平行线与三角形内角和地综合应用（每日一题）
1. 如图，在△ ABC 中，D 为BC 边上一点，DF丄AB 于F, ED// AC,/ A=Z B. 求证：/ EDF=/
BDF.
2. 已知：如图，AD丄BC, EF丄BC,/仁/2 .求证：AB/ DG.
r
3. 在厶ABC中，/ ACB=90 , E是BC边上地一点，过C作CF丄AE,垂足为F,过B作
BD丄BC,交CF地延长线于D.若/ EAC=25°,求/ D地度数.
4. 已知：如图，AC EF相交于点O,/ E=/ F,/仁/ 2. 求证：AB // DG.
5. 已知：如图，AD// EF, BF// DG,/ A=Z B=Z G=35° 求/
EFG地度数.
【参考答案】
1?证明：如图,
已知 )
Z FED +Z EDF =Z B+Z BDF=90°( 直角三角形两锐角互余 )
等角地余角相等
?Z ACB=90°
Z D=90°- Z DCB =90 - 25°
等式性质
4.证明：如图，
?Z E=Z F
DE// AC ? / A =Z FED ? / B =Z FED
已知 ) 两直线平行，同位角相等 ) 已知 ) 等量代换 即：Z CAB=Z DCA 等式性质 ) ? AB / DG ( 内错角相等，两直线平行 ) 5.证明：如图，
? Z A=Z B=35° ( 已知 ) ?Z ACB=18°0-Z A-Z B
=180°-35 °-
35° =110°
三角形地三个内角地和等于 180°) ?Z DCF=Z ACB (
对顶角相等 ) 已知
( ?Z 1+Z CAE =Z 2+Z FCA ? DF 丄 AB ? / EDF=Z BDF 2.证明：如图，
?/ EF ± BC ???/ B+Z 1=90 ?/ AD 丄 BC ?Z 2+ Z CDG=9°0
已知 ) 直角三角形两
锐角互余
已知 )
垂直地性质
?Z B=Z CDG
? AB / DG
3.解：如图，
?/ CF 丄 AE 已知 ) 等角地余角相等 ( 同位角相等，两直线平行 已知 ?Z EAC +Z ACD=9°0
) 直角三角形两锐角互余 即 Z DCB+Z ACD=90
已知 Z DCB=Z EAC
Z EAC=25°
等角地余角相等 已知 Z DCB = 25°
BD 丄 BC
Z D+Z DCB=9°0
) 等量代换 已知 ) 直角三角形两锐角互余 = 65 ? AE / FC 内错角相等，两直线平行 ?Z CAE =FCA 两直线平行 ，内错角相等
已知
?Z 1=Z 2
/ DCF=11O ( 等量代换)
BF// DG ( 已知)
/ D+Z DCF=180 ( 两直线平行，同旁内角互补 ) / D=70 ( 等式性质)
AD/ EF ( 已知)
Z D=Z FEG ( 两直线平行，同位角相等 )
Z FEG=70°( 等量代换)
Z G=35°( 已知)
Z EFG=180-Z FEG-Z G
=180 -70 °-3°5 °
=75°(三角形地三个内角地和等于180 °)
初中数学《三角形内角和定理的证明》教案第六章证明（一） 5．三角形内角和定理的证明 一、学生知识状况分析 学生技能基础：学生在以前的几何学习中，已经学习过平行线的判定定理与平行线的性质定理以及它们的严格证明，也熟悉三角形内角和定理的内容，而本节课是建立在学生掌握了平行线的性质及严格的证明等知识的基础上展开的，因此，学生具有优良的基础。 活动经验基础：本节课主要采取的活动形式是学生非常熟悉的自主探究与合作交流的学习方式，学生具有较熟悉的活动经验． 二、教学任务分析 上一节课的学习中，学生对于平行线的判定定理和性质定理以及与平行线相关的简单几何证明是比较熟悉的，他们已经具有初步的几何意识，形成了一定的逻辑思维能力和推理能力，本节课安排《三角形内角和定理的证明》旨在利用平行线的相关知识来推导出新的定理以及灵活运用新的定理解决相关问题。为此，本节课的教学目标是： 知识与技能：（1）掌握三角形内角和定理的证明及简单应用。 （2）灵活运用三角形内角和定理解决相关问题。 数学能力：用多种方法证明三角形定理，培养一题多解的能 力。 情感与态度：对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用． 三、教学过程分析 本节课的设计分为四个环节：情境引入探索新知反馈练习课堂小结
第一环节：情境引入 活动内容：（1）用折纸的方法验证三角形内角和定理．实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图6－38（1））然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果 （1）（2）（3）（4） 试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，还有其它折法吗？ （2）实验2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起。 试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，如果只剪下一个角呢？ 活动目的： 对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。将自己的操作转化为符号语言对于学生来说还存在一定 困难，因此需要一个台阶，使学生逐步过渡到严格的证明．教学效果： 说理过程是学生所熟悉的，因此，学生能比较烂熟地说出用撕纸的方法可以验证三角形内角和定理的原因。 第二环节：探索新知 活动内容： ① 用严格的证明来论证三角形内角和定理． ② 看哪个同学想的方法最多？ 方法一：过A点作DE∥BC ∵DE∥BC DAB=B，EAC=C（两直线平行，内错角相等）
四年级下册数学“三角形内角和”练习题 姓名： 一、选择题 1、一个三角形中，有一个角是65°，另外的两个角可能是（ ） A.95°，20° B.45°，80° C.55°，60° 2、一个等腰三角形，顶角是100°，一个底角是（ ）。 A.100° B. 40° C.55° 3、一个等腰三角形，一个底角是顶角的2倍，这个三角形顶角（ ）度，底角（ ）度。 A. 36° B.72° C.45° D.90° 二、想一想，下列各组角能组成三角形吗？如果不能，请说明理由；如果能，请说明是什么三角形。 1、80°，95°，5° 2、60°，70°，90° 3、30°，40°，50° 4、50°，50°，80° 5、60°，60°，60° 三、某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃,那么最省事的办法是带( )去。 为什么？ 四、将一个大三角形分成两个小三角形，这两个小三角形的内角和分别是多少？ 五、如果一个三角形有两个直角，结果会怎样？那么一个三角形最多有几个直角？ 六、一个直角三角形，一个锐角是50°，另一个锐角是几度？ ③② ①
七、已知等腰三角形的风筝，一个底角70°，顶角多少度？ 八、想一想，算一算。 九、求图中∠１、∠２、∠３的度数。 十、判断并说明理由。 1、一块三角尺的内角和是180度，用两块完全一样的三角尺拼成一个三角形，这个三角形的内角和是360度。（） 2、三角形越大，它的内角和就越大。（） 3、一个三角形剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和是90°。（） 4、有一个三角形，两个内角分别是95°和91°。（） 5、三角形中最多只有一个直角或只有一个钝角。（） 6、钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和。（）
11.2.1三角形的内角和 基础知识 一、选择题 1.下列说法正确的是( ) A.三角形的内角中最多有一个锐角; B.三角形的内角中最多有两个锐角 C.三角形的内角中最多有一个直角; D.三角形的内角都大于60° 答案：C 2.(20** 广东省梅州市) 如图，在折纸活动中，小明制作了一张ABC △纸片，点、分别是边AB 、AC 上，将ABC △沿着DE 折叠压平，与重合，若A o ∠=75，则∠1+∠2=（ ） （A ）150o （B ）210o （C ）105o （D ） 答案：A 3. (20** 山东省滨州市) 一个三角形的三个内角的度数之比为372 ∶∶，则这个三角形一定是（ ） （A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）锐角三角形 （D ）钝角三角形 答案：D 4. (20** 云南省昆明市) 如图，在ABC △中， 6733B C ==∠°，∠°，AD 是ABC △的角平分线，则CAD ∠的度数为（ ）． （A ）40° （B ）45° （C ）50° （D ）55° 答案：A
5. (20** 福建省漳州市) 将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠的度数是（） （A）45o（B）60o（C）75o（D）90o 答案：C 6. (20** 四川省绵阳市) 如图，将等腰直角三角形沿虚线裁去顶角后，∠1 +∠2 =（）．A．225? B．235? C．270? D．与虚线的位置有关 答案：C 7. (20** 广西来宾市) 如图，在△ABC中，已知∠A＝80°，∠B＝60°，DE∥BC，那么∠CED的大小是（） A．40°B．60°C．120°D．140° 答案：D 8. (20** 山东省聊城市) 将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是（）（A）75°（B）90°（C）105°（D）120° 答案：C 9.如图，ABCDE是封闭折线，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E为（）度． A．180 B．270 C．360 D．540 1 2
专训1 三角形内角和与外角和的几种常见应用类型名师点金：三角形内角和与外角和有着广泛的应用，利用它们可以解决有关角的很多问题，一般可用于直接计算角度、三角尺或直尺中求角度、与平行线的性质综合求角度、截角或折叠问题中求角度等． 直接计算角度 (第1题) 1．如图，在△中，∠A＝60°，∠B＝40°，点D，E分别在，的延长线上，则∠1＝．2．在△中，三个内角∠A，∠B，∠C满足∠B－∠A＝∠C－∠B，则∠B＝． 三角尺或直尺中求角度 3．【2015·咸宁】如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝50°，则∠2的度数是( ) A．50°B．40°C．30°D．25° (第3题) (第4题) 4．一副三角尺和如图放置(其中∠A＝60°，∠F＝45°)，使点E落在边上，且∥，则∠的度数为． 5．一副三角尺如图所示摆放，以为一边，在△外作∠＝∠，边交的延长线于点F，求∠F的度数． (第5题) 与平行线的性质综合求角度
6．如图，∥，∠＝60°，∠D＝50°，求∠E的度数． (第6题) 截角和折叠综合求角度 7．如图，在△中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2等于( ) (第7题) A．360° B．250° C．180° D．140° 8．如图，将△沿着翻折，使B点与B′点重合，若∠1＋∠2＝80°，求∠B的度数． (第8题) 答案
1．80° 2.60°3 4.15° 5．解：因为∠＝90°，∠＝30°， 所以∠＝180°－∠－∠＝180°－90°－30°＝60°. 因为∠＝∠＝30°， 所以∠F＝180°－∠－∠＝180°－30°－60°＝90°. 6．解：因为∥， 所以∠＝∠＝60°. 因为∠D＝50°， 所以∠E＝∠－∠D＝60°－50°＝10°. 7．B 8．解：由折叠知∠1＋∠2＋2(∠＋∠)＝360°，即80°＋2(∠＋∠)＝360°， 所以∠＋∠＝140°， 所以∠B＝180°－(∠＋∠)＝180°－140°＝40°.
三角形角和180°证明方法 1.如图，证明∠B+∠C+∠BAC=180° 证明：过A 点作DE ∥BC ∵DE ∥BC ∴∠B=∠DAB ，∠C=∠EAC （两直线平行，错角相等） ∵D,A,E 三点共线 ∴∠DAE=180° ∵∠DAE=∠DAB+∠BAC +∠CAE ∴∠DAB+∠BAC +∠CAE=180° ∴∠B+∠C+∠BAC=180° 2.如图，证明：∠B+∠A+∠ACB=180° 证明：过C 点作CD ∥AB ，延长BC 交CD 于C ∵CD ∥AB ∴∠A=∠ACD （两直线平行，错角相等） ∠B=∠DCE （两直线平行，同位角相等） ∵B,C,E 三点共线 ∴∠BCE=180° ∵∠BCE=∠ACB+∠ACD+∠DCE ∴∠ACB+∠ACD+∠DCE=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180° 3.如图，证明：∠C+∠BAC+∠B=180° 证明：过A 点作AD ∥BC ∵AD ∥BC ∴∠C=∠ADC （两直线平行，错角相等） ∠DAC+∠B=180°（两直线平行，同旁角互补） ∵∠DAC=∠DAC+∠CAB ∴∠DAC+∠CAB+∠B=180° ∵∠C=∠ADC ∴∠C+∠CAB+∠B=180° 4.如图，证明：∠BAC+∠C+∠B=180° 证明：过A 点作DE ∥BC ，延长AC 、BC 交DE 于A 点 ∵DE ∥BC ∴∠C=∠FDA ，∠B=∠GAE （两直线平行，同位角相等） ∵D,A,E 三点共线 ∴∠DAE=180° ∵∠DAE=∠DFA+∠FAG+∠GAE ∴∠DFA+∠FAG+∠GAE=180° ∵·∠GAE=∠BAC （对顶角相等）
七年级下学期三角形的内角和 一、填空题(6题，每题3分，共18分) 1．△ABC中，∠A=40o，∠B=60o，则与∠C相邻外角的度数是______． 2．三角形三个内角的比为2：3：4，则最大的内角是_______度． 3．如果△ABC扣，∠A+∠B=∠C—10o，则△ABC是________三角形． 4．一个五边形的4个内角都是100o，则第五个内角的度数是_______． 5．一个n边形的内角和与外角和的比为2：1，则n=________． 6．三角形三个外角的比为2：3：4，则三个内角的比为_______． 二、选择题(6题，每题3分，共18分) 7．一个多边形的每个内角都等于156o，则此多边形是() A．十五边形B．十六边形C．十七边形D．十八边形8．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是() A．∠A+∠B=∠C B．∠A—∠B=∠C C．∠A：∠B：∠C=1：2：3D．∠A=∠B=3∠C 9．一个三角形的三个外角中，钝角的个数最少为() A．0个B．1个C．2个D．3个 10．如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为() A．27πR2B．47πR2C．πR2D．不能确定 11．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块(即图中标有1、2、3、4的四块)，你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形?应该带 () A．第1块B．第2块C．第3块D．第4块 12．如图，光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜舳和CD之间来回反射，这时光线的入射角等于反射角，即∠l=∠6，∠5=∠3，∠2=∠4．若已知∠l=55o，∠3=75o，那么∠2等于() A．50o B．55o C．66o D65o 三、解答题(8题，共64分)
北师大八年级下册数学 6.5《三角形内角和定理的证明》教学设计 西乡三中蒲忠明 教案背景：在学生掌握了平行线的性质及严格的证明等知识的基础上展开的本节课教学。 教学课题：北师大八年级下册数学6.5《三角形内角和定理的证明》教材分析： (一)教材的地位和作用： 这节内容是在前面学生对“三角形内角和是180°”这个结论有了一定直观认识的基础上编排的，以往对这个结论也曾进行过简单的说理，这里则以严格的步骤演绎证明，旨在让学生从实践操作转移到理性思维上来，使学生初步掌握证明的要求和格式，促使学生养成严谨的数学思维方法，发展学生的证明素养。 三角形内角和定理从数量角度揭示三角形三内角之间的关系，是三角形的一个重要性质，既是今后几何推理的重要依据，又是计算角度的重要方法。教材从学生实践操作到证明过程的呈现训练了学生的抽象思维能力和逻辑推理能力；其中辅助线的作法学生第一次接触，它集中了条件、构造了新图形、形了成新关系，实现了未知与已知的转化，起到了解决问题的桥梁作用；课本议一议引导学生一题多思，体现运动变化的观点，读一读为学生认识定理的发现过程另劈蹊径，渗透极限的思想，是学生认识客观世界、不断探求新知的一种重要途径。 因此本节内容不仅在知识上具有承前启后的地位，而且对今后学习和生活都将起到重要的指导作用。 (二)教学目标：
[知识与技能目标]：掌握三角形内角和定理的证明和简单应用，初步学会作辅助线证明的基本方法，培养学生观察、猜想、和推理论证能力。 [过程与方法目标]： 1、对比过去折纸、撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。 2、通过一题多证、一题多变体会思维的多向性。 3、引导学生应用运动变化的观点认识数学。 [情感与态度目标]：通过一题多证、一题多变激发学生勇于探索、合作交流的精神，体验成功的乐趣，引导学生的个性发展。感悟逻辑推理的价值。 （三）教学重难点： 本节课的重点是：探索证明三角形内角和定理的不同方法，利用三角形内角和定理进行简单的计算或证明。 本节课的难点是：应用运动变化的观点认识数学。从拼图过程中发现并正确引入辅助线是本节课的关键。 教学方法：引导发现法、尝试探究法。 教学过程： 一、创设情景、提出问题： “三角形内角和是180°”一定是个真命题吗？你是怎样知道的？ （学生回答：是个真命题。是从度量、折纸、拼角得到的）。教师指出：任何实验都会有误差，即使全班同学都各自剪出了不同形状的三角形，但也不能就此说明所有的三角形都具有这一共性。那么怎样才能说明“三角形内角和是180°”的真实性呢？（ 证明）由哪些公理、定理、定义可以得到一个角或几个角的和为180°？渗透公理化的思想，自然导入三角形内角和定理证明的学习。 二、探究新知
平行线与三角形内角和的综合应用（每日一题） 1． 如图，在△ABC 中，D 为BC 边上一点， DF ⊥AB 于F ，ED ∥AC ，∠A = ∠B ． 求证：∠EDF =∠BDF ． F E D C B A 2． 已知：如图，AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，∠1=∠2．求证：AB ∥DG ． 2 1 G F E D C B A 3． 在△ABC 中，∠ACB =90°， E 是BC 边上的一点，过C 作CF ⊥AE ，垂足为 F ，过B 作BD ⊥BC ，交CF 的延长线于D ．若∠EAC =25°，求∠D 的度数． F E D C B A
4． 已知：如图，AC 、EF 相交于点O ，∠E =∠F ，∠1=∠2． 求证：AB ∥DG ． O 2 1 C G D F E B A 5． 已知：如图，AD ∥EF ，BF ∥DG ，∠A =∠B =∠G =35°． 求∠EFG 的度数． G F E D C B A
【参考答案】 1.证明：如图， ∵DE∥AC （已知）∴∠A＝∠FED （两直线平行，同位角相等）∵∠A=∠B（已知）∴∠B＝∠FED （等量代换）∵DF⊥AB（已知）∴∠FED +∠EDF =∠B+∠BDF=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠EDF=∠BDF（等角的余角相等）2.证明：如图， ∵EF⊥BC （已知） ∴∠B+∠1=90°（直角三角形两锐角互余） ∵AD⊥BC（已知） ∴∠2+∠CDG=90°（垂直的性质） ∵∠1=∠2 （已知） ∴∠B=∠CDG （等角的余角相等） ∴AB∥DG（同位角相等，两直线平行） 3.解：如图， ∵CF⊥AE（已知） ∴∠EAC +∠ACD=90°（直角三角形两锐角互余） ∵∠ACB=90° 即∠DCB+∠ACD=90°（已知） ∴∠DCB=∠EAC（等角的余角相等） ∵∠EAC=25°（已知） ∴∠DCB = 25°（等量代换） ∵BD⊥BC（已知） ∴∠D+∠DCB=90°（直角三角形两锐角互余） ∴∠D=90°-∠DCB =90°-25° = 65°（等式性质） 4.证明：如图， ∵∠E=∠F （已知）
7.2.1三角形的内角 教学目标 1 经历实验活动的过程，得出三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理 2 能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题 重点：三角形内角和定理 难点：三角形内角和定理的推理的过程 课前准备 每个学生准备好二个由硬纸片剪出的三角形，在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码 一、创设情境 1、上节课我们已经学习了三角形的边，研究了三角形的三条边之间的关系。今天我们学习三角形的内角，研究三角形的三个内角之间又有怎样的关系。（板书：7.2.1三角形的内角） 2、出示课件： 有一△ABC（如图），由于老师一不小心将墨水洒落到∠A处，现测得∠B=50°、∠C=60°，你能帮助老师计算出∠A的度数吗？ 问：（1）谁能回答这个问题？说明你的理由。（利用三角形的内角和为180°得到的）（2）你们同意他的结论吗？ 问：三角形的内角和为180°这个结论是正确的吗？你是什么时候知道这个结论的？又是怎样验证这个结论的呢？（小学时学习的，是通过测量的方法验证的） 问：（1）你当时测量了多少个三角形的内角和的180°的呢？ （2）你当时对这一结论的正确性产生过怀凝吗？为什么？ 课件出示 通过测量的方法可以验证三角形的内角和是180°,但是由于形状不同的三角形有无数多个,我们不可能通过测量的办法一一验证。测量总有特殊性，不可能说明全部三角形的内角和都是1800。为了能够准确的论证“三角形的三个内角的和等于180°”这一命题的正确性。我们需要寻找一种能证明任意一个三角形的内角和等于180°的方法。（你们同意这种看法吗？）出示课件 什么叫证明呢？就是由题设（已知）出发，经过推理论证得出结论。 下面我们就来研究这一命题的证明方法。 出示课件 三角形的三个内角的和等于180° 二、探究过程
三角形的角和练习 【例题分析】 例1. 在△ABC 中，已知∠A ＝ 21∠B ＝3 1 ∠C ，请你判断三角形的形状。 分析：三角形的形状按边分和按角分两类，本题由于不可能按边分，因此只有计算各角的度数，按角来确定形状，由于在该题中∠C 是最大的角，因此只需求出∠C 的度数即可判断三角形的形状。 例2. 如图，已知DF ⊥AB 于点F ，且∠A ＝45°，∠D ＝30°，求∠ACB 的度数。 例3. 如图，在△ABC 中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝54°，求∠DAC 的度数。 例4. 已知在△ABC 中，∠A ＝62°，BO 、CO 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，且BO 、CO 相交于O ，求∠BOC 的度数。 〖拓展与延伸〗 （1）已知△AB 中C ，BO 、CO 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，且BO 、CO 相交于点O ，试探索∠BOC 与∠A 之间是否有固定不变的数量关系。 B C D B D C 2 4 3 1 A B C A B C A
（2）已知BO 、CO 分别是△ABC 的∠ABC 、∠ACB 的外角角平分线，BO 、CO 相交于O ，试探索∠BOC 与∠A 之间是否有固定不变的数量关系。 （3）已知：BD 为△ABC 的角平分线，CO 为△ABC 的外角平分线，它与BO 的延长线交于点O ，试探索∠BOC 与∠A 的数量关系。 由前面的探索同学们可以发现三角形三个角 （或外角）的平分线所夹的角与第三个角之间存在着一定的数量关系。 例5. 已知多边形的每一个角都等于135°，求这个多边形的边数。 例6. 一个零件的形状如图，按规定∠A ＝90°，∠B 和∠C 应分别是32°和21°，检验工人量得∠BDC ＝149°，就判断这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由。 分析：验证的关键是求出∠A 的度数，即把∠A 用已知的角∠B 、∠C 、∠BDC 联系起来，利用三角形关于角的性质就可以发现它们之间的关系 E B C E A B D E C
名师精编优秀教案 北师大八年级下册数学 6.5《三角形内角和定理的证明》教学设计 西乡三中蒲忠明 在学生掌握了平行线的性质及严格的证明等知识的基础教案背景：上展开的本节课教学。 北师大八年级下册数学6.5《三角形内角和定理的证明》教学课题：教材分析： (一)教材的地位和作用： 这节内容是在前面学生对“三角形内角和是180°”这个结论有了一定直观认识的基础上编排的，以往对这个结论也曾进行过简单的说理，这里则以严格的步骤演绎证明，旨在让学生从实践操作转移到理性思维上来，使学生初步掌握证明的要求和格式，促使学生养成严谨的数学思维方法，发展学生的证明素养。 三角形内角和定理从数量角度揭示三角形三内角之间的关系，是三角形的一个重要性质，既是今后几何推理的重要依据，又是计算角度的重要方法。教材从学生实践操作到证明过程的呈现训练了学生的抽象思维能力和逻辑推理能力；其中辅助线的作法学生第一次接触，它集中了条件、构造了新图形、形了成新关系，实现了未知与已知的转化，起到了解决问题的桥梁作用；课本议一议引导学生一题多思，体现运动变化的观点，读一读为学生认识定理的发现过程另劈蹊径，渗透极限的思想，是学生认识客观世
界、不断探求新知的一种重要途径。 因此本节内容不仅在知识上具有承前启后的地位，而且对今后学习和生活都将起到重要的指导作用。 教学目标：)二( 名师精编优秀教案 [知识与技能目标]：掌握三角形内角和定理的证明和简单应用，初步学会作辅助线证明的基本方法，培养学生观察、猜想、和推理论证能力。 [过程与方法目标]： 1、对比过去折纸、撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。 2、通过一题多证、一题多变体会思维的多向性。 3、引导学生应用运动变化的观点认识数学。 [情感与态度目标]：通过一题多证、一题多变激发学生勇于探索、合作交流的精神，体验成功的乐趣，引导学生的个性发展。感悟逻辑推理的价值。 （三）教学重难点： 本节课的重点是：探索证明三角形内角和定理的不同方法，利用三角形内角和定理进行简单的计算或证明。 本节课的难点是：应用运动变化的观点认识数学。从拼图过程中发现并正确引入辅助线是本节课的关键。 引导发现法、尝试探究法。教学方法：教学过程： 一、创设情景、提出问题：
三角形内角和180°证明方法1
三角形内角和180°证明方法 1.如图，证明∠B+∠C+∠BAC=180° 证明：过A 点作DE ∥BC ∵DE ∥BC ∴∠B=∠DAB ，∠C=∠EAC （两直线平行，内错角相等） ∵D,A,E 三点共线 ∴∠DAE=180° ∵∠DAE=∠DAB+∠BAC +∠CAE ∴∠DAB+∠BAC +∠CAE=180° ∴∠B+∠C+∠BAC=180° 2.如图，证明：∠B+∠A+∠ACB=180° 证明：过C 点作CD ∥AB ，延长BC 交CD 于C ∵CD ∥AB ∴∠A=∠ACD （两直线平行，内错角相等） ∠B=∠DCE （两直线平行，同位角相等） ∵B,C,E 三点共线 ∴∠BCE=180° ∵∠BCE=∠ACB+∠ACD+∠DCE ∴∠ACB+∠ACD+∠DCE=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180° 3.如图，证明：∠C+∠BAC+∠B=180° 证明：过A 点作AD ∥BC ∵AD ∥BC ∴∠C=∠ADC （两直线平行，内错角相等） ∠DAC+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠DAC=∠DAC+∠CAB ∴∠DAC+∠CAB+∠B=180° ∵∠C=∠ADC ∴∠C+∠CAB+∠B=180° 4.如图，证明：∠BAC+∠C+∠B=180° 证明：过A 点作DE ∥BC ，延长AC 、BC 交DE 于A 点 ∵DE ∥BC ∴∠C=∠FDA ，∠B=∠GAE （两直线平行，同位角相等） ∵D,A,E 三点共线 ∴∠DAE=180° ∵∠DAE=∠DFA+∠FAG+∠GAE ∴∠DFA+∠FAG+∠GAE=180° ∵·∠GAE=∠BAC （对顶角相等） C B A D E A D A B C A B C D E F G
三角形内角和练习姓名________学号_____ 一．填空题 1.等腰三角形的一个内角是94°，那么它的另外两个内角是（）和（）。 2.三角形的两个内角之和是85°，第三个角是（）°，这个三角形是（）三角形。 3.一个直角三角形的一个锐角是45°，另一个内角是（），按边分这是（）三角形。 4.三角形最多（）个直角，最多（）个钝角，最少（）个锐角。 5.已知等腰三角形的一个内角是80°，另外两个内角分别是（）、（）或（）、（）。 6.一个三角形有两个角都是45°，它按角分是（），按边分是（）。 二、选择题 1、一个三角形中，有一个角是65°，另外的两个角可能是（） A.95°，20° B.45°，80° C.55°，60° 2、一个等腰三角形，顶角是100°，一个底角是（）。 A.100° B. 40° C.55° 3、一个等腰三角形，一个底角是顶角的2倍，这个三角形顶角（）度，底角（）度。 A. 36° B.72° C.45° D.90° 4、一个三角形的最小的一个角大于45°，这个三角形一定是（）。 A.锐角三角形 B直角三角形 C 钝角三角形 5、下面说法错误的是（）。 A.一个三角形中最多有一个钝角。 B.一个三角形中最多有两个锐角。 C.两个完全一样的直角三角形能拼成一个大三角形，拼成的大三角形内角和是360度。 D.钝角三角形的两个锐角和一定小于90°。 二、下列各组角能组成三角形吗？如果能，请说明是什么三角形；如果不能，请说明理由。 1、80°，95°，5° 2、60°，70°，90° 3、30°，40°，50° 4、50°，50°，80° 5、60°，60°，60° 三、解决问题 1.某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块 形状完全一样的玻璃,那么最省事的办法是带( )去。为什么？ 2.已知等腰三角形的风筝，一个底角70°，顶角多少度？ 3.小刚要切一块下面这样形状的玻璃，求∠1和∠2的度数。 ③ ② ①
三角形内角和定理的应用 张水华 三角形内角和定理及其推论表明了三角形的内角之间、内角与外角之间的关系。这些关系对于解答有关三角形角的问题有着很重要的作用。下面举例说明它在解题中的若干应用。 1. 求三角形中角的度数 例1 已知△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=2：3：4，求各内角的度数。 分析：这个比例式是以后学习中经常遇到的。我们知道，三角形的内角和是180°，如果将角的比例式转化为每一个角的度数，问题就可解决。设参数是个好方法。 解：设∠A 、∠B 、∠C 的大小分别为2x °、3x °、4x °. 根据三角形内角和定理，得180x 4x 3x 2=++ 解得x=20 ∴∠A=2×20°=40°，∠B=3×20°=60°，∠C=4×20°=80°。 例2 如图1，在△ABC 中，∠A=50°，∠B 、∠C 的平分线交于O 点，求∠BOC 的度数。 图1 分析：在△BCO 中，若知道∠1与∠2的度数和，可求出∠BOC 的度数。在△ABC 中，已知∠A 的度数，可求出∠ABC 和∠ACB 的度数和，进而可求出∠1与∠2的度数和。 解：如图1，由三角形内角和定理，得 ∠ABC ＋∠ACB=180°－∠A=130° 又由题设知∠1= 21∠ABC ，∠2=21∠ACB ∴∠1＋∠2= 21∠ABC ＋21∠ACB = 21（∠ABC ＋∠ACB ） =2 1×130° =65° ∴∠BOC=180°－（∠1＋∠2）=180°－65°=115°。 2. 求特殊图形中某些角的度数之和
例3 如图2，求五角星的五个顶角的度数之和。 图2 分析：观察图2可发现，∠2=∠B ＋∠D ，∠1=∠E ＋∠C ，这样将五个角的度数集中到一个三角形中。 解：由三角形内角和定理的推论，得 ∠B ＋∠D=∠2，∠C ＋∠E=∠1 ∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E =∠A ＋∠2＋∠1=180° 3. 确定角与角之间的关系 例4 如图3，AD 、BE 、CF 为△ABC 的三条角平分线，它们交于O 点，则∠DOC 与∠ABE 的关系是（ ） A. 相等 B. 互余 C. 互补 D. 无法判断 图3 分析：观察图3，∠1＋∠2＋∠ABE 是△ABC 内角和的一半，即90°。又∠DOC 是△OAC 的一个外角，所以∠DOC=∠1＋∠2，那么∠DOC ＋∠ABE=90°。 解：∵∠DOC=∠1＋∠2= 21∠BAC ＋21∠BCA =2 1（180°－∠ABC ） =90°－ 21∠ABC =90°－∠ABE ∴∠DOC ＋∠ABE=90°，即两角互余，故应选B 。
平行线与三角形内角和地综合应用（作业） 1. 如图，三条直线 AB , CD , EF 相交于点 O ,/ A0F=3 / FOB , / AOC=90，则/ EOC= . 2. 如图，在△ ABC 中，DE // BC ，/ ADE=55°，/ 1=25 ° 贝DBE= __________ . 3. 如图，/ 1 + / 2=180 ° / 3=90 ° 则/ 4= ____ . 5.已知：如图，△ ABC . 求证：/ A+ / B+ / ACB=180 C 第2题图 4.如图， D 是厶ABC 边BC 上地一点，/ J 1 = / B ，若/ ADC=60°，贝 U / BAC= . 解：?? ?/ B+ / C +/ BAC=180 ( ) / 1 + / C +/ ADC=180 ( ) ■/ 1 = / B ( ) ? / BAC= / ADC ( 等式地性质 ) / ADC=60 ( ) ? / BAC= ( ) 第1题图
证明：作 BC 地延长线 CE ,过点C 作CD // AB , ?/ CD // AB ???/ A= / 1 / B= / 2 ???/ 1 + Z 2+ / 3=180° ???/ A+ / B+ / ACB=180 ( ( ) ( ( ) ) ) 第5题6.已知 如图， AB // CD ，/ BAE= / DCE=45° . / E=90° . ?/ AB // CD ( ) + =180 ( ) ???/ BAE= 7 D C E=45 ( ) ? 7 1+45°+ 7 2+45° = 即7 1 + 7 2= ( ) ???/ E=180° - (/ 1+ / 2) =180 °-90 ° =90 ° ( ) 7.已知：如图，/ 1 = / ACB ，/ 2=7 3. 求证：CD // HF. 证明： ???7 1= 7 ACB ( ) ? // ( ) ? 7 2= ? 7 2=7 3 ( ) '? 7 3= ( ) ?? // ( ) 【参考答案】 1. 45° 2. 30° 3. 90° 4. 60 °三角形三个内角地和是 180。三角形三个内角地和是 180 °已 知；已知；60°等量代换. 5.两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等; 1平角=180 °等量代换. 求证 证明 A
四年级三角形内角和测试题 姓名成绩 一、判断题。 (1) 一个三角形的两个内角都是锐角，这个三角形一定是锐角三角形．() (2) 等边三角形一定是锐角三角形．() (3) 角的两边越长，这个角就越大．() (4) 比直角大的角一定是钝角．() (5) 等腰三角形一定是等边三角形. ( ) (6) 因为三角形的内角和是180°, 所以平行四边形的内角和是360°．() (7) 有三条线段一定能围成一个三角形. ( ) (8) 任意一个三角形都有三条高. ( ) (9) 有4厘米, 3厘米, 和2厘米的三条线段能组成一个三角形. ( ) (10) 有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形, 有一个角是锐角的三角形叫锐角三角形. ( ) (11) 一个三角形中至少有两个锐角, 最多有三个锐角. ( ) 二、单选题。 (1) 任意一个三角形中至少有几个锐角？正确的是() A．1个B．2个C．3个 (2) 等边三角形必定是() A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形 (3) 一个三角形中最大的角是锐角，这个三角形是() A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形
(4) 在下列三角形中属于钝角三角形的有( ) A. 三个角都是钝角 B. 有一个角是直角的 C. 有一个角是钝角的 (5) 下列三角形中属于锐角三角形的有( ) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 有两个角是锐角的三角形 (6) 在直角三角形中,一个锐角是另一个锐角的2倍, 这个三角形中最小角是( )度. A. 90 B. 60 C. 30 (7) 钝角三角形中有( )个锐角. A. 2 B. 1 C. 无 (8) 在任意一个三角形中至少有( )个锐角. A. 1 B. 2 C. 3 三、填空题。 (1) 由三条线段( )的图形叫做三角形, 围成三角形的每条线段叫做三角形的( ), 每两条线段的交点叫做三角形的( ). (2) 从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线, 顶点和垂足之间的线段叫做三角形的( ), 这条对边叫做三角形的( ). (3) 自行车的车身上一般都有一个三角形的架子, 这主要是应用三角形的( )性. (4) 三角形按角的大小来分, 可以分为( ), ( ), ( )三类. (5) 三角形按边来分, 有( ), ( )和( ). (6) 一个三角形最多有( )个锐角, 最少有( )个锐角. (7) 一个三角形中最多有( )个钝角, ( )个直角. (8) 等边三角形的三个内角都是( ). (9) 如果一个三角形有两个内角的度数之和等于90度, 那么这个三角形一定是( )三角形. (10) 钝角三角形的两个锐角的度数之和( )90度.
《三角形内角和》教学设计 xx小学xx 教学目标： 1、通过操作活动探索发现和验证“三角形的内角和是180度”的规律。 2、在操作活动中，培养学生的合作能力、动手实践能力，发展学生的空间观念，并运用新知识解决问题。 3.使学生有科学实验态度，激发学生主动学习数学的兴趣，体验数学学习成功的喜悦。 学情分析： 学生已经掌握三角形特性和分类，熟悉了钝角、锐角、平角这些角的知识，大多数学生已经在课前通过不同的途径知道“三角形的内角和是180度”的结论，但不一定清楚道理，所以本课的设计意图不在于了解，而在于验证，让学生在课堂上经历研究问题的过程是本节课的重点。四年级的学生已经初步具备了动手操作的意识和能力，并形成了一定的空间观念，能够在探究问题的过程中，运用已有知识和经验，通过交流、比较、评价寻找解决问题的途径和策略。 教学重点：探究发现和验证“三角形的内角和180度”这一规律的过程，并归纳总结出规律。 教学难点：对不同探究方法的指导和学生对规律的灵活应用。 教具学具准备：课件、不同类型的三角形彩色卡片，量角器、记录表 教学过程： 一、创设情境，引出问题 1、猜谜语:（课件） 形状似座山,稳定性能坚。三竿首尾连,学问不简单。
(打一图形名称)三角形（板书） 2、师：你能画出一个有两个直角的三角形吗?动手画一画 生：画不出来 【设计意图】让学生明白三角形的角有一定的奥秘,激发学习兴趣 3、引出课题。 师：看来三角形的角一定藏有一些奥秘，这节课我们就来研究有关三角形角的知识“三角形内角和”。（板书课题） 二、动手操作，探究问题 1、三角形的内角、内角和 （1）什么是三角形内角（课件） 三角形里面的三个角都是三角形的内角。为了方便研究，我们把每个三角形的3个内角分别标上∠1、∠2、∠3。 （2）三角形内角和 师：内角和指的是什么？ 生：三角形的三个角的度数的和，就是三角形的内角和。 （多让几个学生说一说） 2、操作验证,小组合作。 （一）量一量 师：怎样求三角形的内角和呢？我们用什么方法来求证呢？ 生：量一量每个角的度数，然后加起来看看是不是180°。 师：你同意他的方法吗？那我们就一起动手求证吧！（课件）
三角形的内角和 一、猜角游戏导入，以疑激思。 1、师：前面我们认识了三角形？那我们就玩一个猜三角形的游戏？ 运用powerpoint制作的课件演示只露出一个锐角的三角形。 师：老师只露三角形中的一个角，大家猜猜是什么三角形？为什么？ 生1：锐角三角形 师：还有不同的猜测吗？为什么？ 生2：钝角三角形 生3：直角三角形 师：大家猜测后，课件出示答案，让学生直观图的看到，有三种可能性：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 2、师操作课件，电脑：露钝角。这是什么三角形？为什么？运用powerpoint 制作的课件演示只露出一个钝角的三角形，让大家猜测
生：钝角三角形 师：还有别的可能性吗？ 生：没有 3、师：那我盖住的是什么角？ 生：锐角 师：有没有可能还有钝角？为什么？ 生：没有了…… 师：大家想象两个钝角的三角形什么样？ 生：两个钝角的三角形围不起来。 师课件演示包含有两个钝角的三角形是不能围成三角形的。 4、师：那一个三角形里可能有两个直角吗？为什么？ 生：没有 师课件演示包含有两个直角的三角形是不能围成三角形，直观演示得出结论。 师：看来三角形三个角的度数之和有个范围，不可能太大，同意吗？ 5、师：三角形都有三个内角，三个内角的度数之和我们叫三角形的内角和。板
书课题。
课件展示。 二、大胆猜测 师：大家猜测一下三角形的内角和有什么范围（在多少度以内）？ 生：180度左右 师：三角形的内角和到底多少度呢？ 三、实验操作证明 1、测量论证 （1）验证你的猜测。 ①师：小组先商量，可以用什么方法证明？再选择合适的学具证明。 ②学生活动。教师指导。 ③学生汇报：用测量的方法验证。 师：你们组量的什么三角形。分别多少度？结论是？教师板书。 学生在实物投影仪上展示，测量结果和结论。分别测量了锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三个角的度数，相加都是180度。所以得出结论三角形的内角和是180度。 （2）学生互评。 师：评价一下他们组证明的方法（过程）怎么样？ 教师评价：量一个三角形能不能得出结论？为什么？
三角形内角和180°证明方法 1. 如图，证明/ B+Z C+Z BAC=180 证明：过A点作 DE// BC ??? DE// BC ???Z B=Z DAB Z C=Z EAC （两直线平行，内错角相等） ??? D,A,E三点共线 ?Z DAE=180 vZ DAE Z DAB Z BAC+Z CAE ?Z DAB Z BAC+Z CAE=180 ?Z B+Z C+Z BAC=180 2. 如图，证明：Z B+Z A+Z ACB=180 证明：过C点作CD// AB,延长BC交CD于 C v CD// AB ?Z A=Z ACD（两直线平行，内错角相等）Z B=Z DCE（两直线平行，同位角相等）v B,C,E三点共线 ?Z BCE=180 vZ BCE Z ACB Z ACD Z DCE ?Z ACB Z ACD Z DCE=180 ?Z A+Z B+Z ACB=180 3. 如图，证明：Z C+Z BAC Z B=180° 证明：过A点作AD// BC v AD// BC ?Z C=Z ADC（两直线平行，内错角相等） Z DAC Z B=180°（两直线平行，同旁内角互补） vZ DAC Z DAC Z CAB ? Z DAC Z CAB Z B=180° vZ C=Z ADC ?Z C+Z CAB Z B=180° 4. 如图，证明：Z BAC Z C+Z B=180° 证明：过A点作DE// BC,延长AC BC交DE于A点 v DE// BC ?Z C=Z FDA Z B=Z GAE （两直线平行，同位角相等） v D,A,E三点共线 ?Z DAE=180 vZ DAE Z DFA Z FAG Z GAE ?Z DFA+Z FAG Z GAE=180 v?Z GAE Z BAC（对顶角相 等） ?Z BAC Z C+Z B=180° 5. 如图，证明：Z A+Z C+Z B=180° E E A
三角形角和解答题专项练习60题（有答案） 1．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=45°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADC的度数？ 2．如图△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B=36°，∠DAE=16°．求∠CAD的度数． 3．如图，已知∠CBE=96°，∠A=27°，∠C=30°，试求∠ADE的度数． 4．如图，△ABC中，BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，BD、CD相交于点D，求证：∠D=90°+∠A． 5．如图，在△ABC中，∠A=3x°，∠ABC=4x°，∠ACB=5x°，BD，CE分别是边AC，AB上的高，且BD，CE相交于点H，求∠BHC的度数． 6．如图，D是△ABC的BC边上一点，∠ABC=40°，∠BAC=80°．求： （1）∠C的度数； （2）如果AD是△ABC的BC边上的角平分线，求∠ADC的度数． 7．如图，在△ABC中，点D是∠ACB与∠ABC的角平分线的交点，BD的延长线交AC于E，且∠EDC=60°．求∠A的度数． 8．如图，∠A=50°∠ABC=60°． （1）若BD为∠ABC平分线，求∠BDC． （2）若CE为∠ACB平分线且交BD于E，求∠BEC． 9．如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于O点． （1）若∠A=60°，求∠BOC的度数．（只需写出结果） （2）若∠A=α，求∠BOC的度数． 10．如图，已知∠ABC=∠ACB，∠1=∠2，∠3=∠F， （1）试判断EC与DF是否平行，并说明理由； （2）若∠ACF=110°，求∠A的度数． 11．在三角形中，每两条边所组成的角叫三角形的角，如图1，在三角形ABC中，∠B，∠BAC和∠C是它的三个角．其实，在学习了平行线的性质以后，我们可以用几何推理的方法去证明“三角形的角的和等于180°”．请在以下给出的证明过程中填空或填写理由． 证明：如图2，延长BA，过点A作AE∥BC． ∵AE∥BC（已作） ∴∠1=∠（_________ ），（_________ ）