填空题
1．将 5 封信投入 3 个邮筒，有 _____243_种不同的投法．
2． 5 个男孩和 4 个女孩站成一排。如果没有两个女孩相邻，有43200方法．
3． 22 件产品中有 2 件次品，任取 3 件，恰有一件次品方式数为__ 380 ______．
4．( x y)6所有项的系数和是_64_ _．答案：645．不定方程 x1x2x3 2 的非负整数解的个数为 _ 6 ___．
6 ．由初始条件 f (0)1, f (1) 1 及递推关系 f ( n2) f (n1) f ( n) 确定的数列{ f (n)} ( n0) 叫做Fibonacci数列
10
7．（ 3x-2y ）20的展开式中 x10y10的系数是c20310( 2)10．
8．求 6 的 4 拆分数P4(6)2．
9．已知在Fibonacci数列中，已知 f (3)3,f (4)5, f (5) 8 ，试求Fibonacci 数f (20)10946
10 ．计算P4(12)
4
P4 (12)P k (12)P1 (8)P2 (8)P3 (8)P4 (8)
k1
34
P1 (8) P2 (8)P k (5)P k (4)14 5 515
k1k 1
11．P4(9)（ D） A． 5 B. 8 C. 10 D. 6
12．选择题
1．集合 A{ a1 , a 2 ,L , a10 } 的非空真子集的个数为（A） C. 1024
2．把某英语兴趣班分为两个小组，甲组有 2 名男同学， 5 名女同学；乙组有 3 名男同学， 6名女同学，从甲乙两组均选出 3 名同学来比赛，则选出的 6 人中恰有 1 名男同学的方式数是（ D ）
A． 800 B. 780 C. 900 D.850
3．设( x , y) 满足条件x y10 ，则有序正整数对( x, y) 的个数为（D）
A. 100 C. 50
4．求( x03x12x2x3 )6中 x02 x13 x2项的系数是（C）
B. 60
5．多项式(2 x0x14x2x3 )4中项 x02x12x2的系数是（C）
A． 78 B. 104 C. 96 D. 48
6．有 4 个相同的红球， 5 个相同的白球，那么这9 个球有（ B）种不同的排列方式
A. 63
B. 126
C. 252
7．递推关系 f (n ) 4 f ( n1) 4 f (n 2) 的特种方程有重根2，则（ B ）是它的一般解
A．c12n 1c2 2n B.(c1c2n)2 n C.c(1n)2 n D.c1 2n c2 2n
8．用数字 1,2,3,4（数字可重复使用）可组成多少个含奇数个1、偶数个 2 且至少含有一个 3 的n (n1) 位数（）运用指数生产定理
A. 4n 3n ( 1)n
B.4n3n14n2n 1 .4n3n( 1)n
4433
9．不定方程 x 1
x 2 L x n r r
n 正整数的解的个数为多少？（
A / C ）不确定
A.
r
1
B. r
C.
n r
1
D.
n r 1 r n
r n
r
r
n
10． x 1 x 2
x 3 14 的非负整数解个数为（
A
）
D. 50
11．从 1 至 1000 的整数中，有多少个整数能被
5 整除但不能被
6 整除？（ A ）
12．期末考试有六科要复习，若每天至少复习完一科（复习完的科目不再复习） ， 5 天里
把全部科目复习完，则有多少种不同的安排？（ D ）
A. 9
B. 16 13．某年级的课外学科小组分为数学、语文二个小组，参加数学小组的有
23 人，参加语文 小组的有 27 人；同时参加数学、语文两个小组的有
7 人。这个年级参加课外学科小组人数 （ C ）。 A ． 50 B ．57 C ． 43 D ． 11 14．将 11 封信放入 8 个信箱中，则必有一个信箱中至少有（ B ）封信。 A 、 1 B 、 2 C 、 3 D 、 4
15．组合式
120 与下列哪个式子相等？（ B ）
50
120
119 119
C 、
12 120 119
A 、
B 、 +
5 49 D
、
60
50
49
49
16．在 {1 ，2， 3， 4,5,6} 全排列中，使得只有偶数在原来位置的排列方式数为（
A ）。
A 、 2
B 、 4
C 、 9
D 、 24 17．若存在一递推关系
a 0
4,a 1 9
则 a n
( A ).
a n 5a n 1 6a n
2 (n
2)
A. 3 2n
3n B.
2 3n
2n
C. 3 2n 1
D.
3 2n 1 3n 1
18．递推关系 a n
4a n 1 3a n 2 2n (n
2) 的特解形式是（ B
）（ a 为待定系数）
A. an2n
B. a2n
C. an 3 2n
D. an 2 2n
19．错位排列数 D n ( C
)
答案： C
A. nD n
( 1)n 1 B.
(n 1) D n
( 1)n C. nD n 1 ( 1)n
D.
( n 1) D n
( 1)n 1
20．有 100 只小鸟飞进 6 个笼子，则必有一个笼子至少有（ C ）只小鸟 A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 21． 10 个节目中有 6 个演唱， 4 个舞蹈，今编写节目单，要求任意两个舞蹈之间至少有 1
个演唱，问可编写出多少种不同的演出节目单？ A 66C 74 A 44； P(6,6) ? P(7,4)
22．数列 { n} n 0 的生成函数是（ D
）。
1 t
B 、
1
C
、
1 t t
D
、
t
A 、
2
2
3
2 1 t
1 t
1 t
1 t
23． 6 个男孩和 4 个女孩站成一圈，如果没有两个女孩相邻，有（
C ）种排法。
A 、 P(6, 4)
B
、 6! P(6,4)
C
、
6!
P(6, 4)
D
、 6! P(7, 4)
6
24．排 A ，B ， C ， D ， E ， F 六个字母，使 A ， B 之间恰有 2 个字母的方式数（ D ）。
A 、 12
B 、 72
C 、 36 D
、 144
25．求多重集 S {3 a,2 b,4 c} 的 8- 排列数是（ C
）
A. 700
B. 140
C. 1260
D. 1200
26．一糕点店生产 8 种糕点，如果一盒内装有 12 块各种糕点，并且可以认为每种糕点无限 多，那么你能买到多少种不同的盒装糕点（假设装盒与顺序无关）？（ B ） Ａ． 50000 Ｂ． 50388 Ｃ． 55000 Ｄ． 52788
27．在一次聚会上有 15 位男士和 20 位女士，则形成 15 对男女一共有多少种方式数（
A ． 20!
B. 20!
C.
1520 D.
2015
5!
15!
28．
a n
n 的生成函数是（
D
） A ．
1
B.
x 2 C.
1 D.
x (1 x )2 (1 x )2
(1 x)2
(1 x )2
计算题
1．试确定多重集 S={1 a 1 , a 2 ,
a 3 ,L ,
a k } 的 r
组合数。
解：把 S 的 r —组合分成两类：
①包含 a 的 r
组合：这种组合数等于
{
a 2 ,
a 3 ,
, a k }的（ r -1）
1
即 N 1 C ((k 1) ( r 1) 1, r 1) C (k r
3, r 1)
②不包含 a 1 的 r
组合：这种组合数等于 {
a 2 ,
a 3,
, a k }的 r 组合数
即
N 2
C ((k 1) r 1, r ) C ( k r 2, r )
由加法法则，所求的 r 组合数为 N N 1 N 2 C ( k r 3, r
1) C (k
r 2, r )
2．求 S {5 a,3 b} 的 6- 排列数
解： 根据题意有： M 1 {5 a, b}, M 2
{4 a, 2b}, M 3 {3 a, 3b}
N 1
6!
6, N 2
6! 15, N 3
6! 20 则的全排列数 N
N 1 N 2
N 3
5!1!
4!2!
3!3!
3．求 (1 2 x 3 x 2 4 x 3 )6 展开式中 x 5 的系数
4．求 (1
2x
x 2 ) n 的展开式中 x
5
的系数 , 其中 n 3 。
2n
（ n
3 ）
5
解： (1
2x
x 2 ) n = ((1 x) 2
)
n
(1 x) 2n
。
又因为 (1
x)
2 n
2n
2n
x k
k 0
k
所以 x 5
的系数为
2n
（ n 3 ）
5
5． (1) 求 a n n 5 的生成成函数。 （ n
0 ）
解：设 A(t )
n 0 a n t n ，则 A(t )
(n 5)t n
( n 1)t n 4
t n
n
n 0
n 0
(1 t)
2
4(1 t ) 1 1 4 4t 5 4t
(1 t )2 (1 t) 2 (2) 解递归关系： H ( n) 4H ( n
1) 4H (n
2) ， H (0) 1, H (1) 3 。
答案：解特征方程
2
1
2
得 H(n)=2 n {1+n/2}
x -4x-4=0 x
=x =2.
6．求重集 S {20 ga,14gb,20 gc} 的 10- 组合数。
答案： C(10+3-1 , 10)
7． ( a b c d )100
的展开式在合并同类项后一共有多少项？
答案： C(100+4-1 , 100).
A ）
41
8．解递推关系 a n
5a n 1 6a n
2n
2， a 0
27 , a 1 49
. （ n 2 ）
4
4
解：递推关系 a n
5a n 1
6a n 2 n 2（ 1）
的特征方程为 x 2
5x
6 0 ，特征根为 x 1 2, x 2
3.故其通解为
a n c 1 2n c 2 3n . 因为（ 1）式无等于 1 的特征根，所以递推关系
a n
5a n 1 6a n 2 n 2 n 2
（ 2）
有特征根 a n An
B ，其中 A 和 B 是待定常数，代入（ 2）式得
2A 1
2B 7A 2
An
B
5[ A(n 1) B]
6[ A( n 2) B] n 2
化简得 2 An 2B
7 A
n 2, 所以
解之得 A
1
11
. 于是 a n
c 1 2 n c 2 3 n
1 1 其中 c ,c 是待定常数。 , B
4 n
,
12 2
2
4
由初始条件得 c 1 c 2
11
27
4
4
2c 1 3c 2
1 11 49
2
4
4
解之得 c 1
3,c 2 1.所以 a n
3 2n 3n
1 n 11 ( n 2).
9. 解递推关系
2 4
n
2
a n 5a n 1
6a n
2
2n
，
a 0
5, a 1 10. （
）
3
解：递推关系 a n 5a n 1 6a n 2
n 2
（ 1）
的特征方程为 x 2
5 x 6
0 ，特征根为 x 1
2, x 2 3.故其通解为
a n
c 1
2n c 2 3n .
因为（ 1）式无等于 1 的特征根，所以递推关系
a n 5a n 1 6a n 2
2n 3 n 2
（ 2）
有特征根 a n
An B ，其中 A 和 B 是待定常数，代入（
2）式得
An
B 5[ A( n 1) B ] 6[ A(n 2)
B ] 2n 3
化 简 得 2 An 2B 7 A 2n
3, 所
2A 2 以
解 之 得
A 1, B
2.
于 是
2B 7A
3
n
n
其
a n
1
2 c 2
3 n 2,
c
中 c 1 ,c 2 是待定常数。由初始条件得
c 1 c 2 2 5
2c 1 3c 2 2 2 10
解之得 c 1 2, c 2 1. 所以 a n
2n 1
3n 3n
n 2(n 2).
答案： a n 2n 1 3n n 2 10．求 1 到 1000 之间不能被 5 ， 6 ，或 8 整除的自然数的个数。 解：设 A 为 1 至 1000 的整数中能被 5 整除的数的个数； B 为 1 至 1000 的整数中能被 6 整 除的数的个数； C 为 1 至 1000 的整数中能被 8 整除的数的个数 .
A 1000 1000 166, C 1000 125, A
B 1000 33,
5 200, B
6 8 30 则
A
C
1000 25, B C
1000 41, A B C
1000 8
40
24
120
所以 A B C A B C A B A C B C A B C 200 166 125 33 25 41 8 400
即所求为： 1000 400 600.
11．在所有的n位数中，包含数字3、 8、9 但不包含数字0、4 的数有多少？
解：除去0、 4，则在1、 2、3、 5、 6、7、 8、 9 这 8 个数组成的n位数中 :
令 S 表示由这8 个数字组成的所有n 位数的集合，则S8n；
令 P1表示具有性质：一个n 位数不包含3；
令 P2表示具有性质：一个n 位数不包含8；
令 P3表示具有性质：一个n 位数不包含9；
令 A i表示S中具有性质 P i的元素构成的集合( i1,2,3)
则有容斥原理，
3
A1 I A2 I A3S| A i | (| A1 I A2 | | A2 I A3 | | A1 I A3 |)| A1 I A2 I A3 |
i1
而 | A i | 7n , i1, 2, 3; | A1 I A2 | | A2 I A3 | | A1 I A3 | 6n， | A1 I A2 I A3 | 5n
所以 A I A I A8n 3 7n 3 6n5n
123
12．求(1 2 x3x4 )5的展开式中 x3的系数。
解：原式 = (12x 3x4 )5=
5(3x4 )55(12x)(3x4 )45(12x) 2(3 x4 )35(1 2x)3(3x4 )25(1 2 x) 4(3 x4)
01234
5
(1 2x)5
5
所以 x3的系数5
23=80 2
13．请确定在( x1x22x32x4 ) 8的展开式中 x12 x23 x3 x42项的系数。
82
( 1)3
(2)
1
( 2)
2
2312
1
8!
( 8)8!
2!3!2!3
试确定多重集 S={b1 ,3 b2 ,5 b3 ,7 b4} 的 10组合数。
解：构造多重集S’={ ∞ *b1,∞ *b2, ∞ *b3,∞ *b4} ，令 S’的所有 10- 组合构成的集合
为 S，有 |S|=C(4+10-1,10)。令 B 为至少出现4 个 b2 的组合构成的集合， C 为至少出现 6个 b3 的组合构成的集合，D为至少出现8 个 b4 的组合构成的集合。
由于 B 中的每一个10-组合至少含有 4 个 b2，故这样的一个组合相当于S’的一个6-组合，反之，S ’的一个 6-组合加上 4 个 b2 就得到了 B 的一个 10- 组合。这两种选法是一一对应的。故|B|=C(4+6-1,6)，同理有|C|=C(4+4-1,4)，|D|=C(4+2-1,2)。
类似的分析可得
|B ∩ C|=C(4+0-1,0)，|B 根据容斥原理，S 的 10-14．解递推关系：∩ D|=0， |C ∩D|=0 ， |B ∩ C∩ D|=0。组合数为286-(84+35+10)+(1+0+0)-0=158
a n5a n 16a n 22n3(n2)
a05, a110
解：特征方程为x25x60 ，特征根为x11, x2 2, x3 2所以对应的齐次递推关系式有a n c1 2n c23n的通解
原递推式有特解为
a n
An
6a n 2 ，代入原递推式得
A=1， D=2，因此原递推式有通解
a n
c 1
2n
c 2
3n
n 2
， 再 将
a 0
5, a 1
10
代 入 通 解 得
c 1
2, c 2
1 ， 所 以
a n 2n 1 3n n 2
14. 有红球 4 个，黄球 3 个，白球 3 个，把它们排成一条直线，有多少种排法？解：由定理得：
( 4 3 3)!
N
4200
4!3!3!
15．求 M
{4 a,3 b} 的 5- 可重排列数。
解法 1： A(t)=(1+t+ t
2
t 3 )(1 t t 2 t 3 t 4 )
2!
3! 2! 3! 4! 所以
t 5 的系数为： 1 1
1
4! 2!3! 3!2!
则 t
5
的系数为： 5!（
1
1
1 ） =25
5!
4! 2!3! 3!2!
M
{4 a,3 b} 的 5- 排列数有 M 1
{4 a,1 b} , M 2 {3 a, 2 b} , M 3 {2 a,3 b} 三
种情况。 N 1
5!
, N 2
5! , N 3 5!
4! 3! 2!
2! 3!
N N 1
N 2
N 3
5 10 10 25
15．求 x 1
2x 2 4x 3 28 的正整数解的个数
解：
A( x ) ( x x 2
L )( x 2 x 4 L )( x 4
x 8 L )
x 7 (1 x
x 2 L )(1
x 2
x 4 L )(1
x 4 L )
x 7
(1 x)(1
2
4
x )(1 x )
x 7 (1 x ) x 7 (1 x )(1 x 2 )2
(1 2
2
4
)
(1
4 3
x ) (1 x
x )
证明题
1．证明：边长为 4 的正三角形内任意 5 个点必有两点其距离不超过 2。
答案：取个边中点将三角形等分为四个边长为
2 的三角形。 则 5 个点中必然有两个落在同一
个三角形内。
2．设 x 1 , x 2 ,L , x n 是 n 个正整数，证明其中存在着连续的若干数，其和为
n 的倍数。
答案：令 s i x 1 x 2
x i ,i 1,2, , n
把 s i 除以 n 的余数记作 r i ，0
r i
n 1如果存在
i ,使得 r i 0，则 x 1 x 2 x i 可以被 n 整除，如果对于所有的 i ， i 1,2, ,n 都有 r i 0 那么 n 个 r i ，只能有 1,2， ， n 1种可能的取值，由割巢 原理必存在 j 和 k 满足 r j r k ， k j
因此： s j s k x k 1
x
k 2
x j 可以被 n 整除
3. 设 S 是 n 元集，则 S 的子集数是 2n
( ,0)
( n ,1)
L
( , )
C n
C
C n n 。
答案：对于
r 的每个 r 元子集就是 的一个 r 组合，因此 C(n, r )
就是 的
0,1, , n, s s s r 元子集数根据加法法则 ， 的子集数是 C(n,0)
C( n,1) C( n, n), 另一方面，构成 s
s 的某子集时可以对每个 元素有两种选择属于该 子集或不属于该子集， 于是由乘法法则得不同的子集总数 是2n
4．某学生在 37 天里共做了60 道数学。已知他每天至少做 1 道，求：必存在的
若干天，在些天里学生恰做了13 道数学。
明：同学从第1天至第 i i1,2,L,37天共做了 a i道数学，1a i a2a3760.
令i
a i13 i1,2,,37，14
b b L b73.
b1237令 A1，2，L ，73 ，A1a1 , a2 ,L , a37 , A2b1 ,b2 ,L , b37 , A
1A2 A.
如果 A1A2，
A A1A2A1A2373774,与 A73 矛盾，所以A1A2，从而存在a k A1, b l A2 , 使得 a k b l , 即 a k a l13, a k a l13, 表明学生从第l 1 天到第 k 天共做了13 道数学。
5．明：C (2 n,2)2C (n, 2)n 2。里， C ( m , n) 表示从 m 个象中取 n 个的方法数。
答案：等式左表示从2n个不同的球中取两个球的方法数。我把2n 个球平均分成 A， B 两，球的方法有以下两：去自同一的法数N12C ( n,2); 取自不同的球的方法数 N 2[C (n,1)]2n2
6．如 n, r∈ N 且 n≥ r ≥2， P(n,r)= r× P(n-1,r-1)+P(n-1,r)。
明：当 r ≥2 ，把集合 A 的 r - 排列分两大：一包含 A 中的某个固定元素，不妨11。第一排列相当于先从A-{a1} 中取 r-1个元素行排列，有a ，另一不包含a
P(n-1,r-1)种取法，再将 a1放入每一个上述排列中，任一排列， a1都有 r 种放法。由乘法
法，第一排列共有r × P(n-1,r-1)个。第二排列上是A-{a 1} 的 r -排列，共有P(n-1,r)个。再由加法法有 P(n,r)= r× P(n-1,r-1)+P(n-1,r)。
7．用非降路径法明：
C ( m n, n) C (m n 1, n 1) C( m n 1, n)
里， C (m , n) 表示从 m 个象中 n 取个元素的方法数。
答案：（ 0,0 ）到（ m,n）的路径数 C(m+n ,n);又，(0,0)到 (m,n)的任一路径必 (m-1,n)或。故，等式成立；
8．明：m n m n
L
m n m n
。0r1r 1r0r
解：明：法 1,A={am},B={bn},且 A∩ B=Φ， A∪B=C有 m+n个元素。 C 的 r - 合个数 C(m+n,r) ，而 C 的每个 r -合无非是先从 A 中取 k 个元素，再从 B 中取出 r-k 个元素成 (k=0,1,? ,r)。由乘法法共有C(m,k)C(n,r-k)种取法，再由加法法即可得。
用
1．一次宴会，5 位来寄存他的帽子，在取帽子的候有多少种可能使得没有一位来取回的是他自己的帽子？
44种可能使得没有一位来取回的是他自己的帽子。
解：属于重排，所求 D 5。 D 5（11111
44???（ 6 分）
）
5! 1！！！！！
12345
2.n 对夫妻围圆桌就座，要求每对夫妻不相邻，问有多少种入座方式？
解：将 n个丈夫记为 x1 , x2 ,, x n他们的妻子分别记为 y1 , y2 ,, y n ,设p i表示 x i与 y i相邻，其中
i1,2, , n.令s为2n个人的全体环排列
构成的集合， s的满足性质 p i的子集为 A i ,i1,2,, n那么有
s(2n(1)!A i2(2n(2)! , i1,2, , n
A i A j 2(2n(2)!,1 i j n
A1A2A n2n (n 1)!
由包含排斥原理得N (2n1)!1n 2(2n 2)!2n22 (2n 3)!
3
n 23 ( 2n 4)!( 1) n n n 2n ( n 1)!
2．用 17 张 100 元钱买 3 支股票，不要求每支股票都买，但要求买 A 股钱数必须是200 的倍数，买 B 股钱数是 400 的倍数，求有多少种买法？
25 种买法。
解：此题等同于求方程x1 2 x2 4 x317 的非负整数解的个数。
方程通过换元可变为：y1y2y317 ，其中y1为非负整数，y2为非负偶数，y3为非负的 4 的倍数的整数。
由此构造常生函数：(1 t t 2)(1t 2t 3)(1 t 4t 8) 所求为常生成函数的 t17的系数，化简生成函数为：
11
1
11(1 t )(1t 2 )(1t 4 ) 2，可求得公式得t18的系数为 25。t t 2 1t 4
30 有多少满足 x
3．方程x x
2x
3
x 2 ， x
2
0 ， x 5 ， x8 的整数解？
14134
解进行变量代换：
y1x1 2 ， y2x2， y3x3 5 ， y4 x48
则方程变为
y1y2y3y425
原方程满足条件的解的个数等于新方程的非负整数解的个数。新方程的非负整数解的个数为25412828282726
3276
252533!
3．用四种颜色（红、蓝、绿、黄）涂染四台仪器A, B,C 和 D 。规定每台仪器只能用一种颜
色并任意两台仪器都不能相同。如果 B 不允许用蓝色和红色， C 不允许用蓝色和绿色， D 不允许用绿色和黄色，问有多上种染色方案？
答案： M16x10x24x3从而得到 r16, r210, r34根据定理5.4所求的
方案数是！！！！
N 4 - 6 ?3 10 ? 2 - 4 ?1 4
5．一个学生有 37 天用来准备考试。根据过去的经验，她知道她需要不超过60 小时的学习时间。她还希望每天至少学习 1 小时。证明，无论她如何安排她的学习时间（不过，每天都
是整数个小时），都存在连续的若干天，在此期间她恰好学习了13 小时。
证明设从第一天到第i天她共学习了a i小时。因为她每天至少学习1小时，所以a1, a 2 ,, a37和 a113,a 2 13,, a3713 都是严格单调递增序列。因为总的学习时间
不超过 60小时，所以 a
3760 ， a
37
13 73。 a , a, , a
37
,
12
a113,a 213, ,a 3713 是1和73之间的74个整数，由鸽巢原理知道，它们中存在相
同的整数，有a i和a j13 使得a i a j13 ， a i a j13 ，从第 j 1天到第i天她恰好学习了 13 小时。
6． 8 个女孩围坐在旋转木马上。她们可以有多少种方法改变座位，使得每个女孩前面的女
孩都与原先的不同？
解令 S 为{ 1, 2 ,3,4 ,5,6 , 7, 8}的全部7!个循环排列的集合，A i为出现模式 i(i1) 的循环排列的集合（ 1 i7 ）， A8为出现模式81的循环排列的集合。若 1 k7 且 i 1, ,i k是
集合 { 1,2,3, 4, 5,6,7 ,8} 中的不同整数，则| A A |(7k)! 。|8
i1
A| 1 。因此，i k i
i 1
| A1A8 |
8888888
0! 11625 7!6!5!4!3!2!
6
1!
123457
她们可以有1625 种方法改变座位。
7．把2n 1个苹果送给 3 个孩子，若使得任意两个孩子得到的苹果总数大于另一个孩子的苹果树，问有多少种分法？
根据题意写出生成函数如下
A( y) (1 y y 2y n ) 3(1 y n 1 )3
(1y) 3
(1 3 y n 1 3 y2 n 2y3 n3)n 22
n0
上述展开式中 y2n 1项的系数为
N2n 1 23n2
22(n 1)n 2
《离散数学》题库答案 一、选择或填空 (数理逻辑部分) 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(1),(4) 2、下列公式中哪些就是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答:(2),(3),(4) 3、设有下列公式,请问哪几个就是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(2),(3),(4),(5),(6) 4、公式?x((A(x)→B(y,x))∧ ?z C(y,z))→D(x)中,自由变元就是( ),约束变元就是( )。 答:x,y, x,z 5、判断下列语句就是不就是命题。若就是,给出命题的真值。( ) (1) 北京就是中华人民共与国的首都。 (2) 陕西师大就是一座工厂。 (3) 您喜欢唱歌不？ (4) 若7+8＞18,则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答:(1) 就是,T (2) 就是,F (3) 不就是 (4) 就是,T (5) 不就是 (6) 不就是 6、命题“存在一些人就是大学生”的否定就是( ),而命题“所有的人都就是要死的”的否定就是( )。 答:所有人都不就是大学生,有些人不会死 7、设P:我生病,Q:我去学校,则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时,我才不去学校 (2) 若我生病,则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时,我才不去学校(4) 若我不生病,则我一定去学校 答:(1) P Q →? (2) Q P ?→ (3) Q P ?? (4)Q P →? 8、设个体域为整数集,则下列公式的意义就是( )。 (1) ?x ?y(x+y=0) (2) ?y ?x(x+y=0) 答:(1)对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0(2)存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 就是正整数集合,确定下列命题的真值: (1) ?x ?y (xy=y) ( ) (2) ?x ?y(x+y=y) ( ) (3) ?x ?y(x+y=x) ( ) (4) ?x ?y(y=2x) ( ) 答:(1) F (2) F (3)F (4)T 10、设谓词P(x):x 就是奇数,Q(x):x 就是偶数,谓词公式 ?x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答:(1) 11、命题“2就是偶数或-3就是负数”的否定就是( )。 答:2不就是偶数且-3不就是负数。 12、永真式的否定就是( ) (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能
数学史概论期末试题一 一、单项选择题 1．世界上第一个把π计算到3.1415926＜n ＜3.1415927 的数学家是( B ) A.刘徽B.祖冲之C.阿基米德D.卡瓦列利2．我国元代数学著作《四元玉鉴》的作者是( C )A.秦九韶B.杨辉C.朱世杰D.贾宪 3．就微分学与积分学的起源而言( A ) A.积分学早于微分学B.微分学早于积分学C.积分学与微分学同期D.不确定4．在现存的中国古代数学著作中，最早的一部是( D ) A.《孙子算经》B.《墨经》C.《算数书》D.《周髀算经》5．简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系V+F-E=2这个公式叫( D )。 A.笛卡尔公式 B.牛顿公式 C.莱布尼茨公式 D.欧拉公式 6．中国古典数学发展的顶峰时期是( D )。A.两汉时期B.隋唐时期C.魏晋南北朝时期D.宋元时期 7．最早使用“函数”(function)这一术语的数学家是( A )。A.莱布尼茨B.约翰·伯努利C.雅各布·伯努利D.欧拉8．1834 年有位数学家发现了一个处处连续但处处不可微的函数例子，这位数学家是( B )。 A.高斯 B.波尔查诺 C.魏尔斯特拉斯 D.柯西 9．古埃及的数学知识常常记载在（A ）。A.纸草书上B.竹片上C.木板上D.泥板上 10．大数学家欧拉出生于（A ）A.瑞士B.奥地利C.德国D.法国 12．《九章算术》的“少广”章主要讨论（D ）。A.比例术B.面积术C.体积术D.开方术 13．最早采用位值制记数的国家或民族是( A )。A.美索不达米亚B.埃及C.阿拉伯D.印度 二、填空题 14 15．在现存的中国古代数学著作中，《周髀算经》是最早的一部。卷上叙述的关于荣方与陈子的对话，包含了勾股定理的一般形式。 16．二项式展开式的系数图表，在中学课本中称其为_杨辉_ 17卷，包括有（5）条公理、（5）条公设。 18．两千年来有关 20，被称为“数学之王”的数学家是（高斯）。 欧氏几何对应的情形是曲率恒等于零， 对应的情形是曲率为负常数。 ．中国历史上最早叙述勾股定理的著作是《周髀算经》，中国历史上最早完成勾股定理证明的数学家是三国时期的（赵爽）。 三、简答题 26．简述莱布尼茨生活在哪个世纪、所在国家及在数学上的主要成就。答：莱布尼茨于1646 年出生在德国的莱比锡，其主要数学成就有：从数列的阶差入手发明了微积分；论述了积分与微分的互逆关系；引入积分符号；首次引进“函数”一词；发明了二进位制，开始构造符号语言，在历史上最早提出了数理逻辑的思想。 27．写出数学基础探讨过程中所出现的“三大学派”的名称、代表人物、主要观点。答：一，逻辑主义学派，代表人物是罗素和怀特黑德，主要观点是：数学仅仅是逻辑的一部分，全部数学可以由逻辑推导出来。二，形式主义学派，代表人物是希尔伯特，主要观点是：将数学看成是形式系统的科学，它处理的对象不必赋予具体意义的符号。三，直觉主义学派，代表人物是布劳维尔，主要观点是：数学不同于数学语言，数学是一种思维中的非语言的活动，在这种活动中更重要的是内省式构造，而不是公理和命题。 29．《周髀算经》(作者，成书年代，主要成就) 答：该书出版于东汉末年和三国时代，但从史上考证应成书于公元前240 年至公元前156 年之间，可能是北汉平侯张苍修订和补写而成；书中记载的数学知识主要有：分数运算、等差数列公式及一次内插公式和勾股定理在中国早期发展的情况。 31.简述刘徽所生活的朝代、代表著作以及在数学上的主要成就。 答：刘徽生活在三国时代；代表著作有《九章算术注》；主要成就：算术上给出了系统的分数算法、各种比例算法、求最大公约数的方法，代数上有方程术、正负数加减法则的建立和开平方或开立方方法；在几何上有割圆术及徽率。 一、单项选择题 1．世界上讲述方程最早的著作是( A ) A.中国的《九章算术》 B.阿拉伯花拉子米的《代数学》 C.卡尔丹的《大法》 D.牛顿的《普遍算术》 2．《数学汇编》是一部荟萃总结前人成果的典型著作，它被认为是古希腊数学的安魂曲，其作者为( B )。 A.托勒玫 B.帕波斯 C.阿波罗尼奥斯 D.丢番图 3．美索不达米亚是最早采用位值制记数的民族，他们主要用的是( A )。A.六十进制B.十进制C.五进制D.二十进制 4．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自我国古代名著( B )。A.《考工记》B.《墨经》C.《史记》D.《庄子》5．下列数学著作中不属于“算经十书”的是( A )。A.《数书九章》B.《五经算术》C.《缀术》D.《缉古算经》6．微积分诞生于( C )。A.15 世纪B.16 世纪C.17 世纪D.18 世纪 7．以“万物皆数”为信条的古希腊数学学派是( D )。A.爱奥尼亚学派B.伊利亚学派C.诡辩学派D.毕达哥拉斯学派8．最早记载勾股定理的我国古代名著是( A )。 A.《九章算术》 B.《孙子算经》 C.《周髀算经》 D.《缀术》 9．首先使用符号“0”来表示零的国家或民族是( A )。A.中国B.印度C.阿拉伯D.古希腊 10．在《几何原本》所建立的几何体系中，“整体大于部分”是( D )。A.定义B.定理C.公设D.公理 11．刘徽首先建立了可靠的理论来推算圆周率，他所算得的“徽率”是( B )。A.3.1 B.3.14 C.3.142 D.3.1415926 12．费马对微积分诞生的贡献主要在于其发明的( C )。A.求瞬时速度的方法B.求切线的方法C.求极值的方法D.
填空题 1．将 5 封信投入 3 个邮筒，有 _____243_种不同的投法． 2． 5 个男孩和 4 个女孩站成一排。如果没有两个女孩相邻，有43200方法． 3． 22 件产品中有 2 件次品，任取 3 件，恰有一件次品方式数为__ 380 ______． 4．( x y)6所有项的系数和是_64_ _．答案：645．不定方程 x1x2x3 2 的非负整数解的个数为 _ 6 ___． 6 ．由初始条件 f (0)1, f (1) 1 及递推关系 f ( n2) f (n1) f ( n) 确定的数列{ f (n)} ( n0) 叫做Fibonacci数列 10 7．（ 3x-2y ）20的展开式中 x10y10的系数是c20310( 2)10． 8．求 6 的 4 拆分数P4(6)2． 9．已知在Fibonacci数列中，已知 f (3)3,f (4)5, f (5) 8 ，试求Fibonacci 数f (20)10946 10 ．计算P4(12) 4 P4 (12)P k (12)P1 (8)P2 (8)P3 (8)P4 (8) k1 34 P1 (8) P2 (8)P k (5)P k (4)14 5 515 k1k 1 11．P4(9)（ D） A． 5 B. 8 C. 10 D. 6 12．选择题 1．集合 A{ a1 , a 2 ,L , a10 } 的非空真子集的个数为（A） C. 1024 2．把某英语兴趣班分为两个小组，甲组有 2 名男同学， 5 名女同学；乙组有 3 名男同学， 6名女同学，从甲乙两组均选出 3 名同学来比赛，则选出的 6 人中恰有 1 名男同学的方式数是（ D ） A． 800 B. 780 C. 900 D.850 3．设( x , y) 满足条件x y10 ，则有序正整数对( x, y) 的个数为（D） A. 100 C. 50 4．求( x03x12x2x3 )6中 x02 x13 x2项的系数是（C） B. 60 5．多项式(2 x0x14x2x3 )4中项 x02x12x2的系数是（C） A． 78 B. 104 C. 96 D. 48 6．有 4 个相同的红球， 5 个相同的白球，那么这9 个球有（ B）种不同的排列方式 A. 63 B. 126 C. 252 7．递推关系 f (n ) 4 f ( n1) 4 f (n 2) 的特种方程有重根2，则（ B ）是它的一般解 A．c12n 1c2 2n B.(c1c2n)2 n C.c(1n)2 n D.c1 2n c2 2n 8．用数字 1,2,3,4（数字可重复使用）可组成多少个含奇数个1、偶数个 2 且至少含有一个 3 的n (n1) 位数（）运用指数生产定理 A. 4n 3n ( 1)n B.4n3n14n2n 1 .4n3n( 1)n 4433
1.导致欧洲中世纪黑暗时期出现的主要原因是什么? 因为中世纪时期是欧洲最为混乱的时期,也是其经济、政治、文化、军事等全面停滞发展的时期,当时的欧洲居民生活在水深火热之中,所以被称为黑暗时期. 1、政治的黑暗、政权的分散：自罗马帝国衰亡后,中欧、西欧被来自东欧的日耳曼民族统治,日耳曼民族又有很多种族,因此相互征伐不断,如法兰克帝国、神圣罗马帝国、英格兰王国、教皇国等等,这些国家相互征伐、动乱不已,而且中世纪时期虽然是欧洲的封建时期,但却不集权、不统一,类似分封制的封建制度导致封建国家缺乏强有力的基础,例如神圣罗马帝国、皇帝仅仅是一个称号而已.而封建地主又对百姓盘剥,加之战乱不断、瘟疫横行,民不聊生. 2、宗教的干涉：这一时期的基督教对各国的干扰极强,甚至对政权的建立、稳定都十分重要.宗教严格的控制文化教育、人们的生活：一方面他们严格要求中下层教士及普通百姓,另一方面,上层教士又和封建势力相勾结,腐败没落,压榨百姓和人民,中世纪的宗教裁判所又有极大的权力,可以处死他们所认为的异端分子,由于思想、科学被严格控制,这一时期的欧洲思想、文化、科学鲜有成就. 3、经济的没落,由于盘剥严重、科技落后,这一时期的经济几乎没有发展,没有进步就代表了落后； 4、瘟疫盛行：宗教的干涉,科技的落后,医学的不发达,导致瘟疫的盛行,540年~590年查士丁尼瘟疫导致东地中海约2500万人死亡；1346
年到1350的鼠疫导致欧洲约2500万人死亡,灾难极大地打击的了欧洲的经济、政治甚至人口的发展. 简而言之,这一时期的欧洲百姓生活在一种暗无天日,毫无希望的生活里,所以被称为黑暗时期. 2、在欧洲中世纪黑暗时期曾经出现过那些知名的数学家，他们在当时那样的背景下各自做了哪些数学工作？ 答：罗马人博伊西斯（罗马贵族），曾不顾禁令用拉丁文从古希腊著作的片段中编译了一些算术、几何、音乐、天文的初级读物，他把这些内容称为“四大科”，其中的数学著作还被教会学校作为标准课本使用了近千年之久，但博伊西斯本人还是遭受政治迫害被捕入狱并死在狱中。 7世纪，在英格兰的北部出现了一位博学多才的神学家，这就是被称为“英格兰文化之父”的比德。在数学方面，比德曾写过一些算术著作，研究过历法及指头计算方法。当时，对耶稣复活期的推算是教会讨论最热烈的课题之一，据说，这位比德大师就是最先求得复活节的人。 培根是英格兰人（贵族），曾在牛津大学和巴黎大学任教，会多种语言，对当时几乎所有的知识感兴趣，号称“万能博士”。他提倡科学，重视现实，反抗权威（应为不惧权威）。他认为，数学的思想方法是与生俱来的，并且是与自然规律相一致的。在他看来，数学是一切科学的基础，科学真理之所以是珍贵的，是因为它们是在数学的形成中被反映出来，即用数量和尺规刻画的。培根认为：“寻找和发
《离散数学》题库与答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( A ) (1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P 答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q (4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P 答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式 4、公式x((A(x)B(y，x))z C(y，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z（考察定义在公式x A和x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。在x A和x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。于是A(x)、B(y，x)和z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元） 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( )
(1)北京是中华人民共和国的首都。(2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？(4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！(6) 给我一杯水吧！ 答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是（命题必须满足是陈述句，不能是疑问句或者祈使句。） 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死（命题的否定就是把命题前提中的量词“换成存在，换成”，然后将命题的结论否定，“且变或或变且”） 7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校(2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）P ?（注意“只有……才……”和“除非……就……”两者都是一个 Q→ 形式的）（2）Q P→ ? P? ?（4）Q P? →（3）Q 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x存在整数y满足x+y=0 （2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1）F (反证法：假若存在，则（x- 1）*y=0 对所有的x都成立，显然这个与前提条件相矛盾) （2）F （同理）（3）F （同理）（4）T（对任一整数x存在整数y满足条件y=2x 很明显是正确的）
组合数学 例1: 将8个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃，那么称8个“车”处于一个安全状态。问共有多少种不同的安全状态? 解：8个“车”处于安全状态当且仅当它们处于不同的8行和8列上。 用一个排列a1,a2,…,a8 ，对应于一个安全状态，使ai 表示第i 行的ai 列上放置一个“车”。这种对应显然是一对一的。因此，安全状态的总数等于这8个数的全排列总数8!＝40320。 例4：n 位客人在晚会上每人与他人握手d 次，d 是奇数。证明n 偶数。 证：由于每一次握手均使握手的两人各增加 一次与他人握手的次数，因此n 位客人与他人握手 次数的总和 nd 是偶数 — 握手次数的2倍。根据奇偶 性质，已知d 是奇数，那么n 必定是偶数。 例４ 从1到2n 的正整数中任取n +1个，则这n +1个数中，至少有一对数，其中一个是另一个的倍数。 证 设n +1个数是a 1, a 2, ···, an +1。每个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数为止。组成序列r 1, r 2,, ···, rn +1。这n +1个数仍在[1 , 2n ]中，且都是奇数。而[1, 2n ]中只有n 个奇数，故必有ri =rj = r , 则ai = 2αi r , aj = 2αj r 。若ai ＞aj ，则ai 是aj 的倍数。 例5 设a 1, a 2, ···, am 是正整数，则至少存在一对k 和l , 0≤k
《数学史论约》复习题参考及答案本科 一、填空（22分） 1、数学史的研究对象是（数学这门学科产生、发展的历史），既要研究其历史进程，还要研究其（一般规律）； 2、数学史分期的依据主要有两大类，其一是根据（数学学科自身的研究对象、内容结构、知识领域的演进）来分期，其一是根据（数学学科所处的社会、政治、经济、文化环境的变迁）来分期； 3、17世纪产生了影响深远的数学分支学科，它们分别是（解析几何）、（微积分）、（射影几何）、（概率论）、（数论）； 4、18世纪数学的发展以（微积分的深入发展）为主线； 5、整数458 用古埃及记数法可以表示为（）。 6、研究巴比伦数学的主要历史资料是（契形文字泥板），而莱因特纸草书和莫斯科纸草 书是研究古代（埃及数学）的主要历史资料； 7、古希腊数学发展历经1200多年，可以分为（古典）时期和（亚历山大里亚）时期； 8、17世纪创立的几门影响深远的数学分支学科，分别是笛卡儿和（费马）创立了解析 几何，牛顿和（莱布尼茨）创立了微积分，（笛沙格）和帕斯卡创立了射影几何， （帕斯卡）和费马创立了概率论，费马创立了数论； 9、19世纪数学发展的特征是（创造）精神和（严格）精神都高度发扬； 10、整数458 用巴比伦的记数法可以表示为（）。 11、数学史的研究内容，从宏观上可以分为两部分，其一是内史，即（数学内在学科因素促使其发展）， 其一是外史，即（数学外在的似乎因素影响其发展）； 12、19世纪数学发展的特征，可以用以下三方面的典型成就加以说明： （1）分析基础严密化和（复变函数论创立）， （2）（非欧几里得几何学问世）和射影几何的完善， （3）群论和（非交换代数诞生）； 13、20世纪数学发展“日新月异，突飞猛进”，其显著趋势是：数学基础公理化， 数学发展整体化，（电子计算机）的挑战，应用数学异军突起，数学传播与（研究）的 社会化协作，（新理论）的导向； 14、《九章算术》的内容分九章，全书共（246）问，魏晋时期的数学家（刘徽）曾为它作注； 15、整数458 用玛雅记数法可以表示为（）。 16、数学史的研究对象是数学这门学科产生、发展的历史，既要研究其（历史进程），还要研究其（一般规律）； 17、古希腊数学学派有泰勒斯学派、（毕达哥拉斯学派）、（厄利亚学派）、巧辩学派、柏拉图学派、欧多克索学派和（亚里士多德学派）； 18、阿拉伯数学家（阿尔-花拉子模）在他的著作（《代数学》）中，系统地研究了当时对一元一次和一元二次方程的求解方法； 19、19世纪数学发展的特点，可以用以下三方面的典型成就加以说明：（1）（分析基础严密化）和复变函数论的创立；（2）非欧几里得几何学问世和（射影几何的完善）；（3）在代数学领域（群论）与非交换代数的诞生。 20、整数458 用古印度记数法可以表示为（）。 二、选择题 1、数学史的研究对象是（C）；
本科高等数学离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
排例组合专题训练 1． 将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有A ．81 B ．64 C ．12 D ．14 2．5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有 A ．33A B ．334A C ．523533A A A - D ．23113 23233A A A A A + 3．,,,,a b c d e 共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a 不能当副组长，不同的选法总数是 A.20 B ．16 C ．10 D ．6 4．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是 A ．男生2人女生6人 B ．男生3人女生5人 C ．男生5人女生3人 D ．男生6人女生2人. 5．在8 2 x ? ?的展开式中的常数项是A.7 B ．7- C ．28 D ．28- 6．5 (12)(2)x x -+的展开式中3 x 的项的系数是A.120 B ．120- C ．100 D ．100- 7．22n x ???展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是 A ．180 B ．90 C ．45 D ．360 8．由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 A ．60个 B ．48个 C ．36个 D ． 24个 9．3张不同的电影票全部分给10个人,每人至多一张,则有不同分法的种数是 A ．1260 B ．120 C ．240 D ．720 10．n N ∈且55n <,则乘积(55)(56)(69)n n n ---L 等于 A ．5569n n A -- B ．15 69n A - C ．15 55n A - D ．14 69n A - 11．从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为 A ．120 B ．240 C ．280 D ．60 12．把10 )x -把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是 A ．135 B ．135- C ．- D ． 13．2122n x x ??+ ?? ?的展开式中，2 x 的系数是224，则2 1x 的系数是A.14 B ．28C ．56 D ．112 14．不共面的四个定点到面α的距离都相等，这样的面α共有几个A ．3 B ．4 C ．6 D ．7
数学史复习题 一、1.对于数学史的分期，1820’—现在属于 1.A.数学的起源与早期发展 B.初等数学时期 C.近代数学时期 D.现代数学时期 是希腊演绎几何的最高成就。 A.《原本》 B.《方法》 C.《圆锥曲线论》 D.《大成》 2.______的《数学汇编》被认为是古希腊数学的安魂曲。 3.A.海伦 B.托勒玫 C.丢番图 D.帕波斯 4.“百鸡问题”是“算经十书”中的______卷下的最后一题。 A.《孙子算经》 B.《张邱建算经》 C.《缉古算经》 D.《海岛算经》 5.关于一次同余组求解的剩余定理被称为“______”。 A.中国剩余定理 B.孙子定理 C.秦九韶定理 D.杨辉定理 6.“我思故我在”是______的名言。 A.柏拉图 B.毕达哥拉斯 C.笛卡儿 D.莱布尼茨 7.______是历史上第一篇系统的微积分文献。 8.A.《流数简论》 B.《运用无限多项方程的分析》 C.《流数法与无穷级数》 D.《曲线求积术》 8.“每个偶数是两个素数和；每个奇数是三个素数之和。”这就是着名的 9.A.费马小定理 B.费马大定理 C.哥德巴赫猜想 D.华林问题 世纪数学家们在对几何学作统一处理的观点下进行探索，在所有这些努力中，______ 在《几何基础》中使用的公理化方法最为成功。 A.希尔伯特 B.庞加莱 C.罗巴切夫斯基 D.黎曼 10.英国生物学家和统计学家______在现代数理统计的建立上起了重要作用。他在19世纪末、20世纪初发展了他老师高尔顿首先提出的“相关”与“回归”的理论，成功地创立了生物统计学。 A.贝叶斯 B.皮尔逊 C.费希尔 D.克拉默 11.电子计算机的发明与发展再一次表明，人类计算机工具的改进是离不开数学与数学家的贡献的。电子计算机都是以______的设计思想为基础的。 A.帕斯卡 B.巴贝奇 C.冯·诺依曼 D.图灵 12.费马大定理是1994年由英国数学家______完成的。 A.库默尔 B.谷山丰 C.弗雷 D.维尔斯 13．古典数学名着《圆锥曲线论》的作者是阿波罗尼奥斯。 2.“宋元数学四大家”是秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰。
《离散数学》期末复习题 一、填空题（每空2分，共20分） 1、集合A上的偏序关系的三个性质是、 和。 2、一个集合的幂集是指。 3、集合A={b,c}，B={a,b,c,d,e}，则A?B= 。 4、集合A={1,2,3,4}，B={1,3,5,7,9}，则A?B= 。 5、若A是2元集合, 则2A有个元素。 6、集合A={1,2,3｝，A上的二元运算定义为：a* b = a和b两者的最大值，则 2*3= 。 7、设A={a, b,c,d }, 则∣A∣= 。 8、对实数的普通加法和乘法，是加法的幂等元， 是乘法的幂等元。 9、设a,b,c是阿贝尔群
19、代数系统是指由及其上的或 组成的系统。 20、设
选择题（每题2分） 1.对古代埃及数学成就的了解主要来源于( A ) A.纸草书 B.羊皮书 C.泥版 D.金字塔内的石刻 2.对古代巴比伦数学成就的了解主要来源于( C ) A.纸草书 B.羊皮书 C.泥版 D.金字塔内的石刻 3.《九章算术》中的“阳马”是指一种特殊的( B ) A.棱柱 B.棱锥 C.棱台 D.楔形体 4.《九章算术》中的“壍堵”是指一种特殊的( A ) A.三棱柱 B.三棱锥 C.四棱台 D.楔形体 5.射影几何产生于文艺复兴时期的( C ) A.音乐演奏 B.服装设计 C.绘画艺术 D.雕刻艺术 6.欧洲中世纪漫长的黑暗时期过后，第一位有影响的数学家是( A )。 A.斐波那契 B.卡尔丹 C.塔塔利亚 D.费罗 7.被称作“第一位数学家和论证几何学的鼻祖”的数学家是( B ) A.欧几里得 B.泰勒斯 C.毕达哥拉斯 D.阿波罗尼奥斯 8.被称作“非欧几何之父”的数学家是( D ) A.波利亚 B.高斯 C.魏尔斯特拉斯 D.罗巴切夫斯基 9.对微积分的诞生具有重要意义的“行星运行三大定律”，其发现者是( C ) A.伽利略 B.哥白尼 C.开普勒 D.牛顿 10.公元前4世纪，数学家梅内赫莫斯在研究下面的哪个问题时发现了圆锥曲线？( C ) A.不可公度数 B.化圆为方 C.倍立方体 D.三等分角 11.印度古代数学著作《计算方法纲要》的作者是( C ) A.阿耶波多 B.婆罗摩笈多 C.马哈维拉 D.婆什迦罗 12.最早证明了有理数集是可数集的数学家是( A ) A.康托尔 B.欧拉 C.魏尔斯特拉斯 D.柯西 13.下列哪一位数学家不属于“悉檀多”时期的印度数学家？( C ) A.阿耶波多 B.马哈维拉 C.奥马.海亚姆 D.婆罗摩笈多 14.在1900年巴黎国际数学家大会上提出了23个著名的数学问题的数学家是( A ) - 1 - / 9
一、填空题 1.如图,阴影部分的面积是 . 2 1 2 2.大圆的半径比小圆的半径长6厘米,且大圆半径是小圆半径的4倍.大圆的面积比小圆的面积大平方厘米. 3.在一个半径是 4.5厘米的圆中挖去两个直径都是2厘米的圆.剩下的图形的面积是平方厘米.(π取3.14,结果精确到1平方厘米) 4.右图中三角形是等腰直角三角形,阴影部分的面 积是 (平方厘米). 5.如图所求,圆的周长是1 6.4厘米,圆的 面积与长方形的面积正好相等.图中阴影部分 π 的周长是厘米.) 14 .3 (= 6.有八个半径为1厘米的小圆,用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形 π,那么花瓣图形的面积(如图).图中黑点是这些圆的圆心.如果圆周率1416 .3 = 是平方厘米.
7.已知:ABC D 是正方形, ED =DA =AF =2厘米,阴影部分的面积是 . 8.图中,扇形BAC 的面积是半圆ADB 的面积的3 11倍,那么,CAB 是 度. 9. 算出圆内正方形的面积为 . 10.右图是一个直角等腰三角形, 直角边长2厘米,图中阴影部分面积是 平方厘米 11一个扇形圆心角120,以扇形的半径为边长画一个正方形,这个正方形的面积是120平方厘米.这个扇形面积是 . 12.如图所示,以B 、C 为圆心的两个半圆的直径都是2厘米,则阴影部分的周长是 厘米.(保留两位小数)
13.三角形ABC 是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小28 长 厘米 . 积为2平方厘米,等腰直角三角形的面积 15.扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是 度. 16.图中扇形的半径OA =OB =6厘米.45=∠AOB , AC 垂直OB 于C ,那么图中阴影部分的面积是 平方厘米.)14.3(=π 17.右图中正方形周长是20厘米.图形的总面积是 平方厘米. 45
《离散数学》题库答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（1），（4） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答：（2），（3），（4） 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（2），（3），（4），（5），（6） 4、公式 x((A(x) B(y ，x)) z C(y ，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答：（1） 是，T （2） 是，F （3） 不是 （4） 是，T （5） 不是 （6） 不是 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死 7、设P ：我生病，Q ：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校 答：（1） P Q →? （2） Q P ?→ （3） Q P ?? （4）Q P →? 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0（2）存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1） F （2） F （3）F （4）T 10、设谓词P(x)：x 是奇数，Q(x)：x 是偶数，谓词公式 x(P(x)Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答：（1） 11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（ ）。 答：2不是偶数且-3不是负数。 12、永真式的否定是（ ） (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 答：（2） 13、公式(?P ∧Q)∨(?P ∧?Q)化简为（ ），公式 Q →(P ∨(P ∧Q))可化简为（ ）。 答：?P ，Q →P
组合数学试题 共 5 页 ，第 1 页 电子科技大学研究生试卷 （考试时间： 至 ，共 2 小时） 课程名称 组合数学 教师 学时 40 学分 2 教学方式 讲授 考核日期 2011 年 11 月 日 成绩 考核方式： （学生填写） 一、(共10分) 1、（4分）名词解释：广义Ramsey 数R (H 1，H 2，…，H r )。 2、（6分）证明：R(C 4,C 4) ≥ 6，其中C 4为4个顶点的无向回路图。 解： 1、使得K n 对于(H 1，H 2，…，H r )不能r －着色的最小正整数n 称为广义Ramsey 数R (H 1，H 2，…，H r )。-----------------4分 2、如下图所示的5个顶点的完全图就没有一个纯的C 4，实线和虚线分别代表不同的颜色。 -----------------4分 故R(C 4,C 4)>=6。-----------------2分 二、(16分)未来5届欧盟主席职位只能有法国、德国、意大利、西班牙、葡萄牙五国的人当选，一个国家只能当选一次。假如法国只能当选第一届、第二届或者第三届，德国不能当选第二届和第三届，意大利不能当选第一届，西班牙不能当选第五届，葡萄牙只能能当选第二届、第四届或者第五届。问未来的5届欧盟主席职位有多少种不同的当选方案？ 解：原问题可模型化为一个5元有禁位的排列. 其禁区棋盘C 如下图的阴影部分。 -----------------4分 学 号 姓 名 学 院 ……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………
1、首先获得四次方程一般解法的数学家是( D )。 A. 塔塔利亚 B. 卡尔丹 C. 费罗 D.费拉里 2、最先建立“非欧几何”理论的数学家是( B )。 A. 高斯 B. 罗巴契夫斯基 C. 波约 D. 黎曼 3、提出“集合论悖论”的数学家是( B)。 A.康托尔 B.罗素 C.庞加莱 D.希尔伯特 4、( 泰勒斯)在数学方面的贡献是开始了命题的证明，被称为人类历史上第一位数学家 A. 阿基米德 B. 欧几里得 C. 泰勒斯 D. 庞加莱 5、数学史上最后一个数学通才是( B) A、熊庆来 B、庞加莱 C、牛顿 D、欧拉 7、当今数学包括了约A 多个二级学科。 A、400 B、500 C、600 D、700。 1、秦九韶是“宋元四大家”之一，其代表作是（）。 （A）九章算术（B）九章算术注（C）数书九章（D）四元玉鉴2、下面哪位数学家最早得到了正确的球的体积公式（）。 （A）欧几里得（B）祖冲之（C）刘徽（D）阿基米德3、古代几何知识来源于实践，在不同的地区，不同的几何学的实践来源不尽相同，古代埃及的几何学产生于 （A）测地（B）宗教（C）天文（D）航海 4、“零号”的发明是对世界文明的杰出贡献，它是由下列国家发明的（）。 （A）中国（B）阿拉伯（C）巴比伦（D）印度 5、最早发现圆锥曲线的是下列哪位数学家（）。 （A）欧几里得（B）阿波罗尼奥斯（C）毕达哥拉斯（D）梅内赫莫斯6、下列哪位数学家提出猜想：每个偶数是两个素数之和；每个奇数是三个素数之和（）。 （A）费马（B）欧拉（C）哥德巴赫（D）华林 7、下列哪位数学家首先证明了五次和五次以上的代数方程的根式不可解性（）。 （A）拉格朗日（B）阿贝尔（C）伽罗瓦（D）哈密顿 8、在非欧几何的先行者中中，最先对“第五公设能由其他公设证明”表示怀疑的数学家（）。 （A）克吕格尔（B）普罗克鲁斯（C）兰伯特（D）萨凯里 9、下列数学家中哪位数学家被称作“现代分析学之父”（）。 （A）柯西（B）魏尔斯特拉斯（C）康托尔（D）黎曼 10、在现存的中国古代数学著作中，最早的一部是（）。 （A）九章算术（B）周髀算经（C）墨经（D）孙子算经 1、“算经十书”中记载有祖冲之父子工作的是（）。 （A）九章算术（B）缀术（C）数书九章（D）周髀算经 2、下面哪位数学家对勾股定理的贡献最早（）。 （A）欧几里得（B）祖冲之（C）毕达哥拉斯（D）阿基米德 3、对负数最早认识是下列哪个国家（）。 （A）中国（B）、阿拉伯（C）巴比伦（D）印度 4、对虚数首先是由下列哪个数学家引进的（）。 （A）邦贝利（B）帕斯卡（C）欧几里德（D）韦达 5、今天“代数学”这个名称最早来源于下来哪位数学家的著作（）。 （A）阿罗摩笈多（B）马哈维拉（C）花拉子米（D）奥马.海亚姆 6、下列哪位数学家开创了数学的符号系统化工作（）。