴的信号（如正弦信号）：对于谱图而言，对于与窗函数形状接近的信号，谱图有较好的表现，而对于其它的形状的信号，时频聚集性非常差。所以对于某种时频分布只是对于局部信号处理效果比较好。在近几十年中，人们根据自己的研究需要，设计出了符合各自要求的时频分布。使时频分析更适应于工程实践的需露。
２．３．６小波分析
小波分析属于时频分析的一种。小波交换是一种在信号时间一尺度（时间一频率）的分析方法，它具有多分辨率分析（Ｍｕｌｔｉ－ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎＡｎａｌｙｓｉｓ）的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口面积恒定，窗口形状可变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局域化分析方法。从信号频率的角度来看，低的频率（大尺度）对应信号的整体信息，而高频率分量则对应于信号内部隐藏的细节信息，被誉为分析信号的显微镜。
Ｐ（ｆ）∈ｒ（Ｒ）（Ｌ２（Ｒ）表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间），其傅立叶变换为妒（ｗ）。当ｙ（ｗ）满足允许条件：
ｃ，：ｅ％＜ｃｏ（２．３６）
Ｉ，、１２
”
ＩＷＩ
式子（２—３６）是基小波或母小波必须满足的容许条件。同时可以看到：能够用来作为基小波ｙ（，）的函数，最起码要满足缈（ｗ＝０）＝０。这说明ｙ（们必须具有带通性质，而且ｇｔ（ｔ）必须是具有正负幅度交替的振荡波形，这也是“小波”之名的由来。常用的几种基小波有：Ｍｏｒｌｅｔ小波，Ｍａｒｒ小波（墨西哥草帽小波），Ｈａｒｒ小波，样条小波，Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓ小波等。在下面的小波变换仿真试验中，我们采用的是Ｍｏｒｌｅｔ小波。将母小波矿（，）傅缩和平移后，就可得到一个小波序列。对任意的函数ｓｔｆ）∈工２（Ｒ）的连续小波变换为：
ＣＷＴ（ａ，６）＝№）以（ｆ瑚＝｛卜（，）ｙ＋（！旦）ａｔ（２．３７）
。、／ａ’口
式中：ａ是伸缩尺度，６是平移参数，ｙ。（ｒ）是由ｙ（ｆ）平移和伸缩而成。
将小波变换与短时傅立叶变换作比较，我们将会看到两者的联系。连续小波变换是短时傅立叶变换的一个发展，它的提出解决了分析的精度问题。两者具有类似的操作，都要与一个“窗函数”相乘，并且变换都是在时域上分段进行的。