玉溪师范学院学报第２０卷２００４年第１２期
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＹｕｘｉＴｅａｃｈｅｒｓＣｏｌｌｅｇｅＶ０１．２０Ｎｏ．１２Ｄｅｃ．２００４
常微分方程求积分因子的一个定理及其应用
赵凯宏李晓飞米
（玉溪师范学院数学系，云南玉溪６５３１００）
［关键词］全微分方程；积分因子；首次积分
［摘要］将积分因子满足的偏微分方程改写成其特征方程，从而与常微分方程组的首次积分相联系．利用“可积组合法”来求积分因子，从而使所求常微分方程化成全微分方程．［中图分类号］０１７５［文献标识码］Ａ［文章编号］１００９—９５０６（２００４）１２—００３１—０４ＴｈｅＴｈｅｏｒｅｍａｎｄＩｔｓＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｆｏｒＳｏｌｖｉｎｇ
ＩｎｔｅｇｒａｔｉｎｇＦａｃｔｏｒｓｏｆＯｒｄｉｎａｒｙＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕｉｔｉｏｎｓ
ＺＨＡＯＫａｉ—ｈｏｎｇＬＩＸｉａｏ—ｆｅｉ
（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＹｕｘｉＴｅａｃｈｅｒｓ’Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｙｕｘｉ，Ｙｕｎｎａｎ６５３１００）ＫｅｙＷｏｒｄｓ：ｃｏｍｐｌｅｔｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｉｎｔｅｇｒａｔｉｎｇｆａｃｔｏｒｓ；Ｆｉｒｓｔｉｎｔｅｇｒａｌ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕｉｔｉｏｎｓｓａｔｉｓｆｉｅｄｗｉｔｈｉｎｔｅｇｒａｌｆａｃｔｏｒｓｒｅｗｒｉｔｅｔｏｉｔｓｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｅｑｕｉｔｉｏｎｓ．Ｈｅｎｃｅ，Ｉｔｉｓｒｅｌａｔｅｄｔｏｔｈｅｆｉｒｓｔｉｎｔｅｇｒａｌｏｆｔｈｅｓｙｓｔｅｍｏｆｏｒｄｉｎａｒｙｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅ
ｉｎｔｅｇｒａｔｉｎｇｆａｃｔｏｒｓ
ａｒｅ
ｅａｃｕｌａｔｅｄｂｙｔｈｅｉｎｔｅｇｒａｌｃｏｍｂｉｎａｔｏｒｉａｌｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｔｈｅｏｒｄｉｎａｒｙｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ
ｅｑｕｉｔｉｏｎｓ
ｂｅｃｏｍｅｔｈｅｃｏｍｐｌｅｔｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ．１定理推导
满足设常微分方程
Ｍ（石，），）ｄｘ＋Ｎ（ｘ，），）咖＝０
ＯＭ，ＯＮ
百≠面
（１）
（２）
若存在函数肛（戈，Ｙ）使得
Ｉｔ（ｘ，Ｙ）Ｍ（石，Ｙ）ｄｘ＋肛（戈，Ｙ）Ｎ（戈，Ｙ）ｄｙ＝０（３）
成立
虫盟：业盟
（４）
ｄｙｄｘ
此时，方程（３）就变成了一个全微分方程，其通解为
Ｉ肛（戈，Ｙ）Ｍ（戈，Ｙ）ｄｘ＋Ｉ肛（ｘｏ，Ｙ）Ｎ（‰，Ｙ）ｄｙ＝ｃ（５）
这里（ｚ。，Ｙｏ）是肛（戈，Ｙ）Ｍ（戈，Ｙ），肛（戈，Ｙ）Ｎ（戈，Ｙ）公共定义域内的任意一固定点．Ｃ为积分常数．由于方程（３）与方程（１）是同解方程，所以（５）也是方程（１）的通解．
可见，要求解方程（１）关键是求积分因子肛（戈，Ｙ），而要求ｐ（ｚ，Ｙ）关键是解偏微分方程（４）．方程（４）可化成如下的等价形式
Ｎ０１＿．业一Ｍ挚：巡一型（６）
ｄｘｄＶｄｙＯｘ
若记
瓤收稿日期］２００４一０８—０６
［作者简介］赵凯宏（１９７４一），男，甘肃泾川人，硕士，讲师，主要从事微分方程方面的研究
万方数据
玉溪师范学院学报
ｕ＝ｌｒｇｔ，Ｓ＝警一碧
则（６）为
Ｎ塑一Ｍ塑：Ｓ
ＯｘＯｙ
方程（７）的特征方程为
坐一立一妲
Ｎ一一Ｍ—Ｓ
求解方程（７）的关键是求解方程（８），因此有如下定理．
定理：方程（１）可求出积分因子的充要条件是方程（８）可求出首次积分．
２定理的应用
１．、定理包含了积分因子为ｇ（ｘ，Ｙ）＝ｐ（戈）（或／．ｔ（ｙ））的情形
（１）若Ｓ＝Ｎ?ｐ（戈），则由（８）式得
坐一生坚
Ⅳ一Ｎ?Ｐ（并）
解得一个首次积分为：Ｕ＝Ｊｐ（石）ｄｘ
从而得积分因子：肛＝ｅＪ９‘。№
（２）若Ｓ＝Ｍ?Ｑ（ｙ），则由（８）式得
坐一生堡
ＭＭ?Ｑ（ｙ）
解得一个首次积分为：ｕ＝ｌＱ（ｙ）ｄｙ
从而得积分因子：ｐ＝ｅＪ。‘７’毋
２．利用定理可求方程（１）某些情形的各种类型的积分因子
例如：对方程
ｙｄｘ—ｘｄｙ＝０
式（８）为
一ｄｘ一立一垫
一戈一一Ｙ一２
若由（１２）得：亟：ｉｄｕ
可得积分因子：肛＝专
若ｆ１３（１２）得：鱼：ｉｄｕ
可得积分因子：肛＝二２
若由（１２）及合分比眭质得：兰徽＝譬
一ｌ戈十ＶＪ二
可得积分因子：肛＝Ｔ÷１
３．利用定理可求一类特殊Ｒｉｃｃａｔｉ方程
Ｒｉｃｃａｔｉ方程的一般形式是
如ｄｙ＝ｐ（戈）ｙ２＋ｑ（ｘ）），＋ｒ（戈），（ｐ（戈）≠Ｏ）若ｒ（戈）毫０，方程（１３）化为
（７）（８）
（９）（１０）
（１１）（１２）
（１３）
万方数据
赵凯宏李晓飞：常微分方程求积分因子的一个定理及其应用?３３?
如ａｙ＝ｐ（石）ｙ２＋ｇ（石）ｙ
对方程（１４），由于
Ｍ叫ｚ）ｙ２＋ｇ（圳），，Ｎ一１，警＝２ｙｐ（小ｍ），筹＝ｏ
由（８）式得
如一一生一ｄｕ
一１一ｐ（ｘ）ｙ２—２＂（石）＋ｑ（戈）
从而
ｄｘ一２ｄｙ一一ｙｄｕ
１—２ｐ（ｘ）ｙ２＋２ｑ（ｘ）ｙ一２ｙ２ｐ（戈）＋ｑ（ｘ）ｙ
利用合分比性质得
ａｘ—．２ｄｙ＋ｙｄｕ
１ｇ（石）Ｙ
即
ｑ（ｘ）ｄｘ＝÷妙＋ｄｕ
于是得一首次积分
ｕ＝ｊｇ（石）ｄｘ一２１ｎｙ
从而得（１４）的一个积分因子
肚：与ｅｆｑ＜砧出
Ｙ
这样，方程（１４）化成一个可求解的全微分方程
ｙ－２ｅ：ｑ（ｘ）ｄｘ［ｐ（菇）），２＋ｑ（ｘ）ｙ］ｄｘ—ｙ一２ｅＪ９‘。’出方
４．利用定理可求方程（１）的某些情形的积分因子，使该方程化为可求解全微分方程
例１．对方程
（戈３＋ｘｙ２＋石＋ｙ）ｄｘ一（并一），）ａｙ＝０
由于Ｍ＝Ｘ，３＋ｘｙ２＋石＋ｙ，Ⅳ＝ｙ一石，詈＝２ｘｙ，面ＯＮ＝一１
从而（８）式为
盘一一一二生ｚ一生些
Ｙ一茁一菇３＋ｘｙ２＋菇＋Ｙ一２ｘｙ＋２
式（２３）可化为
２ｘｄｘ一２迹．
一
生兰
一ｘｙ＋戈２一石３ｙ＋ｘｙ３＋ｘｙ＋Ｙ２一一（ｘｙ＋１）利用合分比性质可得
２ｘ…ｄ—ｘ．＋２ｙａｙ～一ｄＭ一．
ｘｙ（ｘ２＋Ｙ２）一一（ｘｙ＋１）
即等等＝当
解得首次积分为：１１．＝一ｌｎ（ｘ２＋Ｙ２）
从而积分因子为：／ｘ＝Ｉ÷１
于是方程化为一个全微分方程
戈ｄｘ＋垒上丑粤二皂￡上迪：０
ｚ。＋Ｙ。
例２．对Ｂｅｒｎｕｌｌｉ方程（１４）
（１５）（１６）（１７）（１８）（１９）（２０）（２１）（２２）（２３）（２４）（２５）
（２６）
万方数据
玉溪师范学院学报
一谚ｙ＋［ｐ（ｘ）ｙ＋ｇ（ｘ）ｙ“］ｄｘ＝０，（ｎ≠０，１）由于Ｍ－ｐ（咖＋ｑ（ｘ矿．Ｎ．＿ｌ，詈＝ｐ（ｘ）＋ｎｙ＂－１ｑ㈤，箬＝０从而（８）式为
—ｄ—ｘ一二尘
一
生些
一ｌｐ（ｘ）ｙ＋ｑ（ｘ）ｙ”ｐ（ｘ）ｙ＋ｎｑｆｘ）ｙ８。１
式（２８）可化为
堡苎一翌坐一二ｚ生兰
１ｎｐ（ｘ）ｙ＋ｎｑ（ｘ）ｙ４Ｐ（ｘ）ｙ＋ｎｑ（ｘ）ｙ８
利用合分比性质可得
坐一翌堡ｚ±ｚ生些
１（ｎ一１）Ｐ（戈）Ｙ
即（ｎ一１）Ｐ（ｘ）ｙ＝ｎｙ“ｄｙ＋ｄＨ
解得首次积分为：ｕ＝（ｎ一１）ｆｐ（戈）ｄｘ—ｎｌｎｙ
从而积分因子为：ｐ＝ｙ－ｎＰ（ｎ－１）１ｑ‘。’出
于是方程化为一个全微分方程
［ｐ（ｘ）ｙ１一“＋ｇ（菇）］ｅ（ｎ－１）ｘ）ｄｘｄｘ—ｙ－．ｅ（．－１）ｆｑ（ｘ）ｄｘｄｙ＝０例３．设工（ｚ）Ｚ（ｚ）连续可微，对方程
Ｚ（ｘｙ）ｙｄｘ＋正（拶）戈咖＝０
若记ｚ＝ｘｙＺ＝Ｚ（ｘｙ）＝工（ｚ）Ｚ＝五（ｘｙ）＝五（戈）
由于Ｍ＝工ｙ．Ｎ＝Ｌｘ，石ＯＭ＝＿＋菇ｙｆｔＩ）石ＯＮ＝五＋戈ｙｆ’：
从而（８）式为
式（３３）可化为
利用合分比性质可得即
—ｄ—ｘ一丑一型些
硬一奶一（■一以）＋戈ｙＵ’。一ｆ’：）ｚｄｘ．一．－ｘｄｙ一
生些
城一ｘｙｆ，一（工一五）＋ｘｙ（ｆ’。一ｆ’：）
ｚ堡兰±兰堡ｚ
一
生些
ｘｙ（ｆ２一Ｚ）一（■一五）＋ｘｙ（ｆ’。－ｆ’：）
尘
一
生兰
ｘｙ（Ｌ一■）一（■一厶）＋ｚ（ｆ’。一ｆ’：）
解得首次积分为：ｕ＝一ｌ眦［工（ｚ）－Ｌ（ｚ）］（２７）（２８）（２９）（３０）
（３１）（３２）
（３３）（３４）（３５）（３６）
从而积分因子为：肛＝忑万瓦南＝万百了石产丽
于是方程化为一个全微分方程袅芳拿Ｊ砉２＝Ｙ辱。，Ｊ孚ｔ耸苦（３７）
ｘ＼Ｊｌ一）一Ｊ２）
通过上面的例子可以看出，利用定理求解方程（１）关键是求解方程（８）．而（８）可以用“可积组合法”求解首次积分，但这需要很强的技巧性．
［参考文献］
［１］东北师大数学系．常微分方程［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１．
［２］蔡燧林．常微分方程［Ｍ］．杭州：浙江大学出版社，２０００．
万方数据
常微分方程求积分因子的一个定理及其应用
作者：赵凯宏， 李晓飞， ZHAO Kai-hong， LI Xiao-fei
作者单位：玉溪师范学院,数学系,云南,玉溪,653100
刊名：
玉溪师范学院学报
英文刊名：JOURNAL OF YUXI TEACHERS'COLLEGE
年，卷(期)：2004，20(12)
被引用次数：0次
参考文献(2条)
1.东北师大数学系常微分方程 2001
2.蔡燧林常微分方程 2000
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常微分方程的积分因子求解法 内容摘要：本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法，并推广到较一般的形式。 关键词： 全微分方程，积分因子。 一、 基本知识 定义1.1 对于形如 0),(),(=+dy y x N dx y x M （1.1） 的微分方程，如果方程的左端恰是x ，y 的一个可微函数),(y x U 的全微分，即d ),(y x U = dy y x N dx y x M ),(),(+，则称（1.1）为全微分方程. 易知，上述全微分方程的通解为 ),(y x U =C , （C 为任意常数）. 定理1.1 （全微分方程的判别法）设),(y x M ，),(y x N 在x ，y 平面上的单连通区域G 内具有连续的一阶偏导数，则（1.1）是全微分方程的充要条件为 x y x N y y x M ??=??),(),( （1.2） 证明见参考文献[1]. 定义1.2 对于微分方程（1.1），如果存在可微函数),(y x μ，使得方程 ),(y x μ0),(),(),(=+dy y x N y x dx y x M μ （1.3） 是全微分方程，则称),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子. 定理1.2 可微函数),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为 x y x y x N ??),(ln ),(μ-y y x y x M ??),(ln ),(μ=x y x N y y x M ??-??),(),( （1.4） 证明：由定理1.1得，),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为 x y x N y x y y x M y x ??=??)),(),(()),(),((μμ， 展开即得：
玉溪师范学院学报第２０卷２００４年第１２期 ＪｏｕｒｎａｌｏｆＹｕｘｉＴｅａｃｈｅｒｓＣｏｌｌｅｇｅＶ０１．２０Ｎｏ．１２Ｄｅｃ．２００４ 常微分方程求积分因子的一个定理及其应用 赵凯宏李晓飞米 （玉溪师范学院数学系，云南玉溪６５３１００） ［关键词］全微分方程；积分因子；首次积分 ［摘要］将积分因子满足的偏微分方程改写成其特征方程，从而与常微分方程组的首次积分相联系．利用“可积组合法”来求积分因子，从而使所求常微分方程化成全微分方程．［中图分类号］０１７５［文献标识码］Ａ［文章编号］１００９—９５０６（２００４）１２—００３１—０４ＴｈｅＴｈｅｏｒｅｍａｎｄＩｔｓＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｆｏｒＳｏｌｖｉｎｇ ＩｎｔｅｇｒａｔｉｎｇＦａｃｔｏｒｓｏｆＯｒｄｉｎａｒｙＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕｉｔｉｏｎｓ ＺＨＡＯＫａｉ—ｈｏｎｇＬＩＸｉａｏ—ｆｅｉ （ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＹｕｘｉＴｅａｃｈｅｒｓ’Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｙｕｘｉ，Ｙｕｎｎａｎ６５３１００）ＫｅｙＷｏｒｄｓ：ｃｏｍｐｌｅｔｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｉｎｔｅｇｒａｔｉｎｇｆａｃｔｏｒｓ；Ｆｉｒｓｔｉｎｔｅｇｒａｌ Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕｉｔｉｏｎｓｓａｔｉｓｆｉｅｄｗｉｔｈｉｎｔｅｇｒａｌｆａｃｔｏｒｓｒｅｗｒｉｔｅｔｏｉｔｓｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｅｑｕｉｔｉｏｎｓ．Ｈｅｎｃｅ，Ｉｔｉｓｒｅｌａｔｅｄｔｏｔｈｅｆｉｒｓｔｉｎｔｅｇｒａｌｏｆｔｈｅｓｙｓｔｅｍｏｆｏｒｄｉｎａｒｙｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｎｇｆａｃｔｏｒｓ ａｒｅ ｅａｃｕｌａｔｅｄｂｙｔｈｅｉｎｔｅｇｒａｌｃｏｍｂｉｎａｔｏｒｉａｌｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｔｈｅｏｒｄｉｎａｒｙｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕｉｔｉｏｎｓ ｂｅｃｏｍｅｔｈｅｃｏｍｐｌｅｔｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ．１定理推导 满足设常微分方程 Ｍ（石，），）ｄｘ＋Ｎ（ｘ，），）咖＝０ ＯＭ，ＯＮ 百≠面 （１） （２） 若存在函数肛（戈，Ｙ）使得 Ｉｔ（ｘ，Ｙ）Ｍ（石，Ｙ）ｄｘ＋肛（戈，Ｙ）Ｎ（戈，Ｙ）ｄｙ＝０（３） 成立 虫盟：业盟 （４） ｄｙｄｘ 此时，方程（３）就变成了一个全微分方程，其通解为 Ｉ肛（戈，Ｙ）Ｍ（戈，Ｙ）ｄｘ＋Ｉ肛（ｘｏ，Ｙ）Ｎ（‰，Ｙ）ｄｙ＝ｃ（５） 这里（ｚ。，Ｙｏ）是肛（戈，Ｙ）Ｍ（戈，Ｙ），肛（戈，Ｙ）Ｎ（戈，Ｙ）公共定义域内的任意一固定点．Ｃ为积分常数．由于方程（３）与方程（１）是同解方程，所以（５）也是方程（１）的通解． 可见，要求解方程（１）关键是求积分因子肛（戈，Ｙ），而要求ｐ（ｚ，Ｙ）关键是解偏微分方程（４）．方程（４）可化成如下的等价形式 Ｎ０１＿．业一Ｍ挚：巡一型（６） ｄｘｄＶｄｙＯｘ 若记 瓤收稿日期］２００４一０８—０６ ［作者简介］赵凯宏（１９７４一），男，甘肃泾川人，硕士，讲师，主要从事微分方程方面的研究 万方数据
全微分方程及积分因子
全微分方程及积分因子 内容：凑微分法，全微分方程的判别式，全微分方程的公式解，积分因子的微分方程，只含一个变量的积分因子和其他特殊形式的积分因子。由于有数学分析多元微积分的基础，本节的定理1可以简化处理。对课本中第三块知识即全微分方程的物理背景可以留到后面处理，对第四块知识增解和失解的情况要分散在本章各小节，每次都要重视这个问题。关于初等积分法的局限性可归到学习近似解法时一起讲解。 重点：全微分方程的公式解和积分因子的计算，难点为凑微分法和积分因子的计算。 习题1(1,3,5)，2，3 思考题：讨论其他特殊形式的积分因子。 方程：0),(),(=+dy y x N dx y x M 判定：全微分?x N y M ??≡?? 解法：C dy y x N dx y x M y y x x =+??00),(),(0 初值问题0=C 积分因子：x N y M y M x N ??-??=? ???????-??μμμ1
)(x μ： N x N y M dx d ?? -??=μμ1 )(y μ： M x N y M dy d ??- ??-=μμ1 1．解下列方程： 1）0)(222=-+dy y x xydx 解：x N y M ?? ≡??=x 2 ??=-+x y C dy y xydx 002 )0(2既 C y y x =-3/32 2）0)2(=+---dy xe y dx e y y 解：x N y M ??≡??=y e -- ??=-+-y x y C dy y dx e 00)2(既C y xe y =--2 3）0)1(222=---+dy y x dx y x x 解：x N y M ??≡??=y x --221 ??=---+x y C dy y dx y x x 002)1(2 C y y y x x =-+---+23 232322)(32 )(32 )(32 既C y x x =-+23 2 2)(32 4）0)ln (3 =++dy x y dx x y
习题2—5 1． 求解下列微分方程： （1）0)()23(2232=++++dy y x dx y xy y x ； 解 这里x x Q y x x y P 2,32322=??++=??，因此原方程不是恰当方程，由于 3)(1=??-??x Q y P Q ， 于是原方程有积分因子 x dx e e x 33)(=?=μ. 将它乘原方程两边，得到一个恰当方程 0)()23(223323=++++dy y x e dx y xy y x e x x ， 改写为 0)(])23([2333223=++++dy y dx y e dy e x ydx x x e x x x ， 即 0)3 1()(3332=+y e d y e x d x x . 由此可求得通积分 C y e y e x x x =+33323 1. （2）0)(22=++-dy x y x ydx ； 解 把方程改写为 0)()(22=+--dy y x xdy ydx . 容易观察出一个积分因子为2 21y x +=μ，将它乘原方程两边，得 022=-+-dy y x xdy ydx . 即 0)(arctan =--dy x y d . 从而原方程的通积分为 C y x y =+arctan . （3）0)1(2223=-+dy y x dx xy ； 解 这里222,6xy x Q xy y P =??=??，因此原方程不是恰当方程，由于
y y P x Q P 2)(1-=??-??， 于是原方程有积分因子 2)2(1)(y e x dx y =?=-μ. 将它乘原方程两边，得 01)2(22=- +dy y dy x xydx ， 从而原方程的通积分为 C y y x =+12. （4）0)(2223=-+dy xy x dx y ； 解 把方程改写为 02)2(223=+-dy x dy xy dx y . 不难看出，前一组有积分因子y x 21和通积分C x y =2，因而它有更一般的积分因子)(12 12x y g y x ，前一组有积分因子21x 和通积分C y =，故它有更一般的积分因子)(122y g x .为使关系式 )(1)(122212y g x x y g y x = 成立，可取 1)(21=x y g ，y y g 1)(2=. 从而得到原方程的积分因子y x 21 =μ，以它乘方程的两端，得到 0222 2=+-dy y x xydy dx y . 从而原方程的通积分为 C x y y =-2 2 ln . 此外，原方程还有解0,0==y x . 2． 证明方程 0),(),(=+dy y x Q dx y x P ①
积分因子的求法及简单应用 数学科学学院 摘 要：积分因子是常微分方程中一个很基本但却又非常重要的概念，本文在介绍了恰当微分方程与积分因子的概念以及相关定理的基础上，归纳总结了求解微分方程积分因子的几种方法，并利用积分因子理论证明了初等数学体系中的对数公式与指数公式，提供了一种新的解决中学数学问题的途径，体现了积分因子的简单应用价值。 关键词：恰当微分方程；积分因子；对数公式；指数公式 1. 恰当微分方程的概念及判定 恰当微分方程的概念 我们可以将一阶方程 () ,dy f x y dx = 写成微分形式 (),0 f x y dx dy -= 或把x,y 平等看待，写成下面具有对称形式的一阶微分方程 ()(),,0 M x y dx N x y dy += ⑴ 这里假设M(x,y)，N(x,y)在某矩形域内是x ，y 的连续函数，且具有连续的一阶偏导数，如果方程⑴的左端恰好是某个二元函数u(x,y)的全微分. 即 ()()(),,,u u M x y dx N x y dy du x y dx dy x y ??+== + ?? 则称方程⑴为恰当微分方程. [] 1 恰当微分方程的判定 定理1 [] 2 假设函数M(x,y)和N(x,y)在某矩形域内是x ，y 的连续函数且具
有连续的一阶偏导数，则方程⑴是恰当微分方程的充分必要条件是在此区域内恒 有M N y x ??=??. 利用定理1我们就可以判定出一个微分方程是否是恰当微分方程. 2. 积分因子 如果对于方程⑴在某矩形域内M N y x ??≠??，此时方程⑴就称为非恰当微分方 程。对于非恰当微分方程，如果存在某个连续可微的函数u(x,y)≠0,使得 ()()()(),,,,0u x y M x y d x u x y N x y d y += 为恰当微分方程，则称u(x,y)为方程⑴ 的1个积分因子. 注[] 1 可以证明，只要方程有解存在，则必有积分因子存在，并且不是唯一的. 定理2 []2 函数u(x,y)是方程⑴的积分因子的充要条件是 u u M N N M u x y y x ?? ????-=- ??????? 3. 积分因子求法举例 观察法 对于一些简单的微分方程，用观察法就可以得出积分因子 如: ⑴ 0ydx xdy +=有积分因子1 xy ⑵ ydx xdy -=有积分因子 2 1x -，2 1 y ，1 xy ，2 2 1 x y +，2 2 1 x y - 例1 找出微分方程 ()()110xy ydx xy xdy ++-=的一个积分因子.
一阶微分方程积分因子的求法探讨 数学与信息科学学院 数学与应用数学专业 指导教师：郑丽丽 职称：教授 摘 要：针对满足某些条件的微分方程，本文将给出几种直接、有效地求积分因子的方法． 关键词：一阶微分方程；积分因子 The Solution of Integral Factor for the First Order Ordinary Differential Equation Abstract ：This paper has made a special effort to study how to quadrate integral factors directly and efficiently ．When the differential equations meet some conditions ， therefore ， the common method we can get from it ． Key Words ：the first order ordinary differential equation ；integral factor ０前 言 一阶微分方程的求解是整个微分方程求解的基础，一般的有两种处理方式：一是 以变量可分离的方程为基础，通过适当的变量代换把一阶微分方程化为可积型方程；另外就是以全微分方程为基础，采取积分因子法把一个一阶微分方程化为全微分方程求．这里我们讨论了积分因子存在的充要条件，给出了确定若干特殊类型的积分因子的求法． 1 积分因子的定义 若对于一阶微分方程 ()(),,0M x y dx N x y dy += （1） 其中(),M x y ，(),N x y 在矩形域内是,x y 的连续函数，且有连续的一阶偏导数．若存在连续可微的函数(),0x y μ≠，使得 ()()()(),,,,0x y M x y dx x y N x y dy μμ+≡， 为一恰当方程，即存在函数V ，使
微分方程积分因子的求法 何佳 【摘要】 利用积分因子，可以对一个一阶微分方程的求解进行统一处理。因此，如何求解积分因子就成为解一阶微分方程的一个重点了。但对于一个具体的方程，如何求出它的积分因子呢，一般的方法是解一个一阶偏微分方程，不过那是比较不容易的。但是，对于某些特殊的情况，却可以简单地得出积分因子。通过查找我们发现，在大多数《常微分方程》的教材中都只给出了只与x 或y 有关的积分因子的求法，但这是不够的。所以我们在这里来讨论一下关于求解()x y αβμ和 ()m n ax by μ+这两类积分因子的充要条件及部分例题，由此我们就可以得到形式 相近的积分因子。如：通过x y μ=+，可以得到x y μ=-的积分因子。如此举一反三，力求使得求积分因子的问题变的简便易行。同时，还对积分因子的求法进行了推广，总结出几类方程积分因子的求法。 【关键字】 微分方程 ， 积分因子 ， 求解方法
【目录】 引言 (1) 目录 (2) 一、()x y αβμ和()m n ax by μ+两类积分因子 § 1、 与()x y αβμ有关的积分因子 …………………………………………… 3 § 2、 与()m n ax by μ+有关的积分因子 …………………………………………… 4 二、微分方程积分因子求法的推广 § 1、 满足条件 ()P Q P Qf x y x y ??-=-??的积分因子求法 (7) § 2、 方程1123422(3)36330m m m m x mx y xy dx y x y x y dy +-????++++++=????积 分因子 (10) § 3、 方程13()30m m m x m x y x dx x dy -??+++=?? 积分因子 (12) § 4、 方程1(4)4450m m m m x mx y y dx x x y dy -????++++++=????积分因子 …………………………………………… 13 参考文献 (15)
创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克* 常微分方程的积分因子求解法 内容摘要：本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法，并推广到较一般的形式。 关键词：全微分方程，积分因子。 一、基本知识 定义1.1 对于形如 dx y N M（1.1） x ),( ),(= +dy x y 的微分方程，如果方程的左端恰是x，y的一个可微函数),(y x U的全微分，即d),(y y x M),( dx ),(+，则称（1.1）为全微分方程. x U= dy y N x 易知，上述全微分方程的通解为),(y U=C, （C为任意常数）. x 定理1.1 （全微分方程的判别法）设),(y x N在x，y平面上 M，),(y x 的单连通区域G内具有连续的一阶偏导数，则（1.1）是全微分方程的充要条件为
x y x N y y x M ??=??) ,(),( （1.2） 证明见参考文献[1]. 定义1.2 对于微分方程（1.1），如果存在可微函数),(y x μ，使得方程 ),(y x μ0),(),(),(=+dy y x N y x dx y x M μ （1.3） 是全微分方程，则称),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子. 定理1.2 可微函数),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为 x y x y x N ??) ,(ln ) ,(μ-y y x y x M ??),(ln ),(μ=x y x N y y x M ??-??),(),( （1.4） 证明：由定理1.1得，),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为 x y x N y x y y x M y x ??=??)),(),(()),(),((μμ， 展开即得： x y x y x N ??) ,() ,(μ-y y x y x M ??),(),(μ=),(),(),(y x x y x N y y x M μ??? ? ????-??. 上式整理即得（1.4）. 证毕 注1.1 若),(y x μ0≠，则（1.3）和（1.1）同解。所以，欲求（1.1）的通解，只须求出（1.3）的通解即可，而（1.3）是全微分方程，故关键在于求积分因子),(y x μ。 为了求解积分因子),(y x μ，必须求解方程（1.4）。一般来说，偏微分方程（1.4）是不易求解的；但是，当),(y x μ具有某种特殊形式时还是较易求解的。
求第一类Fredholm积分方程的离散正则化方法 【摘要】基于矩阵奇异值分解的离散正则化算法，本文给出了第一类Fredholm积分方程的求解方法。并通过算例验证了此算法的可行性。 【关键词】第一类Fredholm积分方程；矩阵奇异值；正则化方法 0 引言 在实际问题中，有很多数学物理方程反问题的求解最后总要归结为一个第一类算子方程： Kx=y（1） 的求解问题，其中K是从Hilbert空间X到Hilbert空间Y一个有界线性算子，x∈X，y∈Y。通常右端项y是观测数据，因而不可避免的带有一定的误差δ。文中假设方程（1）的右端的扰动数据yδ∈Y满足条件：yδ-y≤δ（C1）。我们需要求解扰动方程Kx=yδ∈Y。（2） 通常境况下，当K为紧算子时，方程（1）的求解时不适定的[1]。即右端数据的小扰动可导致解的巨大变化。消除不稳定性的一个自然的方式是用一族接近适定问题的模型去逼近原问题，比如最著名的Tikhonov正则化方法，用如下适定的算子方程： 去逼近原问题Kx=yδ，其中α>0为一正的“正则参数”，K*表示K的伴随算子。正则化[2-3]是近似求解方程（1）的一种有效方法。Krish应用奇异系统理论提出的正则化子的概念，这给正则化方法的建立提供了新的理论依据。本文利用基于矩阵奇异值分解的离散正则化算法，通过适当选取正则化参数进行不适定问题的求解。 1 基于矩阵奇异值分解的离散正则化算法 矩阵的奇异值分解（SVD）是现代数值线性代数中最重要的基本计算分析工具之一，它具有优良的数值稳定性。其重要应用领域包括矩阵理论以及自动控制理论，力学和物理学等，还有更多的应用方面尚在继续探索中。 对于一般算子方程Kx=y，利用高斯-勒让德求积公式、复化梯形公式或者复化辛普森求积公式等的数值方法将它离散得到一个矩阵方程Ax=y，这样，算子方程Kx=y的求解就转化为矩阵方程： 的求解。 定义设A是m×n实矩阵（m≥n），称n阶方阵ATA的非零特征值的算术平
万方数据
万方数据
恰当方程的解法及其应用 作者：王湘平 作者单位：湖南科技学院数学与计算科学系,湖南永州 刊名： 陕西教育（高教） 英文刊名：SHAANXI JIAOYU（GAOJIAO） 年，卷(期)：2009，""(5) 被引用次数：0次 参考文献(4条) 1.王高雄常微分方程 1983 2.艾英伯努利方程的几种解法 1997(03) 3.杨立一种恰当方程的解法[期刊论文]-桂林工学院学报 2000(01) 4.杨雨民恰当方程解法综述 1999(01) 相似文献(4条) 1.期刊论文陈元元.CHEN Yuan-yuan关于常微分方程中恰当方程的新解法-吕梁高等专科学校学报2007,23(1) 阐述并论证恰当方程的一种新解法.结论:在对恰当方程的求解过程中,只需把M(x,y)对x积分和N(x,y)对y积分,然后取它们的"并集",使之等于c,就得到了方程的通解. 2.期刊论文杨立一种恰当微分方程的解法-桂林工学院学报2004,24(1) 对一种恰当方程的求解问题进行了探讨,提出一种积分恰当方程的小窍门--积分对比法.主要运用积分和等式求解的相关知识来综合考虑恰当方程的求解问题,此种解法和其它解决此类问题的方法相比较,更简单、明了,使学生易于轻松接受新知识,达到快速求解恰当方程的目的,推广了现有文献的结果. 3.期刊论文和慧民一类线性常微分方程的降阶解法-文教资料2005,""(17) 若一线性常微分方程可判定为恰当方程,则可通过首次积分降低一阶求其通解. 4.期刊论文郑重武一类微分方程的积分因子及其解法-运城学院学报2008,26(5) 通过求解一类微分方程xrys(mydx+nsdy)+xαyβ(uydx+vsdy)=0,给出了此类微分方程的积分因子以及通解的形式. 本文链接：https://www.doczj.com/doc/089539343.html,/Periodical_sxjy-gj200905069.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：990390bc-1d8d-42ed-893a-9dcf0110122a 下载时间：2010年8月11日
积分因子法在常微分方程中的应用开题报告 开题报告 积分因子法在常微分方程中的应用 一、选题的背景、意义 在许多科学领域中,常常需要研究常微分方程的理论和其解是否存在.常微分方程的理论包括解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等.其中解的讨论也尤为重要,求解方法有很多种,例如,常数变易法、叠加法、积分因子法.求得常微分方程的解能使常微分方程在其他的科学领域有更好的应用. 常微分方程在微积分概念出现后即已出现,对常微分方程的研究可分为以下几个阶段. 发展初期是针对具体的常微分方程,希望能用初等函数或超越函数表示其解,属于“求通解”的时代. 刘维尔在1841年证明了里卡蒂方程不存在一般的初等解,同时柯西又提出了初值问题.因此,早期的常微分方程的求解热潮中断了,而常微分方程从“求通解”时代转向“求定解”时代. 19世纪末,常微分方程的研究从“求定解”时代转向“求所有解”的新时代.那是由天体力学中的太阳系稳定性问题需要研究常微分方程解的大范围性态引起的. 20世纪末六七十年代以后,常微分方程在计算机技术发展的促进下,从“求所有解”时代转入“求特殊解”时代.
求常微分方程的通解在历史上曾作为微分方程的主要目标,一旦求出通解的表达式,就能容易地求出问题所需要的特解;根据通解的表达式可以了解其对某些参数的依赖情况,便于参数取值,使它对应的解具有所需要的性能,也有助于解的其他研究.虽然通过求通解的方法可以求出方程的解,但是有些时候会比较复杂.因此,我们要寻找更为简便的求解方法.对常微分方程的求解.积分因子法是一种很好的求解方法,它能将复杂的计算简单化. 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 本课题主要对积分因子法进行归纳总结,旨在应用积分因子法来求解常微分方程. 本课题的主要目的是通过查阅各种相关文献,寻找各种相关信息,来得到并了解用积分因子法求解常微分方程的一些计算技巧,达到化难为易的目的. 先从定义出发,介绍相关的一些基本概念,如微分方程、常微分方程、全微分方程、解、积分因子等以及一些相关的定理和充要条件. 接着归纳总结积分因子法: 积分因子的求法 在求积分因子之前,要对常用的一些简单函数的全微分形式比较熟悉,这样能更快地求出积分因子. (1)观察法求积分因子 对于一些形式比较简单的微分方程,可以直接观察出方程的积分因子. 如:方程,根据,可以直接观察出它的积分因子为. (2)分组凑微分法对于一些相对复杂的微分方程,可以对其进行分组,然后根据一些简单函数的全微分形式对其进行凑微分,得到其积分因子.
第十五章 积分方程 积分方程论是泛函分析的一个重要分支，它是研究数学其他学科（例如偏微分方程边值问题）和各种物理问题的一个重要数学工具。本章叙述线性积分方程，重点介绍弗雷德霍姆积分方程的性质和解法；并简略地介绍了沃尔泰拉积分方程以及一些奇异积分方程；此外，还扼要地叙述积分方程的逐次逼近法和预解核，并举例说明近似解法；最后考察了一个非线性积分方程。 §1 积分方程一般概念与弗雷德霍姆方程 一. 积分方程一般概念 1. 积分方程的定义与分类 [线形积分方程] 在积分号下包含未知函数y (x )的方程 ()()()()(),d b a x y x F x K x y αλξξξ=+? (1) 称为积分方程。式中α(x ),F (x )和K (x,ξ)是已知函数，λ,a,b 是常数，变量x 和ξ可取区间(a,b ) 内的一切值；K (x,ξ)称为积分方程的核，F (x )称为自由项，λ称为方程的参数。如果K (x,ξ)关于x,ξ是对称函数，就称方程(1)是具有对称核的积分方程；如果方程中的未知函数是一次的，就称为线性积分方程，方程(1)就是线性积分方程的一般形式；如果F (x )≡0 ，就称方程(1)为齐次积分方程，否则称为非齐次积分方程。 [一维弗雷德霍姆积分方程（Fr 方程）] 第一类Fr 方程 ()()(),d b a K x y F x ξξξ=? 第二类Fr 方程 ()()()(),d b a y x F x K x y λξξξ=+? 第三类Fr 方程 ()()()()(),d b a x y x F x K x y αλξξξ=+? [n 维弗雷德霍姆积分方程] 111()()()()(),d D P y P F P K P P y P P α=+? 称为n 维弗雷德霍姆积分方程，式中D 是n 维空间中的区域，P ,P 1∈D ，它们的坐标分别是 (x 1,x 2, ,x n )和),,,(21 n x x x ''' ,α(P )=α(x 1,x 2, ,x n ),F (P )=F (x 1,x 2, x n )和K (P ,P 1)=K (x 1,x 2, ,x n , ),,,21 n x x x ''' 是已知函数，f (P )是未知函数。 关于Fr 方程的解法，一维和n (>1)维的情况完全类似，因此在以后的讨论中仅着重考虑一维Fr 方程。 [沃尔泰拉积分方程] 如果积分上限b 改成变动上限，上面三类Fr 方程分别称为第一、第二、第三类沃尔泰拉积分方程。 由于第三类Fr 方程当α(x )在(a ,b )内是正函数时，可以化成
第二章 初等积分法 一．[内容简介] 本章主要介绍几种能用初等积分法求解的方程类型及其求解的一般方法.虽然这些类型是很有限的，但是它们却反映了实际问题中出现的微分方程的相当部分，另一方面，掌握这些方法和技巧，也是学好本书的最重要的基本训练之一. 二．[关键词] 恰当方程，变量分离的方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努里方程，积分因子 三．[目的与要求] 1．会识别和求解恰当方程，变量分离的方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努里方程和黎卡提方程. 2． 领会用变量代换求解微分方程的思想和技巧，逐渐掌握根据方程的特点去寻找适当的变量代换，从而把比较复杂的微分方程转化为已知求解方法的微分方程. 3．掌握利用积分因子求解微分方程的方法. 四．[教学过程] §1 恰当方程 微分方程的一个中心问题就是求解，计算不定积分就是解最简单的微分方程)(x f dx dy =，这是积分 学中的问题，但是在解微分方程 ),(y x f d x d y =时，如果直接积分，得 C dx y x f y += ? ),(. 一般说来，由此得不出任何结果，因为右端的积分号内包含有未知函数.因此解微分方程与求积分有不同之处，但是解微分方程是积分法的发展，二者是互相联系的.在求微分方程时，应去发现微分方程的求解问题与积分问题的联系，创造条件把某些微分方程的求解问题转化为积分问题，即求原函数的问题.这是解微分方程的一种方法，习惯上称为微分方程的初等积分法. 把一阶微分方程写成对称形式 0),(),(=+dy y x Q dx y x P )1.1( 联想起二元函数微积分学中的全微分表达式： dy y dx x y x d ?Φ?+?Φ?=Φ),(， 如果 ),(y x P x =?Φ?， ),(y x Q y =?Φ? )2.1( 则)1.1(的左端恰好是函数),(y x Φ的全微分 dy y x Q dx y x P y x d ),(),(),(+=Φ， 那么不论其中的y 与x 是独立变量，还是存在着某种函数关系，我们总能对等式0),(=Φy x d
用积分因子法解常微分方程 摘要：每一个微分方程通过转化为恰当方程之后，可以运用恰当方程的公式进行求解，因此非恰当微分方程转化成恰当方程是求解微分方程的重要步骤，转化成恰当方程需要求解出积分因子，因此积分因子的求解变得非常重要.此论文主要研究几类微分方程积分因子，从而使微分方程的求解变得较简便. 关键词：微分方程恰当微分方程积分因子通解 Abstract：After each differential equation through into the appropriate equation, can use the appropriate equations for solving non appropriate formula, the differential equation is transformed into an appropriate equation is an important step in solving differential equations, into the appropriate equation requires the solution of the integral factor, thus solving the integral factor becomes very important. This paper mainly research for several kinds of differential equation of integral factor, to make it easy for solving differential equations. Key Words：Differential equation Exact differential equation Integrating factor General solution 自变量只有一个的微分方程称为常微分方程.常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据着重要位置.本文通过运用求微分方程的积分因子来将微分方程转化为恰当微分方程求解.常微分方程是解决实际问题的重要工具[1]. 1 恰当微分方程 1.1 常微分方程 联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数（或微分）之间的关系式称为微分方程. 未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.
毕业论文开题报告 数学与应用数学 积分因子法在常微分方程中的应用 一、选题的背景、意义 在许多科学领域中,常常需要研究常微分方程的理论和其解是否存在.常微分方程的理论包括解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等.其中解的讨论也尤为重要，求解方法有很多种，例如，常数变易法、叠加法、积分因子法.求得常微分方程的解能使常微分方程在其他的科学领域有更好的应用. 常微分方程在微积分概念出现后即已出现,对常微分方程的研究可分为以下几个阶段. 发展初期是针对具体的常微分方程,希望能用初等函数或超越函数表示其解,属于“求通解”的时代. 刘维尔在1841年证明了里卡蒂方程不存在一般的初等解,同时柯西又提出了初值问题.因此,早期的常微分方程的求解热潮中断了,而常微分方程从“求通解”时代转向“求定解”时代. 19世纪末,常微分方程的研究从“求定解”时代转向“求所有解”的新时代.那是由天体力学中的太阳系稳定性问题需要研究常微分方程解的大范围性态引起的. 20世纪末六七十年代以后,常微分方程在计算机技术发展的促进下,从“求所有解”时代转入“求特殊解”时代. 求常微分方程的通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就能容易地求出问题所需要的特解；根据通解的表达式可以了解其对某些参数的依赖情况，便于参数取值，使它对应的解具有所需要的性能，也有助于解的其他研究.虽然通过求通解的方法可以求出方程的解，但是有些时候会比较复杂.因此，我们要寻找更为简便的求解方法.对常微分方程的求解.积分因子法是一种很好的求解方法，它能将复杂的计算简单化. 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 本课题主要对积分因子法进行归纳总结，旨在应用积分因子法来求解常微分方程. 本课题的主要目的是通过查阅各种相关文献，寻找各种相关信息，来得到并了解用积分因子法求解常微分方程的一些计算技巧，达到化难为易的目的.
v 摘要 本文首先介绍了恰当方程的定义及其充要条件, 然后对于非恰当方程引出积分因子的定义等基本概念和存在条件。鉴于积分因子的不唯一性和解题过程中的复杂性, 我们总结出几种特殊形式的积分因子, 并分析了多种方法来求解微分方程的中积分因子, 然后通过实例验证这些方法的有效性，最后运用这些方法求出四种基本类型方程的积分因子。 关键词：恰当方程积分因子通解微分方程
Abstract This paper firstly introduces the definition and the necessary and sufficient conditions of exact equation, and then introduce the definition of integral factor and the existence conditions for the exact equation.Considering the no uniqueness of exact equation and the complex of the process of solving, we summarized some special form of integral factor, and analyzes the various methods to solve integral factor of differential equations，then we shows the effectiveness of these methods through the example , finally we use these methods to work out integral factors of four basic types the equation.
常微分方程的积分因子求解法 内容摘要:本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法,并推广到较一般的形式。 关键词: 全微分方程,积分因子。 一、 基本知识 定义1、1 对于形如 0),(),(=+dy y x N dx y x M (1、1) 的微分方程,如果方程的左端恰就是x ,y 的一个可微函数),(y x U 的全微分,即d ),(y x U = dy y x N dx y x M ),(),(+,则称(1、1)为全微分方程、 易知,上述全微分方程的通解为 ),(y x U =C , (C 为任意常数)、 定理1、1 (全微分方程的判别法)设),(y x M ,),(y x N 在x ,y 平面上的单连通区域G 内具有连续的一阶偏导数,则(1、1)就是全微分方程的充要条件为 x y x N y y x M ??=??),(),( (1、2) 证明见参考文献[1]、 定义1、2 对于微分方程(1、1),如果存在可微函数),(y x μ,使得方程 ),(y x μ0),(),(),(=+dy y x N y x dx y x M μ (1、3) 就是全微分方程,则称),(y x μ为微分方程(1、1)的积分因子、 定理1、2 可微函数),(y x μ为微分方程(1、1)的积分因子的充要条件为 x y x y x N ??),(ln ),(μ-y y x y x M ??),(ln ),(μ=x y x N y y x M ??-??),(),( (1、4) 证明:由定理1、1得,),(y x μ为微分方程(1、1)的积分因子的充要条件为 x y x N y x y y x M y x ??=??)),(),(()),(),((μμ, 展开即得:
积分因子的求法及简单应用 1. 恰当微分方程的概念及判定 1.1 恰当微分方程的概念 我们可以将一阶方程 (),dy f x y dx = 写成微分形式 (),0 f x y dx dy -= 或把x,y 平等看待，写成下面具有对称形式的一阶微分方程 ()(),,0 M x y dx N x y dy += ⑴ 这里假设M(x,y)，N(x,y)在某矩形域内是x ，y 的连续函数，且具有连续的一阶偏导数，如果方程⑴的左端恰好是某个二元函数u(x,y)的全微分. 即 ()()(),,,u u M x y dx N x y dy du x y dx dy x y ??+== +?? 则称方程⑴为恰当微分方程. [] 1 1.2 恰当微分方程的判定 定理1 假设函数M(x,y)和N(x,y)在某矩形域内是x ，y 的连续函数且具有连续的一阶偏导数，则方程⑴是恰当微分方程的充分必要条件是在此区域内恒有 M N y x ??=??. 利用定理1我们就可以判定出一个微分方程是否是恰当微分方程. 2. 积分因子 如果对于方程⑴在某矩形域内 M N y x ??≠??，此时方程⑴就称为非恰当微分方程。对于非恰当微分方程，如果存在某个连续可微的函数u(x,y)≠0,使得
()()()(),,,,0u x y M x y dx u x y N x y dy +=为恰当微分方程，则称u(x,y)为方程⑴ 的1个积分因子. 注 可以证明，只要方程有解存在，则必有积分因子存在，并且不是唯一的. 定理2 函数u(x,y)是方程⑴的积分因子的充要条件是 u u M N N M u x y y x ??????-=- ??????? 3. 积分因子求法举例 3.1 观察法 对于一些简单的微分方程，用观察法就可以得出积分因子 如: ⑴ 0ydx xdy +=有积分因子1 xy ⑵ 0ydx xdy -=有积分因子21 x -，21y ，1xy ，221x y +，22 1x y - 例1 找出微分方程()()110 xy ydx xy xdy ++-=的一个积分因子. 解 将原方程各项重新组合可以写成 ()()0ydx xdy xy ydx xdy ++-= 由于1xy 是ydx xdy +的积分因子，1 xy 也是ydx xdy -的积分因子，从而原方程 有积分因子 ()2 1 xy . 观察法只运用于求解简单的微分方程的积分因子，有的可以直接看出，有的需要先将原方程重新组合，再运用观察法得出. 3.2 公式法 引理1 微分方程⑴存在形如：()u x ，()u y ，()u x y ±，()u xy ，()22 u x y ±，
1.5 全微分方程及积分因子
一、全微分方程的定义及条件 则它的全微分为 是一个连续可微的函数设,),(y x U U =dy y U dx x U dU ??+??=如果我们恰好碰见了方程 0),(),(=??+??dy y y x U dx x y x U 就可以马上写出它的通积分 . ),(c y x U =
定义1使得 若有函数),,(y x U dy y x N dx y x M y x dU ),(),(),(+=则称微分方程) 1(,0),(),(=+dy y x N dx y x M 是全微分方程..),()1(c y x U =的通积分为此时如0 =+ydx xdy 0 )2()3(322=+++dy xy x dx y y x 0 )()(=+dy y g dx x f 是全微分方程.=)(xy d =+)(23xy y x d =+òò))()((y d y g x d x f d 1.全微分方程的定义
需考虑的问题(1) 方程(1)是否为全微分方程? (2) 若(1)是全微分方程,怎样求解? (3) 若(1)不是全微分方程,有无可能转化为全微分方程求解?2 方程为全微分方程的充要条件 定理1则方程 偏导数中连续且有连续的一阶域在一个矩形区和设函数,),(),(R y x N y x M ) 1(,0),(),(=+dy y x N dx y x M 为全微分方程的充要条件是 ). 2(,),(),(x y x N y y x M ??=??)1(, 0),(),(=+dy y x N dx y x M
证明“必要性”设(1)是全微分方程,使得 则有函数),,(y x U dy y U dx x U y x dU ??+??=),(dy y x N dx y x M ),(),(+=故有),,(y x M x U =??),(y x N y U =??从而从而有都是连续的和由于,22y x U x y U ??????,22y x U x y U ???=???故.),(),(x y x N y y x M ??=??y x U y N x y U y M ???=?????=??22 ,