高等数学 10-4对面积的曲面积分

所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面面也连续转动.

二、对面积的曲面积分的定义

解 积分曲面 ∑：y z -=5 ,投影域dxdy z z dS 221'+'+=01+=解 依对称性知：抛物面x z 2+=x

y

z

解 ????????∑∑∑∑++=321 其中1∑：0=z ,2∑：2+=x z ,

（注意：21x y -±=分为左、右两片）（左右两片投影相同）

??∑3xdS ??∑=31xdS ??∑+32xdS ??=xz

D x 2xoz

高等数学定积分应用

第六章 定积分的应用 本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式，而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法。 一、教学目标与基本要求： 使学生掌握定积分计算基本技巧；使学生用所学的定积分的微元法（元素法）去解决各种领域中的一些实际问题； 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等） 二、本章各节教学内容及学时分配： 第一节 定积分的元素法 1课时 第二节 定积分在几何学上的应用 3课时 第三节 定积分在物理学上的应用 2课时 三、本章教学内容的重点难点： 找出未知量的元素（微元）的方法。用元素法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法 6.1定积分的微小元素法 一、内容要点 1、复习曲边梯形的面积计算方法，定积分的定义 面积A ?∑=?==→b a n i i i dx x f x f )()(lim 1 ξλ 面积元素dA =dx x f )( 2、计算面积的元素法步骤： （1）画出图形； （2）将这个图形分割成n 个部分，这n 个部分的近似于矩形或者扇形； （3）计算出面积元素； （4）在面积元素前面添加积分号，确定上、下限。 二、教学要求与注意点 掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。用元素法解决一个实际问题的步骤。 三、作业35 6．2定积分在几何中的应用

一、内容要点 1、在直角坐标系下计算平面图形的面积 方法一 面积元素dA =dx x x )]()([12??-，面积 A = x x x b a d )]()([12??-? 第一步：在D 边界方程中解出y 的两个表达式)(1x y ?=，)(2x y ?=. 第二步：在剩下的边界方程中找出x 的两个常数值a x =，b x =；不够时由)(1x ?)(2x ?=解出， b x a ≤≤，)()(21x y x ??≤≤，面积S =x x x b a d )]()([12??-? 方法二 面积元素dA =dy y y )]()([12??-，面积 A = y y y d c d )]()([12??-? 第一步：在D 边界方程中解出x 的两个表达式)(1y x ?=，)(2y x ?=. 第二步：在剩下的边界方程中找出y 的两个常数值c y =，d y =；不够时由)(1y ?)(2y ?=解出， d y c ≤≤，)()(21y x y ??≤≤，面积S =y y y d c d )]()([12??-? 例1 求22-=x y ，12+=x y 围成的面积 解?????+=-=1 222x y x y ，1222+=-x x ，1-=x ，3=x 。当31<<-x 时1222+<-x x ，于是 面积?--=+-=--+=3 1 313223 210)331 ()]2()12[(x x x dx x x 例2 计算4,22-==x y x y 围成的面积 解 由25.0y x =，4+=y x 得，4,2=-=y y ，当42<<-y 时 45.02+

对面积的曲面积分教案设计

对面积的曲面积分教案 设计 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

对面积的曲面积分教案设计 课 题 对面积的曲面积分 课 时 1课时 教 学 目 的 和 要 求 教学目的： 使学生理解对面积的曲面积分的定义，了解积分中“分割”，“近似”，“求和”和“取极限”的思想。基于第一类曲线积分的性质，理解对面积的曲面积分的性质。将对面积的曲面积分的计算概括为“一投二代三换”，使学生掌握对面积的曲面积分的计算方法。 教学要求： 1.了解对面积的曲面积分的概念； 2.理解对面积的曲面积分的性质； 3.掌握对面积的曲面积分的计算方法； 重 点 难 点 对面积的曲面积分的计算 教 学 方 法 讲授（板书） 教 学 内 容 一、概念的引入 前面介绍了第一类曲线积分() , L x y ds ρ ?，物理背景是曲线型构件的质量，在此问题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，若求曲面的质量，该怎么做？ 例 1 若曲面∑是光滑的，它的面密度为连续函数() ,, x y z ρ，求它的质量。 解：“分割”：用网格线分割曲面∑为 12 ,,, n S S S ???, “近似”：(),,i i i i S ρξηζ∈?; “求和”：(), 1 , n i i i i i S ρξηζ = ? ∑;

对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分有类似的性质 可分为分片光滑的曲面 () =?? f x y z dS ,,

2 21y z x x dydz ++=0,0,0,x z x ≥≥221y y dxdz ++1x z z =++003dx xy =?? 例3 求2z dS ∑??

高等数学积分公式大全

常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +? ＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +? ＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5．d () x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2 d () x x ax b +?＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +? ＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9．2 d ()x x ax b +? ＝ 211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10．x C + 11．x ?＝2 2(3215ax b C a -+ 12．x x ?＝2223 2 (15128105a x abx b C a -+ 13．x ＝22 (23ax b C a - 14．2x ＝2223 2(34815a x abx b C a -+

15 ． ＝(0) (0) C b C b ?+>< 16 ． 2a b - 17 ．x ＝b +18 ．x ＝2a x -+ （三）含有22x a ±的积分 19．22d x x a +?=1arctan x C a a + 20．22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21．22 d x x a -? =1ln 2x a C a x a -++ （四）含有2(0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ?+>+< 23．2 d x x ax b +? ＝2 1ln 2ax b C a ++ 24．22d x x ax b +?＝2d x b x a a ax b -+? 25．2d ()x x ax b +?＝2 2 1ln 2x C b ax b ++ 26．22d ()x x ax b +? ＝21d a x bx b ax b --+?

第二类曲面积分的计算方法

第二类曲面积分的计算方法 赵海林 张纬纬 摘要 利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes 公式，积 分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解. 关键词 第二类曲面积分 定义法 参数法 投影法 高斯公式 Stokes 公式 向量计算形 式 1 引言 曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中，必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧.由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点,许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用. 2 预备知识 2．1第二型曲面积分的概念 2.1.1 流量问题(物理背景) 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度为 (,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++ , ∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ. 若∑为平面上面积为S 的区域，而流速v 是常向量，∑指定侧的单位法向量 cos cos cos n i j k αβ=++ 则 cos .S v S v n θΦ==?? 若∑为曲面，流速v 不是常向量，则用下面的方法计算流量Φ. (1) 分割 将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ?=?…,),同时代表其面积.

曲线积分与曲面积分 期末复习题 高等数学下册 上海电机学院

第十章 曲线积分与曲面积分答案 一、选择题 1．曲线积分 ()sin ()cos x L f x e ydx f x ydy ??--? ??与路径无关，其中()f x 有一阶连续偏导数,且(0)0f =，则()f x = B A ． 1()2x x e e -- B. 1()2x x e e -- Ｃ. 1 ()2 x x e e -+ D ．0 2．闭曲线Ｃ为1x y +=的正向，则 C ydx xdy x y -+=+? C Ａ．０ B.2 C.4 D.６ 3．闭曲线C 为2 2 41x y +=的正向，则 22 4C ydx xdy x y -+=+? D A ．2π- B 。 2π C 。0 D. π ４。∑为ＹOZ 平面上2 2 1y z +≤，则 2 22()x y z ds ∑ ++=?? D Ａ。０ B ． π C ． 14 π Ｄ． 12 π 5。设2 2 2 :C x y a +=，则 2 2()C x y ds +=? C A.22a π B. 2 a π C 。 3 2a π Ｄ． 3 4a π ６。 设∑为球面2 2 2 1x y z ++=，则曲面积分 ∑ ［ B ］ Ａ.4π B ．2π C.π D.12 π ７。 设Ｌ是从Ｏ(0，0)到B(1,1）的直线段，则曲线积分 ? =L yds ［ Ｃ ］ A 。 21 B ． 2 1 - C. 22 Ｄ。 22- 8. 设I=? L ds y 其中L 是抛物线2x y =上点（0, 0)与点（1, １）之间的一段弧, 则Ｉ=［D ] A 。 655 Ｂ．1255 C ．6155- Ｄ。 12 1 55- 9． 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 σ,那么 σ 是（ D ） A ． ?-l ydy xdx 21; B 。 ?-l xdx ydy 2 1 ;

第二类曲面积分的计算方法

第二类曲面积分的计算方法 赵海林张纬纬 摘要利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes 公式，积 分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解. 关键词第二类曲面积分定义法参数法投影法高斯公式 Stokes公式向量计算形 式 1 引言 曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中， 必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧.由于第二 型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌 握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点,许多学生在求解这一类题 型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说 明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第 一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系， 让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的 应用. 2 预备知识 2．1第二型曲面积分的概念

2.1.1 流量问题(物理背景) 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度为 (,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++v v v v , ∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ. 若∑为平面上面积为S 的区域，而流速v v 是常向量，∑指定侧的单位法向量 cos cos cos n i j k αβ=++v v v v 则 若∑为曲面，流速v v 不是常向量，则用下面的方法计算流量Φ. (1) 分割 将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ?=?…,),同时代表其面积. (2) 近似 (,,)i i i i i M S ξηζ?∈?，以点i M 处的流速()i i v v M =v v 和单位法向量i n v 分别代替 i S ?上其他各点处的流速和单位法向量，得到流过i S ?指定侧的流量的近似值： (3) 求和 (4) 取极限 2.1.2 定义

高等数学曲面积分与曲线积分重点难点

第十二章曲线积分与曲面积分 一．基本要求 1．正确理解两类曲线积分与两类曲面积分的概念和性质及几何意义和物理意义。 2．熟练掌握两类曲线积分和两类曲面积分的计算方法，了解两类曲线积分和两 类曲面积分之间相互关系。 3．掌握格林公式及应用，熟悉和会应用平面曲线积分与路经无关的条件。掌握 二元函数全微分方程的求解方法。 4．掌握高斯公式及应用，了解斯托克斯公式，知道通量与散度，环流量与旋度。 5．会用曲线积分和曲面积分求一些几何量与物理量（弧长、曲面面积、质量、 重心、转动惯量、功及流量等）。 二．主要内容(见第二页至第十三页) 1．主要内容联系（框图） 2．曲线积分和曲面积分（表格） 3．曲线和曲面积分的解题步骤（框图） 4．格林公式、高斯公式及斯托克斯公式（表格） 5．在平面区域G上曲线积分与路径无关的（四个等价）条件（框图） 6．全微分方程（框图） 7．注解（注一至注十）（表格） 三．考点与难点 考点： 1．两类曲线积分化为定积分的计算方法及两类曲面积分化为二重积分的计算

方法。 2．格林公式和高斯公式成立的条件和结论，正确灵活地应用格林公式和高斯 公式。 3．应用平面曲线积分与路径无关的四个条件。 4．曲线积分和曲面积分的几何意义和物理意义，将几何问题和物理问题化为曲线积分问题和曲面积分问题求解。 难点： 应用各类型的积分之间关系，选择合适的（可计算的，更方便的）积分计算。 四．例题及题解（见第十四页至第二十一页） 例1至例15 五．部分习题题解（见第二十二页至第三十页） 习题（一）至习题（十五） 六．试卷（见第三十一页至第三十八页） 试卷)(A 、试卷)(B 、试卷)(C 七．试卷答案及题解（见第三十九页至第四十六页） 试卷)(A 、试卷)(B 、试卷)(C 答案及题解 二．主要內容 1。主要内容联系（框图）

第二类曲面积分的计算方法

第二类曲面积分的计算 方法 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

第二类曲面积分的计算方法 赵海林张纬纬 摘要利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes公 式，积 分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解. 关键词第二类曲面积分定义法参数法投影法高斯公式 Stokes公式向量计算形 式 1 引言 曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过 程中，必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧. 由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知 识面广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点,许多学生在 求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种 方法，并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分， 并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重 积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第 二型曲面积分计算方法的应用. 2 预备知识 2．1第二型曲面积分的概念 流量问题(物理背景) 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度为

(,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++, ∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ. 若∑为平面上面积为S 的区域，而流速v 是常向量，∑指定侧的单位法向量 cos cos cos n i j k αβ=++ 则 若∑为曲面，流速v 不是常向量，则用下面的方法计算流量Φ. (1) 分割 将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ?=?…,),同时代表其面积. (2) 近似 (,,)i i i i i M S ξηζ?∈?，以点i M 处的流速()i i v v M =和单位法向量i n 分别代替i S ?上其他各点处的流速和单位法向量，得到流过i S ?指定侧的流量的近似值： (3) 求和 (4) 取极限 定义 .S S i i 的面积，他们的符号由的方向来确定若的法线正向与轴正向成锐角时, z .S xy i i i S xoy S z ?在平面的投影区域的面积为正反之,若法线正向与轴正向成钝角时, .S xy i i xoy S ?他在平面的投影区域的面积为负在各个小曲面上任取一点,(,) i i i ξηζ. 若 lim 1 T n i P →=∑,(,)i i i ξηζyz i S ?0 lim 1 T n i Q →=+ ∑,(,)i i i ξηζzx i S ?0 lim 1 T n i R →=+ ∑,(,)i i i ξηζxy i S ?存在， 或者

高等数学定积分复习题

1. 求 dx e x ?-2ln 01。5．解：设t e x =-1，即)1ln(2+=t x ，有dt t t dx 122+= 当0=x 时，0=t ；当2ln =x 时，1=t 。 dt t dt t t dx e x )111(21211021 0222ln 0???+-=+=- 22)1arctan 1(2)arctan (210π- =-=-=x t . 2. 求由两条曲线2x y =与2y x =围成的平面区域的面积。 ．解：两条曲线的交点是)0,0(与)1,1(，则此区域的面积 31)3132()(1 0323210=-=-=?x x dx x x S 3. 求反常积分 ?+∞-+222x x dx 。 解：dx x x x x dx x x dx b b b b )2111(lim 3 12lim 222222+--=-+=-+???+∞→+∞→+∞ 4ln 3 1)4ln 21(ln lim 31)21ln(lim 312=++-=+-=+∞→+∞→b b x x b b b 5、 4. 设???≤<≤≤-+=20,02,13)(32x x x x x f ，求?-22)(dx x f 解：原式=??-+0 22 0)()(dx x f dx x f ---------5分 =14 ----------5分 6. 求由曲线32,2+==x y x y 所围成的区域绕x 轴旋转而得的旋转体体积。 解：两曲线交点为（-1，1）（3，9）-------2分 面积?--+=3122)32(dx x x S π ---------5分 =17 256 7. 计算定积分2 2π π -? 8. 设()f x 在区间[,]a b 上连续，且()1b a f x dx =?，求() b a f a b x dx +-?。 答案：解：令u a b x =+-，则当x a =时，u b =；当x b =时，u a =，且d x d u =-， 故 ()b a f a b x dx +-?＝()a b f u du -? ＝()1b a f x dx =?。

对面积的曲面积分教案设计

例1若曲面是光滑的，它的面密度为连续函数，求它的质量。 解：“分割”：用网格线分割曲面为S, S2,K , S n, "近似”：i, i, i S； n “求和”：i, i, i S ; i 1

“取极限”：lim ,, , , S i . i 0 17 1,1 i 1 、对面积的曲面积分 1.定义：设曲面是光滑的，函数f x,y,z在上有界，把 分成n个小块S i （S i同时也表示第个小块曲面的面积），设点i, i, i为S i上任意取定的点， n 作乘积f i, i, i S j,并作和f i, i, i s。如果当各小块曲面的直径的 ，i 1 ， 最大值0时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f x,y,z在曲面上对 面积的曲面积分或第一类曲面积分，记为 f x, y, z dS，即

三换：换面积元dS ; 按照曲面的不同情况分为以下三种: 3.若曲面 ：x x y,z f x,y,z dS f x y, z , y, z J i x ： x ；dydz D yz 四举例 例：求球面x 2 y 2 z 2 a 2在h z a 部分的质量 0 h a ，已知球面上一点的 1 面密度为该点竖坐标的倒数 x, y, z - z 1 解：Q M x, y, z dS dS z 球面 在 xOy 平面的投影：x 2 y 2 a 2 h 2， z a 2 x 2 y 2， h z a ， a 2 h 2 a d 2 aln a 2 2 解：1:x 0, y 0, z 0, y z 1 , 1. 若曲面 ：z f x,y,z dS 2. 若曲面 ：y f x, y, z dS z x,y f x, y, z x, y D xy y x,z f x, y x, z , z D xz 22 一.1 Z x Z y dxdy ; 1 ￡ y ；dxdz ; J 2 2 dS \ 1 Z x z y dxdy Ja 2 y ~2 x dxdy .a 2 Ar dxdy x y 1 dS 2 z D xy ■- a 2 x 2 y 2 , a 2 dxdy D xy -2dxdy y °xyzdS , : x 0, y 0,z 0,x y 1所围立体的边界的曲面。

高等数学-曲面积分试题

Ⅶ 曲线积分与曲面积分（二） 课堂练习题 一、填空题 1．cosα, cosβ, cosγ是光滑闭曲面Σ的外法向量方向余弦，Σ所围空间闭区域为V ，设u (x, y , z )在V 上具有连续二阶偏导数，则用高斯公式化曲面积分为重积分时有(cos cos cos )u u u ds x y z ???αβγ???∑++??ò= 。 2．分片光滑闭曲面Σ所围成的空间区域Ω的体积为V ，则沿曲面Σ外侧的积分()()()z y dxdy y x dxdz x z dzdy ∑-+-+-??ò= 。 3．设函数),,(z y x p 在空间闭区域V 上有一阶连续偏导数，又Σ是V 的光滑边界曲面的外侧，则由高斯公式有(,,)p x y z dydz ∑ ??ò 。 4．设Σ是一片分布着质量的光滑曲面，其面密度为常数μ，则曲面对y 轴的转动惯量I y = 。 5．围成空间闭区域V 的光滑闭曲面Σ外法向量的方向余弦为cos α、cos β、cos γ，设P (x , y , z )、Q (x , y , z )、R (x , y , z )在V 上有连续二阶偏导数，则[()cos ()cos ()cos ]R Q P R Q P ds y z z x x y ??????αβγ?????∑-+-+-???ò 。 二、选择题 1．设∑为球面2221x y z ++=，1∑为其上半球面，则 式正确。 A ．12zds zds ∑∑=????； B ．1 2zdxdy zdxdy ∑∑=????； C ．1222z dxdy z dxdy ∑∑=????； D ．zdxdy ∑ ??=0。 2．若∑为222()z x y =-+在xoy 面上方部分的曲面，则ds ∑ ??等于 。 A ．200d rdr πθ? ?； B ．200d rdr πθ??； C ．20d rdr πθ?； D ．2π。 3．若∑为球面2222x y z R ++=的外侧，则22x y zdxdy ∑ ??等于 。 A ．2xy D x y ??； B ． 22xy D x y ??；

第二类曲线积分的计算22749

第二类曲线积分的计算 作者：钟家伟 指导老师：张伟伟 摘要：本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算，重点是利用对称性， 参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。 关键词：第二类曲线积分 二重积分 参数积分 对称性原理 斯托克斯公式 第二类曲面积分 1 引言 本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要的计算方法。 1.1 第二类曲线积分的概念 介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。 1.2第二类曲线积分的计算方法 介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法，利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。 2.1第二类曲线积分的物理学背景 力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功 一质点受变力()y x F , 的作用沿平面曲线L 运动,当质点从L 之一端点A 移动到另一端B 时,求力()y x F , 所做功W . 大家知道,如果质点受常力F 的作用从A 沿直线运动到B ,那末这个常力F 所做功为 W =AB F ? . 现在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢? 为此,我们对有向曲线L 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入1-n 个分点 ,,.....,,121-n M M M 与A =n M B M =,0一起把曲线分 成n 个有向小曲线段 i i M M 1-),,2,1(n i = ,记 小曲线段i i M M 1-的弧长为i S ?.则分割

第二类曲面积分的计算方法定稿版

第二类曲面积分的计算 方法 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

第二类曲面积分的计算方法 赵海林张纬纬 摘要利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes公 式，积 分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解. 关键词第二类曲面积分定义法参数法投影法高斯公式 Stokes公式向量计算形 式 1 引言 曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程 中，必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧.由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面 广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点,许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用. 2 预备知识

2．1第二型曲面积分的概念 2.1.1 流量问题(物理背景) 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度为 (,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++, ∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ. 若∑为平面上面积为S 的区域，而流速v 是常向量，∑指定侧的单位法向量 cos cos cos n i j k αβ=++ 则 若∑为曲面，流速v 不是常向量，则用下面的方法计算流量Φ. (1) 分割 将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ?=?…,),同时代表其面积. (2) 近似 (,,)i i i i i M S ξηζ?∈?，以点i M 处的流速()i i v v M =和单位法向量i n 分别代替 i S ?上其他各点处的流速和单位法向量，得到流过i S ?指定侧的流量的近似值： (3) 求和 (4) 取极限

高等数学第五章定积分总结

第五章 定积分 内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。 要求：理解定积分的概念和性质。掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。 重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。 难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。 §1.定积分的概念 一、实例分析 1．曲边梯形的面积 设函数)(x f y =∈C[a , b ], 且)(x f y =>0. 由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形. 如何定义曲边梯形的面积 (1) 矩形面积=底高. (2) 预备一张细长条的纸, 其面积底高. (3) 预备一张呈曲边梯形状的纸, 将其撕成许多细长条. (4) 启示: 将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小. 第i 个细长条面积)],,[()(11---=?∈??≈?i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ 曲边梯形面积: ∑=?≈ n i i i x f S 1 )(ξ 定积分概念示意图.ppt 定义: ),,2,1,max {()(lim 1 n i x x f S i n i i i Λ=?=?=∑=→λξλ y =f (x ) x =a x =b y =f (x ) a=x 0 x 1 x i-1 x i x n =b

抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义 设)(x f y =在[a , b ]有定义, 且有界. (1) 分割: 用分点b x x x a n =<<<=Λ10把[a , b ]分割成n 个小区间: } ,,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x n i x x i i i i i i ΛΛ=?=-=?=--λ记 (2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i , 做乘积: i i x f ?)(ξ. (3) 求和: ∑=?n i i i x f 1 )(ξ (4) 取极限: ∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ 若极限存在, 则其为)(x f 在[a , b ]上的定积分, 记作: ? b a dx x f )(. 即: ∑? =→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ [a , b ]: 积分区间；a ：积分下限；b ：积分上限； ∑=?n i i i x f 1 )(ξ积分和式. 问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中, 谁是常量, 谁是变量 注: (1) ∑ =?n i i i x f 1 )(ξ与区间的分割法x i 和取点法 i 有关; 而 ? b a dx x f )(与x i 和 i 无 关. (2) ? b a dx x f )(与a 、b 、f 有关，与x 无关，即： [][]???? ===b a b a b a b a d f du u f dt t f dx x f )()()()( 2．定积分存在定理 定理 若)(x f 在[a , b ]上有界且只有有限个间断点，则)(x f 在[a , b ]上可积. 推论 若)(x f 在[a , b ]上连续，则)(x f 在[a , b ]上可积. 例1. 求 ?1 xdx

曲面积分精解

第一节 第一类曲面积分 内容要点 一、 第一类曲面积分的概念与性质 定义1 设曲面∑是光滑的, 函数),,(z y x f 在∑上有界, 把∑任意分成n 小块i S ?(i S ?同时也表示第i 小块曲面的面积),在i S ?上任取一点),,,(i i i ζηξ作乘积 ),,2,1(),,(n i S f i i i i =??ζηξ 并作和 ,),,(1 ∑=??n i i i i i S f ζηξ 如果当各小块曲面的直径的最大值0→λ时, 这和式的极限存在, 则称此极限值为),,(z y x f 在∑上第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记为 ∑??=→∑ ?=n i i i i i S f dS z y x f 10 ),,(lim ),,(ζηξλ (4.2) 其中),,(z y x f 称为被积函数，∑称为积分曲面. 二、对面积的曲面积分的计算法 .),(),(1)],(,,[),,(22 ????++=∑xy D y x dxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f (4.3) 例题选讲 例 1 计算曲面积分,??∑z dS 其中∑是球面2222a z y x =++被平面)0(a h h z <<=截出的顶部. 解 ∑的方程为.222y x a z --= ∑在xOy 面上的投影区域:xy D {} .),(2222h a y x y x -≤+ 又,12 2 2 22 y x a a z z y x --= ++利用极坐标 故有 ?? ?? -=∑ xy D r a adxdy z dS 22 220 202 22 2r a rdr d a r a ardrd h a D xy -=-=? ? ?? -θ θ π 2 20 22)(212h a r a In a -??????--=π .2h a aIn π= 例2（E01）计算,)(??∑ ++dS z y x 其中∑为平面5=+z y 被柱面252 2=+y x 所截得的部分. 解 积分曲面 ∑-=,5:y z 其投影域},25),({22≤+=y x y x D xy

对面积的曲面积分修订稿

对面积的曲面积分 WEIHUA system office room 【WEIHUA 16H-WEIHUA WEIHUA8Q8-

第四节 对面积的曲面积分 学习目标 了解对面积的曲面积分的概念、性质，掌握对面积的曲面积分的计算方法，会用曲面积分求一些几何量与物理量. 内容提要 1.定义 设函数(),,f x y z 在光滑曲面∑上有界，将曲面∑任意分成n 小块 i S ?（i S ?也表示第i 小块曲面的面积），在i S ?上任取一点(,,)i i i i M ξηζ，作乘 积i i i i S f ?),,(ζηξ（1,2, ,i n =），并作和()1 ,,n i i i i i f s ξηζ=??∑，记各小曲面直径 的最大值为λ，如果对曲面的任一分法和点(,,)i i i ξηζ的任意取法，当0λ→时，上述和式的极限都存在且相等，则称此极限值为函数(),,f x y z 在曲面∑上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记 =??∑ dS z y x f ),,(0lim →λ1 (,,)n i i i i i f S ξηζ=∑?． 【注】定义中的“i S ?”是面积元素，因此，0i S ?≥． 2.性质 ①关于曲面具有可加性，若12∑=∑+∑，且1∑与2∑没有公共的内点，则 =??∑ dS z y x f ),,(????∑∑+2 1 ),,(),,(dS z y x f dS z y x f ； ②当被积函数为1时，积分结果在数值上等于曲面∑的面积S ，即 S dS z y x f =??∑ ),,(． 3.对面积的曲面积分的计算 设曲面∑由(),z z x y =给出，∑在xoy 面上的投影区域为xy D ， 函数 (),z z x y =在xy D 上具有连续偏导数，被积函数(,,)f x y z 在∑上连续，则 (,,)(,,(,xy D f x y z dS f x y z x y ∑ =???? ． 同样地

D对面积的曲面积分

第四节 对面积的曲面积分 一、填空题 1．分片光滑的有界曲面∑，曲面上任一点(,,)x y z 的面密度为(,,)x y z μ，则曲面的质量 为M = (,,)d x y z S ∑ μ??，对x 轴的转动惯量x I = 2 2()(,,)d y z x y z S ∑ μ+??． 2.设光滑曲面∑的方程为(,)z z x y =，它在xOy 面上的投影区域为xy D ，则 (,,)d f x y z S ∑ =??(,,(,d xy D f x y z x y x y ??（写出计算公式）． 3．设曲面∑为曲面z = 1z =截下的曲面，则d S ∑ =??． 4．（附加题）设∑： 2 2 2 2 x y z R ++=(0)R >，则 222 ()d xy D f x y z S ∑ ++=???? (2d f R x y yz D =?? (2d f R y z xz D = ?? (2d f R z x ， 其中,,xy yz xz D D D ，分别为∑在,,xoy yoz xoz 面的投影． 二、单项选择题 1．∑为球面2222 x y z R ++=(0)R >，则曲面积分222 ()d x y z S ∑ ++=?? C ． A ．4πR B ．42πR C ．44πR D ．46πR 提示：2 2 2 2 4 ()d d 4πx y z S R S R ++==????∑ ∑ . 2．设S ：()2222 0,0x y z a z a ++=≥>，1 S 是S 在第一卦限中的部分，则有 C ． A ．1 d 4d S S x S x S =???? B ．1 d 4d S S y S x S =?? ?? C ．1 d 4d S S z S x S =???? D ．1 d 4d S S xyz S xyz S =???? 提示：被积函数(,,)f x y z z =在曲面上为正，积分曲面关于xoy 面及yoz 面对称，故

对面积的曲面积分

第四节对面积的曲面积分 4.1学习目标 了解对面积的曲面积分的概念、性质，掌握对面积的曲面积分的计算方法，会用曲面积分求一些几何量与物理量. 4.2内容提要 1.定义设函数(),,f x y z 在光滑曲面∑上有界，将曲面∑任意分成n 小块i S ?（i S ?也表示第i 小块曲面的面积），在i S ?上任取一点(,,)i i i i M ξηζ，作乘积i i i i S f ?),,(ζηξ（1,2, ,i n =） ，并作和()1,,n i i i i i f s ξηζ=??∑，记各小曲面直径的最大值为λ，如果对曲面的任一分法和点(,,)i i i ξηζ的任意取法，当0λ→时，上述和式的极限都存在且相等，则称此极限值为函数(),,f x y z 在曲面∑上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记 =??∑ dS z y x f ),,(0lim →λ 1 (,,)n i i i i i f S ξηζ=∑?． 【注】定义中的“i S ?”是面积元素，因此，0i S ?≥． 2.性质 ①关于曲面具有可加性，若12∑=∑+∑，且1∑与2∑没有公共的内点，则 =??∑ dS z y x f ),,(????∑∑+2 1 ),,(),,(dS z y x f dS z y x f ； ②当被积函数为1时，积分结果在数值上等于曲面∑的面积S ，即 S dS z y x f =??∑ ),,(． 3.对面积的曲面积分的计算 设曲面∑由(),z z x y =给出，∑在xoy 面上的投影区域为xy D ，函数(),z z x y =在xy D 上具有连续偏导数，被积函数(,,)f x y z 在∑上连续，则 (,,)(,,(,xy D f x y z dS f x y z x y ∑ =???? ． 同样地 () ( ):,(,,),,,yz x x y z D f x y z dS f x y z y z ∑=∑ ??=???? ，

对面积的曲面积分

第四节 对面积的曲面积分 4.1 学习目标 了解对面积的曲面积分的概念、 性质，掌握对面积的曲面积分的计算方法， 会用曲面积 分求一些几何量与物理量 . 4.2 内容提要 1.定义 设函数f x, y,z 在光滑曲面 上有界，将曲面 任意分成n 小块 s ( S i 也表示第i 小块曲面的面积)，在 S i 上任取一点 M i ( i , i , J ，作乘积f( i , i , i ) S i n (i 1,2,L ,n )，并作和 f i , i , i s i ，记各小曲面直径的最大值为 ，如果对曲 i 1 面的任一分法和点(i , i , i )的任意取法，当 0时，上述和式的极限都存在且相等，则 称此极限值为函数 f x,y,z 在曲面 上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记 n f(x, y,z)dS lim 0 i 1 f ( i , i , i ) S ? 【注】定义中的“ S i ”是面积元素，因此， S i 0 . 2?性质 f(x,y,z)dS f(x,y,z)dS f(x, y,z)dS ; 1 2 ②当被积函数为1时，积分结果在数值上等于曲面 的面积S ，即 f (x, y, z)dS S . 3.对面积的曲面积分的计算 在xoy 面上的投影区域为 D xy ,函数z z x, y 在 ①关于曲面具有可加性，若 1 2，且1与2没有公共的内点，则 设曲面 由z z x, y 给出, D xy 上具有连续偏导数，被积函数 f (x, y,z)在 上连续，则 f (x, y,z)dS f(x, y,z(x,y)h 1 dxdy 同样地 D xy :x x y,z f (x, y, z)dS D yz x y,z , y,z dydz ,