求解排列、组合问题的一些方法与策略
排列、组合问题历来是学生学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列、组合问题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。我们只有对基本的解题策略熟练掌握，根据它们的条件，选取不同的技巧来解决。对于一些比较复杂的问题，我们可以将几种策略结合起来应用，或将复杂的问题转化为熟悉的问题来灵活处理，并举一反三，触类旁通。本文所谈的策略只供参考，切忌将所有的题目都对号入座。
一、特殊元素和特殊位置优先考虑的策略
对于含有限定条件的排列组合应用题，一般优先考虑安排特殊元素或者特殊位置，然后再考虑其它元素或者其它位置。
1、用0，2，3，4，5，这五个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？
分析：因组成的三位数为偶数，末尾的数字必须是偶数，又0不能排首位，故0是其中的特殊元
素，应优先安排。按0排在末尾和0不排在末尾分为两类：（1）当0排在末尾时有24A 个；（2）
当0不排在末尾时三位偶数有111233A A A 个。根据分类加法计数原理，共有偶数24A +111233A A A =30个。
2、（05年福建卷）从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）
A. 300种
B. 240种
C. 144种
D. 96种 解析：因为甲、乙不去巴黎，故从其余4人选1人去巴黎有C 41种方法，再从剩余5人中选3人
去其余3市，有A 53种方法，所以共有方案C A 4153240=（种），故选（B ）。
3、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，求有多少种不同的排法？
分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有4
4A 种排法；
2）若甲在第二，三，四位上，则有131333A A A 种排法，由分类计数原理，排法共有7813133344=+A A A A 种。
4、（2006年全国卷I ）安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有___2400______种。（用数字作答） 解析：先让甲选值班日期，有5种选法；接下来让乙选值班日期，有4种选法，再接下来5名工作人员任意排，有5!种排法。所以不同的安排办法共有545!2400??=种。
说明：位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素。若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处
二、排列组合混合问题先选后排策略
对于排列组合的混合问题，可采取先选出元素，后进行排列的策略。
5、4个不同小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子，求恰好有一个空盒的放法有多少种？
分析：这是一个排列与组合的混合问题。因恰有一个空盒，所以必有一个盒子要放2个球，故可
分为两步进行：第一步先选，从4个球中任意选两个球，有24C 种选法，从4个盒子中选出3个
有34C 种选法；第二步排列，把选出的2个球视为一个元素，与其余2个球共3个元素对选出的
3个盒子作全排列，有33A 种排法。所以满足条件的放法共有24C 34C 33
A =144种。 6、（2009广东卷）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，求有多少种不同的选派方案？
【解析】分两类：若小张或小赵中有一人入选，则有选法24331212=A C C ；若小张、小赵都入选，
则有选法122322=A A ，共有选法36种，选A.
三、分类相加与分步相乘策略
加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成”，可以与物理中电路的串联和并联类比，
解题中根据题目需要灵活而巧妙地分类或分步．
7、(2012高考浙江)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )
A.60种
B.63种
C.65种
D.66种
【答案】D
【解析】从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数的取法分为三类；第
一类是取四个偶数，即545=C 种方法；第一类是取两个奇数，两个偶数，即602425
=C C 种方法；第三类是取四个奇数，即14
4=C 故有5+60+1=66种方法。故选D 。
8、（05年浙江卷）从集合{O ，P ，Q ，R ，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复），每排中字母P 、Q 和数字0至多只出现一个的不同排法有多少种?
解析：（1）每排中只有数字0的排法有C C A 913244；（2）每排中只有字母P 或Q 的排法都有C C A 319244；
（3）每排中无数字0，字母P 、Q 的排法有C C A 329244。
所以不同的排法种数共有：()C C C C C C A 9132319232924428424++=（个）
9、从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和
不等于11，这样的子集共有多少个?
解：和为11的数共有5组：1与10，2与9，3与8，4与7，5与6，子集中的元素不能取自同
一组中的两数，即子集中的元素取自5个组中的一个数，而每个数的取法有2种，所以子集的个
数为2×2×2×2×2=25=32
点评：解本题的关键是找出和为11的5组数，然后再用分步计数原理求解 例中选出5个数组
成子集改为选出4个数呢? 答案：C 45·24=80个
10、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如下图），现要栽种4种不同颜色的
花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有多少种？
解法一：从题意来看6部分种4种颜色的花，从图形看必有2部分同颜色的花，从同颜色的花入手分类求 （1）②与⑤同色，则③⑥也同色或者④⑥也同色，所以共有N 1=4×3×2×2×1=48种；
（2）③与⑤同色，则②④或⑥④同色，所以共有N 2=4×3×2×2
×1=48种；
（3）②与④且③与⑥同色，则共有N 3=4×3×2×1=24种
所以，共有N =N 1+N 2+N 3=48+48+24=120种
解法二：记颜色为A 、B 、C 、D 四色，先安排1、2、3有A 3
4种不同的栽法，不妨设1、2、3已
分别栽种A 、B 、C ，则4、5、6栽种方法共5种，由以下树状图清晰可见 根据分步计数原理，不同栽种方法有N =A 34×5=120
11、（2009全国卷Ⅰ）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从
甲、乙两组中各选出2名同学，求选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有多少种？解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有112536225C C C ??=种选法； (2) 乙组中选出一名女生有
211562120C C C ??=种选法.故共有345种选法.
12、在一次演唱会上共10名演员，其中8人能唱歌，5人会跳舞，现要演出一个2人唱歌，2
人伴舞的节目，有多少选派方法？
65432
1
D D C C D C B
D
65
4C
B D
不同的选法共有_______
说明：解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，或按事件发生的连续过程分 步，“类”与“类”之间独立且并列，“步”与“步”之间相依且连续，要做到标准明确，层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定，要贯穿于解题过程的始终。
四、正难则反总体淘汰策略
对于含“至多”或“至少”的排列组合问题，若直接解答多需进行复杂讨论，
可以考虑“总体去杂”，即将总体中不符合条件的排列或组合删除掉，从而计算出符合条件的排列组合数的方法．
14、有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？
分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，
因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数33
3352A C ??个，其中0在百位的有2242?C ?22A 个，这是不合题意的。故可组成不同的三位数33
3352A C ??-2242?C ?22A =432（个） 15、（05年全国卷）由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有多少个？
解析：用排除法解决：（1）总的四位数有C A 5153；（2）个位数字为0的四位数有A 53
；（3）个位数字为5的四位数有C A 4142。所以符合条件的四位数共有：C A A C A 51535341423006048192--=--=（个）
另解：直接求有4442
??A （想一想，为什么？）
16、从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数，问不同的取法有多少种？
五、实际操作问题穷举策略 一些较实际、较复杂、不易用公式而数目较小的排列组合问题，可以尝试穷举的
策略，常通过画表格、树形图 、框图等手段使问题直观化，往往得到可信度较高的答案。
17、(2012高考四川)方程22
ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）
【答案】B 【解析】本题可用排除法，,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--，6选3全排列为120，这些方
程所表示的曲线要是抛物线，则0a ≠且0b ≠,，要减去40225=A ，又22或-=b 和3
3或-=b 时，方程出现重复，用分步计数原理可计算重复次数为18233=??，所以不同的抛物线共有120-40-18=62条.故选B.
18、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少?
解：设较小的两边长为x 、y 且x ≤y ，则 x ≤y ≤11，x +y >11，x 、y ∈N *
当x =1时，y =11；
当x =2时，y =10，11；
当x =3时，y =9，10，11；
当x =4时，y =8，9，10，11；
当x =5时，y =7，8，9，10，11；
当x =6时，y =6，7，8，9，10，11；
当x =7时，y =7，8，9，10，11；
……
当x =11时，y =11
所以不同三角形的个数为 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36
点评：本题关键是列出约束条件，然后寻找x =1，2，…，11时，y 的取值个数的规律，再用分类计数原理求解
19、d c b a ,,,排成一行，其中a 不排第一，b 不排第二，c 不排第三，d 不排第四的不同排法共有多少种？
解：依题意，符合要求的排法可分为第一个排b,c,d 中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树形图”的方式逐一排出：
∴符合题意的不同排法共有9种
20、（05年贵州）设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两个顶点之一，若在5次之内跳到D 点，则停止跳动，若在5次之内不能到达D 点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法有多少种？
解析：青蛙从A 点开始，往相邻两个顶点B 和F 跳到D 点的次数是相同的，又青蛙第一次往B 方向跳的跳法可用“树形图”表示如下：
由图知有13种跳法，所以共有跳法2×13=26（种）。
评注：此种方法是解决数量较小排列问题的常用方法之一，优点是把抽象变为直观。
有些较复杂的问题可以通过列图表使其直观化。
21、9 人组成篮球队，其中7人善打前锋，3人善打后卫，现从中选5人（三锋两卫，且锋分左、中、右，卫分左、右）组队出场，有多少种不同的组队方法？
分析：由题设知，其中有1 人既可打锋，又可打卫，则只会锋的有6人，只会卫的有2 人。列表如下：
由表知，共有9002233262212362236=++A A C A C A A A 种方法。 说明：对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法，或画出树状图，往往会收到意想不到的结果。
六、相邻元素“捆绑”策略
对于某几个元素要求相邻的排列问题，可以先将相邻的元素“捆绑”起来看作
一个“大”元素，与其他元素排列，然后再对“大”元素内部进行排列。
22、5名学生与3名老师站成一排照相，3名老师必须站在一起的不同排法共有_____种.
分析：将3名老师“捆绑”起来看成一个元素，与5名学生排列，有66A 种排法，而3名老师之
间又有33A 种排法，故满足条件的排法共有66A 33
A =4320种。 23、4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？
种排法，又乘法原理满足条件的排法有：44A ×44A =576
24、7人站成一排照相， 若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法？
分析： 先将其余四人排好有44A 种排法，再在这人之间及两端的5个“空”中选三个位置让甲乙
丙插入，则有35A 种方法，这样共有14003544=A A 种不同排法。
25、(2012高考辽宁)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为
( )
(A)3×3！ (B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！
【答案】C
【解析】此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个家庭有3!种排法，三个家庭共有
33!3!3!(3!)??=种排法；再把三个家庭进行全排列有3!种排法。因此不同的坐法种数为4(3!)，答案为C
说明：要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用形象说法——“捆绑”策略来解决，即将需
要相邻的元素合并作一个整体与其它元素一起排列，同时要注意被合并的元素内部也必须排列。
七、不相邻问题插空策略
对于某几个元素不相邻的排列问题，可以先将其他元素排好，然后再将所指定
不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置，俗称插空法．
26、7人站成一行，如果甲、乙两人不相邻，求有多少种不同的排法？
分析：先让甲乙之外的5人排成一行，有55A 种排法，再让甲乙两人在每两人之间及两端的六个
间隙中插入，有26A 种方法，故共有55A 26A =3600种排法。
27、（05年辽宁卷）用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有多少个？
解析：此题是捆绑法和插空法的综合应用问题。把相邻的两个数捆成一捆，有A 33
种排法，再将
7与8插进四个空隙中有A 42种插法，而相邻的三捆内部都有A 22种排法，故这样的八位数共有：
A A A A A 22222233428612576=??=（个） 说明：元素不相邻问题可先把没有位置要求的元素进行排队，再把不相邻元素插入中间和两端。
八、定序问题消序处理，也可转化为占位插空模型处理
对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同排列，再消除它们内部的排列数。
28、用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，
（1）若偶数2，4，6次序一定，有多少个？
（2）若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？
解（1）33
77A A （2）443377A A A 29、7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定的排法共有多少种？
30、10人身高各不相等，排成前、后两排，每排5人，要求从左至右身高逐渐增加，共有多少不同的排法？
31、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为___________.
32、某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入节目单中，那么不同的插法种数为 A 504 B 210 C 336 D 120
解析：三个新节目一个一个插入节目单中，分别有7、8、9种方法
∴插法种数为7×8×9=504或A 9
9÷A 66=504 答案：A
33、（2006年江苏卷）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 种不同的方法（用数字作答）。
解：由题意，99234234
1260A A A A =
九、元素相同问题隔板策略
34、某校准备组建一个由12人组成的篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共有多少种？
分析：构造一个隔板模型。如图，取12枚棋子排成一列，在相邻的每两枚棋子形成的11个 O|O|OOO|O|OO|O|OO|O
间隔中选取7个插入隔板，将12枚棋子分隔成8个区间，第i 个区间的棋子数对应第i 个班级学生的名额（图示中表示8个班分配的名额分别位1、1、3、1、2、1、2、1个），因此名额分配方案的种数与隔板插入方法数相等，故名额分配方案有7
11C =330种。
35、求不定方程a+b+c+d=12有多少组不同的正整数解？
分析：建立隔板模型：将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个间隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，每一种分法所得4堆球的各堆球的数目，对应为a 、b 、c 、d 的一组正整解，故原方程的正整数解的组数共有165311=C 组。
又如方程a+b+c+d=12非负整数解的个数？经过转化后都可用此法解。
36、有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？
37、10个相同的球装5个盒中，每盒至少一个的装法有多少种？
38、求方程x+y+z+w=100的自然数解的组数。
39、将20个相同的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒子的球数不小于它的编号数，问有多少种不同的放法？
40、十堰市科协将12个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3个学校，要求每个学校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为（ B ）
A ．36
B ．42
C ．48
D ．54
说明：将n 个相同的元素分成m 份（n ，m 为正整数），每份至少一个元素，可以模拟成m-1块
隔板，插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为11--m n C
十、平均分组问题除法策略
41、6本不同的书，按照以下要求处理，各有多少种方法？
（1）一堆一本，一堆两本，一堆三本；（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本；
（3）一人得一本，一人得二本，一人得三本；（4）平均分给甲、乙、丙三人；
（5）平均分成三堆。
解析：本问题中的每一小题都提出了一种类型问题，要搞清类型的归属。
（1）属非均匀分组问题，先在6本书中任取一本，作为一堆，有C 61
种取法，再从余下的5本书中任取2本作为一堆，有C 52种取法，最后余下的3本作为一堆有C 33种取法，故共有分法：
C C C 61523360=（种） （2）属一般的分配问题，先在6本书中任取一本，分给甲有C 61
种取法，再从余下的5本书中任取2本分给乙，有C 52种取法，最后余下的3本给丙，故共有分法C C C 61523360=（种）
（3）属非均匀不定向分配问题，由（1）知分成三堆有60种，但每一种分组方法又有A 33种不同的分配方案，故共有分法6036033A =（种）。
（4）属均匀定向分配问题，3个人一个一个地来取书，甲取有C 62种，乙再去取有C 42种，最后
（5）属均匀分组问题，把6本不同的书分成三堆，每堆2本与把6本不同的书分给甲、乙、丙三，每人2本的区别在于后者相当于把6本不同的书，平均分成三堆后再把分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人，因此设把6本不同的书平均分成三堆的方法有x 种，由（4）知把6本不同的书
分给甲、乙、丙三人，每人2本的方法有C C C 624222种。所以xA C C C 33624222=，则x =15（种）
42、6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？
分析：分出三堆书（a 1,a 2）,(a 3,a 4)，（a 5,a 6）由顺序不同可以有33A =6种，而这6种分法只算一
种分堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有33
222426A C C C =15种 43、（2009重庆卷）12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），求3个强队恰好被分在同一组的概率。
解析：将12个队平均分成4个组的分法有444128433
C C C A 种，而3个强队恰好被分在同一组分法有3144398422
C C C C A ，故个强队恰好被分在同一组的概率为55333
44484122244
481933=A C C C A C C C C 44、6本不同的书平均分成3堆，每堆2本，共有多少分法？
45、将13个球队分成3组，一组5个队，其它两组4个队，有多少分法？
46、10名学生分成3组，其中一组4人，另两组各3人，但正、副班长不能分在同一组，有多少种不同的分组方法
说明：平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以n n A (n 为均
分的组数)，避免重复计数。
十一、分配问题先分组再安排策略
47、（2009重庆卷理）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，求有多少种不同的分配方案？
【解析】分两步完成：第一步将4名大学生按2，1，1分成三组，其分法有21142122
C C C A ??；第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有33A
，所以满足条件的分配方案有211342132236C C C A A ???=
48、某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______
49、（2013年重庆）从3名骨科.4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科.脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________(用数字作答)
【答案】590
十二、化归与转化，构造模型策略
对某些排列组合问题，将其等价转化为简单的问题来处理。
50、如图，某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种？
解：无论怎样走必须经过三横四纵，因此， 把问题转化为3个相同的白球与四个
相同的黑球的排列问题．37C =35（种）
51、一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．
解：根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题．6
12C =924（种）．
52、马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九盏路灯，为节约用电，现要求把其中的三盏路灯关闭，但不能关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有多少种？
分析：正面考虑要分类讨论，情况较复杂。换一个角度，从结论入手考虑。因每一种关灯方法唯一对应着一种满足题设条件的亮灯与暗灯的排列，于是问题转化为“在6盏亮灯中插入3盏暗灯，且任何两盏暗灯不相邻、且暗灯不在两端”，即就是在6盏亮灯所形成的5个间隙中选3个插入
3盏暗灯，其方法有3510C =种。 53、（2006年全国卷I ）设集合{}1,2,3,4,5I =，选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最大的数，求不同的选择方法共有多少种？
解析：显然A B =?，设A B C =，则C 是I 的非空子集，且C 中元素不少于2个（当然，也不多于5个）。另一方面，对I 的任何一个k （25k ≤≤）元子集C ，我们可以将C 中元素从小到大排列。排好后，相邻数据间共有k -1个空档。在任意一个空挡间插入一个隔板，隔板前的元素组成集合A ，隔板后元素组成集合B 。这样的A 、B 一定符合条件，且集合对{A ，B }无重复。
综合以上分析，所求为：213141515152535449C C C C C C C C +++=
54、某排共有10个座位，若4人就坐，每人左、右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？
说明：一些不易理解的排列组合题，可以把问题退化成一个简要的问题，如转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型、排队模型、装盒模型等，可使问题直观解决。
十三、转化问题叙述形式，运用集合语言的策略
有时解决排列组合问题时，如果从集合角度来看问题，叙述成集合语言形式，常常可以使
问题更加简洁、严密、具有普遍性。
55、6名运动员参加1004?接力赛，要求甲不跑第一棒且乙不跑第四棒，有多少种安排方法？ 解析：记A ：甲跑第一棒，B ：乙跑第四棒。所求就是6人参加1004?中，既不满足A 也不满足B 的安排方法。对应解法： )(B C A C card I I =)()()()(B A card B card A card I card +--。
即安排方法数为25224353546=+--A A A A 。
也可以这样解答：记A 为甲不跑第一棒，B 跑第四棒，
即25245)()()(2435=-=-=A A B A card A card B C A card I 。
可见，同样是运用集合语言，解决方法也不尽相同。
十四、邮筒问题求幂策略
56、把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分配方法？
57、某8层大楼一楼电梯上来8名乘客，他们到各自的一层下电梯，则下电梯的方法_______. 说明：将n 封信投入到m 个邮筒中，有m n 种投放方法。这类允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置。
十五、环排问题线排策略
58、5个人手拉手占成一圈，共有多少种站法?
59、6颗颜色不同的钻石，可穿成多少种钻石圈？
说明：一般地，n 个不同元素作圆形排列，共有(n-1)!种排法。
十六、多排问题直排策略
把n 个元素排成前后若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采用统一排成一排的方
法来处理。
60、7个人坐两排座位，第一排3个人，第二排坐4个人，则不同的坐法有多少种？
分析：7个人可以在前两排随意就坐，再无其它条件，故两排可看作一排来处理，不同的坐法共
有77A =5040种。
61、两排座位，第一排3个座位，第二排5个座位，若8名学生每人坐一个座位，求不同的坐法有多少种？
一排来处理，其不同的坐法种数是88A =40320
62、（04年辽宁卷）有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排
中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同的排法有多少种？
解析：在排列问题中，站若干排与站一排一样，故一共可坐的位子有20个，2个人就座方法数
为A 202，还需排除两人左右相邻的情况，把可坐的20座位排成连续一行（一排末位B 与二排首
位C 相接），任两个座位看成一个整体，即相邻的坐法有A A 1912
2，但这其中包括B 、C 相邻与E 、F （前排中间3座的左E 、右F ）相邻，而这种相邻在实际中是不相邻的，还应再加上222A 。
所以不同排法的种数为：A A A A 20219122222346-+=
63、8人排成前后两排，每排4人，其中甲、乙在前排，丁在后排，共有多少排法？
说明：一般地，元素分成多排的排列问题，可归结为一排考虑，再分段研究。
十七、分解与合成策略
64、72的正约数（包括1和72）共有多少个？
解析：72=23×32
∴2m ·3n （0≤m ≤3，0≤n ≤2，m ，n ∈N ）都是72的正约数
m 的取法有4种，n 的取法有3种，由分步计数原理共3×4=12个
65、关于正整数2160，求：（1）它有多少个不同的正因数？（2）它的所有正因数的和是多少？
解：（1）∵N =2160=24×33×5，∴2160的正因数为P =235αβγ，
其中α=0，1，2，3，4，β=0，1，2，3， γ=0，1
∴2160的正因数共有5×4×2=40个
（2）式子（20+21+22+23+24）×（30+31+32+33）×（50+51）的展开式就是40个正因数
∴正因数之和为31×40×6=7440
66、（2013年上海市春季高考）2000的所有正约数之和为________________________
【答案】4836
67、问30030能被多少个不同的偶数整除？
说明：分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略，把一个复杂问题分解成几
个小问题逐一解决，然后依据问题分解后的结构，用分类计数原理和分步计数原理将问题合成，从而得到问题的答案，每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略。
十八、几何问题
68、圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少各？ 分析：因两弦在圆内若有一交点，则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形，则问题化为圆周上的15个不同的点能构成多少个圆内接四边形，因此这些现在圆内的交点最多
有415C =1365（个）
69、四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A 在同一平面上，不
同的取法有 种（335C +3=33）
70、四面体的棱中点和顶点共10个点
（1）从中任取3个点确定一个平面，共能确定多少个平面？
(310C -436C +4-334C +3-6C 3
4+6+2×6=29) (2)以这10个点为顶点，共能确定多少格凸棱锥？ 三棱锥 C 104-4C 64-6C 44-3C 44
=141 四棱锥 6×4×4=96 3×6=18 共有114
71、取正方体的8个顶点中的4个可以构成多少个三棱锥？
本题在解决时，由于正面情况不共面的四点组比较复杂，因此容易产生重复或者遗漏。然而，从
反面考虑，即共面的四点组则比较少。即：581248=-C 。 72、正方体的8个顶点可连成多少对异面直线？
如果真的直接考虑直线有几条？再考虑异面直线有几对？问题就会非常复杂，原因在于重复太多。此时，如果能和例5联系起来，即不共面的四点组对应于3对异面直线。则容易得到：
174)12(348=-?C 。
73、（1996年全国高考题）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形有 个 （用数字作答）
分析：点构成三角形，属于组合组合问题，其反面是共线三点不能构成三角形，正六边形的中心
和顶点存在三组三点共线的情形，所以一共有三角形C 73-3=32个。
74、现有25人排成的5×5方队，现从中选3人，要求3人不在同一行也不在同一列，问不同的选法有多少种？
十九、配对问题
75、从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有1双同色的取法有多少种？
分析：显然本题应分步解决。
（一）从6双中选出一双同色的手套，有种方法；
（三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有种方法；
（四）由于选取与顺序无关，因而（二）（三）中的选法重复一次，因而共240种。
76、设有编号1，2，3，4，5的五个球和编号1，2 ，3，4，5的五个盒子，现将5个球投入这五个盒子内，要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，有多少投法？
二十、错位排列
77、同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的卡片，求有多少种不同的分配方法？
公式 1）))(1(21--+-=n n n a a n a ,
即三个人有两种错排；两个人有一种错排；四个人即n=4时，有a 4=3(a 3+a 2)= 9种错排。
2）n a =n![1-!11+!21-!31+…+()n 1-!
1n ] 78、同一寝室4人，每人写一张贺年卡集中起来，然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？
二十一、数列递推策略
79、一楼梯共10级台阶，如果规定每步只能跨上一级或两级台阶，要走完这10级楼梯，共有多少种不同的走法？
分析：设上n 级楼梯的走法为a n 种，易知a 1=1,a 2=2,当n ≥2时，上n 级楼梯的走法可分两类：第一类：最后一步跨一级，有a n-1种走法，第二类：最后一步跨两级，有a n-2种走法，由加法原理知：a n =a n-1+ a n-2,据此，a 3=a 1+a 2=3,a 4=a #+a 2=5,a 5=a 4+a 3=8,a 6=13,a 7=21,a 8=34,a 9=55,a 10=89.故走上10级楼梯共有89种不同的方法。
80、如图是斯特林数三角阵表，表中第r 行每一个1
数等于它左肩上的数加上右肩上的数的1r -倍，
则此表中：（Ⅰ）第6行的第二个数是______________；
（Ⅱ）第1n +行的第二个数是___________．（用n 表示）
1 1
2 3 1
6 11 6 1
24 50 35 10 1
……………………………
274； 111!2n n ?
?+++ ???
总之，排列、组合应用题的解题策略可总结为：排组分清，加乘明确；有序排列，
（2）以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置。
（3）先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列组合数。
m m m n ! n m 知识内容 1. 基本计数原理 ⑴加法原理 分类计数原理：做一件事，完成它有 n 类办法，在第一类办法中有 m 1 种不同的方法，在第二类办法中 有 m 2 种方法，……，在第 n 类办法中有 m n 种不同的方法．那么完成这件事共有 种不同的方法．又称加法原理． ⑵乘法原理 分步计数原理：做一件事，完成它需要分成 n 个子步骤，做第一个步骤有 m 1 种不同的方法，做第二个 步骤有 m 2 种不同方法，……，做第 n 个步骤有 m n 种不同的方法．那么完成这件事共有 种不同的方法．又称乘法原理． ⑶加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理． 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2. ⑴排列：一般地，从 n 个不同的元素中任取 m (m ≤ n ) 顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 个元素的一个排列．（其中被取的象叫做元素） 排列数：从 n 个不同的元素中取出个元素的排列数，用符号 个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 排列数公式： ， m ， n ∈ N + ，并且 m ≤ n ． 全排列：一般地， n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1 到 n 的连乘积，叫作 n 的阶乘，用 ⑵组合：一般地，从 n 个不同元素中，任意取出个元素的一个组合． 表示．规定： 0! = 1 ． 个元素并成一组，叫做从 n 个元素中任取个 组合数：从 n 个不同元素中，任意取出任意取出 m 个元素的组合数，用符号 表示． 元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中， 组合数公式： ， m , n ∈ N + ，并且 m ≤ n ． 1 / 20 排列组合问题的常用方法总 结 1 m (m ≤ n ) m ! C m n = n (n - 1)(n - 2) (n - m + 1) = n C m n ! m !(n - m )! (m ≤n ) m (m ≤ n ) N = m 1 ? m 2 ? ? m n N = m 1 + m 2 + + m n A m n 表示． A m = n (n - 1)(n - 2) (n - m + 1) n
排列组合问题的解题策略 排列组合问题的解题策略 一、相临问题——捆绑法 例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？ 解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。 评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有种排法。 二、不相临问题——选空插入法 例2．7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？ 解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 . 评注：若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。 三、复杂问题——总体排除法 在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。 例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个. 解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个.
四、特殊元素——优先考虑法 对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。 例4．(1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种． 解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法. 例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种. 解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种. 五、多元问题——分类讨论法 对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。 例6．（2003年北京春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（A ） A．42 B．3 0 C．20 D．12 解：增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况：1.不相临：共有A62种；2.相临：共有A22A61种。故不同插法的种数为：A62 +A22A61=42 ，故选A。 例7．（2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相
排列组合与概率总结复习 两个基本原理： 1.加法原理（分类计数原理）:做一件事,完成它有n 类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法, 在第二类办法中有2m 种不同的方法, ……,在第n 类办法中有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有：n m m m m N +???+++=321种不同的方法. 2.乘法原理（分步计数原理）: 做一件事,完成它有n 个步骤,做第一步有1m 种不同的方法, 做第二步有有2m 种不同的方法, ……, 做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有： n m m m m N ???????=321种不同的方法. 特别注意：分类是独立的、一次性的；分步是连续的、多次的。 三组基本概念： 1．排列 1）排列：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。 2）排列数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同元素 中取出m 个元素的排列数。通常用m n A 表示。 特别地，当n m =时，称为全排列，当n m 时，称为选排列。 2． 组合 1）组合：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。 2）组合数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元 素中取出m 个元素的组合数,记作m n C 。 3． 事件与概率 1）事件的分类：（1）必然事件：在一定的条件下必然要发生的事件；（2）不可能事件：在一定的条件下不可能发生的事件；（3）随机事件：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件。 2）一些特殊事件： （1）等可能事件：对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；另外，所有不同的试验结果，它们出现的可能性是相等的。 （2）互斥事件：不可能同时发生的两个事件，我们把它称为互斥事件。如果事件A 1，A 2，…，A n 中的任何两个都是互斥事件，那么就说事件A 1，A 2，…，A n 彼此互斥。 （3）对立事件：必有一个发生的两个互斥事件叫做对立事件。事件A 的对立事件通常记作 A 。特别地，有 B A +、B A ?的对立事件分别是B A ?、B A +，即B A B A ?=+、B A B A +=?。 （4）相互独立事件：一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响的两个事件叫做相互独立事件。 3）事件的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率 n m 总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P (A )。 一些重要公式： 1．排列数公式 ：
排列组合问题的解题方法 一、特殊元素（或位置） “优先法”：排列组合问题无外乎“元素”与“位置”的关系问题，即某个元素排在什么位置或某个位置上排什么元素的问题.因此，对于有限制条件的排列组合问题，可从限制元素（或位置）入手，优先考虑. 例1、在由数字0、1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有( )个． 解1：（元素优先法）根据所求四位数对0和5两个元素的特殊要求将其分为四类：① 含0不含5，共有1324C A =48(个)；②含5不含0，共有1334C A =72(个)；③含0也含5，共有112224C C A ＝48(个)；④不合0也不含5，共有4 4 A ＝24(个)．所以，符合条件的四位数共有48+72+48+24=192(个). 解2：（位置优先法）根据所求四位数对首末两位置的特殊要求可分三步：第一步：排 个位，有14C 种方法；第二步；排首位，有14C 种方法；第三步：排中间两位，有2 4A 种方法．所以符合条件的四位数共有14C 14C 24 A =192(个)． 二、相邻问题“捆绑法”：对于元素相邻的排列问题，可先将相邻元素“捆绑”起来看作一个元素（整体），先与其它元素排列，然后相邻元素之间再进行排列. 例2、6个人排成一排，甲、乙二人必须相邻的排法有多少种？ 解：将甲、乙二人“捆绑”起来看作一个元素与其它4个元素一起排列，有A 55 种，甲、乙二人的排列有A 22 种，共有A 22·A 5 5=240种. 三、不相邻问题“插空法”：对元素不相邻问题，可先不考虑限制条件先排其它元素，再将不相邻元素插入已排好元素的空隙中（包括两端）即可. 例3、用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，其中1与2相邻、3与4相邻、5与6相邻、7与8不相邻的八位数共有 个. 解：先“相邻”排列成三个“大元素”，再三个“大元素”排列，最后7与8“插空”， 共有22232 22234576A A A A A 种. 四、有序问题“无序法”：对于元素顺序一定的排列问题，可先考虑没有顺序元素的排列，然后除以有顺序的几个元素的全排列即可. 例4、3男3女排成一排，若3名男生身高不相等，则按从高到低的一种顺序站的站法有多少种？ 解：6个人的全排列有A 66 种，3名男生不考虑身高的顺序的站法有A 3 3种，而由高到低又可从左到右，或从右到左（这是两种不同的站法），故共有不同站法2A 66÷A 3 3 =240种. 五、分排问题“直排法”：n 个元素分成m （m ＜n ）排，即为n 个元素的全排列. 例5、将6个人排成前后两排，每排3人，有多少种排法. 解：6个人中选3个人排在前排有A C 33 36种，剩下3人排在后排有A 3 3种，故共有
种。故不同插法的种数为：26A + 22A 16A =42 ，故选A 。 例7．（2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区 不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答） 解：由题意，选用3种颜色时，C 43种颜色，必须是②④同色，③⑤同色，与①进行全排列，涂色 方法有C 43A 33=24种4色全用时涂色方法：是②④同色或③⑤同色，有2种情况，涂色方法有 C 21A 44=48种所以不同的着色方法共有48+24=72种；故答案为72 六、混合问题--先选后排法 对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略． 例8．（2002年北京高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4 人，则不同的分配方案共有（ ）种 A. B.3种 C. 种 D. 解：本试题属于均分组问题。则12名同学均分成3组共有 种方法,分配到三 个不同的路口的不同的分配方案共有： 种，故选A 。 例9．（2003年北京高考试题）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出 3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共 有（） A ．24种 B ．18种 C ．12种 D ．6种
解：黄瓜必选，故再选2种蔬菜的方法数是C32种，在不同土质的三块土地上种植的方法是A33， ∴种法共有C32A33=18，故选B． 七．相同元素分配--档板分隔法 例10．把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解，并思考这些方法是否适合更一般的情况？本题考查组合问题。 解一：先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分配，保证每个阅览室至少得一本书，这相当于在7本相同书之间的6个“空档”内插入两个相同“I”（一般可视为“隔板”）共有2 C种插法，即有15种分 6 法。 2、解二：由于书相同，故可先按阅览室的编号分出6本，此时已保证各阅览室所分得的书不小于其编号，剩下的4本书有以下四种分配方案：①某一阅览室独得4本，有种分法；②某两个阅览室分别得1本和3本，有种分法；③某两个阅览室各得2本，有种分法；④某一阅览室得2本，其余两阅览室各得1本，有种分法.由加法原理，共有不同的分法3+=15种. 八．转化法: 对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解 。例11 高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种? 分析此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他
排列组合解题策略 2.A、36种B、120种C、720种D、1440种 前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共66720A =种，选C 3.把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为() （A）510515A A （B）3355510515A A A A （C）1515A （D）3355510515A A A A ÷答案：C 4.8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？ 解：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有24A 种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有14A 种，其余5个元素任排5个位置上有55A 种，故共有1254455760A A A =种排法. 5.10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？4 9C 解：从0、0、0、1、2、3…100中插入三个隔板即可3103C 。 7.某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共种。 解：在12个名额种的11个空当中插入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有种 8.有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？ 解：向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有1202 16=C 种。 9.(a+b+c+d)15有多少项？
解：当项中只有一个字母时，有种（即 a.b.c.d 而指数只有15故；当项中有2个字母时，有 而指数和为15，即将15分配给2个字母时，如何分，闸板法一分为2，即；当项中有3个字母 时指数15分给3个字母分三组即可；当项种4个字母都在时 四者都相加即可．10.将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个 中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？ 解：1、先从4个盒子中选三个放置小球有3 4C 种方法；2、注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个5个空挡中分别插入两个板。各有23C 、24C 、25C 种方法；3、由分步计数原理可得34C 23C 24C 25C =720种。 11.用不同的5种颜色分别为ABCDE 五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数．（540）第11题第12题第13题第14题 12.四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是种（84） 13.某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同一样颜色的话，不同的栽种方法有种（以数字作答）．（120） 秒杀秘籍：合并单元格解决染色问题 例3.如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同 一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）。 解：分情况讨论: (ⅰ)当3、4颜色相同且1、5颜色不同时，将3、4合并成一个单元格，此时不同的 着色方法相当于4个元素的全排列数4 4A （ⅱ）当3、4颜色不同且1、5颜色相同时，与情形(ⅰ)类似同理可得44A 种着色法． （ⅲ）当3、4与1、5分别同色时，将3、4，1、5分别合并，这样仅有三个单元格,从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有3334A C 种方法．由加法原理知：不同着色方法共有3 334442A C A +=48+24=72（种） 例4.将一个四棱锥S ABCD -的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端 点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是_______. 解：可把这个问题转化成相邻区域不同色问题,如图， 若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任 选两种涂A、B、C、D 四点，此时只能A 与C、B 与D 分别同色，故有125460C A =种方法。 (2)若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种染A 与B，由于A、B 颜色可以交换，故有24A 种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D 或C，而D 与C，而D 与C 中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有12115422240C A C C =种方法。 (3)若恰用五种颜色染色，有55120A =种染色法综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;（2）根据相对区域是否同色分类讨论; （3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。54321
排列组合基础知识及习题分析 在介绍排列组合方法之前 我们先来了解一下基本的运算公式！ 35C ＝（5×4×3）/（3×2×1） 26 C ＝（6×5）/（2×1） 通过这2个例子 看出 n m C 公式 是种子数M 开始与自身连续的N 个自然数的降序乘积做为分子。 以取值N 的阶层作为分母 35P ＝5×4×3 66P ＝6×5×4×3×2×1 通过这2个例子 n m P ＝从M 开始与自身连续N 个自然数的降序乘积 当N ＝M 时 即M 的阶层 排列、组合的本质是研究“从n 个不同的元素中，任取m (m≤n)个元素，有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”. 解答排列、组合问题的思维模式有二： 其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”； 其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”. 分 类：“做一件事，完成它可以有n 类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个 标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法. 分步：“做一件事，完成它需要分成n 个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n 个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n 个步骤后，这件事才算最终完成. 两 个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n 类办法，这n 类办法彼此之间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能单独完 成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n 个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个 步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理. 在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点： 1．有限制条件的排列问题常见命题形式： “在”与“不在” “邻”与“不邻” 在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法： ⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法.
排列组合解法 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同 的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排 列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522 522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪， 4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列 数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：73 73/A A
排列组合常用方法总结 排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。下面是，请参考！ 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式 3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何
一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 [例题分析]排列组合思维方法选讲 1．首先明确任务的意义 例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。 分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。 设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定。 又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为2=180。 例2. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法? 分析：对实际背景的分析可以逐层深入 （一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。
排列组合常见题型及解题策略 一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复， 把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类 问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数 【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同报名方法？ （2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ （3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？ 【解析】：（1）43（2）34 （3）34 【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？ 【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案， 第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案. 【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ） A 、38 B 、83 C 、38A D 、3 8C 【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军 看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的 结果。所以选A 二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有 【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A 种 【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女 生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有， 22223242C A A A =432种， 其中男生甲站两端的有1 222223232A C A A A =144，符合条件的排法故共有288 三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列， 再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
佛山学习前线教育培训中心 高二数学（理）讲义 专题：排列与组合解题技巧 主要技巧： 一. 运用两个基本原理 例1：n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？ 练习1：同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（） （A）6种（B）9种（C）11种（D）23种 二. 特殊元素（位置）优先 例2：从0，1，……，9这10个数字中选取数字组成偶数，一共可以得到不含相同数字的五位偶数多少个？ 练习2：8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？ 三. 捆绑法 例3：8人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？ 练习3：记者要为5名志愿者和他们帮助的2为老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有 .A1440种.B960种.C720种.D480种 四. 插入法 例4：排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法？ 练习4：安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有种。 五. 排除法 例5：求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。 练习5：100件产品中有3件是次品，其余都是正品。现在从中取出5件产品，其中含有次品，有多少种取法？ 练习6：8个人站成一排，其中A与B、A与C都不能站在一起，一共有多少种排法？ 六. 机会均等法 例6：10个人排成一队，其中甲一定要在乙的左边，丙一定要在乙的右边，一共有多少种排法？ 练习7：用1，4，5，四个数字组成四位数，所有这些四位数中的数字的总和为288，求。 七. 转化法 例7：一个楼梯共10级台阶，每步走1级或2级，8步走完，一共有多少种走法？ 练习8：动点从（0，0）沿水平或竖直方向运动到达（6，8），要使行驶的路程最小，有多少种走法？ 八. 隔板法 例14：20个相同的球分给3个人，允许有人可以不取，但必须分完，有多少种分法？ 练习9：把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解，并思考
排列组合方法归纳大全 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为
四.定序问题倍缩空位插入策略 例人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 练习题： 1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法 六.环排问题线排策略 例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 七.多排问题直排策略 例人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是
排列组合解题策略大全 一、合理分类与分步 1、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有多少种？ 四位上，则有1 31333A A A 种排法，由分类计数原理，排法共有7813133344 =+A A A A （种） 解法二(排除法)：甲在排头：44A ,乙在排尾： 44A ,甲在排头且乙在排尾： 3 3A ,故符合题意的不同的排法为： 5443544378A A A A --+=.注： 甲在排头和乙在排尾都包含甲在排头的同时乙在排位,所以多减了要补回来. 2、从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ 解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ① 若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有3 8A 方法， 所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有3 83A ④（同例1）若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数4332 88883374088A A A A +++=（种） 二、特殊元素和特殊位置优先法 1、0，1，2，3，4，5能够组成多少个没有重复数字的五位奇数？ 分析：特殊元素：0，1，3，5；特殊位置：首位和末位 先排末位：13C ，再排首位：14C ，最后排中间三位：34A 共有：13C 14C 3 4A =288 2、7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 先种这两种特殊的花在除中间和两端外剩余的3个位置：24A ;再在其余5个位置种剩余的5种花：55A ；总共：24A 55A =1440 三、排列组合混合问题先选后排法 1、4个不同小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，恰有一空盒的方法有多少种？ 解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想。
排列与组合解题技巧
佛山学习前线教育培训中心 高二数学（理）讲义 专题：排列与组合解题技巧 主要技巧： 一. 运用两个基本原理 例1：n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？ 练习1：同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（） （A）6种（B）9种（C）11种（D）23种 二. 特殊元素（位置）优先 例2：从0，1，……，9这10个数字中选取数字组成偶数，一共可以得到不含相同数字的五位偶数多少个？ 练习2：8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？ 三. 捆绑法 例3：8人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？ 练习3：记者要为5名志愿者和他们帮助的2为老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有 .A1440种.B960种.C720种.D480种
四. 插入法 例4：排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法？ 练习4：安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有种。 五. 排除法 例5：求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。 练习5：100件产品中有3件是次品，其余都是正品。现在从中取出5件产品，其中含有次品，有多少种取法？ 练习6：8个人站成一排，其中A与B、A与C都不能站在一起，一共有多少种排法？ 六. 机会均等法 例6：10个人排成一队，其中甲一定要在乙的左边，丙一定要在乙的右边，一共有多少种排法？ 练习7：用1，4，5，四个数字组成四位数，所有这些四位数中的数字的总和为288，求。 七. 转化法 例7：一个楼梯共10级台阶，每步走1级或2级，8步走完，一共有多少种走法？
排列有两种定义，但计算方法只有一种，凡是符合这两种定义的都用这种方法计算。定义的前提条件是m≦n，m与n均为自然数。①从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。②从n个不同元素中，取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。 ③用具体的例子来理解上面的定义：4种颜色按不同颜色，进行排列，有多少种排列方法，如果是6种颜色呢。从6种颜色中取出4种进行排列呢。 解：A(4,4)=4x(4-1)x(4-2)x(4-3)x(4-4+1)=4x1x2x3x1=24。 A(6,6)=6x5x4x3x2x1=720。 A(6,4)=6!/(6-4)!=(6x5x4x3x2x1)/2=360。 [计算公式] 排列用符号A(n,m)表示，m≦n。 计算公式是：A(n,m)＝n(n-1)(n-2)……(n-m+1)＝n!/(n-m)! 此外规定0!=1，n!表示n(n-1)(n-2) (1) 例如：6!=6x5x4x3x2x1=720，4!=4x3x2x1=24。 组合的定义及其计算公式 1 组合的定义有两种。定义的前提条件是m≦n。 ①从n个不同元素中，任取m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。 ②从n个不同元素中，取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。 ③用例子来理解定义：从4种颜色中，取出2种颜色，能形成多少种组合。 解：C(4,2)=A(4,2)/2!={[4x(4-1)x(4-2)x(4-3)x(4-4+1)]/[2x(2-1)x(2-2+1)]}/[2x(2-1)x(2-2+1)]=[( 4x3x2x1)/2]/2=6。 [计算公式] 组合用符号C(n,m)表示，m≦n。 公式是：C(n,m)=A(n,m)/m! 或C(n,m)=C(n,n-m)。
教学目标 1. 进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2. 掌握解决排列组合问题的常用策略 ；能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分 析问题的能力 3. 学会应用数学思想和方法解决排列组合问题 复习巩固 1. 分类计数原理（加法原理） 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有 m i 种不同的方法，在第 2类办法中有m 2种不同的方 法，…，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有： N m i m 2 L m n 种不同的方法. 2. 分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有叶种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，… 做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有: N mi m 2 L m n 种不同的方法. 3. 分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下 ： 1. 认真审题弄清要做什么事 2. 怎样做才能完成所要做的事 ，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少 类。 3. 确定每一步或每一类是排列问题 （有序）还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素 . 4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数 . 解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置 . 先排末位共有C ； 然后排首位共有C 1 最后排其它位置共有 A 3 由分步计数原理得C 4C ；A ； 288 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法 ，若以元素分析为主，需 先安排特殊元素，再处理其它元素.若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位 置。若 有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里 多少不同的种法？ 二. 相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元 素进行排 A 3 ,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，冋有 A 5 A 2 A 2 480种不同的
排列组合的解题策略陈莉 发表时间：2014-04-01T17:09:56.750Z 来源：《新疆教育》2013年第5期供稿作者：陈莉 [导读] 排列组合作为高中代数课本的一个独立分支，因为极具抽象性而成为“教”与“学”难点。 重庆市江津区第八中学陈莉 排列组合作为高中代数课本的一个独立分支，因为极具抽象性而成为“教”与“学”难点。有相当一部分题目教者很难用比较清晰简洁的语言讲给学生听，有的即使教者觉得讲清楚了，但是由于学生的认知水平，思维能力在一定程度上受到限制，还不太适应。从而导致学生对题目一知半解，甚至觉得“云里雾里”。针对这一现象，笔者在日常教学过程中经过尝试总结出一些个人的想法跟各位同行交流一下。笔者认为之所以学生“怕”学排列组合，主要还是因为排列组合的抽象性，那么解决问题的关键就是将抽象问题具体化，我们不妨将原题进行一下转换，让学生走进题目当中，成为“演员”，成为解决问题的决策者。这样做不仅激发了学生的学习兴趣，活跃了课堂气氛，还充分发挥学生的主体意识和主观能动性，能让学生从具体问题的分析过程中得到启发，逐步适应排列组合题的解题规律，从而做到以不变应万变。当然，在具体的教学过程中一定要注意题目转换的等价性，可操作性。 怎样分析排列组合综合题？使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某事件时采取的方式而定，分类来完成这件事时用“分类计数原理”，分步来完成这件事时就用“分步计数原理”，怎样确定分类，还是分步骤？“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件，而“分步骤”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，彼此间交集为空集，并集为全集，不论哪类办法都能将事情单独完成，分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。排列与组合定义相近，它们的区别是在于是否与顺序有关。复杂的排列问题常常通过试验、画简图、小数字化等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难于检验，亦常常需要用不同的方法求解来获得检验。按元素的性质进行分类，按事件发生的连续性进行分步是处理组合问题的基本思想方法，要注意“至少、至多”等限制词的意义。处理排列、组合综合性问题，一般思想是先选元素（组合），后排列，按元素的性质进行“分类”和按事件的过程“分步”，始终是处理排列、组合问题基本方法和原理，通过解题训要注意积累分类和分步的基本技能。在解决排列、组合综合性问题时，必须深刻理解排列组合的概念，能熟练确定问题是排列问题还是组合问题，牢记排列数与组合数公式与组合数性质，容易产生的错误是重复和遗漏计数。 下面笔者将就教学过程中的两个难点通过两个特例作进一步的说明：第一，占位子问题例1：将编号为1、2、3、4、5 的5 个小球放进编号为1、2、3、4、5 的5 个盒子中，要求只有两个小球与其所在的盒子编号相同，问有多少种不同的方法？①仔细审题：在转换题目之前先让学生仔细审题，从特殊字眼小球和盒子都已“编号”着手，清楚这是一个“排列问题”，然后对题目进行等价转换。②转换题目：在审题的基础上，为了激发学生兴趣进入角色，我将题目转换为：让学号为1、2、3、4、5 的学生坐到编号为1、2、3、4、5 的五张凳子上（已准备好放在讲台前），要求只有两个学生与其所坐的凳子编号相同，问有多少种不同的坐法？ ③解决问题：这时我在选另一名学生来安排这5 位学生坐位子（学生争着上台，积极性已经得到了极大的提高），班上其他同学也都积极思考（充分发挥了学生的主体地位和主观能动性），努力地“出谋划策”，不到两分钟的时间，同学们有了统一的看法：先选定符合题目特殊条件“两个学生与其所坐的凳子编号相同”的两位同学，有C 种方法，让他们坐到与自己编号相同的凳子上，然后剩下的三位同学不坐编号相同的凳子有2 种排法，最后根据乘法原理得到结果为2×C =20（种）。 这样原题也就得到了解决。④学生小结：接着我让学生之间互相讨论，根据自己的分析方法对这一类问题提出一个好的解决方案。（课堂气氛又一次活跃起来）⑤老师总结：对于这一类占位子问题，关键是抓住题目中的特殊条件，先从特殊对象或者特殊位子入手，再考虑一般对象，从而最终解决问题。 第二，分组问题例2：从1、3、5、7、9 和2、4、6、8 两组数中分别选出3 个和2 个数组成五位数，问这样的五位数有几个？（本题我是先让学生计算，有很多同学得出的结论是P ×P ）①仔细审题：先由学生审题，明确组成五位数是一个排列问题，但是由于这五个数来自两个不同的组，因此是一个“分组排列问题”，然后对题目进行等价转换。②转换题目：在学生充分审题后，我让学生自己对题目进行等价转换，有一位同学A 将题目转换如下：从班级的第一组（12 人）和第二组（10 人）中分别选3 位和2 位同学分别去参加苏州市举办的语文、数学、英语、物理、化学竞赛，问有多少种不同的选法？③解决问题：接着我就让同学A 来提出选人的方案同学A 说：先从第一组的12 个人中选出3 人参加其中的3 科竞赛，有P×P 种选法；再从第二组的10 人中选出2 人参加其中2 科竞赛有P×P 种选法；最后由乘法原理得出结论为（P×P）×（P×P）（种）。（这时同学B 表示反对）同学B 说：如果第一组的3个人先选了3 门科目，那么第二组的2 人就没有选择的余地。所以第二步应该是 P×P（. 同学们都表示同意，但是同学 C 说太蘩）同学 C说：可以先分别从两组中把5 个人选出来，然后将这5 个人在5 门学科中排列，他列出的计算式是C×C×P（种）。（再次通过互相讨论，都表示赞赏）这样原题的解答结果就“浮现”出来C×C×P（种）。④老师总结：针对这样的“分组排列”题，我们多采用“先选后排”的方法：先将需要排列的对象选定，再对它们进行排列。 以上是我一节课两个例题的分析过程，旨在通过这种方法的尝试（教学效果比较明显），进一步活跃课堂气氛，更全面地调动学生的学习积极性，发挥教师的主导作用和学生的主体作用，让学生在互相讨论的过程中学会自己分析转换问题，解决问题。