初中数学几何证明题技巧 几何证明题入门难，证明题难做，是许多初中生在学习中的共识，这里面有很多因素，有主观的、也有客观的，学习不得法，没有适当的解题思路则是其中的一个重要原因。掌握证明题的一般思路、探讨证题过程中的数学思维、总结证题的基本规律是求解几何证明题的关键。在这里结合自己的教学经验，谈谈自己的一些方法与大家一起分享。 一要审题。很多学生在把一个题目读完后，还没有弄清楚题目讲的是什么意思，题目让你求证的是什么都不知道，这非常不可取。我们应该逐个条件的读，给的条件有什么用，在脑海中打个问号，再对应图形来对号入座，结论从什么地方入手去寻找，也在图中找到位置。 二要记。这里的记有两层意思。第一层意思是要标记，在读题的时候每个条件，你要在所给的图形中标记出来。如给出对边相等，就用边相等的符号来表示。第二层意思是要牢记，题目给出的条件不仅要标记，还要记在脑海中，做到不看题，就可以把题目复述出来。 三要引申。难度大一点的题目往往把一些条件隐藏起来，所以我们要会引申，那么这里的引申就需要平时的积累，平时在课堂上学的基本知识点掌握牢固，平时训练的一些特殊图形要熟记，在审题与记的时候要想到由这些条件你还可以得到哪些结论（就像电脑一下，你一点击开始立刻弹出对应的菜单），然后在图形旁边标注，虽然有些条件在证明时可能用不上，但是这样长期的积累，便于以后难题的学习。 四要分析综合法。分析综合法也就是要逆向推理，从题目要你证明的结论出发往回推理。看看结论是要证明角相等，还是边相等，等等，如证明角相等的方法有（1.对顶角相等2.平行线里同位角相等、内错角相等3.余角、补角定理4.角平分线定义5.等腰三角形6.全等三角形的对应角等等方法。然后结合题意选出其中的一种方法，然后再考虑用这种方法证明还缺少哪些条件，把题目转换
经典题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 证明：过点G 作GH ⊥AB 于H ，连接OE ∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB ∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG ∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴ FG EO =HG GO ∵GH ⊥AB ，CD ⊥AB ∴GH ∥CD ∴ CD CO HG GO = ∴CD CO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内部的一点，∠PAD ＝∠PDA ＝15°。 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 证明：作正三角形ADM ，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15° ∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ，AP=AP ∴△MAP ≌△BAP ∴∠BPA=∠MPA ，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ，MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15° ∴PA=PD ，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD ∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD ∵∠BPA=∠MPA ，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75° ∴∠BPC=360°-75°×4=60° ∵MP=BP ，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形
3、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 证明:连接AC ，取AC 的中点G ,连接NG 、MG ∵CN=DN ，CG=DG ∴GN ∥AD ，GN= 2 1AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ，AG=CG ∴GM ∥BC ，GM= 2 1BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM ∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F 经典题（二） 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 证明：（1）延长AD 交圆于F ，连接BF ，过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵AB ⌒ =AB ⌒ ∴∠F=∠ACB 又AD ⊥BC ，BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD ∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF ∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH ）=2GD 又AD ⊥BC ，OM ⊥BC ，OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连接OB 、OC ∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ，OM ⊥BC ∴∠BOM= 2 1 ∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM 由（1）知AH=2OM ∴AH=BO=AO
如图;已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O 交AB于点D，过点D作⊙O 的切线DE交BC于点E． 求证：BE=CE 证明：连接CD ∵AC是直径 ∴∠ADC=90° ∵∠ACB=90°，ED是切线 ∴CE=DE ∴∠ECD=∠EDC ∵∠ECD+∠B=90°，∠EDC+∠BDE=90° ∴∠B=∠BDE ∴BE=DE ∴BE=CE 如图，半圆O的直径DE=10cm，△ABC中，∠ABC=90°，∠BCA=30°，BC=10cm，半圆O 以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，D、E始终在直线BC上，设运动时间为t(s)，当t=0(s)时，半圆O在△ABC的左侧且OB=9cm。（1）当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切； （2）当△ABC一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直径DE围成的区域与△ABC的三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。 （1）当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切； 相切分两种情况，如图， ①左图：当t=0时，原图中OB=9，此时圆移动了OB-OE=9-5=4cm 则：t=4/2=2s； --------------- ②右图：设圆O与边AC的切点为F，此问不用三角函数是无法求出的==>∵∠C=30==>∴OC=OF/sinC=5/sin30=10=BC ==>O与B重合，此时圆移动的长即为OB的长，即9cm ==>t=9/2; =========
（2）如右图：由②得：∠AOE=90 ==>S阴=（90*π*5^2)/360=6.25π 不明之处请指出~~
初中数学几何证明题解题方法--
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浅谈初中数学几何证明题解题方法 内容摘要：几何证明题的一般结构由已知条件和求证目标组成。做几何证明题的一般步骤：审题，寻找证明的思路，书写证明过程 关键词：几何证明 条件 结论 .执因索果 执果索因 辅助线 初中学生正处于自觉形象思维向逻辑思维的过度阶段，几何证明，是学生逻辑思维的起步。这种思维方式学生刚接触，会遇到一些困难。许多学生在几何证明这里“跌倒了”，丧失了信心，以至于几何越学越糟。为此，我根据自己几年的数学教学实践，就初中数学中几何证明题的一般结构，解题思路进行初步探讨。 学好几何证明，起步要稳，要求学生在学习几何时要扎扎实实，一步一个脚印，在掌握好几何基础知识的同时，还要培养学生的逻辑思维能力。 一、几何证明题的一般结构 初中几何证明题的一般结构由已知条件和求证目标两部分（即前提和结论）组成。已知条件是几何证明的前提，指题目中用文字和符号直接给出的明确条件，也包括所给图形中暗含的条件。求证指题目要求的经过推理最终得出的结论。已知条件是题目既定成立的、毋庸置疑而且必然正确的。求证是几何证明题的最终目标，就是根据题目给出的已知条件，利用数学中的公理、定理、性质，用合理的推理形式推导出的最后结果，而且只能出现在证明过程的最后。 例如：如图，在△ABC 和△DCB 中，AB = DC ，AC = DB ，AC 与DB 交于点M ． 求证：△ABC ≌△DCB ； 已知条件：文字给出的有：△ABC 和△DCB ，AB = DC ，AC = DB ，AC 与DB 交于点M 图形给出的有：BC=CB,∠BMA 与∠CMD 是对顶角等等 求证目标是：△ABC ≌△DCB 注意，已知条件除了上面列出的，就没有其它的了，不可随意出现AM=DM ,BN=CN 等等 二、做几何证明题的一般步骤 （一）、审题 审题就是读题，这一步是解决几何证明题的关键，非常重要。许多学生读几何证明题时讲快，常常忽略了题目中蕴含的重要信息。和读其它类型的题有所不同，读几何证明题要求 B A M N
初中数学所有几何证明定理 证明题的思路 很多几何证明题的思路往往是填加辅助线，分析已知、求证与图形，探索证明。对于证明题，有三种思考方式： (1)正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。 (2)逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显。 同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。 例如： 可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可；要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。 (3)正逆结合。对于从结论很难分析出思路的题目，可以结合结论和已知条件认真的分析。 初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路，比如给我们三角形某边中点，我们就要想到是否要连出中位线，或者是否要用到中点倍长法。给我们梯形，我们就要想到是否要做高，或平移腰，或平移对角线，或补形等等。正逆结合，战无不胜。 证明题要用到哪些原理？
要掌握初中数学几何证明题技巧，熟练运用和记忆如下原理是关键。 下面归类一下，多做练习，熟能生巧，遇到几何证明题能想到采用哪一类型原理来解决问题。 一、证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。 10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 12.两圆的内（外）公切线的长相等。 13.等于同一线段的两条线段相等。 二、证明两个角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
初中数学：几何证明题技巧 证明题有三种思考方式 ●正向思维 对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出。这里就不详细讲述了。 ●逆向思维 顾名思义，就是从相反的方向思考问题。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显。 同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。 例如： 可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可；要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去… 这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。 ●正逆结合 对于从结论很难分析出思路的题目，可以结合结论和已知条件认真的分析。
初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路，比如给我们三角形某边中点，我们就要想到是否要连出中位线，或者是否要用到中点倍长法。 给我们梯形，我们就要想到是否要做高，或平移腰，或平移对角线，或补形等等。正逆结合，战无不胜。 证明题要用到哪些原理 要掌握初中数学几何证明题技巧，熟练运用和记忆如下原理是关键。 下面归类一下，多做练习，熟能生巧，遇到几何证明题能想到采用哪一类型原理来解决问题。 一、证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。 10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 12.两圆的内（外）公切线的长相等。 13.等于同一线段的两条线段相等。 二、证明两个角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。 4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
几何证明题分类汇编 一、证明两线段相等 1．如图3，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，EA AD ⊥，M 是AE 上一点， BAE MCE =∠∠，45MBE =o ∠． （1）求证：BE ME =． （2）若7AB =，求MC 的长． 2、（8分）如图11，一张矩形纸片ABCD ，其中AD=8cm ，AB=6cm ，先沿对角线BD 折叠，点C 落在点C ′的位置，BC ′交AD 于点G. （1）求证：AG=C ′G ； （2）如图12，再折叠一次，使点D 与点A 重合，的折痕EN ，EN 角AD 于M ，求EM 的长. 2、类题演练 3如图，分别以Rt△ABC 的直角 边AC 及斜边AB 向外 作等边 △ACD 、等边△ABE ．已知∠BAC =30o，EF ⊥AB ，垂足为F ，连结DF ． （1）试说明AC =EF ； （2）求证：四边形ADFE 是平行四边形． 4如图，在△ABC 中，点P 是边AC 上的一个动点，过点P 作直线MN∥BC，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ． (1)求证：PE ＝PF ； (2)*当点P 在边AC 上运动时，四边形BCFE 可能是菱形吗？说明理由； 图3 A B C D E F 第20题图
A B C D M N E F P (3)*若在AC 边上存在点P ，使四边形AECF 是正方形，且 AP BC ＝3 2 ．求此时∠A 的大小． 二、证明两角相等、三角形相似及全等 1、（9分）AB 是⊙O 的直径，点E 是半圆上一动点（点E 与点A 、B 都不重合）， 点C 是BE 延长线上的一点，且CD ⊥AB ，垂足为D ，CD 与AE 交于点H ，点H 与点A 不重合。 （1）（5分）求证：△AHD ∽△CBD （2）（4分）连HB ，若CD=AB=2，求HD+HO 的值。 2、（本题8分）如图9，四边形ABCD 是正方形，BE ⊥BF ，BE=BF ，EF 与BC 交于点G 。 （1）求证：△ABE≌△CBF ；（4分） （2）若∠ABE=50o，求∠EGC 的大小。（4分） 3、（本题7分）如图8，△AOB 和△COD 均为等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD ＝90o，D 在AB 上． （1）求证：△AOC ≌△BOD ；（4分） （2）若AD ＝1，BD ＝2，求CD 的长．（3分） 2、类题演练 1、 (8分)如图，已知∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，CE 与 AB 相交于F ． (1)求证：△CEB ≌△ADC ； (2)若AD ＝9cm ，DE ＝6cm ，求BE 及EF 的长． A B C D 图8 O A B D F E 图9 A O D B H E C
辅助线的添加 一、添辅助线有二种情况： 1.按定义添辅助线： 如：证明二直线垂直可延长使它们，相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。 2.按基本图形添辅助线： 每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质，但基本图形不完整时。因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线 也有规律可循。 （1）平行线是个基本图形： 当几何中出现平行线时，添辅助线的关键是：添与二条平行线都相交的第三条直线 （2）等腰三角形是个基本图形： 当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时，往往要补全完整的等腰三角形； （3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形： 出现等腰三角形底边上的中点，添底边上的中线； （4）直角三角形斜边上中线基本图形 出现直角三角形斜边上的中点，往往添斜边上的中线。 （5）三角形中位线基本图形 几何问题中出现多个中点时，往往添加三角形中位线基本图形 （6）相似三角形： 相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时，（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。 （8）特殊角直角三角形 当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三边比为 1：1：√2；30度角直角三角形三边比为1：2：√3 （9）半圆上的圆周角 出现直径与半圆上的点，添90度的圆周角；出现90度的圆周角则添它所对弦---直径； 二、基本图形的辅助线的画法 1.三角形问题添加辅助线方法 方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。 方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。 方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。 方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段2.平行四边形中常用辅助线的添法 平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理 （1）连对角线或平移对角线 （2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形 （3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线
初中几何证明常用方法 归纳 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
几何证明常用方法归纳 一、证明线段相等的常用办法 1、同一个三角形中，利用等角对等边：先证明某两个角相等。 2、不同的三角形中，利用两个三角形全等：A找到两个合适的目标三角形B确定已有几个 条件C还要增加什么条件。 3、通过平移或旋转或者折叠得到的线段相等。 4、线段垂直平分线性质：线段垂直平分线的一点到线段两个端点的距离相等。 5、角平分线的性质：角平分线上的一点到角两边的距离相等。 6、线段的和差。 二、求线段的长度的常用办法 1、利用线段的和差。 2、利用等量代换：先求其他线段的长度，再证明所求线段与已求的线段相等。 3、勾股定理。 三、证明角相等的常用办法 1、同（等）角的余(补)角相等。 2、两直线平行，内错角（同位角）相等。 3、角的和差 4、同一个三角形中，利用等边对等角：先证明某两条边相等。 5、不同的三角形中，利用两个三角形全等：A找到两个合适的目标三角形B确定已有几个 条件C还要增加什么条件。 四、求角的度数的常用方法 1、利用角的和差。 2、利用等量代换：先求其他角的长度，再证明所求角与已求的角相等。 3、三角形内角和定理。 五、证明直角三角形的常用方法 1、证明有一个角是直角。（从角） 2、有两个角互余。（从角） 3、勾股定理逆定理。（从边） 4、30度角所对的边是另一边的一半。 5、三角形一边上的中线等于这边的一半 六、证明等腰三角形的常用方法 1、证明有两边相等。（从边） 2、证明有两角相等。（从角） 七、证明等边三角形的常用方法 1、三边相等。 2、三角相等。 3、有一角是60度的等腰三角形。 八、证明角平分线的常用方法 1、两个角相等（定义）。 2、等就在：到角两边的距离相等的点在角平行线上。 九、证明线段垂直平分线的常用方法 1、把某条线段平分，并与它垂直。
初中几何证明题 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600 ，求证：AH ＝AO ．（初二） 2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 3、如果上题把直线MN 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE 求证：AP ＝AQ ．（初二） A P C D B A F G C E B O D N
F 4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半． 经典题（三） 1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二） 2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线 求证：AE ＝AF ．（初二） 3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 求证：PA ＝PF ．（初二） 4、如图，PC 切圆O 于 C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、 D ．求证：AB ＝ DC ，BC ＝AD ．（初三） 经典题（四） 1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，求：∠APB 的度数．（初二） 2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二） 4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二） D
初中数学几何证明题小妙招几何证明题入门难，证明题难做，是很多初中生在学习中的共识，这里面有很多因素，有主观的、也有客观的，学习不得法，没有适当的解题思路则是其中的一个重要原因。掌握证明题的一般思路、探讨证题过程中的数学思维、总结证题的基本规律是求解几何证明题的关键。在这里结合自己的教学经验，谈谈自己的一些方法与大家一起分享。 一要审题。很多学生在把一个题目读完后，还没有弄清楚题目讲的是什么意思，题目让你求证的是什么都不知道，这非常不可取。我们应该逐个条件的读，给的条件有什么用，在脑海中打个问号，再对应图形来对号入座，结论从什么地方入手去寻找，也在图中找到位置。 二要记。这里的记有两层意思。第一层意思是要标记，在读题的时候每个条件，你要在所给的图形中标记出来。如给出对边相等，就用边相等的符号来表示。第二层意思是要牢记，题目给出的条件不但要标记，还要记在脑海中，做到不看题，就能够把题目复述出来。 三要引申。难度大一点的题目往往把一些条件隐藏起来，所以我们要会引申，那么这里的引申就需要平时的积累，平时在课堂上学的基本知识点掌握牢固，平时训练的一些特殊图形要熟记，在审题与记的时候要想到由这些条件你还能够得到哪些结论（就像电脑一下，你一点击开始立刻弹出对应的菜单），然后在
图形旁边标注，虽然有些条件在证明时可能用不上，但是这样长期的积累，便于以后难题的学习。 四要分析综合法。分析综合法也就是要逆向推理，从题目要你证明的结论出发往回推理。看看结论是要证明角相等，还是边相等，等等，如证明角相等的方法有1.对顶角相等2.平行线里同位角相等、内错角相等3.余角、补角定理4.角平分线定义5.等腰三角形6.全等三角形的对应角等等方法。然后结合题意选出其中的一种方法，然后再考虑用这种方法证明还缺少哪些条件，把题目转换成证明其他的结论，通常缺少的条件会在第三步引申出的条件和题目中出现，这时再把这些条件综合在一起，很条理的写出证明过程。 五要归纳总结。很多同学把一个题做出来，长长的松了一口气，接下来去做其他的，这个也是不可取的，应该花上几分钟的时间，回过头来找找所用的定理、公理、定义，重新审视这个题，总结这个题的解题思路，往后出现同样类型的题该怎样入手。 以上是常见证明题的解题思路，当然有一些的题设计的很巧妙，往往需要我们在填加辅助线，分析已知、求证与图形，探索证明的思路。 （1）正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举能够做出，这里就不详细讲述了。 （2）逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。使用逆向思维解题，能使学生从不同角度，不同方向思考问题，
1、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan ∠ADC=2. (1) 求证：DC=BC; (2) E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且∠E DC=∠F BC ，DE=BF ，试判断△E CF 的形 状，并证明你的结论； (3) 在（2）的条件下，当BE ：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin ∠BFE 的值. [解析] （1）过A 作DC 的垂线AM 交DC 于M, 则AM=BC=2. 又tan ∠ADC=2,所以2 12 DM ==.即DC=BC. (2)等腰三角形. 证明：因为,,DE DF EDC FBC DC BC =∠=∠=. 所以，△DEC ≌△BFC 所以，,CE CF ECD BCF =∠=∠. 所以，90ECF BCF BCE ECD BCE BCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=? 即△ECF 是等腰直角三角形. （3）设BE k =,则2CE CF k ==，所以EF =. 因为135BEC ∠=?，又45CEF ∠=?，所以90BEF ∠=?. 所以3BF k = = 所以1sin 33 k BFE k ∠= =. 2、已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ． （1）求证：△ADE ≌△CBF ； （2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论． [解析] （1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠1＝∠C ，AD ＝CB ，AB ＝CD ． ∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点， ∴AE ＝ 21AB ，CF ＝2 1 CD ． ∴AE ＝CF ∴△ADE ≌△CBF ． （2）当四边形BEDF 是菱形时， 四边形 AGBD 是矩形． E B F C D A
初中几何证明题 经典题（一） 1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求证：CD＝GF．（初二） .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150． 求证：△PBC是正三角形．（初二） .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 A P C D B A F G C E B O D
3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 经典题（二） 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 B
24．如图，△ ABC中，∠ BAC=90°， AB=AC，AD⊥ BC，垂足是 D，AE 平分∠ BAD，交 BC于点 E. 在△ ABC外有一点 F，使 FA⊥AE， FC⊥ BC. （1）求证： BE=CF； （2）在 AB 上取一点 M，使 BM=2DE，连接 MC，交 AD于点 N，连接 ME. 求证：① ME⊥ BC；② DE=DN. 24 题图 24、如图，在△ ABC中，∠ ACB＝ 90°， AC＝ BC，E 为 AC边的中点，过点 A 作AD⊥ AB 交 BE的延长线于点D， CG平分∠ ACB交 BD于点 G，F 为 AB边上一点，连接CF，且∠ ACF＝∠ CBG。 求证：（ 1） AF＝ CG； （ 2） CF＝ 2DE C D E G A F B
25.在△ ABC中， AB=AC，∠ A=60°，点 D 是线段 BC的中点，∠ EDF=120°， DE与线段 AB相交于点 E，DF与线段 AC（或 AC的延长线）相交于点 F. （ 1）如图 1，若 DF⊥ AC，垂足为F， AB=4，求 BE 的长； （ 2）如图 2，将（ 1）中的∠ EDF 绕点 D 顺时针旋转一定的角度，DF扔与线段AC 相交于点 F. 求证： BE CF 1 AB 2； （3）如图 3，将（ 2）中的∠ EDF继续绕点 D 顺时针旋转一定的角度，使 点 F，作 DN⊥ AC于点 N，若 DN=FN，求证：BE CF 3( BE CF ) . A A E E F F DF 与线段 AC的延长线交与 A E N B D C B D C B D C 25题图 1 25题图 2 25题图 3 F
2015年重庆中考数学24题专题练习 1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE （1）求证：BE=CE； （2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD． 2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点． （1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC； （2）若CD=4，BH=1，求AD的长．
3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF． （1）当CE=1时，求△BCE的面积； （2）求证：BD=EF+CE． 4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E EF∥CA，交CD于点F，连接OF． （1）求证：OF∥BC； （2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．
5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6． （1）求线段CD的长； （2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC．
6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°． （1）若AB=6cm，，求梯形ABCD的面积； （2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF． 7、已知：如图，ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E． （1）求证：AE=ED； （2）若AB=BC，求∠CAF的度数．
初中数学中考几何证明思路及常用原理 对于证明题，有三种思考方式： 1.正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考， 轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。 2.逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明 题中体现的更加明显。 同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手， 建议你从结论出发。 例如： 可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么 结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可；要 证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要 证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下 去… 这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。 3.正逆结合。对于从结论很难分析出思路的题目，可 以结合结论和已知条件认真的分析。 初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要
用到的，所以可以从已知条件中寻找思路，比如给我们三 角形某边中点，我们就要想到是否要连出中位线，或者是 否要用到中点倍长法。 给我们梯形，我们就要想到是否要做高，或平移腰， 或平移对角线，或补形等等。正逆结合，战无不胜。 证明题要用到哪些原理 要掌握初中数学几何证明题技巧，熟练运用和记忆如下原理是关键… 下面归类一下，多做练习，熟能生巧，遇到几何证明 题能想到采用哪一类型原理来解决问题… ?证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相 等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第 二边所成的线段相等。 9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两
几何证明常用方法归纳 一、证明线段相等的常用办法 1、同一个三角形中，利用等角对等边：先证明某两个角相等。 2、不同的三角形中，利用两个三角形全等：A找到两个合适的目标三角形B确定已有几个 条件C还要增加什么条件。 3、通过平移或旋转或者折叠得到的线段相等。 4、线段垂直平分线性质：线段垂直平分线的一点到线段两个端点的距离相等。 5、角平分线的性质：角平分线上的一点到角两边的距离相等。 6、线段的和差。 二、求线段的长度的常用办法 1、利用线段的和差。 2、利用等量代换：先求其他线段的长度，再证明所求线段与已求的线段相等。 3、勾股定理。 三、证明角相等的常用办法 1、同（等）角的余(补)角相等。 2、两直线平行，内错角（同位角）相等。 3、角的和差 4、同一个三角形中，利用等边对等角：先证明某两条边相等。 5、不同的三角形中，利用两个三角形全等：A找到两个合适的目标三角形B确定已有几个 条件C还要增加什么条件。 四、求角的度数的常用方法 1、利用角的和差。 2、利用等量代换：先求其他角的长度，再证明所求角与已求的角相等。 3、三角形内角和定理。 五、证明直角三角形的常用方法 1、证明有一个角是直角。（从角） 2、有两个角互余。（从角） 3、勾股定理逆定理。（从边） 4、30度角所对的边是另一边的一半。 5、三角形一边上的中线等于这边的一半六、证明等腰三角形的常用方法 1、证明有两边相等。（从边） 2、证明有两角相等。（从角） 七、证明等边三角形的常用方法 1、三边相等。 2、三角相等。 3、有一角是60度的等腰三角形。 八、证明角平分线的常用方法 1、两个角相等（定义）。 2、等就在：到角两边的距离相等的点在角平行线上。 九、证明线段垂直平分线的常用方法 1、把某条线段平分，并与它垂直。 2、等就在：有两个点它们到这条线段的两个端点的距离相等。重复强调是有两个点 十、证明线段垂直的常用方法。 1、两线的夹角90度。 2、等就在：有两个点它们到这条线段的两个端点的距离相等。重复强调是有两个点十一、证明线平行的常用方法 内错角相等，同位角相等，同旁内角互补。 十二、证明三角形全等的常用方法 SSS,SAS,AAS,ASA, 十三、证明直角三角形全等的常用方法 HL , SSS,SAS,AAS,ASA, 十四、证明两条线段等于第三线段的常用方法 截一段证一段
动态几何证明及实验题 所谓动态几何是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目．解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题．此类题目注重对几何图形运动变化能力的考查．动态几何问题是近几年各地试题中常见的压轴试题，它能考查学生的多种能力，有较强的选拔功能。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。解动态几何题一般方法是针对这些点在运动变化的过程中相伴随着的数量关系（如等量关系、变量关系）、图形位置关系（如图形的特殊状态、图形间的特殊关系）等进行研究考察．抓住变化中的“不变量”，以不变应万变． 实验操作 【要点导航】 通过实验操作——观察猜想——科学论证，使我们体验和学到了发现、获得知识的过程和方法. 实验操作探索——理解题意、实验操作是基本保证，观察猜想、探索结论是关键，论证猜想的结论是落实. 【典例精析】 例1取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如下： 第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图1；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B'，得R t△AB'E，如图2；第三步：沿EB'线折叠得折痕EF，使A点落在EC的延长线上，如图3．利用展开图4探究： （1）△AEF是什么三角形？证明你的结论； （2）对于任一矩形，按照上述方法能否折出这种三角形？请说明你的理由． 【思路分析】 1．图形翻折后能重叠部分的图形全等，所以∠BEA=∠AEB'=∠FEC，它们都是60°角，所以△AEF是等边三角形． 2．由操作可知AF>AD时，不能完整折出这种三角形．当图3中的点F、D重合时，便可求得矩形的长与宽的比例为2︰3． 解（1）△AEF是等边三角形．由折叠过程可得：60 BEA AEF FEC ∠=∠=∠=?．因为BC∥AD，所以60 AFE FEC ∠=∠=?．所以△AEF是等边三角形． 图1 图2 图3 图4
中考数学几何证明专题 1、 已知：AB=CD 、AD//BC ，OA=OD ，求证：OB=OC 2、 已知：AB=CD 、AD//BC ，OA=OD ，求证：OB=OC 3、在菱形ABCD 中，GE ⊥CD 、HF ⊥AD ，求证：GE=HF C B C B D B
4、 图，平行四边形ABCD 中，AE=CF ， 求证：∠EBF=∠FDE 5、在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，OE ⊥AB 、OF ⊥BC 、 OG ⊥CD 、OH ⊥AD ，求证：E 、F 、G 、H 共圆 6、在矩形ABCD 中，∠ABC 、∠CDA 的平分线交AD 、BC 于F 、E ，求证：BE=DF 、DE=BF D B B D D A C
7、如图，点E 是正方形ABCD 内一点 ，△BEC 绕点C 顺 时针方向旋转90°到△DFC 的位置，求证：BE ⊥DF 8.如图,E 、F 是□ABCD 的对角线AC 上两点,AE=CF. 求证:(1)△ABE ≌△CDF.(2)BE ∥DF. F E D C B A F A
9.如图,在□ABCD 中,点E 、F 在对角线AC 上,且AE=CF, 请你以F 为一个端点,和图中已标有字母的某一点连成一条新线段, 猜想并证明它和图中已有的某一线段相等.(只需证明一组线段相等即可). (1)连结_________, (2)猜想______=________. (3)证明: 附加1.如图,已知正方形ABCD 中,E 为BC 上一点, 将正方形折叠起来,使点A 和点E 重合,折痕为MN,若tan ∠AEN=13 ,DC+CE=10. (1)求△ANE 的面积.(2)求sin ∠ENB 的值. K M E N D C B A
１ 几何证明中的几种技巧 一．角平分线－－轴对称 １．已知在ΔABC 中，Ｅ为ＢＣ的中点，ＡＤ平分BAC ∠，BD AD ⊥于Ｄ．ＡＢ＝９，ＡＣ＝１３．求ＤＥ的长． C B A D E C B A D E F 分析：延长ＢＤ交ＡＣ于Ｆ．可得ΔABD ≌ΔAFD ．则ＢＤ＝ＤＦ．又ＢＥ＝ＥＣ，即ＤＥ为ΔBCF 的中位 线．∴11 ()222DE FC AC AB = =-=． ２．已知在ΔABC 中，108A ∠= ，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ平分ABC ∠．求证：ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ． D A B C D A B C E 分析：在ＢＣ上截取ＢＥ＝ＢＡ，连接ＤＥ．可得ΔBAD ≌ΔBED ．由已知可得：18ABD DBE ∠=∠= ， 108A BED ∠=∠= ，36C ABC ∠=∠= ． ∴72DEC EDC ∠=∠= ，∴ＣＤ＝ＣＥ，∴ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ． ３．已知在ΔABC 中，100A ∠= ，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ平分ABC ∠．求证：ＢＣ＝ＢＤ＋ＡＤ． A B C D A B C D E F 分析：在ＢＣ上分别截取ＢＥ＝ＢＡ，ＢＦ＝ＢＤ．易证ΔABD ≌ΔEBD ．∴ＡＤ＝ＥＤ， 100A BED ∠=∠= ．由已知可得：40C ∠= ，20DBF ∠= ．由∵ＢＦ＝ＢＤ， ∴80BFD ∠= ．由三角形外角性质可得：40CDF C ∠==∠ ．∴ＣＦ＝ＤＦ． ∵100BED ∠= ，∴80BFD DEF ∠=∠= ，∴ＥＤ＝ＦＤ＝ＣＦ，∴ＡＤ＝ＣＦ，
２ ∴ＢＣ＝ＢＤ＋ＡＤ． 4．已知在ΔABC 中，AC BC ⊥，CE AB ⊥，ＡＦ平分CAB ∠，过Ｆ作ＦＤ∥ＢＣ ，交ＡＢ于Ｄ．求 证：ＡＣ＝ＡＤ． A C B E F D A C B E F D G 分析：延长ＤＦ交ＡＣ于Ｇ．∵ＦＤ∥ＢＣ，ＢＣ⊥ＡＣ，∴ＦＧ⊥ＡＣ． 易证ΔAGF ≌ΔAEF ．∴ＥＦ＝ＦＧ．则易证ΔGFC ≌ΔEFD ．∴ＧＣ＝ＥＤ． ∴ＡＣ＝ＡＤ． ５．如图（１）所示，ＢＤ和ＣＥ分别是ABC 的外角平分线，过点Ａ作ＡＦ⊥ＢＤ于Ｆ，ＡＧ⊥ＣＥ于Ｇ，延长ＡＦ及ＡＧ与ＢＣ相交，连接ＦＧ． （１）求证： 1 ()2FG AB BC CA = ++ （２）若（a)ＢＤ与ＣＥ分别是ABC 的内角平分线（如图（２））； (b)ＢＤ是ΔABC 的内角平分线，ＣＥ是ΔABC 的外角平分线（如图（３））． 则在图（２）与图（３）两种情况下，线段ＦＧ与ΔABC 的三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明． G F A B C E D H I F G A B C D E I H G F A B C D E I H 图（１） 图（２） 图（３） 分析：图（１）中易证ΔABF ≌ΔIBF 及ΔACG ≌ΔHCG ．∴有ＡＢ＝ＢＩ，ＡＣ＝ＣＨ及ＡＤ＝ＩＤ，Ａ Ｇ＝ＧＨ．∴ＧＦ为ΔAIH 的中位线．∴ 1 ()2FG AB BC CA = ++． 同理可得图（２）中 1()2FG AB CA BC = +-；图（３）中1 ()2FG BC CA AB =+- ６．如图，ΔABC 中，Ｅ是ＢＣ边上的中点，ＤＥ⊥ＢＣ于Ｅ，交BAC ∠的平分线ＡＤ于Ｄ，过Ｄ作ＤＭ⊥ＡＢ于Ｍ，作ＤＮ⊥ＡＣ于Ｎ．求证：ＢＭ＝ＣＮ．