数学教学和高考试题的特点决定了解题是高三教学的主要活动，但数学解题往往会在高考后留下一种印象：高中学习数学题做的不少，很多高考题看起来也懂，为什么考试时却做不下去呢？用最近流行的说法即是“题题有思路，路路都不通”.笔者以2015年江苏高考试卷第19题为例，简单叙述解题教学时，通过寻找题“源”，并在解题中反思研究试题的价值，进而提出几个供大家参考的解题教学想法.
一、试题呈现
题目：已知函数f（x）=x3+ax2+b（a、b∈R）.
（I）试讨论f（x）的单调性；
（II）若b=c-a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（-∞，-3）∪
1，3 2
2 ∪3
2，+
∞，求c的值.
二、试题社会反响
高考后学生对整张试卷感慨较多的是：题题有思路，路路又不通，尤其是基础相对薄弱的考生更为明显，此题就是很好的代表.究竟试题为何让学生有这样的感觉，对我们的教学又有什么启发，这是本文立意的起点.
三、试题评析
本题主要考查利用导数研究初等函数的单调性、极值及零点问题，同时考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力，第一问属于中等题，第二问属于难题.
第一问题源：导数与函数单调性的关系，苏教版选
修课本1-1以及2-1，结论是：设函数y=f（x），如果在某区间上f′（x）>0，那么f（x）为该区间上的增函数；如果f′（x）<0，那么f（x）为该区间上的减函数.简单地说，求f（x）的单调性转化为求解不等式f′（x）>0或f′（x）<0.
第一问解题设计如下所示.
（1）求导.f′（x）=3x2+2ax=x（3x+2a）.
（2）解不等式.令f′（x）>0，即x（3x+2a）>0，因为方程x（3x+2a）=0的两根x1=0、x2=-
2
3
a大小不确定，分类讨论得：①当0<-
2
3
a，即a<0时，f′（x）>0圯x<0或x>-
2
3
a；②当0=-
2
3
a，即a=0时，f′（x）>0圯x≠0，但f（x）在x=0处连续；③当0>-
2
3
a，即a<0时，f′（x）>0圯x<-
2
3
a或x>0.
（3）确定单调性.综上所述，当a<0时，f（x）在区间（-∞，0）和-
2
3
a，+
∞上单调递增，在区间0，-2
3
a上单调递减；当a=0时，f（x）在R上单调递增；当a>0时，f（x）在区间-∞，-
2
3
a和（0，+∞）上单调递增，在区间-
2
3
a，
0上单调递减.
第一问解题障碍：含参数（字母）问题需要分类讨论，学生在复习过程中，对涉及解含参数一元二次不等式（函数与方程）的分类标准或依据不够熟练，制约了本小题的得分.
第二问题源：（1）掌握零点的存在性判断方法，在苏教版必修1中零点存在性定理描述为：若函数y=f（x）在区间［a，b］上的图像是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）<
寻题“源”，为解题教学支招——
—从江苏2015年高考数学卷第19题说起
筅江苏省海门中学李乃洋
0，则函数y=f （x ）在区间（a ，b ）上有零点；（2）导数在研究函数中的应用：包括利用导数判断单调性，求函数极值问题，进而可以方便我们利用函数性质作出函数的草图.在苏教版必修1课本3.3.2节中例题2及3.3.3节例题2中均涉及利用导数研究函数性质及图像.
第二问解题设计如下所示.
（1）理解题意，数形结合，得出等价关系.由（I ）知f （x ）的两个极值为f （0）=b ，f -23
3 a =427
a 3
+b ，作出f （x ）的草图，如图1，则要使函数f （x ）有3个不同零点圳f （0）f -2
3
3 a <0，即b 427
a 3
+3
b <0.（2）合理转化，准确计算.因为b=a-
c ，则由题意关于a 的不等式（c-a ）
427
a 3
+c-3
a <0的解集恰为（-∞，-3）∪1，3
23 ∪32，+3 ∞，又不等式可变形为427a 3
-a+3 c （a-c ）>0，类比一元二次不等式与对应函数图像的关系，令g （a ）=
4
27
a 3
-a+3 c （a-c ），则g （a ）的草图如图2所示，所以a=-3、a=1、a=3
2
是对应方程g （a ）=0的根，则g （1）=0圯（1-c ）c-
2327
3 =0①，g 323 =0圯3
2-3 c （c-1）=0②，g （-3）=0
圯（c -1）（c +3）=0③.由①②③同时成立知c =1.
（3）回顾反思，检验作答.上述分析中我们利用了不等式解集与对应方程的根的关系，是一个必要条件，即不能保证问题的等价性，所以求得的值要回代以检验合理性（充分性）.检验：当c=1时，不等式为（1-a ）·
427
a 3
-a+3
1<0，等价于（1-a ）（a+3）（2a-3）2<0，所以a 的取值范围是（-∞，-3）∪1，
3
23 ∪32
，+3 ∞，符合题意.四、试题研究价值
1.把握命题方向———
题“源”于课本，高于教材江苏高考数学试题近几年命题不在题面上刻意为难考生，命题主要围绕考试大纲，结合现用教材来挖掘试题素材，这使得命题更具原创特点以及贴近学生实际，学生在实际解题时对题目本身没有太强陌生感，这可以理解为命题者选材源于课本，但难度要求实际高于教材的体现.所以要想在高考取得较好的教与学的效果，平时对课本的关注就是对高考题“源”的把握，而最基本的题源便是教材.所以教师在平时教学中要把教材中的概念和例题、作业作为可能的高考题“源”来认真研究，让复习回归数学教学的本真.
2.探究试题变迁———
题千变万化，法不离宗对于2015年江苏卷第19题，在平时的教学复习中我们有没有遇到过类似的问题呢？我们不妨看以下两道试题.
试题1：（2012年全国卷）已知函数y=x 3-3x+c 的图像
与x 轴恰有两个公共点，则c 的可能取值集合为__________.
试题2：（模考题）设a>0，函数f （x ）=
23x 3-12
ax 2
+1，x ∈R .
问题1：若a=1，求曲线y=f （x ）在x=1处的切线方程；问题2：若函数f （x ）存在3个零点，求实数a 的取值范围.
（1）以少胜多，重在优化.
这两题均以三次函数为背景，研究的方法具有相似
性和普遍性，历届高三复习中都会遇到类似问题，而且不止一次，所以教学要达到学生会做这个目的，不仅在于多练，还要重视一题多用，以少胜多.如两题均考查函数图像与x 轴的交点个数问题（即函数零点问题），在教学中首先思考试题的本源在哪儿，解决的方法有哪些，常规的方法是什么，通过比较又有什么收获，改变问题是否可以命制新的问题，带着一连串的思考，我们得到以下几点感想.
x
图1
①方法不在巧，重在得当.
对上述两题，试题1首先可选用分离常数，化归为函数y=c与函数y=-x3+3x有两个交点的问题，运用数形结合的技巧解题.也可直接研究函数y=x3-3x+c的单调性与极值情况，再考虑f（x）有两个零点的等价条件，从而可求c 的值.对于试题2的问题2，方法的合理性是本题解题简洁与成功的关键.我们可以设计如下解法.f′（x）=2x2-ax=
x（2x-a），令f′（x）=0圯x=0，x=a
2
（a>0）.由题意知函数
f（x）的极值f（0）=1>0，f
a
2
2 <0，所以得a>233姨为所求
范围.如果这里再选用分离常数来求解，就给人以会而无法下手的感觉，所以只有平时扎实的训练与对比反思才能为高考中合理解题提供帮助！
②变题不在繁，变在“点”上.
这里“点”指的是教材的重点，考纲的重点.如针对试题2可给出变题2-1：讨论函数f（x）的单调性；变题2-2：求函数f（x）在区间［0，2］上的最值；变题2-3：判断函数f（x）在区间（0，2）上是否有极小值，并说明理由.上述三个变题仅从导数的基本应用角度来出题，便可达到巩固学生对基础知识和方法的掌握训练，体现有效时间落实到重点上，而不是盲目做题、刷题，忽略了高三复习的本来目的.
（2）逆向思考，意义非凡.
荷兰数学教育家H．Freudenthal指出，反思是数学活动的核心和动力.数学解题是高中数学教学的一个最基础、最普遍的数学活动，所以反思理所当然是教与学中重要的环节.反思会带来很多收获，尤其是研究试题的
时候.如对于试题2，若逆向思考，即已知函数f（x）=2
3
x3-
1 2ax2+1中实数a>23
3
姨，探究函数f（x）的零点的个数，
能否调整a的范围改变此问题的结果呢？答案是肯定的.
这样类似的逆向思考，是变式教学的一种创新，对课堂
上习惯了思维定式的学生的解题有着非凡的触动！现在
再来看2015年江苏卷第19题，对此题若逆向思考可得这
样一题：已知函数f（x）=x3+ax2+1-a，当函数f（x）有三个不
同零点时，求实数a的取值范围.这便是平时复习中常规
的已知函数零点求参数范围问题，同学们只要结合导数
与不等式知识很容易解决，但高考中倒过来设置问题就
变得不同凡响，所以日常教师从命题的充分必要角度来
研究试题变题教学还是很值得思考的.
3.尊重考纲导向——
—题有“边界”，练有方向
江苏自2004年开始自主命题，每年发布一次新高考
考试大纲，对命题指导思想、考试内容及要求、考试形式
及试卷结构都作出说明，这本身就是对历年高考命题和
复习的指导要求，也是提醒学生和教师在教学中不要过
分依赖题海战术，而要针对性训练，这样既能提高效率，
也不违背教育的原有目标.所以为了适应考试要求，在
紧张的高三复习教学中，教师和学生对于考纲中的内容
还是要细致研读，尤其是每年其中内容的变化之处.如
2015年数学考纲中把“函数与方程”从原先的A级要求变
为B级要求，体现考查力度的重视或方法的重要.如2015
年江苏数学卷的第19题第二问零点问题，事实上也可看
为对函数与方程思想的一种间接考查.
笔者认为数学教学中要围绕考试要求结合教材和
大纲，立足有价值的例题和试题，借助合理的变形，引导
学生去探究、对比、总结提炼和反思解题，并使其内化为
学生的自觉行为，正如波利亚在《怎样解题》一书中所说
的“你能否一眼看出结论？你能否有别的方法导出这个
结论？你能否把这个题目或这种方法用于解决其他的问
题？”这告诉我们，解题需要寻找题“源”，并通过问题反
思找到类似的解题方法进而实施解题.A