小学奥数容斥原理教案
【篇一：四年级奥数讲义：容斥原理(1)】
四年级数学讲义
奥数：容斥原理(1)
教学目标：1、理解容斥原理，会画图分析其中关系，正确的找出答案。
2、培养学生的逻辑思维和数学思考能力。
3、培养学生良好的书写习惯。
一、教学衔接
二、教学内容
（一）知识介绍
容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和
中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类
与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数
=na＋nb－nab。
（二）例题精讲 nanb
例1、一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请
举手！”有37人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人
举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。求
这个班语文、数学作业都完成的人数。
【思路导航】完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，
一共有37＋42=79人，多于全班人数。这是因为语文、数学作业都
完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数
学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
例2、某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答
对第二题的有23人，两题都答对的有15人。问多少个同学两题都
答得不对？
【分析与解答】已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。又已知答对第二题的有
23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少
有一题答对的人数：10＋23=33人。所以，两题都答得不对的有36
－33=3人。
例3、某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？
【分析与解答】要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加
一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：
28＋27－31=24人。
例4、1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数
有多少个？
例5、光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级
学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作
品共有多少幅？
【分析与解答】由题意知，24幅作品是一、二、三、四、六年级参
展作品的总数，22幅是一、二、三、
三、教学练习
1、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功
课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？
2、五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加
科技小组，有19人两个小组都参加了。那么，有多少人两个小组都
没有参加？
3、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。两样都会的有多少人？
4、在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数
的数有多少个？
5、科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有110件不是一年级的，有100件不是二年级的，一、二年级
参展的作品共有32件。其他年级参展的作品共有多少件？
四、教学小结
六、课后练习
1、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。这个
文艺组一共有多少人？
2、某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果3人两项
比赛都获奖了，有27人两项比赛都没有获奖。已知作文比赛获奖的
有14人，问数学比赛获奖的有多少人？
3、三年级一班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，既
参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。这两队都没有参加的有10人。请算一算，这个班共有多少人？
4、在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数又不是5的倍数
的数有多少个？
5、六（1）儿童节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画
作品，其中有25幅画不是三年级的，有19幅画不是四年级的，三、四两个年级参展的画共有8幅。其他年级参展的画共有多少幅？
【篇二：小学奥数之容斥原理】
容斥原理（一）
【例题分析】
例1. 有长8厘米，宽6厘米的长方形与边长5厘米的正方形。如图
放在桌面上，求这两个图形盖住桌面的面积？
分析与解：阴影部分是直角三角形，是两个图形的重叠部分，它的
面积是：
方法一：
方法二：
方法三：（平方厘米）（平方厘米）（平方厘米）（平方厘米）答：盖住桌面的面积是67平方厘米。
例2. 六一班参加无线电小组和航模小组的共26人，其中参加无线
电小组的有17人，参加航模小组的有14人，两组都参加的有多少人？
分析与解：把17人和14人相加，是把两组都参加的人算了两次，
所以减去总人数，就是两组都参加的人数（人）。
也可以这样解：
或（人）（人）
答：两组都参加的有5人。
例3. 六一班有学生46人，其中会骑自行车的有19人，会游泳的有25人，既会骑车又会游泳的有7人，既不会骑自行车又不会游泳的
有多少人？
分析与解：先求出46人中会骑车或会游泳的有多少人，从中减去会骑车或会游泳的人数，剩下的就是既不会骑车也不会游泳的人数。
（人）
（人）
答：既不会骑车又不会游泳的有9人。
例4. 某年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个小组，参加美术
小组有20人，参加音乐小组有24人，参加手工小组有31人，同时
参加美术和音乐两个小组有5人，同时参加音乐和手工两个小组有6人，同时参加美术和手工两个小组的有7人，三个小组都参加的有3人，这个年级参加课外小组的同学共有多少人？分析与解：图中的5、6、7人都是两两重叠的部分，图中的3人是三个重叠的部分，要从
三个组的总人数中减去重复多余的部分。
（人）
答：这个年级参加课外小组的有60人。
分析与解：根据题意画出如下图
要求全班有多少人，先要求出跑、跳、投至少有一项达到优秀的人数，加上三项都未达到优秀的，就是全班人数。
（人）（人）
答：全班有42人。
例6. 分母是105的最简真分数有多少个？
分析与解：这些分数是最简真分数，所以分子应小于105，只能是1—104中的自然数，而且分子与105要互质。因为，所以分母不能
是3的倍数或5的倍数或7的倍数。所以，要求有多少个最简真分数，实际上就是求1—104这104个自然数中不能被3、5、7整除
的数有多少个。因此要先求出能被3整除或能被5整除或能被7整
除的数有多少个。
能被3整除的数：
能被5整除的数：
能被7整除的数：
能同时被3和5整除的数：
能同时被3和7整除的数：
能同时被5和7整除的数：
（个）（个）（个）（个）
（个）
答：分母是105的最简真分数有48个。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 有三个面积各为50平方厘米的圆放在桌面上，两两相交的面积分别是8、10、12平方厘米，三个圆相交的面积是5平方厘米，求三个圆盖住桌面的面积？
2. 某区有100名外语教师懂英语或日语，其中懂英语的有75名，既懂英语又懂日语的有20人。只懂日语的有多少名？
3. 某班数学测验时有10人得优，英语得优有12人，两门都得优有3人，两门都没得优的有26人。全班有多少人？
4. 六年级一班春游，带矿泉水的有18人，带水果的有16人，这两种至少带一种的有28人，求两种都带的有多少人？
5. 在1至100的自然数中，不能被2整除的数或不能被3整除或不能被5整除的数共有多少个？
容斥原理（二）
【例题分析】
例1. 有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。第一次达到优秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的只有1人。只有两次达到优秀的有多少人？
分析与解：“每人至少有一次达到优秀”说明没有三次都没达到优秀的。要求只有两次达到优秀的人数，就是求重叠两层的部分（图中阴影部分）。
（人）
答：只有两次达到优秀的有11人。
例2. 在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的没有，只要汽水和雪碧的有1人；三样都要的有1人。问：共有几个小朋友去了冷饮店？
分析与解：根据题意画图。
方法一：
方法二：（人）（人）
答：共有10个小朋友去了冷饮店。
例3. 有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。已知有8人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。问：只参加跑和投掷两项的有多少人？
分析与解：“每人至少参加两项比赛”说明没有不参加的，也没有参加一项比赛的，我们可以在下图中参加一项的区域用0表示。
【篇三：小学奥数知识点汇编大全之五(容斥原理)】小学奥数知识点汇编大全之五(容斥原理
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